中考数学二轮培优题型训练压轴题19以翻折旋转为背景的几何类比探究压轴问题（原卷版）

压轴题19以翻折旋转为背景的几何类比探究压轴问题例1．（2023•海安市一模）如图，菱形ABCD中，∠ABC＝60°，AB＝4，点E是线段BO上一点（不含端点），将△ABE沿AE翻折，AB的对应边AB′与BD相交于点F．（1）当∠BAE＝15°时，求EF的长；（2）若△ABF是等腰三角形，求AF的长；（3）若EF＝k•BE，求k的取值范围．​例2．（2023•铁西区模拟）在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，连接BD，CE．（1）如图①将△ADE绕点A旋转，在旋转过程中，线段BD与CE总保持相等的数量关系，请说明理由；（2）如图②，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝8，AD＝4，把△ADE绕点A旋转，点P为射线BD与CE的交点，当E在BA延长线上时，求线段CP的长度（只求图中的情况）；（3）在（2）的条件下，在旋转过程中，点P为射线BD与射线CE的交点，当四边形ADPE为正方形时，直接写出线段PB长度的值．例3．（2023•南阳一模）在综合与实践课上，老师组织同学们以“矩形的折叠”为主题开展数学活动．问题情景：在矩形ABCD中，点E为AD边上一动点，点F为BC边上一点，连接EF，将四边形CDEF沿EF折叠，点C、D分别落在点C'、D'处，设∠EFC＝α．（1）如图1，若∠EFC＝75°，AD＝AB，点F为BC的中点，延长D'C'交AB于点P．则PC'与PB的数量关系是，写出图中一个30°的角：；（2）如图2，若点F为BC的中点，AD＝2AB，45°＜α＜90°，延长D'C'交AB于点P．求PC'与PB的数量关系，并说明理由；（3）如图3，若AB＝3，AD＝6，BF＝1，连接C'E，当点E为AD的三等分点时，直接写出EFC'E例4．（2023•沈河区校级模拟）如图1，四边形ABCD中，∠BCD＝90°，AC＝AD，AF⊥CD于点F，交BD于点E，∠ABD＝2∠BDC．（1）判断线段AE与BC的关系，并说明理由；（2）若∠BDC＝30°，求∠ACD的度数；（3）如图2，在（2）的条件下，线段BD与AC交于点O，点G是△BCE内一点，∠CGE＝90°，GE＝3，将△CGE绕着点C逆时针旋转60°得△CMH，E点对应点为M，G点的对应点为H，且点O，G，H在一条直线上直接写出OG+OH的值．

1．（2023•襄都区校级一模）已知点M，N是直线l上自左向右的两点，且MN＝8，点P是MN的中点，点Q是直线l上一点（不与点M，N重合），直线m经过点Q，MA⊥直线m于点A，NB⊥直线m于点B，连接PA，PB．（1）如图1，当点Q在点P，N之间时，求证：PA＝PB；（2）如图2，当点Q在点N的右侧时，若PN＝2NQ，且∠AQM＝30°，求AB和AP的长度．2．（2023•齐齐哈尔一模）综合与实践．旋转是几何图形运动中的一种重要变换，通常与全等三角形等数学知识相结合来解决实际问题，某学校数学兴趣小组在研究三角形旋转的过程中，进行如下探究：如图1，△ABC和△DMN均为等腰直角三角形，∠BAC＝∠MDN＝90°，点D为BC中点，△DMN绕点D旋转，连接AM、CN．观察猜想：（1）在△DMN旋转过程中，AM与CN的数量关系为；实践发现：（2）当点M、N在△ABC内且C、M、N三点共线时，如图2，求证：CM−AM=2拓展延伸：（3）当点M、N在△ABC外且C、M、N三点共线时，如图3，探究AM、CM、DM之间的数量关系是；解决问题：（4）若△ABC中，AB=5，在△DMN旋转过程中，当AM=2且C、M、N三点共线时，DM＝3．（2023•长安区一模）问题提出：（1）如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AO是它的一条中线，则∠COA与∠B的数量关系是：∠COA＝∠B；（2）如图，在△ABC中，∠A＝60°，BC＝6，CG⊥AB于点G，BH⊥AC于点H，O为BC边上一点，且OG＝OB，连接GH，求GH的长；问题解决：（3）某次施工中，工人师傅需要画一个20°的角，但他手里只有一把带刻度的直角尺，工程监理给出了下面简易的作图方法：①画线段OB＝15cm，再过它的中点C作m⊥OB；②利用刻度尺在m上寻找点A，使得OA＝15cm，再过点A作l∥OB；③利用刻度尺过点O作射线，将射线与AC和l的交点分别记为点F、E，调节刻度尺使FE＝□cm时（“□”内的数字被汗渍侵蚀无法看清），则∠EOB＝20°；你认为监理给的方法可行吗？