2024-2025高中物理第一章静电场第6节电势差与电场强度的关系讲义+习题含解析新人教版选修3-1

PAGEPAGE13第6节电势差与电场强度的关系1．理解匀强电场中电势差与电场强度的关系UAB＝Ed，并且能够推导出这个关系式。2．知道电场强度的另一种求法：E＝eq\f(UAB,d)，了解场强的另一个单位“伏特每米”的意义。3．会用关系式UAB＝Ed或E＝eq\f(UAB,d)进行有关的计算和分析。一、匀强电场中电势差与电场强度的关系1．关系式：UAB＝eq\o(□,\s\up3(01))Ed或E＝eq\f(UAB,d)(注：公式中d是匀强电场中两点沿电场方向的距离)。2．物理意义：匀强电场中两点间的电势差等于eq\o(□,\s\up3(02))电场强度与这两点沿eq\o(□,\s\up3(03))电场方向的距离的乘积。3．适用条件：eq\o(□,\s\up3(04))匀强电场。二、公式E＝eq\f(UAB,d)的意义1．意义：在匀强电场中，电场强度的大小等于两点间的eq\o(□,\s\up3(01))电势差与两点沿eq\o(□,\s\up3(02))电场方向距离的比值。2．另一表述：电场强度在数值上等于沿eq\o(□,\s\up3(03))电场方向每单位距离上降低的电势。3．电场强度的单位：eq\o(□,\s\up3(04))N/C或eq\o(□,\s\up3(05))V/m。(1)公式U＝Ed适用于任何电场。()(2)在电场中相同距离的两点，电势差大的其电场强度也必定大。()(3)在匀强电场中，沿着电场方向，任何相同距离上的电势着陆必定相等。()(4)电势着陆的方向必定是电场强度的方向。()提示：(1)×(2)×(3)√(4)×课堂任务匀强电场中电势差与电场强度的关系细致视察下列图片，细致参加“师生互动”。活动1：图甲中电荷＋q从A运动至B，电场力所做的功从力和位移的角度怎么计算？提示：电场为匀强电场，电场力为恒力F＝qE，方向水平向右，力、位移方向一样，W＝Fl＝qEd。活动2：从功能关系的角度怎么计算图甲中电荷＋q从A运动至B电场力所做的功？提示：电场力做功WAB＝EpA－EpB＝qUAB。活动3：综合活动1和活动2能得到什么结论？提示：从A至B电场力所做的功是确定的，故有qUAB＝qEd，从而得到UAB＝Ed。活动4：如图乙所示，若A、B不在同一条电场线上，还能得出活动3的结论吗？提示：W＝Flcosα，α为AB与电场线方向的夹角，由于lcosα＝d，故W＝qEd。又电场力做功WAB＝qUAB，故有qUAB＝qEd，从而得到UAB＝Ed。活动5：探讨、沟通、展示，得出结论。(1)UAB＝Ed表明白电场强度与电势差的关系①大小关系：由E＝eq\f(UAB,d)可知，电场强度在数值上等于沿电场方向每单位距离上降低的电势。②方向关系：电场中电场强度的方向就是电势降低最快的方向。③物理意义：电场强度是电势差对空间位置的改变率，反映了电势随空间位置改变的快慢。(2)关于U＝Ed应特殊留意①某点的电势和电场强度没必定的联系，但某两点间的电势差与电场强度有关。②电势差与场强的关系式：UAB＝Ed，其中d为匀强电场中两点间沿电场方向的距离。③据U＝Ed可以得出结论：匀强电场中电势差与d成正比，但不能由E＝eq\f(U,d)而说E与d成反比。④应用公式U＝Ed可以只代入数据进行计算，但U只表示电势差的值，要求两点间的电势差必需要留意两点电势的凹凸。(3)UAB＝Ed的两个重要推论在匀强电场中由于U＝Ed，则在沿电场线方向上，U∝d，可以得出以下两个推论。推论1：匀强电场中沿任一方向上电势随距离匀称改变，对任一线段AB的中点C的电势均满意φC＝eq\f(φA＋φB,2)，如图甲所示。推论2：匀强电场中若两线段AB∥CD，且AB＝CD，则UAB＝UCD(或φA－φB＝φC－φD)，如图乙所示。