2025高考数学一轮复习-对点练25 利用导数研究函数的零点【含答案】

对点练25利用导数研究函数的零点【A级基础巩固】1.已知函数f(x)＝x－aex，a∈R，讨论函数f(x)的零点个数.2.(2024·青岛调研)已知函数f(x)＝eq\f(lnx＋ax,x)，a∈R.(1)若a＝0，求f(x)的最大值；(2)若0<a<1，求证：f(x)有且只有一个零点.3.(2024·太原模拟节选)已知函数f(x)＝xex－x－1，讨论方程f(x)＝lnx＋m－2的实根个数.【B级能力提升】4.(2024·郑州模拟节选)已知函数f(x)＝ln(x＋1)－x＋1，g(x)＝aex－x＋lna，若函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，求实数a的取值范围.对点练25利用导数研究函数的零点答案1．解f(x)＝0等价于x－aex＝0，即eq\f(x,ex)＝a.设h(x)＝eq\f(x,ex)，则h′(x)＝eq\f(1－x,ex)，当x＜1时，h′(x)＞0，h(x)单调递增；当x＞1时，h′(x)＜0，h(x)单调递减，∴h(x)max＝h(1)＝eq\f(1,e).又当x＜0时，h(x)＜0；当x＞0时，h(x)＞0，且x→＋∞时，h(x)→0，∴可画出h(x)大致图象，如图所示．∴当a≤0或a＝eq\f(1,e)时，f(x)在R上有唯一零点；当a＞eq\f(1,e)时，f(x)在R上无零点；当0＜a＜eq\f(1,e)时，f(x)在R上有两个零点．2．(1)解若a＝0，则f(x)＝eq\f(lnx,x)，其定义域为(0，＋∞)，∴f′(x)＝eq\f(1－lnx,x2)，由f′(x)＝0，得x＝e，∴当0<x<e时，f′(x)>0；当x>e时，f′(x)<0，∴f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∴f(x)max＝f(e)＝eq\f(1,e).(2)证明f′(x)＝eq\f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,x)＋a))x－lnx－ax,x2)＝eq\f(1－lnx,x2)，由(1)知，f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减，∵0<a<1，∴当x>e时，f(x)＝eq\f(lnx＋ax,x)＝a＋eq\f(lnx,x)>0，故f(x)在(e，＋∞)上无零点；当0<x<e时，f(x)＝eq\f(lnx＋ax,x)，∵feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,e)))＝a－e<0，f(e)＝a＋eq\f(1,e)>0，且f(x)在(0，e)上单调递增，∴f(x)在(0，e)上有且只有一个零点，综上，当0＜a＜1时，f(x)有且只有一个零点．3．解由f(x)＝lnx＋m－2，得xex－x－lnx＋1＝m，x>0，令h(x)＝xex－x－lnx＋1，则h′(x)＝ex＋xex－1－eq\f(1,x)＝eq\f(（x＋1）（xex－1）,x)(x>0)，令m(x)＝xex－1(x>0)，则m′(x)＝(x＋1)·ex>0，∴m(x)在(0，＋∞)上单调递增，又meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))＝eq\f(\r(e),2)－1<0，m(1)＝e－1>0，∴存在x0∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))，使得m(x0)＝0，即ex0＝eq\f(1,x0)，从而lnx0＝－x0.当x∈(0，x0)时，m(x)<0，h′(x)<0，则h(x)单调递减；当x∈(x0，＋∞)时，m(x)>0，h′(x)>0，则h(x)单调递增；∴h(x)min＝h(x0)＝x0ex0－x0－lnx0＋1＝x0·eq\f(1,x0)－x0＋x0＋1＝2，又易知，当x→0＋时，h(x)→＋∞；当x→＋∞时，h(x)→＋∞.∴当m<2时，方程f(x)＝lnx＋m－2没有实根；当m＝2时，方程f(x)＝lnx＋m－2有1个实根；当m>2时，方程f(x)＝lnx＋m－2有2个实根．4．解函数F(x)＝f(x)－g(x)有两个零点，即f(x)＝g(x)有两个实根，即ln(x＋1)－x＋1＝aex－x＋lna有两个实根，即ex＋lna＋x＋lna＝ln(x＋1)＋x＋1有两个实根，即ex＋lna＋x＋lna＝eln(x＋1)＋ln(x＋1)有两个实根．设函数h(x)＝ex＋x，则ex＋lna＋x＋lna＝eln(x＋1)＋ln(x＋1)⇔h(x＋lna)＝h(ln(x＋1))．因为h′(x)＝ex＋1>0恒成立，所以h(x)＝ex＋x在R上单调递增，所以x＋lna＝ln(x＋1)，x＞－1，所以要使F(x)有两个零点，只需lna＝ln(x＋1)－x有两个实根．设M(x)＝ln(x＋1)－x，则M′(x)＝eq\f(－x,x＋1).由M′(x)＝eq\f(－x,x＋1)>0，得－1<x<0；由M′(x)＝eq\f(－x,x＋1)<0，得x>0，故函数M(x)的单调递增区间为(－1，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．故函数M(x)在x＝0处取得极大值，也是最大值