2025年春初中数学七年级下册冀教版上课课件 9.2 提公因式法

第九章因式分解七下数学JJ9.2提公因式法1.了解公因式及提公因式的方法，并能正确确定公因式.2.能熟练运用提公因式法进行因式分解,提升运算能力.3.进一步理解因式分解的意义,强化代数推理的意识,感受整体思想的应用.把一个多项式化成几个整式乘积的形式，叫作多项式的因式分解，也叫作将多项式分解因式.x2-1(x+1)(x-1)因式分解整式乘法x2-1=(x+1)(x-1)分解因式：等式的特征：左边是多项式，右边是几个整式的乘积.复习：

什么叫作因式分解？问题1：多项式ma+mb+mc有哪几项？问题2：每一项的因式都分别有哪些？问题3：这些项中有没有相同的因式，若有，相同的因式是什么？ma,mb,mc依次为m,a和m,b和m,c有，为m问题4：请说出多项式ab2-2a2b中各项的相同的因式.

ab相同因式p这个多项式有什么特点？pa+pb+pc一般地，多项式的各项都含有的因式，叫作这个多项式各项的公因式，简称多项式的公因式.

知识点1确定公式因例1

找

3x2–6xy

的公因式.系数：最大公约数3字母：相同的字母x

公因式是3x.指数：相同字母的最低次幂1

知识点1确定公式因

正确找出多项式各项公因式的关键1.定系数：公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数.

2.定字母：字母取多项式各项中都含有的相同的字母.

3.定指数：相同字母的指数取各项中最小的一个，即字母最低次幂.

知识点1确定公式因

例2

写出下列多项式的公因式.(1)6x－9x2；(2)abc＋2a；(3)abc－ab2＋2ab；(4)2x2y＋4xy2－6xy.3x

a

ab

2xy

知识点1确定公式因问题：ma+mb+mc=m()

ab2-2a2b=ab()

(提示，逆用乘法分配律）

逆用乘法对加法的分配律，可以把公因式提到括号外边作为积的一个因式，从而将多项式化成两个因式乘积的形式.这种将多项式分解因式的方法，叫作提公因式法.

a+b+cb-2a

知识点2提公因式法分解因式思考：以下是三名同学对多项式2x2+4x分解因式的结果：

（1）2x2+4x=2(x2+2x)；（2）2x2+4x=x(2x+4)；（3）2x2+4x=2x(x+2).

第几位同学的结果是正确的？用提公因式法分解因式应注意哪些问题呢？

知识点2提公因式法分解因式（3）是正确的.(1)8a3b2+12ab3c；例3

把下列各式分解因式分析：提公因式法步骤（分两步）

第一步:找出公因式；

第二步:提取公因式

，即将多项式化为两个因式的乘积.(2)2a(b+c)-3(b+c).公因式既可以是一个单项式的形式，也可以是一个多项式的形式.

知识点2提公因式法分解因式解：（1）

8a3b2+12ab3c=4ab2·2a2+4ab2·3bc=4ab2(2a2+3bc).如果提出公因式4ab,另一个因式是否还有公因式？另一个因式将是2a2b+3b2c,它还有公因式b.（2）2a(b+c)-3(b+c)=(b+c)(2a-3).如何检查因式分解是否正确？做整式乘法运算.

知识点2提公因式法分解因式整体思想是数学中一种重要而且常用的思想方法.把12x2y+18xy2分解因式.解：原式=3xy(4x+6y).

错误公因式没有提尽，还可以提出公因式2.注意：公因式要提尽.正解：原式=6xy(2x+3y).小明的解法有误吗？

知识点2提公因式法分解因式当多项式的某一项和公因式相同时，提公因式后剩余的项是1.错误注意：某项提出勿漏1.解：原式

=x(3x-6y).把3x2-6xy+x分解因式.正解：原式=3x·x-6y·x+1·x=x(3x-6y+1).小亮的解法有误吗？

知识点2提公因式法分解因式提出负号时括号里的项没变号.错误把

-x2+xy-xz分解因式.解：原式=

-x(x+y-z).注意：首项有负常提负.正解：原式=-(x2-xy+xz)=-x(x-y+z).小华的解法有误吗？

知识点2提公因式法分解因式例4

把下列多项式分解因式：(1)3a3b+9a2b2-3a2b；

(2)-3x2+6xy-3xz.解：(1)3a3b+9a2b2-3a2b=3a2b·a+3a2b·3b-3a2b·1=3a2b(a+3b-1).

知识点2提公因式法分解因式

(2)-3x2+6xy-3xz=(-3x)·x+(-3x)·(-2y)+(-3x)·z=-3x·(x-2y+z).

例5

分解因式：3x(a-b)+2(b-a).解:

3x(a-b)+2(b-a)

=3x(a-b)-2(a-b)=(a-b)(3x-2).

知识点2提公因式法分解因式例6

计算：(1)39×37－13×91；(2)29×20.25＋72×20.25＋13×20.25－20.25×14.(2)原式＝20.25×(29＋72＋13－14)＝2025.＝13×20＝260.解：(1)原式＝3×13×37－13×91＝13×(3×37－91)方法总结：在计算求值时，若式子各项都含有公因式，用提取公因式的方法可使运算简便．

知识点2提公因式法分解因式例7

已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.解：∵a＋b＝7，ab＝4，方法总结：含a±b，ab的求值题，通常要将所求代数式进行因式分解，将其变形为能用a±b和ab表示的式子，然后将a±b，ab的值整体带入即可.

知识点2提公因式法分解因式1.多项式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（）A．5mnB．5m2n2C．5m2nD．5mn2

2.把多项式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（）A．x+1B．2xC．x+2D．x+33.下列多项式的分解因式，正确的是（）A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）

B

C

D4.把下列各式分解因式：(1)8

m2n+2mn=_____________；(2)12xyz-9x2y2=_____________；(3)p(a2+b2)-q(a2+b2)=_____________；

(4)-x3y3-x2y2-xy=_______________；2mn(4m+1)3xy(4z-3xy)(a2+b2)(p-q)-xy(x2y2+xy+1)(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.(y-x)(2y-x)5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，则M等于_____________.3a(x－y)2

6.简便计算：(1)1.992+1.99×0.01;

(2)20242+2024-20252;(3)(-2)101+(-2)100.(2)原式=2024×(2024+1)-20252=2024×2025-20252

=2025×(2024-2025)=-2025．解：(1)原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98.(3)原式=(-2)100×(-2+1)=2100×(-1)=-2100.解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3×4=12.(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).7.(1)已知:2x+y=4,xy=3,求代数式2x2y+xy2的值.

(2)化简求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其