2018年数学（北师大版选修1-2）练习12234活页作业4独立性检验；独立性检验的基本思想；独立性检验的应用

活页作业(四)独立性检验独立性检验的基本思想独立性检验的应用1．对分类变量X与Y的统计量χ2的值说法正确的是()A．χ2越大，“X与Y有关系”的把握性越小B．χ2越小，“X与Y有关系”的把握性越小C．χ2越接近于0，“X与Y无关系”的把握性越小D．χ2越接近于0，“X与Y无关系”的把握性越大解析：χ2越大，X与Y越不独立，所以关联越大；相反，χ2越小，关联越小．答案：B2．在2×2列联表中，两个比值________相差越大，两个分类变量之间的关系越强()A．eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d) B．eq\f(a,c＋d)与eq\f(c,a＋b)C．eq\f(a,a＋d)与eq\f(c,b＋c) D．eq\f(a,b＋d)与eq\f(c,a＋c)解析：eq\f(a,a＋b)与eq\f(c,c＋d)相差越大，说明ad与bc相差越大，两个分类变量之间的关系越强．答案：A3．对两个分类变量进行独立性检验的主要作用是()A．判断模型的拟合效果B．对两个变量进行相关分析C．给出两个分类变量有关系的可靠程度D．估计预报变量的平均值解析：独立性检验的目的就是明确两个分类变量有关系的可靠程度．答案：C4．为了了解高中生作文成绩与课外阅读量之间的关系，某研究机构随机选取了60名高中生，通过问卷调查，得到以下数据：作文成绩优秀作文成绩一般总计课外阅读量较大221032课外阅读量一般82028总计303060由以上数据计算得到χ2≈9.643，根据临界值表，以下说法正确的是(已知当χ2＞7.879时，有99.5%的把握判定两个变量有关联)()A．没有充足的理由认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关B．有0.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关C．有99.9%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关D．有99.5%的把握认为课外阅读量大与作文成绩优秀有关解析：χ2≈9.643＞7.879，P(χ2≈9.643＞7.879)＝0.005.∴在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为作文成绩优秀与课外阅读量大有关．答案：D5．已知某校文理科教师与性别的列联表如下：文理性别理科文科总计男3785122女35143178总计72228300由表中的数据计算χ2的值约为________．(精确到0.0001)解析：χ2＝eq\f(300×37×143－85×352,122×178×72×228)≈4.5139.答案：4.51396．为了研究高中学生对乡村音乐的态度(喜欢和不喜欢两种态度)与性别的关系，运用2×2列联表进行独立性检验，经计算得到χ2＝8.01，则认为“喜欢乡村音乐与性别有关系”的把握性约为________．解析：∵χ2＝8.01＞6.635，∴有99%的把握说喜欢乡村音乐与性别有关系．答案：99%7．第12届全国人大四次会议于2016年3月5日至3月16日在北京召开．为了搞好对外宣传工作，会务组选聘了16名男记者和14名女记者担任对外翻译工作，调查发现，男、女记者中分别有10人和6人会俄语．(1)根据以上数据完成以下2×2列联表：会俄语不会俄语总计男女总计30(2)能否在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关？解：(1)对应的2×2列联表为会俄语不会俄语总计男10616女6814总计161430(2)假设：是否会俄语与性别无关，由已知数据得χ2＝eq\f(nad－bc2,a＋bc＋da＋cb＋d)＝eq\f(30×10×8－6×62,10＋66＋810＋66＋8)≈1.1575＜2.706，∴不能在犯错的概率不超过0.10的前提下认为性别与会俄语有关．8．某校对高三部分学生的数学质检成绩作相应分析．(1)按一定比例进行分层抽样抽取了20名学生的数学成绩，并用茎叶图(图1)记录，但部分数据不小心丢失了，已知数学成绩[70,90)的频率是0.2，请补全表格并绘制相应频率分布直方图(图2)；分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]eq\f(频率,组距)(2)为考察学生的物理成绩与数学成绩是否有关系，抽取了部分同学的数学成绩与物理成绩进行比较，得到统计数据如表：物理成绩优秀物理成绩一般总计数学成绩优秀15318数学成绩一般51722总计202040能够有多大的把握，认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系？(已知当χ2＞10.828时，有99.9%的把握判定两个变量有关联)解：(1)分数段(分)[50,70)[70,90)[90,110)[110,130)[130,150]eq\f(频率,组距)0.0050.0100.0200.0100.005(2)假设学生的物理成绩与数学成绩没有关系，则χ2＝eq\f(40×15×17－5×32,18×22×20×20)≈14.55＞10.828.∴有99.9%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩优秀有关系．