2025高考数学一轮复习-对点练57 两直线的位置关系【含答案】

对点练57两直线的位置关系【A级基础巩固】1.两条直线l1：x＝2和l2：3x＋2y－12＝0的交点坐标是()A.(2，3) B.(－2，3)C.(3，－2) D.(－3，2)2.(2024·石家庄质检)若直线l1：x－2y＋1＝0与直线l2：x＋ay－1＝0平行，则l1与l2间的距离为()A.eq\f(\r(5),5) B.eq\f(2\r(5),5)C.eq\f(1,5) D.eq\f(2,5)3.直线x－2y＋1＝0关于直线x＝1对称的直线方程是()A.x＋2y－1＝0 B.2x＋y－1＝0C.2x＋y－3＝0 D.x＋2y－3＝04.若直线a，b的斜率分别为方程x2－4x－1＝0的两个根，则a与b的位置关系为()A.互相平行 B.互相重合C.互相垂直 D.无法确定5.(2024·南通调研)若三条直线y＝2x，x＋y＝3，mx＋ny＋5＝0相交于同一点，则点(m，n)到原点的距离的最小值为()A.eq\r(5) B.eq\r(6)C.2eq\r(3) D.2eq\r(5)6.(2024·烟台质检)唐代诗人李欣的诗《古从军行》的开头两句是“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为A(1，1)，若将军从山脚下的点B(4，4)处出发，河岸线所在直线l的方程为x－y＋1＝0，则“将军饮马”的最短总路程是()A.3eq\r(6) B.eq\r(34)C.eq\r(5) D.2eq\r(5)7.(多选)已知平面上一点M(5，0)，若直线上存在点P使|PM|＝4，则称该直线为“切割型直线”，下列直线中是“切割型直线”的是()A.y＝x＋1 B.y＝2C.y＝eq\f(4,3)x D.y＝2x＋18.(多选)(2024·青岛调研)已知直线l1：4x－3y＋4＝0，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)，则()A.直线l2过定点(－3，－1) B.当m＝1时，l1⊥l2C.当m＝2时，l1∥l2 D.当l1∥l2时，两直线l1，l2之间的距离为19.已知两直线l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，则l1⊥l2，则m＝________.10.已知点P1(2，3)，P2(－4，5)和A(－1，2)，则过点A且与点P1，P2距离相等的直线方程为_____________.11.设△ABC的一个顶点是A(－3，1)，∠B，∠C的角平分线方程分别为x＝0，y＝x，则直线BC的方程为________.12.已知两直线l1：x－2y＋4＝0，l2：4x＋3y＋5＝0.若直线l3：ax＋2y－6＝0与l1，l2不能构成三角形，则实数a＝________.【B级能力提升】13.已知点(1，－1)关于直线l1：y＝x的对称点为A，若直线l2经过点A，则当点B(2，－1)到直线l2的距离最大时，直线l2的方程为()A.2x＋3y＋5＝0 B.3x－2y＋5＝0C.3x＋2y＋5＝0 D.2x－3y＋5＝014.(2024·南昌调考)若△ABC的顶点A(5，1)，AB边上的中线CM所在直线方程为2x－y－5＝0，AC边上的高BH所在直线方程为x－2y－5＝0，则直线BC的方程为()A.3x＋4y－6＝0 B.x＋3y－4＝0C.6x－5y－9＝0 D.2x－3y－6＝015.在等腰直角三角形ABC中，|AB|＝|AC|＝4，点P是边AB上异于A，B的一点.光线从点P出发，经BC，CA反射后又回到点P(如图所示).若光线QR经过△ABC的重心，则AP的长度为______________.已知点A(4，－1)，B(8，2)和直线l：x－y－1＝0，动点P(x，y)在直线l上，则|PA|＋|PB|的最小值为_______对点练57两直线的位置关系答案1．A[联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,3x＋2y－12＝0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝3，))所以两条直线的交点坐标为(2，3)．]2．B[易知直线l1的斜率为eq\f(1,2)，则直线l2的斜率为－eq\f(1,a)＝eq\f(1,2)，即a＝－2，故直线l2：x－2y－1＝0，所以l1和l2间的距离为eq\f(|－1－1|,\r(12＋（－2）2))＝eq\f(2\r(5),5).]3．D[设所求直线上任一点(x，y)，则它关于x＝1对称点为(2－x，y)在直线x－2y＋1＝0上，所以2－x－2y＋1＝0，化简得x＋2y－3＝0.]4．C[由根与系数的关系得ka·kb＝－1，则a与b互相垂直．]5．A[联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝2x，,x＋y＝3，))解得x＝1，y＝2.把(1，2)代入mx＋ny＋5＝0可得m＋2n＋5＝0，所以m＝－5－2n.所以点(m，n)到原点的距离d＝eq\r(m2＋n2)＝eq\r(（5＋2n）2＋n2)＝eq\r(5（n＋2）2＋5)≥eq\r(5)，当n＝－2，m＝－1时取等号．所以点(m，n)到原点的距离的最小值为eq\r(5).]6．D[如图，设B(4，4)关于直线x－y＋1＝0对称的点为C(a，b)．则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a＋4,2)－\f(b＋4,2)＋1＝0，,\f(b－4,a－4)＝－1，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝3，,b＝5，))即C(3，5)．依题意可得“将军饮马”的最短总路程为|AC|，|AC|＝eq\r(（1－3）2＋（1－5）2)＝2eq\r(5).]7．BC[由题意知，当点M到直线的距离不超过4时，符合要求．对于A，点M(5，0)到直线y＝x＋1的距离为eq\f(6,\r(2))＝3eq\r(2)>4，故不符合；对于B，点M(5，0)到直线y＝2的距离为2－0＝2<4，故符合；对于C，点M(5，0)到直线y＝eq\f(4,3)x的距离为eq\f(\f(4,3)×5,\r(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)))\s\up12(2)))＝4，故符合；对于D，点M(5，0)到直线y＝2x＋1的距离为eq\f(2×5＋1,\r(1＋22))＝eq\f(11\r(5),5)>4，故不符合．]