有理数课件(华东师大版)

有理数有理数是数学中重要的概念之一。它包括所有可以表示为两个整数之比的数。整数的概念整数包括正整数、负整数和零。整数可以表示为没有小数部分的数字。整数可以在数轴上表示，每个整数对应数轴上的一个点。正数和负数正数表示温度计显示高于零度的温度，用正数表示。负数表示温度计显示低于零度的温度，用负数表示。负数应用银行账户余额显示欠款，用负数表示。整数的运算1加法同号相加，取相同的符号，并把绝对值相加。异号相加，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。2减法减去一个数等于加上这个数的相反数。例如，3-5=3+(-5)。3乘法两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘。4除法两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除。相反数和绝对值相反数两个数，数轴上表示的点距离原点相等，方向相反，就叫做互为相反数。绝对值一个数的绝对值是指该数到原点的距离，用“||”表示，结果总是大于或等于0。性质任何数的绝对值都是非负数；相反数的绝对值相等；0的绝对值是0。整数的大小比较数轴比较法将两个整数在数轴上表示出来，越往右边的数越大，越往左边的数越小。例如，-3在数轴上比-5更靠近0，所以-3大于-5。符号比较法如果两个数都是正数，则较大的数大于较小的数；如果两个数都是负数，则较小的数大于较大的数；如果一个数是正数，另一个数是负数，则正数大于负数。大小关系比较法将两个整数表示成相同的形式，如分数或小数，然后比较它们的大小。例如，2/3和4/5可以分别表示成0.667和0.8，所以4/5大于2/3。分数的概念11.分数的表示分数表示一个整体的几分之几。比如，一个蛋糕切成8块，其中一块是这个蛋糕的1/8。22.分数的结构分数由分子和分母两部分组成，分子表示被分的份数，分母表示总份数。33.分数的意义分数表示整体的一部分，同时也可以表示两个数的比值，例如1/2可以表示两个数的比值为1:2。44.分数的分类分数可以分为真分数、假分数、带分数，以及百分数等。分数的运算1加减法同分母分数相加减，分子相加减，分母不变。2乘法分子相乘作为分子，分母相乘作为分母。3除法除以一个分数等于乘以这个分数的倒数。分数的运算在数学学习中至关重要，它为我们提供了处理分量、比例等概念的工具。分数的运算也为后续学习更复杂的概念，例如有理数的运算，奠定了基础。小数的概念小数的定义小数是由整数部分和小数部分组成的数。小数点左侧是整数部分，右侧是小数部分。小数的分类小数可以分为有限小数和无限小数。有限小数的小数部分位数有限，无限小数的小数部分位数无限。小数的运算1加法相同数位对齐，按整数加法进行计算2减法相同数位对齐，按整数减法进行计算3乘法先不考虑小数点，直接相乘，再根据小数位数确定结果的小数点位置4除法将除数和被除数都扩大相同的倍数，使除数变成整数，再进行整数除法小数的运算遵循与整数运算相同的规律，但需要注意小数点的位置。掌握小数运算的规则，才能正确地进行计算。分数和小数的关系分数的概念分数表示一个整体的几分之几，由分子和分母组成。分子表示取了几个部分，分母表示把整体分成了多少个部分。小数的概念小数表示一个数的十分之几，百分之几，千分之几等等。小数点左边是整数部分，右边是小数部分。分数和小数的关系分数可以化成小数，小数也可以化成分数。分数化成小数，可以采用除法计算。小数化成分数，可以根据小数的位数确定分母，分子为小数去掉小数点的数。有理数的大小比较1数轴比较数轴上越右边的点，表示的数越大2同号比较绝对值大的数较大3异号比较正数大于负数4特殊比较0大于任何负数，小于任何正数比较有理数大小，可以借助数轴，也可以利用大小比较的规律。有理数的应用温度气温可以用正数和负数来表示。例如，零上20度表示为+20度，零下10度表示为-10度。海拔海拔高度可以用正数和负数来表示。例如，海拔1000米表示为+1000米，海拔-200米表示为-200米。收入和支出收入可以用正数表示，支出可以用负数表示。例如，收入100元表示为+100元，支出50元表示为-50元。数轴上表示有理数数轴是一条直线，用来表示有理数的大小。0是数轴的原点，正数在原点的右侧，负数在原点的左侧。数轴上的点表示一个有理数，每个有理数对应数轴上的一个点，反之亦然。数轴上的距离表示有理数之间的差，距离越远，差值越大。有理数的分类正数大于零的数称为正数，例如：1，2，3，4，5，……负数小于零的数称为负数，例如：-1，-2，-3，-4，-5，……零零既不是正数，也不是负数。整数与分数混合运算1化成同分母将整数化为分数2通分使分数具有相同的分母3加减运算分子相加减，分母不变4约分化简分数至最简整数与分数的混合运算，需要先将整数化为分数，然后进行通分操作，再根据加减运算规则进行计算，最后进行约分。