专题01 集合（解析版）

专题01集合目录题型一：集合的基本概念 4题型二：集合间的基本关系 10题型三：集合的运算 16题型四：求参数的取值范围 21题型五：集合中的新定义问题 24知识点总结知识点总结集合的概念(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于两种，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR注意N为自然数集(即非负整数集)，包含0，而N*和N＋的含义是一样的，表示正整数集，不包含0.集合间的基本关系表示关系文字语言符号语言Venn图集合间的基本关系相等构成两个集合的元素是一样的A⊆B且B⊆A⇔A＝B子集集合A中任意一个元素都是集合B中的元素A⊆B或B⊇A真子集集合A是集合B的子集，但存在元素x∈B，且x∉AAB或BA结论任何一个集合是它本身的子集A⊆A若A是B的子集，B是C的子集，则A是C的子集A⊆B，B⊆C⇒A⊆C空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集∅⊆A∅B(B≠∅)集合的基本运算并集交集补集图形表示符号表示A∪B＝{x|x∈A，或x∈B}A∩B＝{x|x∈A，且x∈B}∁UA＝{x|x∈U，且x∉A}性质A∪∅＝A；A∪A＝A；A∪B＝B∪A；A∪B＝A⇔B⊆AA∩∅＝∅；A∩A＝A；A∩B＝B∩A；A∩B＝A⇔A⊆BA∪(∁UA)＝U；A∩(∁UA)＝∅；∁U(∁UA)＝A；∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)；∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)区分下列集合的表示含义集合{x|f(x)＝0}{x|f(x)>0}{x|y＝f(x)}{y|y＝f(x)}{(x，y)|y＝f(x)}含义方程f(x)＝0的解集不等式f(x)>0的解集函数y＝f(x)的定义域函数y＝f(x)的值域函数y＝f(x)图象上的点【常用结论与知识拓展】(1)若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．(2)A⊆(A∪B)，B⊆(A∪B)．(3)(A∩B)⊆A，(A∩B)⊆B.(4)A∩B＝A∪B⇔A＝B.(5)A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)＝∅.(6)如图所示，用集合A，B表示图中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ四个部分所表示的集合分别是A∩B，A∩(∁UB)，B∩(∁UA)，∁U(A∪B)．(7)用card(A)表示有限集合A中元素的个数．对任意两个有限集合A，B，有card(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B).例题精讲例题精讲集合的基本概念【要点讲解】用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合。集合中元素的互异性常常容易忽略，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中元素是否满足互异性。分类讨论的思想方法常用于解决集合问题（2022•长沙模拟）已知集合，，下列选项中均为的元素的是（1）；（2）；（3）；（4），．A．（1）（2） B．（1）（3） C．（2）（3） D．（2）（4）【解答】解：集合，，则，，，，，故选：．（2022秋•宜阳县校级月考）集合的元素个数为A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：由题意知，，都是16的正整数因数，故的取值有：1，2，4，8，16，故集合，2，4，8，，故共有5个元素．故选：．（2022秋•南昌期末）已知集合，，，则中元素的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：因为集合，，，所以当时，，即集合，所以集合中元素个数为1个，故选：．（2022•道里区校级四模）已知集合，则中元素的个数为A．9 B．10 C．11 D．12【解答】解：由椭圆的性质得，又，，所以集合，，，，，，，，，，共有11个元素．故选：．（2022•河北模拟）已知集合，2，，，，，则中所含元素的个数为A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由，2，，，，，当时，，2，满足集合．当时，，3；满足集合．当时，，3；满足集合．共有6个元素．故选：．（2022秋•西安）集合，2，，，3，，，，，则中的元素个数为A．3 B．4 C．5 D．6【解答】解：因为集合，2，，，3，，，，，所以的值可能为：、、、、、、、、，所以中元素只有：3，4，5，6，7，共5个，故选：．（2022秋•汉滨区）已知集合，0，1，，，，，则集合中所有的元素之和为A．0 B．2 C． D．