中考数学二轮培优题型训练压轴题09二次函数与角度数量关系问题（原卷版）

压轴题09二次函数与角度数量关系问题例1．（2023·福建三明·统考模拟预测）如图，二次函数y=−x2+2ax+2a+1（a是常数，且a>0）的图象与x轴交A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴与线段BC交于点E，与x轴交于点F，连接AC(1)若a=1①求直线BC的表达式；②求证：∠ACO=∠CBD；(2)若二次函数y=−x2+2ax+2a+1（a是常数，且a>0）在第四象限的图象上，始终存在一点P，使得∠ACP=75°例2．（2023·辽宁鞍山·统考二模）如图，在平面直角坐标系xoy中，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于A,B两点，直线y=−x+3(1)求抛物线的解析式；(2)点D是抛物线上一动点，连接CD,AD，若ΔACD的面积为6，求点D(3)点E是抛物线上一动点，连接BE，若∠ABE=2∠ACB，直接写出点E的坐标．例3．（2023·山东济宁·统考一模）如图，抛物线y=ax2+bx+3与坐标轴分别交于A，B，C三点，其中A(−4,0)、B(1，0)(1)求抛物线的解析式；(2)连接BM，交线段AC于点D，求SΔADMS(3)连接CM，是否存在点M，使得∠ACO+2∠ACM=90∘，若存在，求例4．（2023·山东济南·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，直线y=12x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=−12x2(1)求抛物线的解析式．(2)D为直线AB上方抛物线上一动点．①连接DO交AB于点E，若DE:OE=3:4，求点D的坐标；②是否存在点D，使得∠DBA的度数恰好是∠BAC的2倍？如果存在，请求出点D的坐标；如果不存在，请说明理由．1．（2023春·广东汕头·九年级校考期中）如图1，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A−1,0、点B，与y轴交于点C，顶点D的横坐标为1，对称轴交x轴于点E，交(1)求顶点D的坐标；(2)如图2所示，过点C的直线交线段BD于点M，交抛物线于点N．①若直线CM将△BCD分成的两部分面积之比为2∶1，求点M的坐标；②若∠NCB=∠DBC，求点N的坐标．(3)如图1，若点P为线段OC上的一动点，请直接写出2AP+CP的最小值．2．（2023·上海·模拟预测）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A1，0和点(1)求该抛物线的表达式及点C的坐标；(2)点P为抛物线上一点，且在x轴下方，连接PA．当∠PAB=∠ACO时，求点P(3)在（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向平移，平移后点P的对应点为点Q，当AQ平分∠PAC时，求抛物线平移的距离．3．（2023·江苏苏州·模拟预测）如图，二次函数y=−14x2+12m−1x+m（m是常数，且m>0）的图象与x轴相交于点A、B（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C，动点P在对称轴l(1)求点A、B、C的坐标（用数字或含m的式子表示）；(2)当PA+PC的最小值等于45时，求m的值及此时点P(3)当m取（2）中的值时，若∠APC=2∠ABC，请直接写出点P的坐标．4．（2023·广东东莞·东莞市厚街海月学校校考模拟预测）如图（1），抛物线y=−x2−3ax−4a与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，且OB=OC=4，若点D是直线BC（不与B，C重合）上一动点，过点D作x(1)求抛物线的解析式．(2)连接CE，OD，当点D的横坐标为83时，求证：∠COD=∠DCE(3)如图（2），若点F是y轴上的动点，是否存在点F，使以点C，D，E，F为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由．5．（2023·山东济南·统考一模）如图，抛物线y=−12x2+bx+c与x轴交于A−1,0，B两点，与y(1)求抛物线的解析式．(2)点P是第三象限抛物线上一点，直线PB与y轴交于点D，△BCD的面积为12，求点P的坐标．(3)抛物线上是否存在点Q使得∠QCB=∠CBO？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．6．（2023·广东东莞·校考一模）如图，抛物线y=12x2+bx+c与x轴交于点A(−1,0)和点B，与y轴交于点C(0,−2)(1)求抛物线的解析式；(2)点P在第四象限的抛物线上，若△PBC的面积为4时，求点P(3)点M在抛物线上，当∠MAB=2∠ABC时，求点M的横坐标．7．（2023·广东珠海·珠海市紫荆中学校考一模）如图1，经过原点O的抛物线y=ax2+bx(a、b为常数，a≠0)与x轴相交于另一点A4，0．在第一象限内与直线(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线上是否存在点D，使得∠DOB=∠OBC？若存在，求出所有点D的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，点E是点B关于抛物线对称轴的对称点，点F是直线OB下方的抛物线上的动点，EF与直线OB交于点G．设△BFG和△BEG的面积分别为S1和S2，求8．（2023·湖南长沙·湘府中学校考一模）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A−1,0，B3,0(1)求抛物线解析式；(2)如图2，M是抛物线顶点，△CBM的外接圆与x轴的另一交点为D，与y轴的另一交点为E．①求tan∠CBE②若点N是第一象限内抛物线上的一个动点，在射线AN上是否存在点P，使得△ACP与△BCE相似？如果存在，请求出点P的坐标；(3)点Q是拋物线对称轴上一动点，若∠AQC为锐角，且tan∠AQC>1，请直接写出点Q9．（2023春·福建泉州·九年级福建省永春第一中学校考期中）在平面直角坐标系xOy中，抛物线L:y=ax2−2ax−3aa>0与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线y=ax+1与抛物线交于C，(1)如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；(2)在（1）的条件下，连接BD，点E在抛物线上，若∠DAE=∠ADB，求出点E的坐标；(3)将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线L1，抛物线L1的顶点为P，直线y=ax+1与抛物线L1交于M，N两点，连接MP，NP10．（2023·辽宁沈阳·校联考一模）如图，△ABC的三个顶点坐标分别为A−1，0，B0，32(1)求抛物线y=ax(2)点M是抛物线在第一象限上一点．①连接AM与BC相交于点E，即将△ABC分为两个三角形，若这两个三角形的面积之比为1：2时，则点M的坐标为_______，直线②将△ABO沿着x轴正方向平移，当点B与点M重合时停止，点A的对应点为A'，点O的对应点为点O'，求出△A(3)在抛物线y=ax2+bx+ca≠0的对称轴上取一点K，连接CK，使∠ACK+∠BAO=90°，延长CK交抛物线于点P，连接AK，动点Q从C点出发，沿射线CA以每秒1个单位长度的速度运动，是否存在某一时刻，使11．（2023春·山东威海·九年级统考阶段练习）抛物线y=−x2+bx+c与x轴交于点A−1，0，(1)求抛物线的解析式；(2)点D为第一象限内抛物线上的一动点，作DE⊥x轴于点E，交BC于点F，过点F作BC的垂线与抛物线的对称轴、x轴、y轴分别交于点G，N，H，设点D的横坐标为m．①当DF+HF取最大值时，求点F的坐标；②连接EG，若∠GEH=45°，求m的值．12．（2023·广东梅州·统考一模）已知二次函数y1=12x2+bx+c，关于x的方程12x2+bx+c=0有下列四个命题：①x=1是方程的根