例1如图所示，在匀强电场中，电荷量q＝5.0×10－10C的正电荷，由a点移到b点和由a点移到c点电场力做功都是3.0×10－8J，已知a、b、c三点的连线组成直角三角形，ab＝20cm，∠a＝37°，∠c＝90°，求：(1)a、b两点的电势差Uab；(2)匀强电场的场强大小和方向。(1)如何求电势差？提示：电势差可由U＝eq\f(W,q)求得。(2)如何求E的大小及方向？提示：借助电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面，可求得E的方向；由E＝eq\f(U,d)可求得E的大小。[规范解答](1)Uab＝eq\f(Wab,q)＝eq\f(3.0×10－8,5.0×10－10)V＝60V。(2)因为正电荷q从a到b和从a到c电场力做功相等，所以由W＝qU可得Uab＝Uac，b、c两点在同一等势面上，依据电场线与等势面垂直，且由电势高的等势面指向电势低的等势面可知，场强方向与bc边垂直且由a指向c。由U＝Ed可得，E＝eq\f(U,d)＝eq\f(Uac,ac)＝eq\f(60,0.2×cos37°)V/m＝375V/m。[完备答案](1)60V(2)375V/m方向与bc边垂直且由a指向c(1)电场中两点间电势差的求法①应用定义式UAB＝φA－φB来求解。②应用关系式UAB＝eq\f(WAB,q)来求解。③应用关系式UAB＝Ed(匀强电场)来求解。(2)电场强度E的三种计算方式区分公式物理含义引入过程适用范围说明E＝eq\f(F,q)电场强度的定义式F∝q，E与F、q无关，反映某点电场的性质适用于一切电场q为摸索电荷的电荷量E＝keq\f(Q,r2)真空中静止点电荷场强的确定式由E＝eq\f(F,q)和库仑定律导出在真空中，场源电荷Q是静止点电荷Q为场源电荷的电荷量E＝eq\f(U,d)匀强电场中电场强度与电势差的关系式由F＝qE、W＝Fd和W＝qU导出匀强电场d为沿电场方向的距离eq\a\vs4\al([变式训练1])如图所示，以O点为圆心，以R＝0.20m为半径的圆与坐标轴交点分别为a、b、c、d，该圆所在平面内有一匀强电场，场强方向与x轴正方向成θ＝60°角，已知a、b、c三点的电势分别为4eq\r(3)V、4V、－4eq\r(3)V，则下列说法正确的是()A．该匀强电场的场强E＝40eq\r(3)V/mB．该匀强电场的场强E＝80V/mC．d点的电势为－2eq\r(3)VD．d点的电势为－4V答案D解析由题意可知Uac＝8eq\r(3)V，由几何关系可得dac＝2Rsin60°＝0.2eq\r(3)m，所以该匀强电场的场强E＝eq\f(Uac,dac)＝40V/m，A、B错误；而dbd＝2Rsin30°＝0.20m，所以Ubd＝Edbd＝8V，又Ubd＝φb－φd，故d点的电势为－4V，C错误，D正确。例2如图所示，在平面直角坐标系中，有方向平行于坐标平面的匀强电场，其中坐标原点O处的电势为0V，点A处的电势为6V，点B处的电势为3V，则电场强度的大小为()A．200V/m B．200eq\r(3)V/mC．100V/m D．100eq\r(3)V/m(1)此题要用什么方法来计算电场强度？提示：坐标涉及距离，电势涉及电势差，此题用E＝eq\f(U,d)来计算电场强度。(2)怎么找出公式E＝eq\f(U,d)中的U和d?提示：电势3V是6V的一半，于是可以联想到推论：φC＝eq\f(φA＋φB,2)。坐标(3,0)与坐标(0，eq\r(3))两点的连线为等势线，与O点的电势差U为3V，作该等势线的垂线就可找到d。