湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题(解析版)_第1页
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高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖南省岳阳市云溪区2024-2025学年高二上学期12月月考数学试题一、单选题(共8小题,每小题5分,共40分)1.若平面α//β,且平面的一个法向量为,则平面的法向量可以是()A. B. C. D.【答案】A【解析】若平面α//β,则两个平面法向量互相平行,所以平面的法向量为,所以当时,向量为,故选:A.2.若方程表示双曲线,则实数的取值范围是()A. B.C. D.或【答案】C【解析】根据题意有,所以.故选:C.3.已知正方体,点是上底面的中心,若,则等于()A.2 B. C. D.【答案】C【解析】正方体,点是上底面的中心,如图,则,不共面,又,于是得,所以.故选:C4.今有水平相当的棋手甲和棋手乙进行某项围棋比赛,胜者可获得48000元奖金.比赛规定下满五局,五局中获胜局数多者赢得比赛,比赛无平局,若比赛已进行三局,甲两胜一负,由于突发因素无法进行后面比赛,如何分配奖金最合理?()A.甲24000元,乙24000元 B.甲32000元,乙16000元C.甲40000元,乙8000元 D.甲36000元,乙12000元【答案】D【解析】乙最终获胜的概率为,甲最终获胜的概率为,所以甲乙两人按照分配奖金才比较合理,所以甲元,乙元,故选:D.5.设、为两条不同的直线,、为两个不同的平面,给出下列命题:①若,,则;②若,,则;③若,,则;④若,,则;上述命题中,所有真命题的序号是()A.①② B.③④ C.①③ D.②④【答案】D【解析】对于①,平面与平面也可能相交,故错误;对于②,根据垂直同一条的直线的两个平面平行得正确;对于③,直线与直线可能相交,可能异面,故错误;对于④根据垂直同一平面的两条直线平行正确;故答案为:D.6.已知为直线上的动点,点满足,则点的轨迹方程为()A. B.C. D.【答案】B【解析】设点,由,得点,又点在直线上,因此,整理得,所以点的轨迹方程为.故选:B7.在四面体中,平面,,则该四面体的外接球的表面积为()A. B. C. D.【答案】C【解析】因为平面,平面,所以,又,,且平面,平面,所以平面,所以.因为,所以,,,根据该几何体的特点可知,该四面体的外接球球心位于的中点,则外接球半径,故该四面体的外接球的表面积为.故选:C.,8.已知圆和,若动圆与这两圆一个内切一个外切,记该动圆圆心的轨迹为,则的方程为()A. B.C. D.【答案】D【解析】圆和的圆心、半径分别为,由,得点在圆内,设动圆半径为,依题意,,,则,因此P点的轨迹为以为焦点的椭圆,其中,即,而圆内切于,切点在P点的轨迹上,此点可视为极限位置的点,所以椭圆方程为.故选:D二、多选题(共4小题,每小题5分,共20分)9.若是空间的一个基底,则下列各组中能构成空间一个基底的是(

