高考数学（文）高分计划一轮狂刷练第5章数列5-2a

[基础送分提速狂刷练]一、选择题1．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝6，S3＝12，则a10等于()A．18B．20C．16D．22答案B解析由题意得S3＝3a2＝12，解得a2＝4，所以公差d＝a3－a2＝2，a10＝a3＋7d＝20.故选B.2．(2018·武汉调研)若等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足S4＝4，S6＝12，则S2＝()A．－1B．0C．1D．3答案B解析{an}为等差数列，则S2，S4－S2，S6－S4也是等差数列，所以2(4－S2)＝S2＋(12－4)⇒S2＝0.故选B.3．《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布．则该女最后一天织多少尺布？()A．18B．20C．21D．25答案C解析织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{an}，a1＝5，前30项和为390，于是eq\f(305＋a30,2)＝390，解得a30＝21，即该织女最后一天织21尺布．选C.4．(2018·郑州质检)已知等差数列{an}的前10项和为30，a6＝8，则a100＝()A．100B．958C．948D．18答案C解析设等差数列{an}的公差为d，由已知得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＋5d＝8，,10a1＋\f(10×9,2)d＝30，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝－42，,d＝10，))所以a100＝－42＋99×10＝948.故选C.5．(2018·河南测试)等差数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(Sn,an)＝eq\f(n＋1,2)，则下列结论中正确的是()A.eq\f(a2,a3)＝2B.eq\f(a2,a3)＝eq\f(3,2)C.eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,3)D.eq\f(a2,a3)＝eq\f(1,3)答案C解析由已知可得Sn＝eq\f(n＋1,2)an，则Sn－1＝eq\f(n,2)an－1(n≥2)，两式相减可得an＝eq\f(n＋1,2)an－eq\f(n,2)an－1(n≥2)，化简得eq\f(an－1,an)＝eq\f(n－1,n)(n≥2)，当n＝3时，可得eq\f(a2,a3)＝eq\f(2,3).故选C.6．(2018·石家庄一模)已知函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，且函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，若数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，则数列{an}的前100项的和为()A．－200B．－100C．0D．－50答案B解析因为函数y＝f(x－2)的图象关于直线x＝1对称，则函数f(x)的图象关于直线x＝－1对称．又函数f(x)在(－1，＋∞)上单调，数列{an}是公差不为0的等差数列，且f(a50)＝f(a51)，所以a50＋a51＝－2，所以S100＝eq\f(100a1＋a100,2)＝50(a50＋a51)＝－100.故选B.7．(2018·湖南湘中名校联考)若{an}是等差数列，首项a1>0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，则使前n项和Sn>0成立的最大正整数n是()A．2016B．2017C．4032D．4033答案C解析因为a1＞0，a2016＋a2017＞0，a2016·a2017＜0，所以d＜0，a2016＞0，a2017＜0，所以S4032＝eq\f(4032a1＋a4032,2)＝eq\f(4032a2016＋a2017,2)＞0，S4033＝eq\f(4033a1＋a4033,2)＝4033a2017＜0，所以使前n项和Sn＞0成立的最大正整数n是4032.故选C.8．(2017·湖南长沙四县3月联考)中国历法推测遵循以测为辅、以算为主的原则．例如《周髀算经》和《易经》里对二十四节气的晷(ɡuǐ)影长的记录中，冬至和夏至的晷影长是实测得到的，其他节气的晷影长则是按照等差数列的规律计算得出的．下表为《周髀算经》对二十四节气晷影长的记录，其中115.1eq\f(4,6)寸表示115寸1eq\f(4,6)分(1寸＝10分)．已知《易经》中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么《易经》中所记录的惊蛰的晷影长应为()A．72.4寸B．81.4寸C．82.0寸D．91.6寸答案C解析设《易经》中记录的冬至、小寒、大寒、立春、……、夏至的晷影长依次为a1，a2，…，a13，由题意知它们构成等差数列，设公差为d，由a1＝130.0,a13＝14.8，得130.0＋12d＝14.8，解得d＝－9.6.∴a6＝130.0－9.6×5＝82.0.∴《易经》中所记录的惊蛰的晷影长是82.0寸．故选C.9．(2017·安徽安师大附中、马鞍山二中联考)已知数列{an}是首项为a，公差为1的等差数列，数列{bn}满足bn＝eq\f(1＋an,an).若对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，则实数a的取值范围是()A．(－8，－7) B．[－8，－7)C．(－8，－7] D．[－8，－7]答案A解析因为{an}是首项为a，公差为1的等差数列，所以an＝n＋a－1，因为bn＝eq\f(1＋an,an)，又对任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，所以1＋eq\f(1,an)≥1＋eq\f(1,a8)，即eq\f(1,an)≥eq\f(1,a8)对任意的n∈N*恒成立，因为数列{an}是公差为1的等差数列，所以{an}是单调递增的数列，所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a8＜0，,a9＞0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(8＋a－1＜0，,9＋a－1＞0，))解得－8＜a＜－7.