[规范解答]在匀强电场中，沿某一方向电势着陆，则在这一方向上电势匀称着陆，故OA的中点C的电势φC＝3V(如图所示)，因此BC为等势面，O点到BC的距离d＝OCsinα，而sinα＝eq\f(OB,\r(OB2＋OC2))＝eq\f(1,2)，所以d＝eq\f(1,2)OC＝1.5×10－2m。依据E＝eq\f(U,d)得，匀强电场的电场强度E＝eq\f(U,d)＝eq\f(3,1.5×10－2)V/m＝200V/m，故A正确，B、C、D错误。[完备答案]A用“等分法”求电势(1)在匀强电场中，沿随意一个方向，电势着陆(或上升)都是匀称的，故在同始终线上间距相同的两点间电势差相等。假如把某两点间的距离等分为n段，则每段两端点的电势差等于原电势差的\f(1,n)，采纳这种等分间距求电势的方法，叫等分法。2若已知电场中某几点的电势，要求其他点的电势时，一般采纳“等分法”在电场中找与待求点的电势相同的等势点。等分法也常用在画电场线的问题中。eq\a\vs4\al([变式训练2])在匀强电场中建立始终角坐标系，如图所示。从坐标原点沿＋y轴前进0.2m到A点，电势降低了10eq\r(2)V，从坐标原点沿＋x轴前进0.2m到B点，电势上升了10eq\r(2)V，则匀强电场的场强大小和方向为()A．50V/m，B→A B．50V/m，A→BC．100V/m，B→A D．100V/m，垂直AB斜向下答案C解析如图所示，连接A、B两点并找到AB的中点C，由题意知φC＝φO，连接OC，则OC为等势面。由几何关系可知，lAB＝eq\r(2)lOA＝eq\r(2)lOB＝0.2eq\r(2)m，OC垂直于AB，AB就是匀强电场中的一根电场线，则UBA＝20eq\r(2)V，故E＝eq\f(UBA,lBA)＝100V/m，方向由B指向A，故C正确。课堂任务非匀强电场中电势差与电场强度关系的定性分析细致视察下列图片，细致参加“师生互动”。活动1：图甲是一个小山的等高线图，假如把一个小球分别从山坡左右两边滚下(不考虑摩擦等阻碍)，哪边的加速度更大？提示：坡面越陡，加速度越大，所以b边加速度更大。活动2：若把图甲看成一个等势线图，哪边电势着陆得快，哪边的电场强度大？提示：b边电势着陆得快，故b边电场强度大。活动3：依据活动2，结合图乙，思索：等差等势面的疏密与场强的大小有关系吗？提示：乙图中各相邻等势面间的电势差U是肯定的，等势面密的地方d小，依据E＝eq\f(U,d)可以得出结论：等差等势面越密的地方场强就越大。活动4：图丙中ab＝bc，Uab＝Ubc吗？提示：由于电场线越密的地方电场强度E越大，且距离ab＝bc，由U＝Ed可知Uab＜Ubc。活动5：探讨、沟通、展示，得出结论。E＝eq\f(U,d)在非匀强电场中的妙用①推断电场强度大小：等差等势面越密，电场强度越大。②推断电势差的大小：同一电场线上距离相等的两点间E越大，U越大。③利用φ­x图象的斜率推断电场强度随位置改变的规律：k＝eq\f(Δφ,Δx)＝－eq\f(U,d)＝－Ex，斜率的大小表示电场强度的大小，正负表示电场强度的方向。例3如图所示的实线为电场线，虚线为等势线，a、b两点的电势分别为φa＝－50V，φb＝－20V，则a、b连线的中点c的电势φc应为()A．φc＝－35VB．φc>－35VC．φc<－35VD．条件不足，无法推断φc的范围(1)若此电场为匀强电场，φc为多少？提示：φc＝eq\f(φa＋φb,2)＝－35V。(2)如何推断c点电势与上述值的大小关系？提示：①大致画出φ＝－35V的等势面，看它在c点哪一边，再依据沿电场线方向电势降低推断得出。②比较Ubc和Uca的大小关系，进而推断得出。[规范解答]由图可知，这是一个非匀强电场，且Eb<Ea。若此电场为匀强电场，则φc＝－35V。