高考数学第二轮专题第17讲-概率与统计

高考第二轮专题数学新高考2第17讲概率与统计1.[2020·全国卷Ⅰ]甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛,约定赛制如下:累计负两场者被淘汰;比赛前抽签决定首先比赛的两人,另一人轮空;每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛,负者下一场轮空,直至有一人被淘汰;当一人被淘汰后,剩余的两人继续比赛,直至其中一人被淘汰,另一人最终获胜,比赛结束.经抽签,甲、乙首先比赛,丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12(1)求甲连胜四场的概率;(2)求需要进行第五场比赛的概率;(3)求丙最终获胜的概率.2.[2020·全国新高考Ⅰ卷]为加强环境保护,治理空气污染,环境监测部门对某市空气质量进行调研,随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度(单位:μg/m3),得下表:SO2PM2.5[0,50](50,150](150,475][0,35]32184(35,75]6812(75,115]3710(1)估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75,且SO2浓度不超过150”的概率;(2)根据所给数据,完成下面的2×2列联表:SO2PM2.5[0,150](150,475][0,75](75,115](3)根据(2)中的列联表,判断是否有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2浓度有关?附:K2=n(P(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.8283.[2020·全国卷Ⅱ]某沙漠地区经过治理,生态系统得到很大改善,野生动物数量有所增加.为调查该地区某种野生动物的数量,将其分成面积相近的200个地块,从这些地块中用简单随机抽样的方法抽取20个作为样区,调查得到样本数据(xi,yi)(i=1,2,…,20),其中xi和yi分别表示第i个样区的植物覆盖面积(单位:公顷)和这种野生动物的数量,并计算得∑i=120xi=60,∑i=120yi=1200,∑i=120(xi-x)2=80,∑i=120(yi-y)2=9000,∑i=1(1)求该地区这种野生动物数量的估计值(这种野生动物数量的估计值等于样区这种野生动物数量的平均数乘以地块数);(2)求样本(xi,yi)(i=1,2,…,20)的相关系数(精确到0.01);(3)根据现有统计资料,各地块间植物覆盖面积差异很大,为提高样本的代表性以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计,请给出一种你认为更合理的抽样方法,并说明理由.附:相关系数r=∑i=1n(xi-4.[2019·北京卷]改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付金额(元)支付方式(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和数学期望.(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.以互斥或相互独立事件为背景的概率1已知某单位甲、乙、丙三个部门的员工人数分别为24,16,16.现采用分层抽样的方法从中抽取7人进行睡眠时间的调查.(1)应从甲、乙、丙三个部门的员工中分别抽取多少人?(2)若抽取的7人中有4人睡眠不足,3人睡眠充足,现从这7人中随机抽取3人做进一步的身体检查.(i)用X表示抽取的3人中睡眠不足的员工人数,求随机变量X的分布列与数学期望;(ii)设事件A为“抽取的3人中,既有睡眠充足的员工,又有睡眠不足的员工”,求事件A发生的概率.【规律提炼】1.对于一些相对复杂的概率题一般可以采用两种方法处理:一是将所求事件的概率转化成多个互斥事件的概率和,这时要注意事件是否互斥,是否具有完备性;二是先求出此事件的对立事件的概率,即正难则反的意识.另外,对于多数考题,独立事件与互斥事件是混和使用的,一般情况下是将多个独立事件分解成若干个互斥事件求解.2.解题时要认真审题,找准关键字句,提高解题能力,知道“至少有一个发生”“至多有一个发生”“恰有一个发生”“都发生”“不都发生”等词语的意义以及它们的概率关系和计算公式.测题甲、乙两名射击运动员进行射击训练,已知甲命中10环、9环、8环的概率分别是13,13,13,乙命中10环、9环、8环的概率分别是18,14(1)求甲运动员两次射击命中环数之和恰好为18的概率;(2)现在甲、乙两人进行射击比赛,每1轮比赛两人各射击一次,环数高于对方为胜,环数低于对方为负,环数相等为平局,规定连续胜利2轮的选手为最终的胜者,比赛结束,求恰好进行3轮射击后比赛结束的概率.