【解答】解：，0，1，，，，，①当时，，时，，；时，，满足条件；②当时，，，满足条件；③当时，，，满足条件；④当时，，，满足条件．从而得到，，，，集合中所有元素之和为．故选：．（2023•潍坊模拟）已知集合，0，，，，则集合中所有元素之和为A．0 B．1 C． D．【解答】解：根据条件分别令，0，1，解得，又，所以，，所以集合中所有元素之和是，故选：．（2022秋•武陵区）若关于的方程的解集中有且仅有一个元素，则实数的值组成的集合中的元素个数为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：若，则，解集中有且仅有一个元素，成立；若，△，则．故实数的值组成的集合中的元素个数为2．故选：．（2021•江西模拟）已知集合，只有一个元素，则的取值集合为A． B． C．，， D．，【解答】解：只有一个元素，方程只有一个解，①时满足题意；②时，△，解得，的取值集合为，．故选：．（2023•延边州二模）已知集合的元素只有一个，则实数的值为A． B．0 C．或0 D．无解【解答】解：集合有一个元素，即方程有一解，当时，，符合题意，当时，有一解，则△，解得：，综上可得：或，故选：．（2022秋•山西）已知集合中元素满足，且，，则A． B． C． D．【解答】解：，，解得，又，，解得，．故选：．（2022•聊城二模）已知集合，1，，，，则集合中元素个数为A．2 B．3 C．4 D．5【解答】解：集合，1，，，，当，，1，2时，，当，，1，2时，，1，2，当，，1，2时，，2，4，集合，1，2，，集合中元素个数为4．故选：．（2021•麒麟区校级模拟）设集合，0，1，，，，，，，则集合中元素的个数为A．5 B．6 C．7 D．8【解答】解：当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，当，时，，、故，，0，1，2，，即中元素的个数为6个．故选：．（2022•全国一模）已知集合，3，4，5，，，，，则中所含元素的个数为A．2 B．3 C．4 D．6【解答】解：由，3，4，5，，，，，当时，，5，6，当时，，6，当时，，所以，，，，，，，所以中所含元素个数为6个．故选：．（2022•全国一模）已知集合，3，4，5，，，，，则中所含元素的个数为A．3 B．6 C．8 D．10【解答】解：，，，，3，4，5，，当时，，3，2；当时，，2；当时，；故中所含元素的个数为6，故选：．（2022秋•川汇区校级期末）已知集合，2，，，，中所含元素的个数为A．2 B．4 C．6 D．8【解答】解：由，2，，，，，当时，，2，满足集合，当时，，3；满足集合，当时，，3；满足集合，共有6个元素．故选：．集合间的基本关系【要点讲解】空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集，在涉及集合关系时，必须优先考虑空集的情况，否则会造成漏解；已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系。常用数轴、Venn图来直观解决这类问题。（2023•咸阳模拟）设集合，则集合的真子集个数是A．6 B．7 C．8 D．15【解答】解：因为，所以，2，，所以集合的真子集个数是．故选：．（2023•黄埔区校级模拟）设集合，，则集合的真子集个数为A．8 B．7 C．4 D．3【解答】解：集合，，，1，，则集合中元素个数为3个，故集合的真子集个数为．故选：．（2023•乌鲁木齐模拟）已知集合满足，，2，3，，那么这样的集合的个数为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，2，3，，要确定集合，只需确定1和4是否放置在其中，共有4种情况，，，，2，，，3，，，2，3，．故选：．（2023•全国二模）下列集合关系中错误的是A．， B．， C． D．，，【解答】解：对于：集合为点集，含有元素，集合，含有两个元素，，所以不包含于，，故错误；对于，，故正确；对于，故正确；对于：因为，，，所以，，，故正确；故选：．（2022秋•阜南县校级月考）已知集合，，则下列说法正确的是A． B． C． D．【解答】解：集合，，，故选：．（2022•全国四模）已知，，则集合、之间的关系为A． B． C． D．【解答】解：，且，则，故选：．（2023•重庆模拟）已知集合，，则下列关系正确的是A． B． C． D．【解答】解：，，，，．故选：．（2022•河南模拟）已知集合，，则A． B． C． D．【解答】解：，，当时，是奇数，是整数，．故选．（2023•延庆区一模）已知集合，，，0，，且，则等于A．1 B．0 C． D．【解答】解：集合，，，0，，且，，．故选：．（2023•香坊区校级一模）已知集合，，，若，则实数的取值集合为A．，， B． C． D．，，0，【解答】解：集合，，，若，则实数的取值集合为，又集合元素具有互异性，的取值集合为．故选：．（2023•湖南模拟）已知集合，，且，则实数的取值范围为A． B．， C．， D．，【解答】解：，，，，，则实数的取值范围为，．故选：．（2023•北碚区校级模拟）已知集合，4，，，，若，则实数组成的集合为A． B．， C．