而此电场中Eb<Ec<Ea，即从b到c的过程中每单位距离上的电势降低要比从c到a的过程中每单位距离上的电势降低慢，故Ubc<Uca，φb－φc<φc－φa，φc>eq\f(φa＋φb,2)＝－35V，因而B正确。[完备答案]B虽然在非匀强电场中E＝\f(U,d)并不成立，但是却可以用此公式来进行定性的分析。eq\a\vs4\al([变式训练3])如图所示，a、b、c、d、e五点在始终线上，b、c两点间的距离等于d、e两点间的距离，在a点固定放置一个点电荷，电荷量为＋Q。已知在＋Q的电场中b、c两点间的电势差为U，将另一个点电荷＋q从d点移动到e点的过程中，下列说法正确的是()A．电场力做功qU B．克服电场力做功qUC．电场力做功大于qU D．电场力做功小于qU答案D解析点电荷四周的电场线是直线，由电场线的分布特点可知，离点电荷越远，电场强度越弱，即d、e处的电场强度小于b、c处的电场强度，结合电场强度与电势差的关系，可以定性推断出Ude<Ubc，因此Wde<qU，又因为电场力方向和移动方向相同，故电场力做正功，故选D。A组：合格性水平训练1．(电势、电势能、电势差、电场强度)关于静电场，下列结论普遍成立的是()A．电场强度大的地方电势高，电场强度小的地方电势低B．匀强电场中随意两点之间的电势差只与场强有关C．在正电荷或负电荷产生的静电场中，场强方向都指向电势降低最快的方向D．在电场强度越大的地方，电荷的电势能也越大答案C解析电势凹凸与电场强度大小没有干脆关系，所以电场强度大的地方电势不肯定高，电场强度小的地方电势不肯定低，故A错误。由公式U＝Ed可知，匀强电场中两点之间的电势差与场强和两点间沿电场线方向的距离都有关，故B错误。在正电荷或负电荷产生的静电场中，沿场强方向电势降低最快，故C正确。电势能的大小与电势的凹凸和电荷的电性有关，与场强的大小没有关系，故D错误。2．(电势、电场强度、等势面)在静电场中，以下说法正确的是()A．电场中电场强度为零的地方，电势也肯定为零B．电场强度到处相同的地方，电势也肯定到处相同C．电场中某处电场强度的方向不肯定是和该处的等势面垂直的D．沿着电场强度的方向，电势肯定是不断降低的答案D解析电场强度大小和电势大小没有必定的联系，A错误；电场线始终垂直于等势面，且沿着电场线方向电势降低，C错误，D正确；电场强度到处相同，即为匀强电场，依据U＝Ed，电势不肯定相同，B错误。3．(电场强度的三个公式)关于场强的三个公式：①E＝eq\f(F,q)，②E＝keq\f(Q,r2)，③E＝eq\f(U,d)的适用范围，下列说法正确的是()A．三个公式都只能在真空中适用B．公式①和②只能在真空中适用，公式③在真空中和介质中都适用C．公式②和③只能在真空中适用，公式①在真空中和介质中都适用D．公式①适用于任何电场，公式②只适用于点电荷形成的电场，公式③只适用于匀强电场答案D解析①是通过比值的方法定义电场强度的，所以适用于任何电场；②是由库仑定律推导出来的，所以它适用于真空静止点电荷形成的电场；③适用于匀强电场，故D正确。4.(电场强度、电势)如图所示，a、b、c是一条电场线上的三个点，电场线的方向由a到c，a、b间距离等于b、c间距离。用φa、φb、φc和Ea、Eb、Ec分别表示a、b、c三点的电势和电场强度，可以判定()A．φa＞φb＞φcB．φa－φb＝φb－φcC．Ea＞Eb＞EcD．Ea＝Eb＝Ec答案A解析推断电场强度的大小，需看电场线的疏密，此题不具备作出推断的条件，C、D错误。电场线分布不确定，故Uab与Ubc的大小关系不确定，B错误。沿着电场线的方向电势降低，A正确。5.(电场强度、电势差、电场力做功)(多选)如图所示，匀强电场中某电场线上的两点A、B相距0.2m。一正点电荷所带电荷量为q＝10－6C，从A移到B，电场力做功2×10－6J，则()A．该电场的场强为10V/mB．该电场的方向由A向BC．