自动控制原理第10-1讲

第4章根轨迹分析法自动控制原理机电工程学院俞敏自动控制原理24.1

概述4.2根轨迹的概念4.3根轨迹的绘制4.4广义根轨迹的绘制4.5控制系统的根轨迹分析

第4章根轨迹分析法课前复习绘制根轨迹的10个规则自动控制原理3自动控制原理44.3.2绘制根轨迹举例

例1已知系统开环传递函数为，绘制根轨迹。解

1）起点在p1=-1，p2=-2处，终点在z1=-3及无穷远处。

2）根轨迹有两条分支，且对称于实轴。

3）实轴上的根轨迹分布在-1～-2之间和-3～-∞之间。

4）因n=2，m=1，渐近线为整个负实轴，沿实轴趋于-∞。

5）由，可解出

s1=-1.586(分离点),K*=0.172;s2=-4.414(会合点),K*=5.818

绘出根轨迹如图自动控制原理5证明：根轨迹图是一个圆证如果用s=a+jb代入特征方程1+G(s)H(s)=0中，并经整理可得到以下方程式：显然，这是个圆的方程式，其圆心的坐标为(-3，0)，半径为。推广到一般形式：

z1大于p1和p2（即开环零点位于两开环极点之左），则系统根轨迹在复平面上为一个圆，其圆心在-z1，半径为：

例1（续）

自动控制原理6

开环传递函数为，求该系统

的闭环根轨迹。例2解根据根轨迹绘制规则，计算步骤为

1）有四条根轨迹，分别起始于0，-3，-1±j；一条根轨迹终止于-2，另三条趋于无穷远处。

2）实轴上的根轨迹分布在0～-2之间及-3～-∞之间。

3）渐近线有3条数，渐近线的倾角为±60°，-180°，渐近线的交点为。

4）由于实轴上为零点与极点间的根轨迹，故没有分离点及会合点。自动控制原理75）求根轨迹与虚轴的交点。令s=代入特征方程，解后得，此时K*=7。

6）求复数极点的出射角。极点-p2的出射角为-22.6°

极点-p3的出射角为+22.6°

完整根轨迹如图：例2（续）自动控制原理8

系统的开环传递函数为，绘制系统的根轨迹如图：

例3(p116)自动控制原理94.4广义根轨迹的绘制

以非开环根迹增益为可变参数的根轨迹，或非负反馈系统的根轨迹统称为广义根轨迹。4.4.1参变量根轨迹的绘制

以非开环根迹增益为可变参数绘制的根轨迹，称作参变量根轨迹，也称为参数根轨迹。参变量根轨迹可以用来分析系统中的各种参数。规则：与常规根轨迹绘制方法完全相同。关键点：将控制系统的特征方程进行等效变换，求出等效开环传递函数。自动控制原理10

设系统开环传递函数为，系统闭环特征方程为，用不含待分析参数的各项除方程两端，得式中的、都是复变量s的多项式，为待分析的参数，与特征方程比较，得等效开环传递函数

4.4.1参变量根轨迹的绘制自动控制原理11绘制以Kt为参变量的根轨迹(教材P119)

系统开环传递函数为

特征方程为以特征方程中不含Kt的项除方程式各项，得

所以，等效开环传递函数为自动控制原理121）n=2，m=1，根轨迹有两条分支，分别起始于极点

-1+j3和-1-j3，终止于零点及无穷远点。

2）实轴上的根轨迹分布在0～-∞之间。

3）求出会合点s1=-3.12（s2=+3.12舍去），对应幅值为

所以Kt=0.43。

4）复数极点-1+j3的出射角绘制以Kt为参变量的根轨迹（续）

自动控制原理134.4.2正反馈系统根轨迹的绘制

对于具有开环传递函数为的正反馈系统，其闭环特征方程为，正反馈系统的根轨迹方程为幅值条件幅角条件思考：与负反馈根轨迹绘制有何不同？在正反馈系统根轨迹的绘制规则中，凡是与幅角条件有关的规则都要作相应的修改。1）实轴上根轨迹的确定：右边开环零、极点的个数为偶数。2）根轨迹的渐近线：在实轴上交点坐标和夹角为3）根轨迹的出射角和入射角自动控制原理14

设负反馈控制系统的开环传递函数为(正反馈的判别：P121)将其变换为，相应的特征方程变为与正反馈系统根轨迹方程的形式相同。1）实轴上根轨迹：[0,-2]、[1,2）渐近线与正实轴重合3）分离点s=2.84）出射角5）与虚轴的交点为

K*=1.3。正反馈系统根轨迹绘制举例自动控制原理154.5控制系统的根轨迹分析

系统开环零、极点的分布

根轨迹图分析系统的稳定性，闭环极点分布位置系统性能随之发生变化的规律

自动控制原理164.5.1性能指标在s平面上的表示

当0<

<1时，闭环特征根为（1）相对百分比超调量是阻尼比

的函数，且当

越小，百分比超调量σ%越大。(P68)

（2）调节时间只取决于特征根的实部。当

wn增加时，调节时间相应变短；反之，调节时间相应就长。如果对调节时间有限制的话，就要使特征根与虚轴保持一定的距离。(P69)（3）振荡频率自动控制原理17

s平面上的三种规律等

线等时线等频率线

在通过原点射线上的特征根，这些特征根都对应于百分比超调量相同的过程；在垂直于实轴直线上的特征根，它们对应有基本相同的调节时间；在平行于实轴直线上的特征根，它们对应振荡频率相等的过程。4.5.1性能指标在s平面上的表示(续)自动控制原理18

增加开环零极点的个数或改变开环零、极点在s平面上的位置，可改变根轨迹的形状，也可影响控制系统的性能。(1)增加开环零点对根轨迹的影响考虑渐近线在增加一个开环零点-z0前后的变化设-z0

=-3、-2和0，原开环传递函数为

无零点增加-z0=-3增加-z0=-2增加-z0=0

使根轨迹向s左半平面弯曲或移动，使系统的稳定性提高(P124)4.5.2开环零极点对根轨迹的影响自动控制原理19（2）增加开环极点对根轨迹的影响考虑渐近线在增加一个开环极点-p0前后的变化：渐近线的重心将沿实轴向右移动。且-p0数值愈大，向右移动的距离也愈大。(P126)因此，渐近线将带动根轨迹向右半s平面弯曲或移动，从而可能引起系统性能恶化。4.5.2开环零极点对根轨迹的影响(续)自动控制原理20

考虑如下三阶系统开环传递函数增加一个开环极点分别取零点-p0

=-4、-1和0，

不增极点增极点-p0＝-4增极点-p0=-1增极点-p0＝0

增加开环极点，使得根轨迹向右弯曲或移动，相对稳定性变差。当极点值愈接近原点，系统的性能变得愈差。4.5.2开环零极点对根轨迹的影响(续)自动控制原理214.5.3闭环零极点分布与系统性能关系

1.系统瞬态响应表达式典型控制系统闭环传函单位阶跃输入时的瞬态响应为