第一章　§1.3　等式性质与不等式性质

第一章§1.3等式性质与不等式性质1.掌握等式性质.2.会比较两个数的大小.3.理解不等式的性质，并能简单应用.课标要求内容索引第一部分落实主干知识第二部分探究核心题型课时精练第一部分落实主干知识1.两个实数比较大小的方法基本事实a

b⇔a－b>0，a

b⇔a－b＝0，a

b⇔a－b<0.>＝<性质别名性质内容注意1传递性a>b，b>c⇒a>c不可逆2可加性a>b⇔a＋c

b＋c可逆3可乘性a>b，c>0⇒ac

bcc的符号a>b，c<0⇒ac

bc4同向可加性a>b，c>d⇒a＋c

b＋d不可逆2.不等式的性质>><>特殊地，当a>b>0时，an>bn，其中n∈N＋，n≥2.5同向同正可乘性a>b>0，c>d>0⇒ac

bd；a>b>0，c<d<0⇒ac

bd不可逆6可开方性

n∈N＋，n≥2><不等式的两类常用性质(1)倒数性质(2)有关分数的性质若a>b>0，m>0，则①真分数的性质②假分数的性质1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a<b三种关系中的一种.(

)(2)若

>1，则b>a.(

)(3)同向不等式具有可加性和可乘性.(

)(4)若

，则b<a.(

)×√××2.已知非零实数a，b满足a<b，则下列不等式中一定成立的是√对于A，当a<b<0时，不等式无意义，故A错误；对于B，当a<0<b时，

，故B错误；对于C，当a<b<0时，a2>b2，故C错误；对于D，当a<b时，a3<b3成立，故D正确.3.已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了.请将这一事实表示成一个不等式为_________.∵b>a>0，m>0，∴a－b<0，4.已知2<a<3，－2<b<－1，则a＋2b的取值范围为________.(－2,1)因为－2<b<－1，所以－4<2b<－2，又2<a<3，所以－2<a＋2b<1.返回第二部分探究核心题型题型一数(式)的大小比较例1

(1)(多选)下列不等式中正确的是A.x2－2x>－3(x∈R)B.a3＋b3≥a2b＋ab2(a，b∈R)C.a2＋b2>2(a－b－1)√√∵x2－2x＋3＝(x－1)2＋2≥2>0，∴x2－2x>－3，故A正确；a3＋b3－a2b－ab2＝a2(a－b)＋b2(b－a)＝(a－b)(a2－b2)＝(a－b)2(a＋b).∵(a－b)2≥0，a＋b的符号不确定，∴a3＋b3与a2b＋ab2的大小不确定，故B错误；∵a2＋b2－2a＋2b＋2＝(a－1)2＋(b＋1)2≥0，∴a2＋b2≥2(a－b－1)，故C错误；(2)若正实数a，b，c满足c<cb<ca<1，则A.aa<ab<ba

B.aa<ba<abC.ab<aa<ba

D.ab<ba<aa√∵c是正实数，且c<1，∴0<c<1，由c<cb<ca<1，得0<a<b<1，∴ab<aa，比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论.(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论.(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小.跟踪训练1

(1)若lna>lnb，则√因为lna>lnb，所以a>b>0，因为a－b>0，函数y＝xa－b在(0，＋∞)上单调递增，所以πa－b>3a－b，故C错误；其中a－b>0，ab＋1>0，ab>0，M>N∴M>N.显然f(x)是R上的减函数，∴f(2023)>f(2024)，即M>N.例2

(1)若实数a，b满足a<b<0，则题型二不等式的基本性质√由a<b<0，可得a＋b<0，故A错误；由a<b<0，可得a－b<0，故B正确；由a<b<0，可得－a>－b>0，所以|a|>|b|，故C错误；由a<b<0，可得|a|>|b|>0，(2)(多选)已知a，b，c为实数，则下列说法正确的是A.若a>b，则ac2>bc2B.若a>b，则a＋c>b＋c√√√当c＝0时，ac2＝bc2，故A错误；由不等式的可加性可知，B正确；若a>b>c>0，则a－b>0，b＋c>0，若a>b>c>0，则a－b>0，a－c>0，b－c>0，且a－c>a－b，又b>c>0，判断不等式的常用方法(1)利用不等式的性质逐个验证.(2)利用特殊值法排除错误选项.(3)作差法.(4)构造函数，利用函数的单调性.跟踪训练2

(1)设a，b，c，d为实数，且c<d，则“a<b”是“a－c<b－d”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件√由a<b不能推出a－c<b－d，如a＝2，b＝3，c＝0，d＝1，满足a<b，但是a－c＝b－d，故充分性不成立；当a－c<b－d时，又c<d，可得a－c＋c<b－d＋d，即a<b，故必要性成立，所以“a<b”是“a－c<b－d”的必要不充分条件.(2)(多选)若a>b>0，则下列不等式中正确的是A.B.－a2<－abC.ln|a－1|>ln|b－1|D.2a－b>1√√√因为a>b>0，－a<0，所以－a2<－ab，故B正确；因为a－b>0，所以2a－b>20＝1，故D正确.例3

