椭圆的几何性质

椭圆的几何性质标准方程图象范围对称性顶点坐标焦点坐标半轴长焦距a,b,c关系离心率关于x轴、y轴成轴对称；关于原点成中心对称。长半轴长为a,短半轴长为b.焦距为2c;a2=b2+c2第2页,共30页，星期六，2024年，5月求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)a=6,e=

,焦点在x轴上(2)离心率e=0.8,焦距为8(3)长轴是短轴的2倍,且过点P(2,-6)求椭圆的标准方程时,应:先定位(焦点),再定量（a、b）当焦点位置不确定时，要讨论，此时有两个解！(4)在x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且焦距为6第3页,共30页，星期六，2024年，5月例3求离心率e(1).若椭圆+=1的离心率为0.5，则：k=_____(2).若某个椭圆的长轴、短轴、焦距依次成等差数列，则其离心率e=__________(3)

已知椭圆的离心率求实数m的值第4页,共30页，星期六，2024年，5月例4：椭圆的左焦点是两个顶点，如果到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e=

.第5页,共30页，星期六，2024年，5月1.椭圆的一个焦点和短轴的两端点构成一个正三角形，则该椭圆的离心率是

.2.如图F2是椭圆的右焦点，MF2垂直于x轴，且B2A1∥MO,求其离心率.A1MB2OF2yx第6页,共30页，星期六，2024年，5月1.基本量:a、b、c、e几何意义：a-半长轴、b-半短轴、c-半焦距，e-离心率；相互关系：椭圆中的基本元素2.基本点：顶点、焦点、中心3.基本线:对称轴（共两条线）焦点总在长轴上!第7页,共30页，星期六，2024年，5月直线与椭圆的位置关系第8页,共30页，星期六，2024年，5月回忆：直线与圆的位置关系1.位置关系：相交、相切、相离2.判别方法(代数法)

联立直线与圆的方程消元得到二元一次方程组

(1)△>0

直线与圆相交

有两个公共点；

(2)△=0

直线与圆相切

有且只有一个公共点；

(3)△<0

直线与圆相离

无公共点．通法第9页,共30页，星期六，2024年，5月直线与椭圆的位置关系种类:相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)相离(没有交点)相切(一个交点)相交(二个交点)第10页,共30页，星期六，2024年，5月

一.直线与椭圆的位置关系的判定mx2+nx+p=0（m≠0）Ax+By+C=0由方程组：<0方程组无解相离无交点=0方程组有一解相切一个交点>0相交方程组有两解两个交点代数法=n2-4mp这是求解直线与二次曲线有关问题的通法。第11页,共30页，星期六，2024年，5月例.已知直线y=x-

与椭圆x2+4y2=2，判断它们的位置关系。x2+4y2=2解：联立方程组消去y∆=36>0，因为所以方程（１）有两个根，变式1：交点坐标是什么？则原方程组有两组解.-----(1)所以该直线与椭圆相交.变式2：相交所得的弦的弦长是多少？由韦达定理第12页,共30页，星期六，2024年，5月例1：已知斜率为1的直线L过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，求弦AB之长．题型二：弦长公式第13页,共30页，星期六，2024年，5月题型二：弦长公式第14页,共30页，星期六，2024年，5月练习1.k为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有两个公共点?有一个公共点?没有公共点?2、过椭圆

x2+2y2=2的左焦点作倾斜角为600的直线，直线与椭圆交于A,B两点，则弦长|AB|=_______.第15页,共30页，星期六，2024年，5月第16页,共30页，星期六，2024年，5月lmm思考：最大距离为多少？第17页,共30页，星期六，2024年，5月例3：已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被

平分，求此弦所在直线的方程.解：韦达定理→斜率韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造题型三：中点弦问题第18页,共30页，星期六，2024年，5月例3已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造出中点坐标和斜率．点作差题型三：中点弦问题第19页,共30页，星期六，2024年，5月例3已知椭圆过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被平分，求此弦所在直线的方程.所以x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0从而A,B在直线x+2y-4=0上而过A,B两点的直线有且只有一条解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这一条件，灵活运用中点坐标公式及韦达定理，题型三：中点弦问题第20页,共30页，星期六，2024年，5月例4、如图，已知椭圆与直线x+y-1=0交于A、B两点，AB的中点M与椭圆中心连线的斜率是，试求a、b的值。oxyABM第21页,共30页，星期六，2024年，5月练习：1、如果椭圆被的弦被（4，2）平分，那么这弦所在直线方程为（）A、x-2y=0B、x+2y-4=0C、2x+3y-12=0D、x+2y-8=02、y=kx+1与椭圆恰有公共点，则m的范围（）

A、（0，1）B、（0，5）

C、[1，5）∪（5，+∞

）D、（1，+∞

）3、过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为300的直线，则弦长|AB|=_______,DC第22页,共30页，星期六，2024年，5月练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.第23页,共30页，星期六，2024年，5月练习：已知椭圆5x2+9y2=45，椭圆的右焦点为F，(1)求过点F且斜率为1的直线被椭圆截得的弦长.(2)判断点A(1,1)与椭圆的位置关系,并求以A为中点椭圆的弦所在的直线方程.第24页,共30页，星期六，2024年，5月3、弦中点问题的两种处理方法：（1）联立方程组，消去一个未知数，利用韦达定理；（2）设两端点坐标，代入曲线方程相减可求出弦的斜率。

1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；2、弦长的计算方法：弦长公式：

|AB|=

=（适用于任何曲线）

小结解方程组消去其中一元得一元二次型方程△<0相离△=0相切△>0相交第25页,共30页，星期六，2024年，5月第26页,共30页，星期六，2024年，5月第27页,共30页，星期六，2024年，5月第28页,共30页，星期六，2024年，5月例第29页,共30页，星期六，2024年，