如果可行，请写出“□”内的数字，并说明理由；如果不可行，请给出可行的方案．4．（2023•南关区校级模拟）如图，在△ABC中，BA=10，BC＝3，tanB＝3，点D为边BC的中点．动点P从点B出发，沿折线BA﹣AC向点C运动，在BA、AC上的速度分别为每秒10个单位长度和每秒13个单位长度．连结AD、PD，设点P的运动时间为t秒（t（1）线段AC的长为；（2）用含t的代数式表示线段AP的长；（3）当∠APD为钝角时，求t的取值范围；（4）做点B关于直线PD的对称点B′，连结B′D，当B′D⊥BC时，直接写出t的值．5．（2023•盐田区二模）操作：如图1，点E在矩形ABCD边CD上，沿AE折叠，点D恰落在BC边上D'处．再将图1对折，使点E与点A重合，得多边形AC′FBNM（图2），点C的对应点为点C′．思考：若AB＝6，AD＝10．（1）求图1中CE的长；（2）求证：△AC'F≌△ECD'．探究：若用一张A4(AD=2AB)纸进行上述操作，判断C'F与6．（2023•白塔区校级一模）已知，在△ABC中，AB＝BC，∠ABC＝90°，点D在射线CB上，连接DA，将线段DA绕点D逆时针旋转90°后得到DE，过点E作EM⊥BC交直线BC于点M，连接AE，CE．（1）如图①，若点D在线段CB上（且不与点C、点B重合）时，求证：①MC＝BD；②∠ACE＝90°（2）延长AD与直线CE相交于点N，①当点D在线段CB上（且不与点C、点B重合）时，如图②所示，若AD平分∠BAC，CD=2ME，且AB=2+22②当点D在射线CB上（且不与点C、点B重合）时，若CENE=37．（2023•天宁区校级模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，2），点B在x轴正半轴上，点C在第一象限内．（1）如图1，OB＝4．①若△ABC是以AC为斜边的直角三角形，且tan∠BAC＝2．请在图（1）中利用圆规、无刻度直尺作出点C的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点C的坐标：；②若△ABC是等边三角形．求点C的坐标；（2）如图2，△ABC是等边三角形，点C在以P（33，6）为圆心，半径为r的圆上．若存在两个△ABC满足条件，求r的取值范围．8．（2023•长春一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，sinA=35．点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度向终点B匀速运动，过点P作PD⊥AB交折线AC﹣CB于点D，连结BD，将△DBP绕点D逆时针旋转90°得到△DEF．设点P的运动时间为（1）AC＝．（2）用含t的代数式表示线段PD的长．（3）当点E落在AB边上时，求t的值．（4）当△DEF与△ABC重叠部分为三角形时，直接写出t的取值范围．9．（2023•市中区一模）（1）①如图1，等腰△ABC（BC为底）与等腰△ADE（DE为底），∠BAC＝∠DAE，则BD与CE的数量关系为；②如图2，矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，则sin∠DAC＝；（2）如图3，在（1）②的条件下，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，使∠EAF＝∠DAC，连接CF．当AE＝32时，求CF的长度；（3）如图4，矩形ABCD中，若AB＝23，AD＝6，点E在线段CD上运动，将AE绕点A顺时针旋转得到AF，旋转角等于∠BAC，连结CF，AE的中点为G，CF的中点为H，若GH=13，直接写出DE10．（2023•武汉模拟）问题提出：如图，△ABC为等边三角形，D为CB的延长线上一点，∠DAE＝∠DEA，探究BD与EC的数量关系．问题探究：（1）现将问题特殊化，如图2，当E为AC的中点，DM⊥AC于点M，探究DB与EC的数量关系，说明理由；（2）再探究一般情形，如图1，（1）中的结论还成立吗？问题拓展：（3）如图3，若AE＝nEC，AB与DE交于点F，直接写出tan∠DFB的值（用含n的式子表示）．11．（2023•二道区校级模拟）如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝4，sinC=45．