有理数的性质1加法交换律两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。2加法结合律三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。3乘法交换律两个有理数相乘，交换因数的位置，积不变。4乘法结合律三个有理数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积不变。有理数的分解1质因数分解将一个正整数分解成若干个质数的乘积的形式。2整数分解将一个整数分解成若干个整数的乘积的形式。3有理数分解将一个有理数分解成若干个有理数的乘积的形式。有理数的乘方定义有理数的乘方表示将这个数自身连乘若干次，其中底数是指被乘的数，指数是指乘的次数。计算计算有理数的乘方，首先要确定底数和指数，然后将底数连乘指数次，最后得到结果。运算性质有理数的乘方运算具有以下性质:同底数幂的乘法:底数不变,指数相加;幂的乘方:底数不变,指数相乘;积的乘方:各个因数分别乘方,结果相乘.应用有理数的乘方在科学计算、金融投资、工程建设等领域有着广泛的应用。有理数的指数运算1幂的定义一个数的n次方表示将这个数连乘n次。2指数运算指数运算表示重复乘积，结果称为幂。3运算规则包括乘方运算、指数运算和根式运算。4应用场景在科学研究、工程计算和日常生活中有广泛应用。指数运算可以将一个数乘以它本身多次，因此可以使用它来简化计算。在数学、物理、化学等学科中，指数运算有广泛的应用。有理数的开方平方根一个数的平方根是指一个平方后等于这个数的数。例如，4的平方根是2，因为2的平方等于4。开平方求一个数的平方根的过程称为开平方。可以用计算器或手工计算方法来进行开平方运算。立方根一个数的立方根是指一个立方后等于这个数的数。例如，8的立方根是2，因为2的立方等于8。开立方求一个数的立方根的过程称为开立方。可以用计算器或手工计算方法来进行开立方运算。有理数与无理数的关系有理数有理数可以表示为两个整数的比值，例如1/2、3/4等。所有有理数都可以用有限小数或无限循环小数来表示。无理数无理数不能表示为两个整数的比值，例如圆周率π和2的平方根√2。无理数只能用无限不循环小数来表示。有理数应用专题一11.温度变化气温的升降可以用正负数表示，例如零下5度可以用-5℃表示。22.盈亏问题可以用正负数表示盈利或亏损，例如盈利100元可以用+100元表示。33.海拔高度可以用正负数表示海拔高度，例如海拔8848米可以用+8848米表示。44.方向与速度可以用正负数表示方向和速度，例如向东行驶50公里/小时可以用+50公里/小时表示。有理数应用专题二温度变化温度变化可以用有理数来表示。例如，气温从零下5度上升到零上10度，温度变化了15度，可以用+15来表示。海拔高度海拔高度可以用有理数来表示。例如，珠穆朗玛峰的海拔高度为8848.86米，可以用+8848.86来表示。而死海的海拔高度为-430.5米，可以用-430.5来表示。有理数应用专题三时间计算时间是生活中常见的概念，可以利用有理数来进行时间计算，例如时间差、时间段等。路线规划利用有理数可以计算距离、速度和时间，帮助规划旅行路线，选择最佳路线。金融投资金融投资中涉及到收益率、风险、利率等，利用有理数可以进行投资分析和决策。有理数应用专题四工程问题工程问题通常涉及多个变量和复杂的计算，例如计算工程进度、材料用量和成本等。金融问题例如计算利息、投资回报率、汇率变化等。速度和时间问题例如计算物体运动速度、距离、时间等。有理数应用专题五生活中的应用有理数在日常生活中有广泛应用，例如温度、海拔、银行存款等。例如，温度可以用正负数来表示，海拔可以用正负数来表示，银行存款可以用正负数来表示。科学技术的应用在科学技术领域，有理数也是不可或缺的，例如，温度、速度、压力等可以用正负数来表示。例如，温度可以用正负数来表示，速度可以用正负数来表示，压力可以用正负数来表示。金融领域的应用在金融领域，有理数应用也很广泛，例如，利润、亏损、投资回报率等都可以用正负数来表示。例如，利润可以用正数来表示，亏损可以用负数来表示，投资回报率可以用百分数来表示。工程领域的应用在工程领域，有理数也起着重要的作用，例如，建筑物的高度、桥梁的长度、隧道的高度等都可以用正负数来表示。例如，建筑物的高度可以用正数来表示，桥梁的长度可以用正数来表示，隧道的长度可以用正数来表示。有理数的综合应用1生活中的应用有理数在日常生活中应用广泛，如温度计、海拔、银行存款等，帮助我们理解和解决实际问题。2科学技术领域在物理、化学、工程等学科中，有理数用于描述力和运动、物质性质、工程设计等，推动着科技发展。3金融投资领域在金融市场中，有理数用于计算利率、收益率、风险评估等，帮助投资者做出明智的决策。期末复习期末考试是一个重要的学习阶段。通过复习，可以巩固课堂知识，提升学习能力，为未来学习打好基础。1回顾基础知识知识