(1)已知0<x<5，－1<y<1，则x－2y的取值范围是A.2<x－2y<3 B.－2<x－2y<3C.2<x－2y<7 D.－2<x－2y<7√题型三不等式性质的综合应用因为－1<y<1，所以－2<－2y<2，又0<x<5，所以－2<x－2y<7.若将条件改为“－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1”，求x－2y的范围.设x－2y＝m(x＋y)＋n(x－y)，∴x－2y＝(m＋n)x＋(m－n)y，∵－1≤x＋y≤2，－2≤x－y≤1，即－4≤x－2y≤2.(2)为了加强家校联系，王老师组建了一个由学生、家长和教师组成的微信群.已知该群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数.则该微信群人数的最小值为A.20 B.22 C.26 D.28√设教师人数为x，家长人数为y，女学生人数为z，男学生人数为t，x，y，z，t∈N＋，则y≥x＋1，z≥y＋1≥x＋2，t≥z＋1≥y＋2≥x＋3，则x＋y＋z＋t≥4x＋6，又教师人数的两倍多于男学生人数，∴2x>x＋3，解得x>3，当x＝4时，x＋y＋z＋t≥22，此时微信群人数的最小值为22.利用不等式的性质求代数式的取值范围的注意点(1)必须严格运用不等式的性质.(2)在多次运用不等式的性质时有可能扩大变量的取值范围，解决途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，然后通过“一次性”不等关系的运算求解范围.跟踪训练3

(1)(多选)已知1≤a≤2,3≤b≤5，则A.a＋b的取值范围为[4,7]B.b－a的取值范围为[2,3]C.ab的取值范围为[3,10]√√因为1≤a≤2,3≤b≤5，所以4≤a＋b≤7，－2≤－a≤－1,1≤b－a≤4，所以a＋b的取值范围为[4,7]，b－a的取值范围为[1,4]，故A正确，B错误；因为1≤a≤2,3≤b≤5，√原式分子和分母同时除以x，返回课时精练一、单项选择题1.已知a，b∈R，则“

”是“lna>lnb”的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件12345678910111213141516√若“lna>lnb”，则a>b>0，12345678910111213141516A.m≥n

B.m>nC.m≤n

D.m<n12345678910111213141516√当且仅当a＝b＝1时，等号成立，即m≥n.3.已知a>b，则下列不等式一定成立的是12345678910111213141516√取a＝1，b＝－2，满足a>b，显然有

，a2<b2，|a|<|b|成立，即选项A，C，D都不正确；指数函数y＝2x为增函数，若a>b，则必有2a>2b，B正确.4.已知a<b<c，a＋b＋c＝0，则12345678910111213141516√因为a<b<c，a＋b＋c＝0，所以a<0<c，b的符号不能确定，当b＝0时，ab＝b2，故A项错误；因为a<b，c>0，所以ac<bc，故B项错误；123456789101112131415165.若c>b>a>0，则12345678910111213141516√2lnb＝lnb2，lna＋lnc＝lnac，b2与ac大小不能确定，故B错误；12345678910111213141516令c＝1，则logac＝logbc＝0，故D错误.6.已知m5＝4，n8＝9，0.9p＝0.8，则正数m，n，p的大小关系为A.p>m>n

B.m>n>pC.m>p>n

D.p>n>m√12345678910111213141516由m5＝4，得m＝12345678910111213141516由n8＝9，得n＝

，由0.9p＝0.8，得p＝log0.90.8>log0.90.81＝2，于是得p>m>n，所以正数m，n，p的大小关系为p>m>n.12345678910111213141516二、多项选择题7.下列结论中不正确的是A.若ac2>bc2，则a>bB.若

，则a>bC.若a>b，c>d，则ac>bdD.若2a－b>1，则a<b12345678910111213141516√√√ac2>bc2，不等式两边除以c2(c≠0)，则a>b，故A正确；12345678910111213141516取a＝1，b＝0，c＝0，d＝－1，满足a>b，c>d，又ac＝bd，故C错误；取a＝2，b＝1，满足2a－b>1，又a>b，故D错误.8.已知实数x，y满足－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，则A.－1<x<2 B.－2<y<1C.－3<x＋y<3 D.－1<x－y<3√12345678910111213141516√√因为－3<x＋2y<2，－1<2x－y<4，所以－2<4x－2y<8，则－5<5x<10，即－1<x<2，故A正确；又－4<－2x－4y<6，－1<2x－y<4，所以－5<－5y<10，即－2<y<1，故B正确；12345678910111213141516三、填空题9.已知a>0，－1<b<0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是___________.12345678910111213141516ab<ab2<a因为a>0，－1<b<0，所以ab<0,0<b2<1,0<ab2<a，故ab<ab2<a.10.若a，b同时满足下列两个条件：①a＋b>ab；② .请写出一组a，b的值__________________________.12345678910111213141516a＝－1，b＝2(答案不唯一)容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；当a>0，b<0时，要使a＋b>0，则|a|>|b|，可取a＝2，b＝－1.综上，取任意两个异号的实数，且正数的绝对值大于负数的绝对值皆为合理答案.1234567891011121314151611.若－1<a＋b<3,2<a－b<4，t＝2a＋b，则a的取值范围为________；t的取值范围为__________.12345678910111213141516∵－1<a＋b<3,2<a－b<4，1234567891011121314151612.已知a>b>c,2a＋b＋c＝0，则

的取值范围是____________.(－3，－1)因为a>b>c,2a＋b＋c＝0，故a>0，c<0，12345678910111213141516四、解答题1234567891011121314151612345678910111213141516∵c<d<0，∴－c>－d>0，又a>b>0，∴a－c>b－d>0，b－a<0，c－d<0，又e<0，14.已知实数a，b满足－3≤a＋b≤2，－1≤a－b≤4.(1)求实数a的取值范围；1234567