2024-2025学年高中数学课时分层作业5比较法含解析新人教B版选修4-5

PAGE1-课时分层作业(五)比较法(建议用时：45分钟)[基础达标练]一、选择题1．对x1＞x2＞0,0＜a＜1，记y1＝eq\f(x1,1＋a)＋eq\f(ax2,1＋a)，y2＝eq\f(ax1,1＋a)＋eq\f(x2,1＋a)，则x1x2与y1y2的关系为()A．x1x2＞y1y2 B．x1x2＝y1y2C．x1x2＜y1y2 D．不能确定，与a有关[解析]∵x1＞x2＞0,0＜a＜1，∴y1y2－x1x2＝eq\f(x1＋ax2ax1＋x2,1＋a2)－x1x2＝eq\f(ax1－x22,1＋a2)＞0，∴y1y2＞x1x2，∴选项C正确．[答案]C2．设a＝sin15°＋cos15°，b＝sin16°＋cos16°，则下列各式正确的是()A．a＜eq\f(a2＋b2,2)＜b B．a＜b＜eq\f(a2＋b2,2)C．b＜a＜eq\f(a2＋b2,2) D．b＜eq\f(a2＋b2,2)＜a[解析]a＝sin15°＋cos15°＝eq\r(2)sin60°，b＝sin16°＋cos16°＝eq\r(2)sin61°，∴a＜b，解除C，D.又a≠b，∴eq\f(a2＋b2,2)＞ab＝eq\r(2)sin60°·eq\r(2)sin61°＝eq\r(3)sin61°＞eq\r(2)sin61°＝b，故a＜b＜eq\f(a2＋b2,2)成立．[答案]B3．已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(an,bn＋1)，其中a，b均为正数，那么an与an＋1的大小关系是()A．an＞an＋1 B．an＜an＋1C．an＝an＋1 D．与n的取值有关[解析]an＋1－an＝eq\f(an＋1,bn＋1＋1)－eq\f(an,bn＋1)＝eq\f(a,bn＋b＋1bn＋1).∵a＞0，b＞0，n＞0，n∈N＋，∴an＋1－an＞0，an＋1＞an.[答案]B4．若a，b为不等的正数，则(abk＋akb)－(ak＋1＋bk＋1)(k∈N＋)的符号()A．恒正 B．恒负C．与k的奇偶性有关 D．与a，b大小无关[解析](abk＋akb)－ak＋1－bk＋1＝bk(a－b)＋ak(b－a)＝(a－b)(bk－ak)．∵a＞0，b＞0，若a＞b，则ak＞bk，∴(a－b)(bk－ak)＜0；若a＜b，则ak＜bk，∴(a－b)(bk－ak)＜0.[答案]B5．已知a>b>0，c>d>0，m＝eq\r(ac)－eq\r(bd)，n＝eq\r(a－bc－d)，则m与n的大小关系是()A．m<n B．m>nC．m≥n D．m≤n[解析]∵a＞b>0，c>d>0，∴ac>bd>0，eq\r(ac)>eq\r(bd)，∴m>0，n>0.又∵m2＝ac＋bd－2eq\r(abcd)，n2＝ac＋bd－(ad＋bc)，又由ad＋bc>2eq\r(abcd)，∴－2eq\r(abcd)>－ad－bc，∴m2>n2，∴m>n.[答案]B二、填空题6．若x＜y＜0，M＝(x2＋y2)(x－y)，N＝(x2－y2)(x＋y)，则M，N的大小关系为________．[解析]M－N＝(x2＋y2)(x－y)－(x2－y2)(x＋y)＝(x－y)[(x2＋y2)－(x＋y)2]＝－2xy(x－y)．∵x＜y＜0，∴xy＞0，x－y＜0，∴－2xy(x－y)＞0，∴M－N＞0，即M＞N.[答案]M＞N7．设A＝eq\f(1,2a)＋eq\f(1,2b)，B＝eq\f(2,a＋b)(a＞0，b＞0且a≠b)，则A，B的大小关系是________．[解析]法一(比较法)：A－B＝eq\f(a－b2,2aba＋b)＞0(a＞0，b＞0且a≠b)，则A＞B.法二：A＞eq\f(1,\r(ab))，B＜eq\f(1,\r(ab))，故A＞B.