中考数学二轮培优复习专题36 中考命题核心元素含45°角的问题的几种解题思路（原卷版）

专题36含45°角的问题的几种解题思路（原卷版）模块一典例剖析+针对训练思路1：套用半角模型常用结论．模型解读：常用结论：如图①，BM＋DN＝MN；MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；△CMN的周长＝2AB.常用证明方法：如图②，将△ADN绕点A顺时针旋转90°，得到△ABN′，证明△AMN≌△AMN′.常用结论：如图③，BP2＋QD2＝PQ2.常用证明方如图④，在正方形ABCD中，AD＝a，点M，N分别在BC，CD边上，且∠MAN＝45°.拓展结论：(1)BM＋DN＝MN；(2)MA平分∠BMN，NA平分∠DNM；(3)△CMN的周长＝2a(为定值)；(4)S△ABM＋S△ADN＝S△AMN；(5)eq\f(MN,AB)的最小值为2eq\r(2)－2；(6)S△AMN的最小值为(eq\r(2)－1)a2；(7)S△CMN的最大值为(3－2eq\r(2))a2；(8)BP2＋QD2＝PQ2；(9)△APQ∽△BAQ∽△DPA∽△BPM∽△DNQ；(10)BQ·DP＝AB·AD＝a2(定值)；(11)△APQ∽△ANM(相似比为1∶eq\r(2))；(12)S△AMN＝2S△APQ；(13)P，M，N，Q四点共圆；(14)△AMC∽△AQD(相似比为1∶eq\r(2))；(15)CM·CN＝2BM·DN；(16)MQ⊥AN，NP⊥AM；(17)△APN与△AQM均为等腰直角三角形；(18)A，B，M，Q四点共圆；(19)A，P，N，D四点共圆．法：将△ABP绕点A逆时针旋转90°，得到△ADP′，证明△AQP≌△AQP′.思路2：作垂直，将45°角置于直角三角形中，构造等腰直角三角形解决问题．思路3：利用同弧所对的圆周角等于圆心角的一半，构造直角三角形，解决问题．思路4：利用两角和或差的正切公式；典例1在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，求点C的坐标．（尽可能用多种方法解题）针对训练1．（2021春•永嘉县校级期末）如图，已知反比例函数y=k（x＞0）的图象经过点A（4，5），若在该图象上有一点P，使得∠AOP＝45°，则点P的坐标是2．如图，已知△ABC中，∠BAC＝45°，AD⊥BC于点D，若BD＝2，CD＝1．求△ABC的面积．

典例2（2022•东莞市校级一模）如图1，正方形ABCD中，E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．（1）小聪同学通过将△BAF绕点B顺时针旋转90°至△BCG，得到∠EBG＝∠EBF＝45°．①请直接写出线段CE、EF、AF之间的数量关系：（用等式表示）；②若AB＝2，E为CD边中点，求AF．（2）如图2，将正方形ABCD改为矩形，且AB＝2，BC＝3，其他条件不变，即：E、F分别是边CD、AD上的点，∠EBF＝45°．③记EF＝y，CE+AF＝x，试探究y与x之间的数量关系（用等式表示）；④当BF⊥EF时，求线段EF的长．针对训练1．（2020•泗水县二模）如图，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF＝45°，AE、AF分别交BD于M、N，连接EN、EF，有以下结论：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③当AE＝AF时，BEEC=22；④BE+A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，且EG与FH的夹角为45°，若正方形ABCD的边长为1，FH的长为52，求EG典例3（2022秋•宁化县月考）（1）如图1，正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，∠EAF＝45°，延长CD到点G，使DG＝BE，连结EF，AG．①判定AE和AG关系，并证明；②证明：EF＝FG；（2）如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，点M，N在边BC上，且∠MAN＝45°，若BM＝1，CN＝3，求MN的长．针对训练1．（2020春•太仓市期中）如图，在等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D，E是斜边BC上两点，∠DAE＝45°，BD＝3，CE＝4，则△ABC的面积为．

模块二2023中考押题预测1．（2021秋•潜江校级月考）如图，点E和点F是正方形ABCD的边BC和边CD上的两动点，且∠EAF＝45°，有下列结论：①EF＝BE+DF；②∠AEB＝∠AEF；③BG2+DG2＝2AG2；④如果BE＝CE，那么DF：CF＝1：3；⑤△AFE∽△AGM且相似比是2；其中正确的结论有（）个．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023•天河区一模）如图，Rt△ABC中，AB＝AC＝3，AO＝1，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE的最小值为．3．如图，点A与点B的坐标分别是（1，0）和（5，0），点P是该直角坐标系x轴上方的动点，并且满足∠APB＝45°，满足条件的点P有多少个？画出这一些点．4．（2016秋•铜山区期中）已知：如图，△ABC中，∠CAB＝90°，AC＝AB，点D、E是BC上的两点，且∠DAE＝45°，△ADC与△ADF关于直线AD对称．求证：（1）∠FAE＝∠BAE；（2）CD2+BE2＝DE2．5．（2022•海口模拟）如图①，在正方形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，若EG⊥FH，（1）求证：EG＝FH；（2）如果把题目中的“正方形”改为“长方形”，若AB＝3，BC＝4（如图②），求FHEG（3）如果把题目中的“EG⊥FH”改为“EG与FH的夹角为45°”（如图③），若正方形ABCD的边长为2，FH的长为5，求EG的长．6．（2020秋•宁