8．ACD[对于A，l2：(m＋2)x－(m＋1)y＋2m＋5＝0(m∈R)变形为m(x－y＋2)＋2x－y＋5＝0，令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x－y＋5＝0，))则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－3，,y＝－1，))因此直线l2过定点(－3，－1)，故A正确；对于B，当m＝1时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：3x－2y＋7＝0，因为4×3＋(－3)×(－2)≠0，所以两直线不垂直，故B错误；对于C，当m＝2时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，因为eq\f(4,4)＝eq\f(－3,－3)≠eq\f(9,4)，所以两直线平行，故C正确；对于D，当l1∥l2时，则满足eq\f(m＋2,4)＝eq\f(－（m＋1）,－3)≠eq\f(2m＋5,4)，得m＝2，此时，l1：4x－3y＋4＝0，l2：4x－3y＋9＝0，则两直线间的距离为eq\f(|4－9|,\r(42＋（－3）2))＝1，故D正确．]9．－2或3[l1：(m－1)x－6y－2＝0，l2：mx＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则m(m－1)－6＝0，解得m＝3或m＝－2.]10．x＋3y－5＝0或x＝－1[当直线与点P1，P2的连线所在的直线平行时，由直线P1P2的斜率k＝eq\f(3－5,2＋4)＝－eq\f(1,3)，得所求直线的方程为y－2＝－eq\f(1,3)(x＋1)，即x＋3y－5＝0.当直线过线段P1P2的中点时，因为线段P1P2的中点坐标为(－1，4)，所以直线方程为x＝－1.综上，所求直线方程为x＋3y－5＝0或x＝－1.]11．2x－y－5＝0[∵∠B，∠C的角平分线方程分别是x＝0，y＝x，∴直线AB与直线BC关于x＝0对称，直线AC与直线BC关于y＝x对称．A(－3，1)关于x＝0的对称点A′(3，1)在直线BC上，A(－3，1)关于y＝x的对称点A″(1，－3)也在直线BC上．由两点式，所求直线BC的方程为2x－y－5＝0.]12．－1或eq\f(8,3)或－2[由题意可得，①当l3∥l1时，不能构成三角形，此时a×(－2)＝1×2，解得a＝－1；②当l3∥l2时，不能构成三角形，此时a×3＝4×2，解得a＝eq\f(8,3)；③当l3过l1与l2的交点时，不能构成三角形，此时联立l1与l2，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－2y＋4＝0，,4x＋3y＋5＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝1，))所以l1与l2的交点为(－2，1)，将(－2，1)代入l3，得a×(－2)＋2×1－6＝0，解得a＝－2，综上，当a＝－1或eq\f(8,3)或－2时，不能构成三角形．]13．B[设A(a，b)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(b＋1,a－1)＝－1，,\f(b－1,2)＝\f(a＋1,2)，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝1，))所以A(－1，1)．设点B(2，－1)到直线l2的距离为d，当d＝|AB|时取得最大值，此时直线l2垂直于直线AB，所以直线l2的斜率k＝－eq\f(1,kAB)＝－eq\f(1,\f(－1－1,2＋1))＝eq\f(3,2)，所以直线l2的方程为y－1＝eq\f(3,2)(x＋1)，即3x－2y＋5＝0.]14．C[BH所在直线方程为x－2y－5＝0，设AC的方程为2x＋y＋t＝0，且过A(5，1)，代入解得t＝－11，所以直线AC的方程为2x＋y－11＝0.联立AC与CM的方程得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))解得C(4，3)．设B(2m＋5，m)，则Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2m＋10,2)，\f(m＋1,2)))，即2m＋10－eq\f(m＋1,2)－5＝0，解得m＝－3，则B(－1，－3)，所以直线BC的方程为eq\f(y＋3,3＋3)＝eq\f(x＋1,4＋1)，即6x－5y－9＝0.]15.eq\f(4,3)[以A为原点，AB所在直线为x轴，AC所在直线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可知B(4，0)，C(0，4)，A(0，0)，则直线BC的方程为x＋y－4＝0.设P(t，0)(0＜t＜4)，可得点P关于直线BC的对称点P1的坐标为(4，4－t)，点P关于y轴的对称点P2的坐标为(－t，0)，根据反射定律可知直线P1P2就是光线RQ所在的直线，由P1，P2两点的坐标可得直线P1P2的方程为y＝eq\f(4－t,4＋t)·(x＋t)．设△ABC的重心为G，易知Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3))).因为重心Geq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)，\f(4,3)))在光线RQ上，所以eq\f(4,3)＝eq\f(4－t,4＋t)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4,3)＋t))，得t＝eq\f(4,3)(t＝0舍去)，即|AP|＝eq\f(4,3).]16.eq\r(65)[设点A1与A关于直线l对称，P0为A1B与直线l的交点，∴|P0A1|＝|P0A|，|PA1|＝|PA|.在△A1PB中，|PA1|＋|PB|>|A1B|＝|A1P0|＋|P0B|＝|P0A|＋