1．两个分类变量X和Y，值域分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数分别是a＝10，b＝21，c＋d＝35.若X与Y有关系的可信程度不小于97.5%，则c等于(已知当χ2＞5.024时，则有97.5%的把握认为变量X与Y有关系)()A．3 B．4C．5 D．6解析：χ2＝eq\f(66×[1035－c－21c]2,31×35×10＋c56－c)＞5.024.把选项A，B，C，D代入验证可知选A．答案：A2．在研究打鼾与患心脏病之间的关系时，通过收集数据、整理分析数据得“打鼾与患心脏病有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的．下列说法中正确的是()A．100个心脏病患者中，至少有99人打鼾B．1个人患心脏病，则这个人有99%的概率打鼾C．在100个心脏病患者中，一定有打鼾的人D．在100个心脏病患者中，可能一个打鼾的都没有解析：由题意知，“打鼾与患心脏病有关”的结论有99%以上的把握正确，而不是心脏病患者打鼾的概率为99%，故选D．答案：D3．独立性检验中，两个分类变量“X和Y有关系”的可信程度是95%，则随机变量χ2的取值范围是________．解析：当χ2＞3.841时，有95%的把握判定X与Y有关系，当χ2＞6.635时，有99%的把握判定X与Y有关系，∴3.841＜χ2≤6.635.答案：(3.841,6.635]4．假设有两个分类变量X与Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其中2×2列联表为y1y2总计x1aba＋bx2cdc＋d总计a＋cb＋da＋b＋c＋d以下各组数据中，对于同一样本能说明X与Y有关系的可能性最大的一组为________．①a＝5，b＝4，c＝3，d＝2②a＝5，b＝3，c＝4，d＝2③a＝2，b＝3，c＝4，d＝5④a＝2，b＝3，c＝5，d＝4解析：由题意知，四个选项中a＋b＋c＋d的值与(a＋b)(a＋c)(c＋d)(b＋d)的值分别相等，则由χ2的计算公式，可知只需计算(ad－bc)2，经计算，知其值最大的一组是④.答案：④5．某城市随机抽取一年内100天的空气质量指数API的监测数据，结果统计如表：API空气质量天数[0,50]优4(50,100]良13(100,150]轻微污染18(150,200]轻度污染30(200,250]中度污染9(250,300]中度重污染11＞300重度污染15(1)若某企业每天由空气污染造成的经济损失S(单位：元)与空气质量指数API(记为ω)的关系式为S＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(0，0≤ω≤100，,4ω－400，100＜ω≤300，,2000，ω＞300，))试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元的概率；(2)若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关.非重度污染重度污染总计供暖季非供暖季总计100解：(1)设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S大于200元且不超过600元”为事件A，由200＜S≤600，得150＜ω≤250，频数为39，∴P(A)＝eq\f(39,100).(2)根据以上数据得到如下表格.非重度污染重度污染总计供暖季22830非供暖季63770总计8515100χ2＝eq\f(100×22×7－8×632,30×70×85×15)≈4.575＞3.841.∴有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关．6．目前，在“互联网＋”和“大数据”浪潮的推动下，在线教育平台如雨后春笋般蓬勃发展，与此同时好多学生家长和相关专家对在线教学也产生了质疑，主要原因就是在线上教学，学生是否能认真听讲．在这种情况下，某市教育主管部门在该市各中小学采用分层抽样的方式抽出15周岁以下和15周岁以上各200人进行调查研究，其中15周岁以下能认真听讲的有150人，不能做到认真听讲的有50人，15周岁以上能认真听讲的有170人，不能做到认真听讲的有30人．根据以上数据完成下列各题：(1)完成下列2×2列联表：不认真听讲能认真听讲总计15周岁以下15周岁以上总计(2)请说明是否有97.5%以上的把握认为能否认真听讲与年龄有关？(已知当χ2＞5.024时，有97.5%的把握判定两个变量有关联)(3)现用分层抽样的方法，从15周岁以下的人中抽取8人，在这8人中任取两人进行座谈，求抽到的人至少有一人能认真听讲的概率．解：(1)不认真听讲能认真听讲总计15周岁以下5015020015周岁以上30170200总计80320400(2)根据题中的数据计算：χ2＝eq\f(400×50×170－150×302,200×200×80×320)＝6.25.因为6.25＞5.024，所以有97.5%的把握认为能否认真听讲与年龄有关．(3)由题意可知，从15周岁以下抽8人，其中能认真听讲的为6人，不能认真听讲的为2人，设能认真听讲的人为a1，a2，a3，a4，a5，a6，不能认真听讲的人为b1，b2，于是，在8人中任意抽取两人有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a4，a5)，