故选A.10．(2018·云南二检)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，如果当n＝m时，Sn最小，那么m的值为()A．10B．9C．5D．4答案C解析设等差数列{an}的公差为d.由已知得eq\f(11a1＋a11,2)＝22，所以11a6＝22，解得a6＝2，所以d＝eq\f(a6－a4,2)＝7，所以an＝a4＋(n－4)d＝7n－40，所以数列{an}是单调递增数列，又因为a5＝－5<0，a6＝2>0，所以当n＝5时，Sn取得最小值，故选C.二、填空题11．(2014·北京高考)若等差数列{an}满足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，则当n＝________时，{an}的前n项和最大．答案8解析根据题意知a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0.又a8＋a9＝a7＋a10<0，∴a9<0，∴当n＝8时，{an}的前n项和最大．12．(2018·金版原创)已知函数f(x)＝cosx，x∈(0,2π)有两个不同的零点x1，x2，且方程f(x)＝m有两个不同的实根x3，x4，若把这四个数按从小到大排列构成等差数列，则实数m＝________.答案－eq\f(\r(3),2)解析若m>0，则公差d＝eq\f(3π,2)－eq\f(π,2)＝π，显然不成立，所以m<0，则公差d＝eq\f(\f(3π,2)－\f(π,2),3)＝eq\f(π,3).所以m＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋\f(π,3)))＝－eq\f(\r(3),2).13．(2018·青岛模拟)设数列{an}的前n项和为Sn，若eq\f(Sn,S2n)为常数，则称数列{an}为“吉祥数列”．已知等差数列{bn}的首项为1，公差不为0，若数列{bn}为“吉祥数列”，则数列{bn}的通项公式为________．答案bn＝2n－1解析设等差数列{bn}的公差为d(d≠0)，eq\f(Sn,S2n)＝k，因为b1＝1，则n＋eq\f(1,2)n(n－1)d＝keq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2n＋\f(1,2)×2n2n－1d))，即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d，整理得(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0.因为对任意的正整数n上式均成立，所以(4k－1)d＝0，(2k－1)(2－d)＝0，解得d＝2，k＝eq\f(1,4).所以数列{bn}的通项公式为bn＝2n－1.14．(2018·安徽安庆模拟)已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且an＝eq\r(S2n－1)(n∈N*)．若不等式eq\f(λ,an)≤eq\f(n＋8,n)对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为________．答案9解析an＝eq\r(S2n－1)⇒an＝eq\r(\f(2n－1a1＋a2n－1,2))＝eq\r(2n－1an)⇒aeq\o\al(2,n)＝(2n－1)an⇒an＝2n－1，n∈N*.因为eq\f(λ,an)≤eq\f(n＋8,n)，所以λ≤eq\f(n＋82n－1,n)，即λ≤2n－eq\f(8,n)＋15.易知y＝2x－eq\f(8,x)(x>0)为增函数，所以2n－eq\f(8,n)＋15≥2×1－eq\f(8,1)＋15＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9.三、解答题15．(2017·中卫一模)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且A，B，C成等差数列．(1)若a＝1，b＝eq\r(3)，求sinC；(2)若a，b，c成等差数列，试判断△ABC的形状．解(1)由A＋B＋C＝π，2B＝A＋C，得B＝eq\f(π,3).由eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(1,sinA)＝eq\f(\r(3),\f(\r(3),2))，得sinA＝eq\f(1,2)，又0＜A＜B，∴A＝eq\f(π,6)，则C＝π－eq\f(π,3)－eq\f(π,6)＝eq\f(π,2).∴sinC＝1.(2)由2b＝a＋c，得4b2＝a2＋2ac＋c2，又b2＝a2＋c2－ac，得4a2＋4c2－4ac＝a2＋2ac＋c2，得3(a－c)2＝0，∴a＝c，∴A＝C，又A＋C＝eq\f(2π,3)，∴A＝C＝B＝eq\f(π,3)，∴△ABC是等边三角形．16．(2018·郑州模拟)数列{an}满足a1＝eq\f(1,2)，an＋1＝eq\f(1,2－an)(n∈N*)．(1)求证：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))为等差数列，并求出{an}的通项公式；(2)设bn＝eq\f(1,an)－1，数列{bn}的前n项和为Bn，对任意n≥2都有B3n－Bn>eq\f(m,20)成立，求正整数m的最大值．解(1)证明：因为an＋1＝eq\f(1,2－an)，所以eq\f(1,an＋1－1)＝eq\f(1,\f(1,2－an)－1)＝eq\f(2－an,an－1)＝－1＋eq\f(1,an－1)，即eq\f(1,an＋1－1)－eq\f(1,an－1)＝－1，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an－1)))是首项为－2，公差为－1的等差数列，所以eq\f(1,an－1)＝－2＋(n－1)×(－1)＝－(n＋1)，所以an＝eq\f(n,n＋1).(2)bn＝eq\f(n＋1,n)－1＝eq\f(1,n)，令Cn＝B3n－Bn＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,3n)，所以Cn＋1－Cn＝eq\f(1,n＋2)＋eq\f(1,n＋3)＋…＋eq\f(1,3n＋1)－eq\f(1,n＋1)－…－eq\f(1,3n)＝－eq\f(1,n＋1