以二项分布为背景的期望与方差2一批用于手电筒的电池,每节电池的使用寿命X(单位:小时)服从正态分布N(36,4),考虑到生产成本,规定电池使用寿命在(30,38)内的是合格产品.(1)求一节电池是合格产品的概率(结果保留一位小数);(2)根据(1)中的计算结果,若质检部门检查4节电池,记其中合格产品的数量为Y,求随机变量Y的分布列、数学期望及方差.附:若随机变量X服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973.【规律提炼】若X~B(n,p),则E(X)=np,D(X)=np(1-p),这两个式子可以直接套用.对于其他类型随机变量的期望与方差的计算,首先写出随机变量的可能取值,再计算取每一个值的概率,列出分布列,然后用期望与方差公式求解.测题互联网正在改变着人们的生活方式,在日常消费中手机支付正逐渐取代现金支付从而成为人们首选的支付方式.某学生在暑期社会活动中针对人们生活中的支付方式进行了调查研究,采用问卷调查的方式对100名18岁以上的消费者进行研究,发现共有60人以手机支付作为首选支付方式,在仍以现金支付作为首选支付方式的人中,45岁及以上的有30人.(1)从以现金支付作为首选支付方式的40人中任意抽取3人,求这3人中至少有1人的年龄低于45岁的概率.(2)某商家为了鼓励人们使用手机支付,做出以下促销活动:凡是用手机支付的消费者,商品一律打八折.已知某商品原价为50元,以上述调查中支付方式的频率作为消费者购买该商品时支付方式的概率,设消费者的支付方式都是相互独立的,求销售10件该商品的销售额的数学期望.统计与统计案例的交汇问题3某病毒研究所为了研究温度对某种病毒的影响,在温度t(单位:℃)逐渐升高时,连续测20次病毒的活性指标值y,将所得数据处理后得到如图M6-17-2所示的散点图,将第1~14组数据定为A组,第15~20组数据定为B组.(1)某研究员准备直接根据这20组数据用线性回归模型拟合y与t的关系,你认为是否合理?请从统计学的角度简要说明理由.(2)若根据A组数据得到线性回归方程y=2.1+0.8t,根据B组数据得到线性回归方程y=90.6-1.3t,以活性指标值大于5为标准,估计这种病毒适宜生存的温度范围(结果精确到0.1).(3)根据所得数据计算可知:A组数据的活性指标值的平均数yA=114∑i=114图M6-17-24为响应“文化强国建设”的号召,并增加学生们对古典文学的学习兴趣,某中学计划建设一个古典文学熏陶室.为了解学生的阅读需求,随机抽取200名学生做统计调查.统计显示,男生喜欢阅读古典文学的有64人,不喜欢的有56人;女生喜欢阅读古典文学的有36人,不喜欢的有44人.(1)能否在犯错误的概率不超过0.25的前提下认为是否喜欢阅读古典文学与性别有关?(2)为引导学生积极参与阅读古典文学书籍,语文教研组计划牵头举办古典文学阅读交流会.经过综合考虑与对比,语文教研组已经从这200人中筛选出了5名男生代表和4名女生代表,其中有3名男生代表和2名女生代表喜欢古典文学.现从这9名代表中任选3名男生代表和2名女生代表参加交流会,记ξ为参加交流会的5人中喜欢古典文学的人数,求ξ的分布列及数学期望.附:K2=n(ad-参考数据:P(K2≥k0)0.500.400.250.150.100.05k00.4550.7081.3232.0722.7063.841【规律提炼】变量间的线性相关性与回归分析问题的解题模板为:①断(利用散点图或相关系数判断两个变量是否具有线性相关关系);②算(计算相关量,如x,y,∑i=1nxiyi等);③套(套用公式计算出a,b).独立性检验问题的解题模板为:①列表,提出假设;②计算,即利用公式计算随机变量K2的观测值k;测题1.为了推广中国古诗词,《中国诗词大会》已经进行到了第六季,中央电视台为了解该节目的收视情况,抽查北方与南方各5个城市,得到观看该节目的人数(单位:千人)的茎叶图,如图M6-17-3所示,但其中一个数字被污损.(1)若将被污损的数字视为0~9这10个数字中的一个,求北方观众平均人数超过南方观众平均人数的概率;(2)该节目的播出极大激发了观众学习诗词的热情,现在随机统计了4位观众每周学习诗词的平均时间y(单位:小时)与年龄x(单位:岁)的数据,并制作了对照表(如下表所示):x20304050y33.53.54由表中数据分析知x与y呈线性相关关系,试求线性回归方程,并估计年龄为60岁的观众每周学习诗词的平均时间.参考公式:b=∑图M6-17-32.为增强学生的法治观念,营造“学宪法、知宪法、守宪法”的良好校园氛围,某学校开展了“宪法小卫士”活动,并组织全校学生进行法律知识竞赛.现从全校学生中随机抽取50人,统计他们的竞赛成绩(单位:分,满分为100分),并得到如下表所示的频数分布表.分数段[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]人数5151512m(1)求频数分布表中m的值,并估计这50名学生竞赛成绩的中位数(结果精确到0.1).