点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度向终点B匀速运动，点Q为线段BP的中点．点D与点C在PQ的同侧，且∠DPQ＝90°，∠DQP＝∠C．设点P的运动时间为（1）线段PQ的长为（用含t的代数式表示）；（2）当点D落在AC边上时，求PD的长；（3）当△DPQ与△ABC重叠部分是轴对称图形时，求t的值；（4）当点D到△ABC任意两边距离相等时，直接写出t的值．12．（2023•惠水县一模）如图，平行四边形ABCD中，AB＝7，BC＝10．点P是BC边上的一点，连接AP，以AP为对称轴作△ABP的轴对称图形△AQP．（1）动手操作当点Q正好落在AD边上时，在图①中画出△ABP的轴对称图形△AQP，并判断四边形ABPQ的形状是；（2）问题解决如图②，当点P是线段BC中点，且CQ＝2时，求AP的长；（3）拓展探究如图③，当点P、Q、D在同一直线上，且∠PQC＝∠PQA时，求PQ的长．13．（2023•青山湖区模拟）●问题发现如图1，△ABC和△DEF都是等边三角形，边BC和EF在同一直线上，O是边BC的中点，BE＝CF，连接AD，则下列结论正确的是．（填序号即可）①OE＝OF；②AD＝BE；③AD⊥BE；④整个图形是轴对称图形．●数学思考将图1中的△DEF绕着点O旋转，△ABC不动，连接AD和BE，如图2，则AD和BE具有怎样的数量和位置关系？请给出证明过程；●拓展应用已知AB＝8cm，DE＝4cm，在图1中的△DEF绕着点O旋转的过程中，当BE⊥DF时，求线段AD的长度．#ZZA014．（2023•苏州一模）如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D是AB上一动点，连接CD，以CD为边向CD的右侧作等边三角形CDE，连接AE．（1）【尝试初探】如图1，当点D在线段AB上运动时，AC，DE相交于点F，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．（2）【深入探究】如图2，当点D在线段AB上运动时，延长ED，交CB的延长线于点H，随着D点位置的变化，H点的位置随之发生变化，当AD＝2BD时，求tan∠DHC的值．（3）【拓展延伸】如图3，当点D在BA的延长线上运动时，CD，AE相交于点F，设△ADF的面积为S1，△CEF的面积为S2，当S2＝4S1时，求BD的长．15．（2023•海淀区模拟）在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，将线段CA绕点C逆时针旋转α角得到线段CD，连接AD，过点C作CE⊥AD于点E，连接BD交CA，CE于点F，G．（1）当α＝60°时，如图1，依题意补全图形，直接写出∠BGC的大小；（2）当α≠60°时，如图2，试判断线段BG与CE之间的数量关系，并证明你的结论；（3）若F为AC的中点，直接写出AD的长．16．（2023•郸城县一模）综合与实践：在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的折叠”为主题开展数学活动．在矩形ABCD中，E为AB边上一点，F为AD边上一点，连接CE、CF，分别将△BCE和△CDF沿CE、CF翻折，点D、B的对应点分别为点G、H，且C、H、G三点共线．（1）如图1，若F为AD边的中点，AB＝BC＝6，点G与点H重合，则∠ECF＝°，BE＝；（2）如图2，若F为AD的中点，CG平分∠ECF，AB=2+1，BC＝2，求∠ECF的度数及（3）AB＝5，AD＝3，若F为AD的三等分点，请直接写出BE的长．17．（2023•翼城县一模）综合与实践问题解决：（1）已知在△ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，四边形CDEF是正方形，H为BF所在的直线与AD的交点．如图1，当点F在AC上时，请判断BF和AD的关系，并说明理由．问题探究：（2）如图2，将正方形CDEF绕点C旋转，当点D在直线AC右侧时，求证：BH﹣AH=2CH问题拓展：（3）将正方形CDEF绕点C旋转一周，当∠ADC＝45°时，若AC＝3，CD＝1，请直接写出线段AH的长．18．（2023•临朐县一模）九年级一班同学在数学老师的指导下，以“等腰三角形的旋转”为主题，开展数学探究活动．操作探究：（1）如图1，△OAB为等腰三角形，OA＝OB，∠AOB＝60°，将△OAB绕点O旋转180°，得到△ODE，连接AE，F是AE的中点，连接OF，则∠BAE＝