吉林市地区2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1吉林市地区2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】，故.故选：B.2.若，则（）A. B. C. D.3【答案】C【解析】因为，所以.故选：C.3.函数的定义域是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】对于函数，有，解得，因此，函数的定义域为.故选：C.4.“角为第二象限角”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当角为第二象限角，，所以，充分性成立；反过来，当时，角为第二或第四象限角，必要性不成立，所以“角为第二象限角”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.已知，，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，，所以.故选：B.6.若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】令，因为函数是实数集上的增函数，又在区间上单调递增，所以函数在区间上单调递增，因为二次函数的对称轴为，所以有，即，故选：B.7.已知函数（，且）图象经过定点，若正数，满足，则的最小值为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】因为函数（，且）图象经过定点，所以，所以，，所以.当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为.故选：C.8.莱洛三角形也叫圆弧三角形，它是由德国机械学家莱洛首先发现的.其画法如下：先画等边三角形，再分别以三个顶点为圆心、以边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的曲边三角形称为莱洛三角形.如图所示，若莱洛三角形的周长为，则其面积为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由条件可知，弧长，等边三角形的边长，则以点A、B、C为圆心，圆弧所对的扇形面积为，中间等边的面积.所以莱洛三角形的面积是.故选：D.二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下列命题为真命题的是（）A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则【答案】BD【解析】对于A，若，当时，不成立，故A错误；对于B，若，由不等式性质，，故B正确；对于C，若，取，则，故C错误；对于D，若，则，所以，故D正确.故选：BD.10.已知函数的部分图象如图所示，则（）A.B.C.函数的对称轴方程为D.将的图象向左平移个单位长度得到一个偶函数的图象【答案】ABD【解析】由图象可知，，故A正确；又，所以，解得，故B正确；所以，由，即，又，故，所以，令，解得，即函数对称轴方程为，故C错误；将的图象向左平移个单位长度得到函数，函数为偶函数，故D正确.故选：ABD.11.切比雪夫多项式是以俄国著名数学家切比雪夫（Tschebyscheff，又译契贝雪夫等，1821-1894）的名字命名的重要的特殊函数，第一类切比雪夫多项式和第二类切比雪夫多项式（简称切比雪夫多项式）源起于多倍角的余弦函数和正弦函数的展开式，是与棣莫弗定理有关、以递推方式定义的多项式序列，是计算数学中的一类特殊函数.有许多良好的结论，例如：①，，对于正整数时，有成立；②，成立.若函数在上有3个不同的零点，分别记为，，，则（）A B.C.若，则 D.【答案】ABD【解析】对于A，因为，所以，又因为，，所以，，所以，故A正确；对于B，因为，，故B正确；对于C，若，，所以，即，结合C选项，所以，故C错误；对于D，函数在上有3个不同的零点，即方程在上有3个不同的实根，所以令，则，由C选项可知，，而，则或或，于是，则，故D正确，故选：ABD.三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.其中第14题的第一个空填对得2分，第二个空填对得3分.12.已知命题，，写出命题的否定：_____.【答案】【解析】由全称命题的否定知，命题，的否定为：.13.已知，则的值为_____.【答案】【解析】因为，所以或，又因为所以，所以.14.已知函数，则关于的方程的解的个数为_____；若关于的方程有8个不相等实数根，则实数的取值范围是_____.【答案】3【解析】①作出函数的图象，如图，∵函数的图象与轴有3个交点，∴关于的方程有3个实数解.②令，由图可知，当，有4个不相等的实数根，若关于的方程有8个不相等实数根，则方程有两个大于零且不大于2的不等的实根，因此，解得.四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.已知函数.（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）当时，求的最值以及取得最值时的集合.解：（1），所以，函数y=fx的最小正周期为.令，得，因此，函数y=fx的单调递增区间为.（2）当时，.当，即时，函数y=fx有最大值，最大值为.当，即时，函数y=fx有最小值，且最小值为.16.如图，在单位圆中，已知角的终边与单位圆的交点为.（1）求，的值；（2）将角的终边绕原点逆时针旋转角与单位圆交于点，求的值.解：（1）∵角的终边与单位圆的交点为，∴，又∵，∴，∴，∴.（2）因为将角的终边绕原点逆时针旋转角与单位圆交于点，所以，所以.17.吉林位于“冰雪黄金带”，拥有世界上顶级的“粉雪”资源，是冰雪运动的理想之地，吸引了无数滑雪爱好者.吉林市拥有两个优质的滑雪胜地：“北大湖滑雪场”“万科松花湖滑雪场”.北大湖滑雪场是符合国际标准的滑雪场，曾在这里举办过“中国第六届冬季运动会”“中国第二届青年冬季运动会”“中国跳台滑雪锦标赛”和省、市不同等级雪上项目的比赛.北大湖滑雪场接待了多届“中国·吉林国际雾凇冰雪节”游客，并被国家体育总局评为冰雪旅游类“国家体育产业示范单位”.万科松花湖滑雪场是距离城市最近的大型滑雪场之一，曾获得“中国最佳滑雪旅游度假区”殊荣.这两个滑雪场多年以来在推动中国的滑雪运动、冰雪旅游、带动城市周边农村经济发展等方面都做出了重要贡献.近几年，这两个滑雪场接待总人次的年增长速度越来越快，经统计发现，2021至2023年的年接待总人次近似值如下表所示：年份202120222023年份代码x123年接待总人次y/万101216根据以上数据，两个滑雪场的年接待总人次与年份代码有以下两种函数模型可供选择：①，②（，，且）.（1）试判断哪种函数模型更适合刻画两个滑雪场的年接待总人次的增长趋势，请简述理由，并利用表格中后两组数据求出相应的函数解析式；（2）根据（1）中选择的函数模型，按表格中的数据增长趋势，预测在哪一年两个滑雪场的年接待总人次达到25万?（参考数据：，，，）解：（1）选择更合适，因为年接待总人次随年份的增长呈爆炸增长趋势.依题意，，解得，，.（2）由（1）可知，设在年份代码为时，两个滑雪场的年接待总人次达到25万，则，所以，所以预测在年份代码为5，即2025年两个滑雪场的年接待总人次达到25万.18.已知二次函数.（1）若函数的图象如图所示，直接写出实数的值和不等式的解集，并写出集合的真子集；（2）解关于的不等式；（3）若函数，，求实数的取值范围.解：（1）因为，所以由图可知，，当时，，即不等式解集为，所以，其真子集为.（2）由，①当a=2时，不等的解为；②当时，不等式的解为或；③当时，不等式的解为或，综上，当时，不等式的解集为；当时，不等式解集为；当时，不等式解集为.（3）由可得，由，可得，令，则在上单调递减，在上单调递增，又时，时，，所以当时，，所以有最大值，故只需即可.19.在物理学和几何学中，悬链线是指理想化的悬挂链条或电缆在均匀重力场中仅在其两端受到支撑时，在自身重量的作用下呈现的曲线.悬链线呈形，表面上看起来类似于抛物线，但实际上并不是.笛卡尔坐标系中的悬链线方程为.当时，是双曲余弦函数，类似的，也有双曲正弦函数.（1）求的值；（2）令.（ⅰ）证明函数Fx的奇偶性，并求关于的不等式的解集；（ⅱ）若对恒成立，求实数的最大值.解：（1）.（2），（