[答案]A＞B8．若f(x)＝eq\r(\f(3,x2x－3))，且记A＝4loga(x－1)，B＝4＋[loga(x－1)]2，若a＞1，则eq\f(A,B)________1.[解析]因为f(x)＝eq\r(\f(3,x2x－3))的定义域是x＞3，又a＞1，所以A＞0，B＞0.又因为B－A＝[loga(x－1)－2]2≥0，所以B≥A，即eq\f(A,B)≤1.[答案]≤三、解答题9．若实数x，y，m满意|x－m|＜|y－m|，则称x比y接近m.对随意两个不相等的正数a，b，证明：a2b＋ab2比a3＋b3接近2abeq\r(ab).[证明]∵a＞0，b＞0，且a≠b，∴a2b＋ab2＞2abeq\r(ab)，a3＋b3＞2abeq\r(ab).∴a2b＋ab2－2abeq\r(ab)＞0，a3＋b3－2abeq\r(ab)＞0.∴|a2b＋ab2－2abeq\r(ab)|－|a3＋b3－2abeq\r(ab)|＝a2b＋ab2－2abeq\r(ab)－a3－b3＋2abeq\r(ab)＝a2b＋ab2－a3－b3＝a2(b－a)＋b2(a－b)＝(a－b)(b2－a2)＝－(a－b)2(a＋b)＜0，∴|a2b＋ab2－2abeq\r(ab)|＜|a3＋b3－2abeq\r(ab)|，∴a2b＋ab2比a3＋b3接近2abeq\r(ab).10．已知a，b都是正数，x，y∈R，且a＋b＝1.求证：ax2＋by2≥(ax＋by)2.[证明]ax2＋by2－(ax＋by)2＝ax2＋by2－a2x2－2abxy－b2y2＝(ax2－a2x2)＋(by2－b2y2)－2abxy＝ax2(1－a)＋by2(1－b)－2abxy＝abx2＋aby2－2abxy＝ab(x－y)2.∵a＞0，b＞0，x，y∈R，∴ab＞0，(x－y)2≥0，∴ax2＋by2≥(ax＋by)2成立．[实力提升练]1．若0＜a1＜a2,0＜b1＜b2，且a1＋a2＝b1＋b2＝1，则下列代数式中值最大的是()A．a1b1＋a2b2 B．a1a2＋b1bC．a1b2＋a2b1 D.eq\f(1,2)[解析]A项减B项有：a1b1＋a2b2－(a1a2＋b1b2)＝(b1－a2)(a1－b2由题意得0＜a1＜eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＜a2＜1，0＜b1＜eq\f(1,2)，eq\f(1,2)＜b2＜1，∴(b1－a2)(a1－b2)＞0，∴a1b1＋a2b2＞a1a2＋b1b2A项减D项有：(a1b1＋a2b2)－eq\f(1,2)＝2a1b1＋eq\f(1,2)－a1－b1＝b1(2a1－1)－eq\f(1,2)(2a1－1)＝(2a1－1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b1－\f(1,2)))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(1,2)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(b1－\f(1,2)))＞0.∴a1b1＋a2b2＞eq\f(1,2).又知C项：a1b2＋a2b1＝a1(1－b1)＋a2(1－b2)＝a1＋a2－(a1b1＋a2b2)＝1－(a1b1＋a2b2)＜eq\f(1,2).∴A项最大，故选A.[答案]A2．设n∈N，n＞1，则logn(n＋1)与logn＋1(n＋2)的大小关系是________．[解析]eq\f(logn＋1n＋2,lognn＋1)＝logn＋1(n＋2)·logn＋1n≤eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(logn＋1n＋2＋logn＋1n,2)