)A. B.C. D.【答案】ABD【解析】由于是空间的一个基底,所以不共面,对于A,向量分别与共线,所以不共面,能构成空间一个基底;对于B,不存在实数满足,因此不共面,能构成空间一个基底;对于C,由于,因此这三个向量是共面的,不能构成基底.对于D,不存在实数满足,因此不共面,能构成空间一个基底.故选:ABD10.点在圆上,点在上,则()A.两个圆的公切线有2条B.两个圆上任意一点关于直线的对称点仍在该圆上C.的取值范围为D.两个圆的公共弦所在直线的方程为【答案】BC【解析】圆的圆心,半径,圆的圆心,半径,对于A,由,得圆外离,这两个圆有4条公切线,A错误;对于B,直线方程为上,因此直线为两圆的公共对称轴,B正确;对于C,,,则的取值范围为,C正确;对于D,由圆外离,得圆不存在公共弦,D错误.故选:BC11.柜子里有双不同鞋子,从中随机地取出只,下列计算结果正确的是()A.“取出的鞋成双”的概率等于B.“取出的鞋都是左鞋”的概率等于C.“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于D.“取出的鞋一只是左鞋,一只是右鞋,但不成双”的概率等于【答案】BC【解析】记双不同的鞋子按左右为,随机取只的样本空间为,共种,则“取出的鞋成双”的概率等于,A错;“取出的鞋都是左鞋”的概率等于,B正确;“取出的鞋都是左鞋或都是右鞋”的概率等于,C正确;“取出的鞋一只是左鞋,一只是右鞋,但不成双”的概率等于,D错.故选:BC12.已知直线的方向向量,为直线上一点,若点P(1,0,2)为直线外一点,则P到直线上任意一点Q的距离可能为()A.2 B. C. D.1【答案】AB【解析】由题设条件可知,,所以,设与的夹角为,则,所以,所以点到直线的距离为,P到直线上任意一点Q的距离要大于等于,故选:AB.三、填空题(共4小题,每小题5分,共20分)13.已知向量,,满足,则______.【答案】6【解析】,∵,则,解得.故答案为:6.14.唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说:“白日登山望烽火,黄昏饮马傍交河”,诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题,即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发,先到河边饮马后再回到军营,怎样走才能使总路程最短?在平面直角坐标系中,设军营所在的位置为,若将军从山脚下的点处出发,河岸线所在直线方程为,则“将军饮马”的最短总路程为__________.【答案】【解析】设点关于对称点,则,解得,即,所以“将军饮马”的最短总路程为.故答案为:15.如图,边长为的正的中线与中位线相交于,已知是绕旋转过程中的一个图形,现给出下列命题,其中正确的命题有___________(只需填上正确命题的序号).①动点在平面上的射影在线段上;②三棱锥的体积有最大值;③恒有平面平面;④异面直线与不可能互相垂直;⑤异面直线与所成角的取值范围是.【答案】①②③⑤.【解析】过作面,垂足为,为正三角形且中线与中位线相交,,.又平面,面

,面,∴面面,即平面平面,且面面,在上,故①对,③对.,底面的面积是个定值,当为时,即底面时,三棱锥的体积最大,故②正确.由题意可知,故异面直线与所成角即为和的夹角,结合图形知:和有可能垂直(当时),故它们的夹角范围为,故异面直线与所成角的取值范围是,故⑤正确.由于,故为异面直线与所成角或其补角,而,故当时,,即,即在是绕旋转的过程中,异面直线与可能互相垂直,故④不正确.故答案为:①②③⑤16.已知抛物线的焦点为F,A为抛物线C上一点.以F为圆心,FA为半径的圆交抛物线C的准线于B,D两点,A,F,B三点共线,且,则______.【答案】2【解析】抛物线的焦点为,,准线方程为,因为,,三点共线,可得为圆的直径,如图示:设准线交x轴于E,所以,则,由抛物线的定义可得,又是的中点,所以到准线的距离为,故答案为:2.四、解答题(共4小题,共70分)17.如图,在空间直角坐标系中有长方体,,,.求:(1)向量,,的坐标;(2),的坐标.解:(1)由已知,则,,;(2),.18.在平面直角坐标系中,圆经过和点,且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程;(2)若直线被圆截得弦长为,求实数的值解:(1)依题意,线段的中点,直线的斜率,则线段的垂直平分线的方程为,由,解得,因此圆的圆心,半径,所以圆的方程为.(2)由直线被曲线截得弦长为,得圆心到直线的距离因此,解得,所以实数的值为.19.某校为选拔参加数学联赛的同学,先进行校内数学竞赛,为了解校内竞赛成绩,从所有学生中随机抽取200名学生,记录他们的首轮竞赛成绩,并作出频率分布直方图,根据图形,请回答下列问题:(1)求频率分布直方图中a的值.若从成绩不低于70分的同学中,按分层抽样方法抽取12人的成绩,求12人中成绩不低于90分的人数.(2)用样本估计总体,估计该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数以及中位数.(3)若甲、乙两位同学均进入第二轮的复赛,已知甲复赛获一等奖的概率为,乙复赛获一等奖的概率为,甲、乙是否获一等奖互不影响,求至少有一位同学复赛获一等奖的概率.解:(1)由频率分布直方图可得,解得.的频率为,的频率为,的频率为,按分层抽样方法抽取12人的成绩,则12人中成绩不低于90分人数为.(2)该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数为:.的频率为,的频率为,设中位数为,则,则,解得,故该校学生首轮数学竞赛成绩的平均数约为分,中位数约为分.(3)设“至少有一位同学复赛获一等奖”,则,故至少有一位同学复赛获一等奖的概率为.20.已知抛物线的焦点为为坐标原点,为抛物线上一

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