专题01 空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)解析版

专题01空间几何体的外接球与内切球问题(典型题型归类训练)目录TOC\o"1-2"\h\u一、必备秘籍 1二、典型题型 3题型一：内切球等体积法 3题型二：内切球独立截面法 8题型三：外接球公式法 12题型四：外接球补型法 13题型五：外接球单面定球心法 16题型六：外接球双面定球心法 20三、专项训练 24一、必备秘籍1．球与多面体的接、切定义1；若一个多面体的各顶点都在一个球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是多面体的外接球。定义2；若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是多面体的内切球。类型一球的内切问题（等体积法）例如：在四棱锥中，内切球为球，求球半径.方法如下：即：，可求出.类型二球的外接问题1、公式法正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点2、补形法（补长方体或正方体）①墙角模型（三条线两个垂直）题设：三条棱两两垂直（重点考察三视图）②对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（，，）3、单面定球心法（定+算）步骤：①定一个面外接圆圆心：选中一个面如图：在三棱锥中，选中底面，确定其外接圆圆心（正三角形外心就是中心，直角三角形外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心）；②过外心做（找）底面的垂线，如图中面,则球心一定在直线（注意不一定在线段上）上；③计算求半径:在直线上任取一点如图：则，利用公式可计算出球半径.4、双面定球心法（两次单面定球心）如图：在三棱锥中：①选定底面，定外接圆圆心②选定面，定外接圆圆心③分别过做面的垂线，和做面的垂线，两垂线交点即为外接球球心.二、典型题型题型一：内切球等体积法1．（22·23·全国·专题练习）正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：3 B．1： C． D．【答案】D【详解】三棱锥扩展为长方体（本题实质上是正方体），它的对角线的长度，就是球的直径，设侧棱长为a，则它的对角线的长度为a，外接球的半径为，再设正三棱锥内切球的半径为r，正三棱锥底面边长为，设是内切球球心，则到棱锥四个面的距离都等于，根据三棱锥的体积的两种求法，得，，∴该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为．故选：D．2．（22·23下·朔州·阶段练习）正四面体的内切球、棱切球(与各条棱均相切的球)及外接球的半径之比为．【答案】【详解】设正四面体的棱长为1，外接球和内切球半径分别为，如图所示，为的中点，，

由正四面体的性质可知线段为正四面体的高，在正中，，同理，在正中，，则，，所以，则，由正四面体的性质知，三个球的球心重合，且球心在线段上，则，，所以，故，而棱切球与棱相切，故其半径为，则正四面体的内切球、棱切球及外接球的半径之比为.故答案为：.3．（23·24上·萍乡·期末）已知球O是棱长为1的正四面体的内切球，AB为球O的一条直径，点P为正四面体表面上的一个动点，则的取值范围为.【答案】【详解】如图所示，在边长为1的正四面体中，设四面体内切球球心为，内切球半径为，取中点为，则,,所以，因为，所以，所以，因为点P为正四面体表面上的一个动点，所以，即，因为,因为为球O的一条直径，所以,所以，因为，所以，所以，故答案为:.4．（22·23上·张家口·期中）球O为正四面体的内切球，，是球O的直径，点M在正四面体的表面运动，则的最大值为．【答案】/【详解】如图，为中点，为中心，平面，设球O的半径为r，，正四面体中，易求得所以正四面体的高为，所以根据体积公式得：，解得，因为点M在正四面体的表面运动，所以，所以．故答案为：．5．（22·23上·河南·阶段练习）已知正四面体的棱长为12，球内切于正四面体是球上关于球心对称的两个点，则的最大值为.【答案】【详解】设点在平面内的射影为，点在平面内的射影为，点在平面内的射影为，如图1.因为正四面体的棱长为12，所以.设球的半径为.因为，所以，则.，当且仅当时，等号成立.过点作，垂足为，过点作，垂足为，过点作，垂足为，如图2.圆的半径为是关于点对称的两个点，且..，当且仅当直线与圆相切时，等号成立.，当且仅当时，等号成立.因为以上取等条件可以同时成立，所以.6．（22·23上·扬州·期中）中国古代数学名著《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有一“阳马”的底面是边长为3的正方形，垂直于底面的侧棱长为4，则该“阳马”的内切球表面积为，内切球的球心和外接球的球心之间的距离为．【答案】/【详解】如图，为正方形，设垂直于平面，由题，，因为，，所以平面ADP，所以，为直角三角形，由题，，四棱锥表面积，体积，设内切球半径为r，则，得，内切球表面积为；以DA，DC，DP分别为x，y，z轴建立如图空间直角坐标系，因为内切球半径，所以内切球球心，因为该四棱锥可以补全为棱长分别为3，3，4的长方体，所以外接球球心，两点间距离.故答案为：；题型二：内切球独立截面法1．（23·24上·淮安·开学考试）球是圆锥的内切球，若球的半径为，则圆锥体积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】如下图所示：