A、B间的电势差为10VD．B点的电势比A点的高答案AB解析由题意知，UAB＝eq\f(W,q)＝eq\f(2×10－6,10－6)V＝2V，则E＝eq\f(UAB,d)＝eq\f(2,0.2)V/m＝10V/m，故A正确，C错误；因为从A到B电场力做正功，所以场强方向由A到B，A点电势高，故B正确，D错误。6.(电势差与电场强度的关系)如图所示，在xOy平面内有一个以O为圆心、半径R＝0.1m的圆，P为圆周上的一点，O、P两点连线与x轴正方向的夹角为θ。若空间存在沿y轴负方向的匀强电场，场强大小E＝100V/m，则O、P两点的电势差为()A．UOP＝－10sinθ(V)B．UOP＝10sinθ(V)C．UOP＝－10cosθ(V)D．UOP＝10cosθ(V)答案A解析过P作PM垂直x轴且交x于M，则d＝eq\x\to(PM)＝eq\x\to(OP)sinθ，又沿电场线方向电势渐渐降低，所以UOP＝－E·eq\x\to(PM)＝－10sinθ(V)，A正确。7.(电势差与电场强度的关系)如图所示是某电场中的一组等势面，若A、B、C、D相邻两点间距离均为2cm，A和P点间的距离为1.5cm，则该电场的场强E和P点的电势φP分别为()A．500V/m，－2.5VB.eq\f(1000\r(3),3)V/m，－2.5VC．500V/m,2.5VD.eq\f(1000\r(3),3)V/m,2.5V答案B解析由E＝eq\f(U,d)得：E＝eq\f(UCB,BC·sin60°)＝eq\f(10,2×10－2×\f(\r(3),2))V/m＝eq\f(1000\r(3),3)V/m，UBP＝E·PBsin60°＝eq\f(1000\r(3),3)×0.5×10－2×eq\f(\r(3),2)V＝2.5V，由于φB＝0，所以φP＝－UBP＝－2.5V，故B正确。8．(电势差与电场强度的关系)如图所示，P、Q两金属板间的电势差为50V，板间存在匀强电场，方向水平向左，板间的距离d＝10cm，其中Q板接地，两板间的A点距P板4cm。求：(1)A点的电势；(2)保持两板间的电势差不变，而将Q板向左平移5cm，则A点的电势将变为多少？答案(1)－30V(2)－10V解析板间场强方向水平向左，可见Q板是电势最高处，Q板接地，则电势φQ＝0，板间各点电势均为负值。(1)场强E＝eq\f(U,d)＝eq\f(50,10×10－2)V/m＝5×102V/m，Q、A间电势差UQA＝Ed′＝5×102×(10－4)×10－2V＝30V，A点电势φA＝φQ－UQA＝－30V。(2)当Q板向左平移5cm时，两板间距离d″＝(10－5)cm＝5cm，Q板与A点间距离变为d＝(10—4)－5＝1cm，电场强度E′＝eq\f(U,d″)＝eq\f(50,5×10－2)V/m＝1.0×103V/m，Q、A间电势差UQA′＝E′d＝1.0×103×1.0×10－2V＝10V，所以A点电势φA′＝φQ－UQA′＝－10V。B组：等级性水平训练9．(等分法确定电场方向)(多选)如图所示，A、B、C是匀强电场中平行于电场线的某一平面上的三个点，各点的电势分别为φA＝5V，φB＝2V，φC＝3V，H、F三等分AB，G为AC的中点，在下列各示意图中，能正确表示该电场场强方向的是()答案BC解析依据匀强电场的特点可知，H、F点的电势分别为φH＝4V，φF＝3V，G点的电势φG＝eq\f(5V＋3V,2)＝4V，则φH＝φG，则电场线垂直GH，B正确；又φC＝φF＝3V，可知电场线与CF垂直，C正确。10．(综合)(多选)如图所示，一电场的电场线分布关于y轴(沿竖直方向)对称，O、M、N是y轴上的三个点，且OM＝MN，P点在y轴的右侧，MP⊥ON，则()A．M点的电势比P点的电势高B．将负电荷