(2)将竞赛成绩在[70,100]内定义为“合格”,竞赛成绩在[0,70)内定义为“不合格”,请将下面2×2列联表补充完整.合格不合格总计高一新生12非高一新生6总计是否有95%的把握认为“法律知识竞赛成绩是否合格与是否为高一新生”有关?说明你的理由.附:P(K2≥k0)0.1000.0500.0100.001k02.7063.8416.63510.828K2=n(ad正态分布5国庆70周年阅兵式上的女兵们是一道靓丽的风景线,每一名女兵都是经过层层筛选才最终入选受阅方队,筛选标准非常严格,例如要求女兵身高(单位:cm)在区间[165,175]内.现从全体受阅女兵中随机抽取200人,对她们的身高进行统计,将所得数据分为[165,167),[167,169),[169,171),[171,173),[173,175]五组,得到如图M6-17-4所示的频率分布直方图,其中第三组的频数为75,最后三组的频率之和为0.7.(1)请根据频率分布直方图估计样本的平均数x和方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表).(2)根据样本数据,可认为受阅女兵的身高X近似服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本的平均数x,σ2近似为样本的方差s2.(i)求P(167.86<X<174.28);(ii)若从全体受阅女兵中随机抽取10人,求这10人中至少有1人的身高不小于174.28cm的概率.参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,115≈10.7,0.954510≈0.63,0.977259≈0.81,0.9772510≈0.79.图M6-17-4【规律提炼】求正态总体X在某区间内取值的概率的基本方法:(1)利用3σ原则,注意把给出的区间或范围与正态变量进行联系,确定属于(μ-σ,μ+σ),(μ-2σ,μ+2σ),(μ-3σ,μ+3σ)中的哪一个,P(μ-σ<X<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<X<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<X<μ+3σ)≈0.9973,这三个概率值已定,可把所求的问题转化到这三个区间内解决.(2)充分利用正态曲线的对称性和正态曲线与x轴之间的面积为1的性质.测题受新冠肺炎疫情影响,2020年春节过后,广大市民积极响应国家号召居家防疫,工厂、企业延迟开工,大、中、小学延迟开学,“网上办公”“网上教学”“网上购物”等成为人们的生活常态.为了解用户流量需求,提升服务水平,某市移动公司面向用户进行了一次使用手机流量上网时间的问卷调查,通过随机抽样,得到100人每天使用手机流量上网时间Z(单位:分钟)的数据,并得到如下频数分布表:时间[20,40)[40,60)[60,80)[80,100)[100,120)[120,140)[140,160]频数510203015128(1)由频数分布表可以认为,用户每天使用手机流量上网的时间Z服从正态分布N(μ,958),μ近似为这100人每天使用手机流量上网时间的平均值(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表),求P(60.6<Z<153.6).(2)记X表示全市100万用户中每天使用手机流量上网时间不低于60.6分钟的人数,在(1)的条件下,求E(X).(3)在(1)的条件下,移动公司在疫情防控期间针对用户制定如下奖励方案:①每天使用手机流量上网时间不低于μ的用户每天可2次获赠随机流量,低于μ的用户每天可1次获赠随机流量;②每次获赠的随机流量和对应的概率如下表所示.获赠的随机流量(单位:M)100200设某用户获赠的随机流量为ξM,求ξ的分布列及数学期望.附:①958≈31;②若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ<Z<μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ<Z<μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ<Z<μ+3σ)≈0.9973.概率与其他知识的综合6为满足人们的阅读需求,图书馆设立了无人值守的自助阅读区,提倡人们在阅读后将图书分类放回相应区域.现随机抽取了某阅读区500本图书的分类归还情况,数据统计如下.文学类专栏科普类专栏其他类专栏文学类图书1004010科普类图书3020030其他图书201060(1)根据统计数据求文学类图书分类正确的概率p1;(2)根据统计数据求图书分类错误的概率p2;(3)假设文学类图书在“文学类专栏”“科普类专栏”“其他类专栏”的本数分别为a,b,c,其中a>0,b≥0,a+b=100,c=50,当a,b,c的方差s2最大时,求a,b的值,并求此时方差s2的值.