取圆锥的轴截面，设，则，则，则，所以，该圆锥的体积为，令，令，其中，则，当时，，此时函数单调递减，当时，，此时函数单调递增，所以，当时，取最小值，即.故选：C.2．（22·23下·咸宁·期末）已知球内切于圆台（即球与该圆台的上、下底面以及侧面均相切），且圆台的上、下底面半径，则圆台的体积与球的体积之比为（

）

A． B． C．2 D．【答案】B【详解】如图为该几何体的轴截面，其中圆是等腰梯形的内切圆，设圆与梯形的腰相切于点，与上、下底的分别切于点，，设球的半径为，圆台上下底面的半径为，.注意到与均为角平分线，因此，从而，故.设台体体积为，球体体积为，则.故选：B

3．（22·23·全国·专题练习）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的半径为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥体积与其内切球体积比为.【答案】2:1/2【详解】设圆锥的高为，底面半径为，则当圆锥体积最小时，如图，由可得：，即，进而，圆锥的体积．当且仅当，即时取等号．该圆锥体积的最小值为．内切球体积为．该圆锥体积与其内切球体积比．故答案为：2：1

4．（23·24上·佛山·开学考试）若圆锥的内切球（球面与圆锥的侧面以及底面都相切）的体积为，当该圆锥体积取最小值时，该圆锥的表面积为．【答案】.【详解】设圆锥的内切球的半径为，可得，解得，再设圆锥的底面圆的半径为，高为，如图所示，由，可得，即，解得，所以圆锥的体积，当且仅当时，即时，等号成立，此时，母线长为，此时圆锥的表面积为.故答案为：.

5．（22·23下·成都·阶段练习）已知圆锥的底面半径为2，高为，则该圆锥的内切球表面积为.【答案】【详解】如图，作出该圆锥与其内切球的轴截面图形，

设该内切球的球心为，内切球的半径为，为切点，所以，，由已知得，，所以，在中，，即，解得，所以，该圆锥的内切球表面积为故答案为：.题型三：外接球公式法1．（16·17·全国·单元测试）若长方体从一个顶点出发的三条棱长分别为3,4,5,则该长方体的外接球表面积为()A．50π B．100π C．150π D．200π【答案】A【详解】∵长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为3，4，5，∴长方体的对角线长为：，∵长方体的对角线长恰好是外接球的直径∴球半径为，可得球的表面积为．故选A．2．（22·23·全国·专题练习）设球是棱长为4的正方体的外接球，过该正方体的棱的中点作球的截面，则最小截面的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】正方体的体对角线长为，所以球的半径为，正方体的棱的中点与的距离为，最小截面的圆的半径为，最小截面的面积为.故选：B3．（14·15上·佛山·阶段练习）正方体的外接球（正方体的八个顶点都在球面上）与其内切球（正方体的六个面都与球相切）的体积之比是．【答案】【详解】设正方体的棱长为,则外接球的半径为,内切球的半径为所以正方体的外接球和内切球的体积比为故答案为：题型四：外接球补型法1．（23·24上·成都·开学考试）在三棱锥中，，则该三棱锥的外接球的表面积为（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由题意，两两相互垂直，以为边补成一个正方体，其外接球就是三棱锥的外接球，，表面积，

故选:B2．（22·23下·揭阳·期中）在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球表面积是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为，所以可以将三棱锥如图放置于一个长方体中，如图所示：

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有，整理得，则该棱锥外接球的半径即为该长方体外接球的半径，所以有，所以所求的球体表面积为：．故选：A．3．（23·24上·成都·开学考试）已知四面体满足，，，且该四面体的外接球的表面积是（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】将四面体放入长方体中，如图，则四面体的外接球，即为长方体的外接球，设长方体中，则，三式相加得，故，所以四面体的外接球半径为，故四面体的外接球表面积为.故选：B4．（22·23下·黔西·阶段练习）正三棱锥的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为.【答案】【详解】由题意，正三棱锥可补形称正方体，如下图：

则三棱锥的外接球为正方体的外接球，设正方体的棱长为，则外接球半径，在正三棱锥中，，易知为等边三角形，由勾股定理可得：，则其面积，故正三棱锥的表面积，其体积，设三棱锥的内切球的半径为，则，则.故答案为：.5．（22·23下·黔西·期中）如图，已知在三棱锥中，，，且，求该三棱锥外接球的表面积是．

【答案】【详解】设三棱锥外接球的外接球的半径为，由题意可将三棱锥转化为长方体，长、宽、高分别为2、1、1，则长方体的体对角线为外接球的直径，即，所以该三棱锥外接球的表面积为.故答案为：.

