新人教七年级下多边形的内角和外角和

从这些图形你能抽象出什么平面图形？生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？三角形第2页,共36页，星期六，2024年，5月

长方形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？第3页,共36页，星期六，2024年，5月第4页,共36页，星期六，2024年，5月由这图形你抽象出什么几何图形？

四边形生活中的平面图形第5页,共36页，星期六，2024年，5月

六边形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？第6页,共36页，星期六，2024年，5月

八边形生活中的平面图形由这图形你抽象出什么几何图形？第7页,共36页，星期六，2024年，5月

浙江金华兰溪诸葛八卦村布局精巧玄妙，从高空俯视，全村呈八卦形，房屋、街巷的分布走向恰好与历史上写的诸葛亮九宫八卦阵暗合。

第8页,共36页，星期六，2024年，5月三角形

长方形

六边形

四边形

八边形在平面内，由若干条不在同一条直线上的线段首尾顺次相连组成的封闭图形叫做多边形。多边形的定义你能仿照三角形的定义给出多边形的定义吗？第9页,共36页，星期六，2024年，5月了解一下顶点内角边对角线对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段。可表示为：五边形ABCDE或五边形DCBAEABCDE第10页,共36页，星期六，2024年，5月ABCD12345内角：多边形相邻两边组成的角外角：多边形的边与它的邻边的延长线组成的角。内角外角第11页,共36页，星期六，2024年，5月比一比你能说出这两幅图形的异同点吗？（1）（2）如图（1）这样，画出多边形的任何一条边所在的直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形。本节我们只讨论凸多边形。第12页,共36页，星期六，2024年，5月想一想：观察下面多边形，它们的边，角有什么特点？

在平面内，内角都相等，边也都相等的多边形叫做正多边形第13页,共36页，星期六，2024年，5月议一议：（1）一个多边形的边都相等，它的内角一定都相等吗？（2）一个多边形的内角都相等，它的边一定都相等吗？（3）正三角形、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？（不一定,如菱形的边都相等,但内角不一定相等）（不一定,如矩形的内角都相等,但边未必都相等）60˚90˚120˚108˚135˚第14页,共36页，星期六，2024年，5月任意四边形的内角和又是多少度呢？你怎么得到呢？你能找到几种方法？多边形的内角和ABCDABCDP方法总结：(1)可以用度量的方法，量出四个角的度数。(2)将四个角撕下来拼在一起构成一个周360°。(3)可以从四边形的一个顶点出发，和其一个顶点连接，将四边形分成两个三角形。(4)可以在四边形的内部找一个点与四个顶点连接，将四边形分成四个三角形。

像这样的方法还很多都能说明任意四边形的内角和为360°，大家考虑一下后面几种画线的方法有没有共同之处？探索返回第15页,共36页，星期六，2024年，5月多边形的内角和从上面的问题研究中，你能想出五边形和六边形的内角和各是多少吗？你是怎么做的？ABCDEABCDEF从五边形的一个顶点出发，可以引

条对角线，并将五边形分为

个三角形，五边形的内角和为180°×

。从六边形的一个顶点出发，可以引

条对角线，并将六边形分为

个三角形，六边形的内角和为180°×

。

通过上面的研究，你知道多边形的内角和吗？请同学们思考。25--2(5—2)36--2(6—2)试一试返回第16页,共36页，星期六，2024年，5月多边形的内角和(1)三角形个数与多边形边数有何关系？

三角形个数比多边形的边数少2。(2)多边形的内角和与所有三角形的内角和有何关系？

多边形的内角和与所有三角形的内角和

相等(3)由此你能得到多边形的内角和吗？

从n边形的一个顶点出发，可以引

条对角线，并将n边形分为

个三角形，n边形的内角和等于

。（4）你还有其它的方法可以说明多边形的内角和为吗？n--3n--2180°×(n—2)180°×(n—2)提问返回第17页,共36页，星期六，2024年，5月多边形的内角和