，0， D．，0，1，【解答】解：集合，4，，，，，则，解得或，满足题意，，解得或1，当时，符合题意，当时，集合不满足集合元素的互异性，舍去，故实数组成的集合为，0，．故选：．（2023•大荔县一模）设三元集合，则1．【解答】解：依题意，，则，解得，，此时两个集合都是，0，，符合题意，故．故答案为：1．（2022秋•新北区校级月考）已知集合，，，，，，若，则．【解答】解：由题意可知，或，当时，无意义，则，故，0，，，，，，，解得或，当时，，0，，，1，，不符合集合的互异性，故，．故答案为：．（2022•海口模拟）已知集合，0，，，若，则实数A．2 B．1 C．0 D．【解答】解：对于集合，因为△，所以中有两个元素，且乘积为，又因为，所以，，所以．即．故选：．（2023•铁岭模拟）设，，若，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：，，，．故选：．（2023•2月份模拟）设集合，3，，，，，．若，，则A． B． C．1 D．3【解答】解：集合，3，，，，，，，，，解得．故选：．（2022•攀枝花模拟）设集合，，若，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【解答】解：或，，若，，则实数的取值范围是，．故选：．（2022•朝阳区校级三模）已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是A． B． C．， D．，0，【解答】解：集合，，集合中至多有一个元素，若集合为空集，即时，显然满足条件，故成立，若集合非空集，即，此时，若，则，若，则，故的取值集合为，，．故选：．集合的运算【要点讲解】集合是由元素组成的，从研究集合中元素的构成人手是解决集合运算问题的前提。有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可使问题简单明了，易于解决。集合之间的运算要注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图。（2023•乌鲁木齐三模）设集合，0，1，，，则的子集个数为A．2 B．4 C．8 D．16【解答】解：因为，所以，，，则集合的元素个数为2，因此，的子集个数为．故选：．（2023•全国卷模拟）已知集合，，则A． B． C．或 D．或【解答】解：解得或，故或，解不等式得，故，所以或．故选：．（2023•天津一模）设全集，，0，1，，集合，，，1，，则A． B．，， C．， D．，1，【解答】解：因为全集，，0，1，，，1，，则，，又因为集合，，因此，，．故选：．（2023•全国三模）设集合，则A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，．故选：．（2023•合肥三模）已知集合，集合，则集合的元素个数为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：由，消去得，即，解得或（舍去），所以或，即函数与有两个交点，又集合，集合，所以，即集合的元素个数为2个．故选：．（2023•毕节市模拟）已知集合，，则如图中阴影部分表示的集合为A． B．， C．，2， D．【解答】解：依题意，，0，1，2，，而阴影部分表示的集合是，又，则，所以，2，．故选：．（2023•吉林模拟）已知全集，集合，，，则下图阴影部分所对应的集合为A． B． C．或 D．【解答】解：由题意知，，则，，由图可知阴影部分所对应的集合为，．故选：．（2022春•下期末）已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为A．， B．， C． D．，【解答】解：，，，．故选：．（2023•商洛二模）设集合，，，．若，则A．， B．， C．， D．，【解答】解：因为，所以，解得，则的解为或，所以，．故选：．（2023•宜章县模拟）已知集合，，若，则A． B． C．2 D．6【解答】解：因为集合，，且，则有，所以．故选：．（2023•济宁二模）已知集合，5，，，，若，则A． B． C．2 D．3【解答】解：因为，所以或，当时，即，则，5，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，或，当时，，5，，不满足集合中元素的互异性，舍去；当时，，5，，，满足题意，所以．故选：．（2013•武昌区校级模拟）若集合，，且，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，，，则故选：．（2010•项城市校级模拟）已知：，．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【解答】解：（1），（2分）若，则，，解得：（5分）（2）若，则①若为空集，则△则；（8分）②若为单元集，则△解得：，将代入方程得：得：即符合要求；（11分）③若，，则（13分）综上所述，或．（14分）求参数的取值范围【要点讲解】根据集合的运算结果求参数时，可先把符号语言转化为文字语言，然后应用数形结合法求解。