题型五：外接球单面定球心法1．（23·24上·汉中·模拟预测）如图，在三棱锥中，平面为外接圆的圆心，为三棱锥外接球的球心，，则三棱锥的外接球的表面积为．

【答案】【详解】根据题意可知，设外接圆的半径为，在中由正弦定理可知，解得，即；易知三棱锥外接球的球心在的正上方，且平面；又平面，所以；因为平面，可得，又，所以可得四边形是矩形，即；设，三棱锥外接球的半径为，由勾股定理可得，解得；所以可得三棱锥的外接球的表面积为.故答案为：2．（23·24上·秦皇岛·开学考试）三棱锥中，在底面的射影为的内心，若，，则四面体的外接球表面积为.【答案】【详解】三棱锥底面为直角三角形，为内心，

由，可得，以为坐标原点，分别为轴建立平面直角坐标系，如下图所示：

设内切圆半径，易知的周长为，面积为；由等面积可得，解得；设四面体外接球球心为，所以易知在平面射影为中点，易知，则，设，则，且，即，解得，则四面体的外接球表面积为.故答案为：3．（22·23下·石家庄·阶段练习）已知球是正四面体的外接球，为棱的中点，是棱上的一点，且，则球与四面体的体积比为.【答案】【详解】如图，正四面体中，顶点在底面的射影为，球心在上，设正四面体的棱长为，可得，则正四面体高，设外接球半径为，在直角三角形中，，即，解得，令，在中，由余弦定理得①，同理，在中，由余弦定理得②由题设，解得，由于到平面的距离与到平面的距离相等，都等于，，故，，所以.故答案为：.

4．（22·23下·淄博·期末）已知四棱锥的底面是矩形，侧面为等边三角形，平面平面，其中，，则四棱锥的外接球表面积为.【答案】【详解】记AD的中点为，连接，连接EF，设外接圆的圆心为，半径为，所求外接球球心为，半径为，连接，如图，

因为为等边三角形，，所以圆的半径，因为为等边三角形，是AD的中点，所以，因为平面平面ABCD，平面平面平面PAD，所以平面ABCD，因为底面ABCD是矩形，所以是底面ABCD外接圆的圆心，故平面ABCD，所以，同理，所以四边形是矩形，所以，所以球的半径，所以外接球的表面积为．故答案为：．题型六：外接球双面定球心法1．（22·23上·抚州·期中）已知菱形的各边长为.如图所示，将沿折起，使得点到达点的位置，连接，得到三棱锥，此时.若是线段的中点，点在三棱锥的外接球上运动，且始终保持则点的轨迹的面积为.

【答案】【详解】取中点，连接，则，，平面，所以平面，又因为，则，作于，设点轨迹所在平面为，则平面经过点，且，设三棱锥外接球的球心为，半径为，的中心分别为，可知平面平面，且四点共面，由题可得，在Rt中，可得，又因为，则，易知到平面的距离，故平面截外接球所得截面圆的半径为，所以截面圆的面积为.故答案为：.

2．（22·23·赣州·模拟预测）如图，正三角形ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，其中，把沿着DE翻折至的位置，得到四棱锥，则当四棱锥的体积最大时，四棱锥外接球的球心到平面的距离为.

【答案】/【详解】

由题意可知，当平面平面时，四棱锥的体积最大，如图所示，取的中点，连接，则，又平面平面，平面，所以平面.则的外接圆的圆心位于且靠近点的三等分点处，设的中点为，连接，则，所以为四边形的外接圆的圆心，过作平面的垂线，过作平面的垂线，则两垂线的交点即为四棱锥的外接球的球心，连接，则四边形为矩形，所以，连接，在中，.设四棱锥的外接球的半径为，则.连接，，，，，连接，则，所以外接圆的圆心在上，令其半径为，在中，，所以，即，解得，设四棱锥外接球的球心到平面的距离为，所以，即，解得，故四棱锥外接球的球心到平面的距离为.故答案为：3．（22·23下·湖南·期末）为加强学生对平面图形翻折到空间图形的认识，某数学老师充分利用习题素材开展活动，现有一个求外接球表面积的问题，活动分为三个步骤，第一步认识平面图形：如图（一）所示的四边形中，，，，.第二步：以为折痕将折起，得到三棱锥，如图（二）.第三步：折成的二面角的大小为，则活动结束后计算得到三棱锥外接球的表面积为.