②x=−3是方程的根

(1)求函数y1与y(2)如题图所示，已知y2与x轴相交于A、B两点，与y轴交于点C．点P是抛物线上位于直线BC下方一动点，当∠PCB=2∠ABC时，求点P13．（2023·山西·山西实验中学校考模拟预测）综合与探究如图1，经过原点O的抛物线y=−2x2+8x与x轴的另一个交点为A，直线l与抛物线交于A，B两点，已知点B(1)求出A，B两点的坐标及直线l的函数表达式．(2)如图2，若点M是直线l上方的抛物线上的一个动点，直线OM交直线l于点C，设点M的横坐标为m，求MCOC(3)如图3，连接OB，抛物线上是否存在一点M，使得∠MAO=∠BOA，若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．14．（2023·辽宁铁岭·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点D的坐标为1,4，并与x轴交于点A(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上一点（不与点D重合），直线PD将△ABD的面积分成3:1两部分，求点P的坐标；(3)点Q从点C出发，以每秒2个单位的速度在y轴运动，运动时间为t秒，当∠OQA=∠ABC−∠OCA时，求t的值．15．（2023·江苏徐州·统考一模）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=−x2+bx+c的图象与x轴分别交于点A−1,0、B3,0(1)求该二次函数的表达式；(2)若点P是该二次函数图象上的动点，且P在直线BC的上方，①如图1，当CB平分∠ACP时，求点P的坐标；②如图2，连接PA交BC于E点，设S△CPE=kS16．（2023春·湖南长沙·九年级校联考阶段练习）已知抛物线C1：y=−12x2，将抛物线C1向右平移(1)抛物线C2的解析式为：(2)如图1，抛物线C2与x轴正半轴交于点A，直线y=12x+b经过点A，交抛物线C2于另一点B.在抛物线上是否存在点P(3)如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C1上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C1均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行.若△MNE的面积为27，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与17．（2023·湖北黄冈·校考二模）如图，已知抛物线y=1mx+2x−m与x轴负半轴交于点A，与x轴正半轴交于点B，与y轴交于点C，点P抛物线上一动点（(1)求点A、C的坐标；(2)当S△ABC=6时，抛物线上是否存在点P（C点除外）使∠PAB=∠BAC？若存在，请求出点(3)当AP∥BC时，过点P作PQ⊥x轴于点Q，求BQ的长．18．（2023春·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，抛物线y=−x2+2x+3与x轴交于点A、B（A在B左侧），与y轴交于点C，顶点为D，对称轴为直线l，点P是抛物线上位于点B(1)求∠ABC的度数；(2)若∠PBC=∠ACO，求点P的坐标；(3)已知点Pp,n，若点Qq,n在抛物线上，且①仅用无刻度的直尺在图2中画出点Q；②若PQ=2t，求p219．（2023·山东青岛·统考一模）如图，抛物线y=−14x2+bx+c与x轴相交于点A(1)求抛物线的表达式．(2)D为线段AB上一点（不与点A，B重合），过点D作DE⊥x轴于点E，交抛物线于点F，若DE=DF，求点D的坐标．(3)P是第四象限内抛物线上一点，已知∠PBA=∠BAO