（2023•郴州模拟）已知集合，，，若，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．【解答】解：，，，，，，的取值范围是：，．故选：．（2023•山西模拟）已知集合，若，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：因为，所以，2，3，4，，即，2，3，4，，因为，所以，又，所以，故实数的取值范围是，．故选：．（2023•怀仁市校级四模）已知集合，若，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．，【解答】解：，，，因为，所以的取值范围为．故选：．（2023•茂名二模）已知集合，，若，则实数的取值范围是A． B．， C． D．，【解答】解：由已知可得，，因为，所以，即，故选：．（2023•黄山模拟）已知集合，，且，则实数的取值范围为A．， B．， C． D．，【解答】解：因为，所以，又，所以，又，所以，解得，即实数的取值范围为，．故选：．（2023•乐山三模）已知集合，，且，则实数的取值范围是A．， B．， C．， D．，【解答】解：集合，，且，，则实数的取值范围是，．故选：．（2023•四川模拟）设集合，，集合中恰好含有2个元素，则实数的取值范围为A． B．， C．， D．，【解答】解：，2，，，因为集合中恰好含有2个元素，所以．故选：．（2023•铁岭模拟）设，，若，则实数的取值范围为A． B． C． D．【解答】解：，，，．故选：．（2023•湖北模拟）已知集合，，若中有且仅有三个整数，则正数的取值范围是A． B． C． D．【解答】解：由题意可得，，若中有且仅有三个整数，则只能是，0，1，故，解得．故选：．集合中的新定义问题【要点讲解】集合新定义问题的“三定”：一定元素，确定已知集合中所含的元素，利用列举法写出所有元素；二定运算，根据要求及新定义，将所求集合的运算转化为集合的交集、并集与补集的基本运算，或转化为数的有关运算；三定结果，根据新定义，利用列举法或描述法写出所求集合中的所有元素。（2023•五河县模拟）对于数集，，定义，，，，，若集合，，则集合中所有元素之和为A． B． C． D．【解答】解：，，或2，，，，3，，，3，4，1，，元素之和为，故选：．（2023•湖北模拟）用（A）表示非空集合中的元素个数，定义若，，，且，设实数的所有可能取值组成的集合是，则等于A．7 B．5 C．3 D．1【解答】解：由题意知，（A），，，（B）或（B），即方程有1个根或3个根，若，则或，若，则或，当时，，（B），符合题意；当时，对应的根为0和，若（B），则有以下两种情况，①当有两个相等的实数根时，△，解得，当时，，，，（B），符合题意；当时，，，，（B），符合题意；②当有两个不相等的实数根时，则是的一个根，即，无解；综上所述，，，；故，故选：．（2022•长丰县校级模拟）若，，定义且，则A．或 B．或 C． D．【解答】解：根据题意可化简两集合为，，，，且，又，，，，，，故选：．课后课后练习一．选择题（共12小题）1．（2023•南通二模）已知，为的两个非空真子集，若，则下列结论正确的是A．， B．， C．， D．，【解答】解：，，，，错误；时，，错误；，，错误．故选：．2．（2022•渭滨区校级模拟）设集合，，，若，则A．或或2 B．或 C．或2 D．或2【解答】解：若，则，，，4，；若，则或，时，，，，；时，（舍，故选：．3．（2023•江西模拟）已知集合，，，，，，若，则A． B．0 C．1 D．2【解答】解：，或，解得，，．故选：．4．（2023•定西模拟）已知集合，，则A． B． C． D．【解答】解：集合，，，，，因此选项正确，选项，，错误；故选：．5．（2023•河南模拟）已知集合为英文单词“”的字母组成的集合，集合为英文单词“”的字母组成的集合，则集合的子集个数为A．1 B．2 C．3 D．4【解答】解：，，，，，，，，，子集的个数为：．故选：．6．（2023•西宁一模）已知集合，，，则中元素的个数为A．3 B．4 C．8 D．9【解答】解：集合，，元素：，，，共四个元素，故选：．7．（2021•江西模拟）已知集合，，，若，则符合条件的实数的值组成的集合为A．， B．， C．，0， D．，【解答】解：当时，满足要求；当时，或或综上，，0，．故选：．8．（2023•渝中区校级一模）已知集合，，，则A．， B． C． D．【解答】解：，，而，满足，，故，故选：．9．（2023•福建二模）是正整数集的子集，满足：，，，并有如下性质：若，，则，则的非空子集数为A．2022 B．2023 C． D．【解答】解：由题意可知：若，，则，，，均属于，而事实上，若，，中，所以，故，中有正整数，从而中相邻两数不可能大于等于2，故2，3，，，若，，则有，与矛盾，故，2，，，所以非空子集有个．故选：．10．（2021•石家庄模拟）已知集合，，，，，，，若，则A． B．2 C． D．1【解答】解：，①当时，解得，，②当时，解得，此时，1，，与互异性矛盾，综上，．故选：．11．（2023•桃城区校级模拟）已知集合，，则下列结论中正确的是A． B． C． D．【解答】解：集合