【答案】/【详解】从第一步活动中可知是边长为2的正三角形，第二步活动中可知三棱锥外接球的球心是过底面外心的平面的垂线，与过外心的平面的垂线的交点，如图：

因为正三角形，所以的外心为的中心，因为以为斜边的直角三角形，所以的外心为的中点，三棱锥外接球的球心为，因，，所以,,故为二面角的一个平面角，所以，因为正三角形，所以，因平面，平面，所以，即，所以，所以，所以，设外接球的半径为，所以，所以外接球的表面积为.故答案为：.三、专项训练一、单选题1．（22·23下·河南·模拟预测）已知直六棱柱的所有棱长均为2，且其各顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（

）.A． B． C． D．【答案】B【详解】由题知，如图所示：

直六棱柱的各顶点都在同一球面上，则底面六边形的所有顶点都在同一个圆上，因为底面六边形的边长均为2，所以底面六边形必为正六边形，且由几何关系易知底面所在圆的直径为，又因为直六棱柱的侧棱长为2，故直六棱柱外接球的直径为，所以球半径，所以球的表面积.故选：B.2．（22·23下·宁德·期中）正四面体ABCD的外接球的半径为2，过棱AB作该球的截面，则截面面积的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】C【详解】由题意，面积最小的截面是以为直径的截面，将四面体放置于正方体中，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，设，则正方体棱长为，故，可求得，进而截面面积的最小值为．故选：C

3．（23·24上·河北·开学考试）长方体的一个顶点上三条棱长是3，4，5，且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的体积是（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】设球的半径为，由题意可知球的直径即是长方体的体对角线，则，解得；所以.故选：A4．（22·23下·临夏·期末）已知四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，则该四棱锥的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意四棱锥的体积为，侧棱底面，且四边形是边长为2的正方形，得,

设O为PC的中点，E为的交点，连接，则E为的中点，故,且因为底面，故平面，平面，故，而四边形是边长为2的正方形，故，故,则，又，故，同理求得，即，故O为四棱锥的外接球的球心，则半径为，则该四棱锥的外接球的表面积为，故选：A5．（23·24上·广东·阶段练习）如图，在边长为2的正方形中，分别是的中点，将，，分别沿，，折起，使得三点重合于点，若三棱锥的所有顶点均在球的球面上，则球的表面积为（

）

A． B． C． D．【答案】C【详解】根据题意可得，且，所以三棱锥可补成一个长方体，则三棱锥的外接球即为长方体的外接球，如图所示，

设长方体的外接球的半径为，可得，所以，所以外接球的表面积为，故选：C6．（23·24上·安徽·开学考试）在封闭的等边圆锥（轴截面为等边三角形）内放入一个球，若球的最大半径为1，则该圆锥的体积为（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】

由题意，等边三角形的内切圆的圆心也是三角形的重心，所以得高为，设底面半径为r，由已知得，故体积为.故选：A7．（23·24上·莆田·阶段练习）三棱锥中，是边长为的正三角形，为中点且，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】由题设易得，则，即，又，，面，则面，若的中心为，则外接球球心在过垂直于面的直线上，

又，结合线面垂直模型知：外接球的半径，所以，外接球表面积为.故选：B8．（22·23·九江·一模）三棱锥中，与均为边长为的等边三角形，若平面平面，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】

解：如图，取中点，连接，，则，，因为平面平面，所以可得平面，平面，取的外心，的外心，分别过作平面与平面的垂线交于点，即为球心，连接，易得，，，.故选：B.二、填空题9．（23·24·柳州·模拟预测）已知圆锥的底面直径为，轴截面为正三角形，则该圆锥内半径最大的球的体积为.【答案】/【详解】依题意，圆锥内半径最大的球为圆锥内切球，如图作出轴截面，圆O和AC相切于点D，

因为是正三角形，所以，，，设内切球半径为R，在中可得，，所以，解得，球的体积为.故答案为：.10．（22·23·唐山·二模）已知某圆台的上、下底面的圆周在同一球的球面上，且圆台上底面半径为1，下底面半径为2，轴截面的面积为3，则该圆台的外接球的体积为．【答案】【详解】设圆台高为h，由题意得，．当圆台的上下底面圆在球心的同侧时，如下图所示：

设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为，，外接球的半径为，由，则，得，，该圆台外接球的体积为．当当圆台的上下底面圆在球心的异侧时，如下图所示：

设该圆台下底面圆心到外接球的球心的距离为，，外接球的半径为，由，则，得舍去，综