从多边形的内部取一点，与各顶点相连接这样你能得到多边形的内角和吗？试试看。ABCDEABCDEFPQ

五边形有

个三角形，内角和是180°×

－360°=180°×(

－2)。六边形有

个三角形，内角和是180°×

－360°=180°×(

－2)。

问题：n边形有

个三角形，内角和是

180°×

－360°=180°×(

－2)。555666nnn再试一试注意返回第18页,共36页，星期六，2024年，5月多边形的内角和

1、多边形的内角和为：

（n-2）×180°；

2、已知边数如何求内角和；

3、已知内角和如何求边数。返回第19页,共36页，星期六，2024年，5月练一练2、如果一个多边形的内角和是1440度，那么这是

边形。

解：由多边形的内角和公式可得（n-2）·180=1440

(n-2)=8

n=10∴这是十边形。十第20页,共36页，星期六，2024年，5月2.求下列图形中x的值：∟(1)∟(2)(3)CABDE(4)AB∥CD做一做

第21页,共36页，星期六，2024年，5月多边形的内角和2、快速抢答，熟悉公式(1)、8边形的内角和是

。(2)、12边形的内角和是

。(3)、一个多边形的内角和是1440°，它是

边形。(4)、一个多边形的各内角都等于120°，它是

边形。3、解决问题：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？解：如图，四边形ABCD中，∠A+∠B=180°

因为∠A+∠B+∠C+∠D=(4－2)×180°=360°.

所以∠B+∠D=360°－(∠A+∠C)=360°－180°=180°.这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。返回1080°1800°

106第22页,共36页，星期六，2024年，5月3.已知一个多边形每个内角都等于108°

，求这个多边形的边数？4.如图：AD⊥AB,BC⊥CD,则∠B与∠D是什么关系？为什么？CAB∟∟D解：设这个多边形的边数为n，根据题意得：(n－2)×180=108n解得：n=5答：这个多边形是五边形。解：∠B与∠D是互补。因为AD⊥AB,BC⊥CD,

所以∠A=∠C=90°

因为四边形内角和等于360°所以∠B＋∠D=180°第23页,共36页，星期六，2024年，5月边顶点内角多(n)边形的内角和:（n-2）·1800AEBCD第24页,共36页，星期六，2024年，5月ABDCE21354

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在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和.

2.你能给这样的角起个名字并下个定义吗？

3.每个顶点处有几个这样的角？各有什么关系？问题（一）

1.观察图中的5个角，每个角的两边与五边形的边有什么关系？新知探究BCDAE

★

多边形的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角.第25页,共36页，星期六，2024年，5月小明跑完一圈，身体一共转过多少度？第26页,共36页，星期六，2024年，5月多边形的外角和都等于3600？第27页,共36页，星期六，2024年，5月ABDCE21354新知探究

（1）在多边形所在的平面内任取一点，（2）将一枝铅笔的一端放在这一点上，使铅笔先与一边平行，（3）绕该点转动铅笔，使它依次平行于多边形的其它各边，最后回到起点.问题（二）

1.你能利用这个实验来解释五边形的外角和为什么是3600吗？第28页,共36页，星期六，2024年，5月问题（二）

2.根据实验，你能得到一种验证五边形的外角和是3600的方法吗？ABDCE21354新知探究8C'7B'6D'9OA'E'10小明是这样思考的：

过平面内一点O分别作与五边形ABCDE各边平行的射线OA′、OB′、OC′、OD′、OE′,得到五个角∠6、∠7、∠8、∠9、∠10，根据这五个角的和就能求出∠1、∠2、∠3、∠4、∠5的和。你明白其中的道理吗？第29页,共36页，星期六，2024年，5月新知探究第30页,共36页，星期六，2024年，5月新知探究

想一想：如果小路围成的是六边形、八边形……任意多边形，还有类似的结论吗？多边形的外角和都等于3600.与边数无关！第31页,共36页，星期六，2024年，5月新知探究

问题（三）

1.多边形同一个顶点处的一个外角与内角有什么关系？

A1A2A3A4A5A6A7An

答:因为多边形的外角与它相邻的内角之和是1800，所以n边形的外角和加内角和等于n·180°，内角和为(n-2)·180°,因此，外角和为：n·180°－(n-2)·180°=360°.

2.你能利用以上关系以及多（n）边形的内角和推导出多（n）边形的外角和吗？

反过来呢？第32页,共36页，星期六，2024年，5月新知应用

例一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？

解：设这个多边形是n边形，则它的内角和是（n-2）·1800，外角和等于3600.由题意得（n-2）·180=3×360解得n=8答：这个多边形是八边形.第33页,共36页，星期六，2024年，5月小试牛刀