河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省南阳市六校2024-2025学年高二上学期第二次联考数学试题注意事项：1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知，，，若，，共面，则实数的值为（）A. B. C.2 D.3【答案】C【解析】由题设且，则，所以，可得.故选：C2.设向量与满足，在方向上的投影向量为，则在方向上的投影数量为（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由在方向上的投影向量为，得，则，所以在方向上的投影数量为.故选：B3.学校教师运动会设置有“跳绳”、“立定跳远”、“定点投篮”、“沙包掷准”四个比赛项目，每个项目各需要一位裁判，现有甲、乙、丙、丁四位体育老师，每人做且仅做一项裁判工作，因为时间问题，甲不能安排“跳绳”裁判，乙不能安排“定点投篮”裁判，则不同的安排方法共有（）A.12种 B.14种C7种 D.9种【答案】B【解析】当甲安排“定点投篮”，另外3人任意安排工作有6种方法.当甲不安排“定点投篮”时，先安排甲有2种，再安排乙有2种，另外剩余2人有2种，此时有种方法，共有种，故选：B4.如图，在四面体OABC中，，，，点为线段OA上靠近点的三等分点，为BC的中点，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由图知.故选：C5.已知三棱锥中，平面，,且，，分别为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】取AC的中点，SC的中点，连接DH，EH，EF，DF，如图所示：在中，因为，分别为SA，SC的中点，故，故或其补角即为所求角，设，在中，，又有，由平面，平面，可得，则，，由于，可得平面ABC，又面ABC，则，可得，所以.故选：D.6.已知椭圆：，过点且方向向量为的光线，经直线反射后过的右焦点，则的离心率为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设过点且方向向量为的光线，交直线的点为，右焦点为，如下图所示：因为方向向量的直线斜率为，则，直线AB的斜率为，又由反射光线的性质可得的斜率为1，故，所以为等腰直角三角形，且到的距离为，又，故，所以，则，故，离心率.故选：A7.已知，，若圆上存在点满足，则的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】设点，则由得点的轨迹方程为，圆心为，半径为2，由此可知圆与有公共点，又圆的圆心为，半径为3，所以，解得，即的取值范围是.故选：A.8.正八面体可由连接正方体每个面的中心构成，如图所示，在棱长为2的正八面体中，则有（）A.直线与是异面直线 B.平面平面C.该几何体的体积为 D.平面与平面间的距离为【答案】D【解析】正八面体可由正方体每个面的中心构成，如图：因为正八面体的棱长为2，所以正方体的棱长为.∵，，，四点共面，直线与是共面的，故A错；设二面角为，，，所以.所以：二面角，故B错；，故C错；由八面体的构成可知：平面和平面之间的距离是正方体体对角线的13，所以两个平面之间的距离为：，故D对.故选：D二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.）9.以下命题正确的是（）A.直线：与直线：垂直的充要条件是B.已知圆：，过点的直线与圆交于，两点，则的最小值为4C.方程表示椭圆的充要条件是D.直线和以、为端点的线段相交，则的取值范围是【答案】ABD【解析】对于，，所以，解得，故A正确；对于B，点在圆内，当时，取最小值，，，所以的最小值是，故B正确；对于C，方程表示椭圆的充要条件是，解得且，故C错误；对于D，由直线可得，所以直线过定点，又，，画图可知的取值范围是，故D正确；故选：ABD10.已知直线：，双曲线：.以下说法正确的是（）A.当时，直线与双曲线只有一个公共点B.直线与双曲线只有一个公共点时，或C.当或时，直线与双曲线没有公共点D.当时，直线与双曲线有两个公共点【答案】AC【解析】由直线方程知，直线过，双曲线的渐近线为，所以时一个交点，联立直线与双曲线，得，则，当，即时直线与双曲线相切，当，即或时没有公共点，当且，即或或时两个公共点.所以A、C对，B、D错.故选：AC11.正方体的8个顶点分别在4个互相平行的平面内，每个平面内至少有一个顶点，且相邻两个平面间的距离为1，则该正方体的棱长为（）A. B. C.2 D.【答案】BD【解析】设该正方体为，且其棱长为，若考虑4个平面中最中间的两个平面，共有两种情况.①若中间的两个平面为平面和平面，如图1所示，则过作截面，截面图如图2所示，其中分别为中点，则，设相邻两平面间距离即为A到的距离，可得，解得，即相邻两平面间距离即为A到的距离，可知，解得；②若中间的两个平面如图3所示，过作截面，截面图如图4所示，其中分别为中点，则，设相邻两平面间距离即为到的距离，可得，解得，即相邻两平面间距离即为到的距离，则，解得；故选：BD.三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12.已知直线：，圆：，若圆上至少存在两点到直线的距离等于，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】圆心到直线的距离，且圆的半径，圆上至少存在两点到直线的距离为，则，即，所以，解得，故的取值范围是.故答案为：13.在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，，点在棱上运动.则面积的最小值为___________.【答案】【解析】如图，作于点，作，交于点，连接.得到，，平面，，又，，所以面PQM，所以.设，，由，得到，在中，，得到，，，当且仅当时，等号成立..故答案为：.14.已知正方体的棱长为，为棱的中点，平面过点，，则平面截正方体所得截面的周长为__________.【答案】【解析】取的中点，连接，在正方形中，因为分别为的中点，可得，所以，因为，所以，可得，在正方体中，平面，因为平面，所以又因为分别为的中点，所以，所以，因为，且平面，所以平面，又因为平面，所以，正方体中，由平面，且平面，可得，因为，且，平面，所以平面，又因为平面，所以，因为且平面，所以平面，即平面为平面，取的中点，连接，因为、分别为、的中点，则，因为且，故四边形为平行四边形，故，所以，，故、、、四点共面，则截面为，由正方体的棱长为，可得，，，所以所得截面周长.故答案为：.四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）15.已知函数的图象与直线均过定点.（1）若直线在，轴上的截距相等，求直线的方程；（2）若点是圆：上的动点，点满足，求的最大值.解：（1）因为，所以定点因为直线在，轴上的截距相等，设截距分别为，，当时，直线经过原点，设，又经过点，则有，直线的方程为；当时，设直线的方程为，代入点，解得，所以直线的方程为.综上可得直线的方程为或.（2）设，Px0,可得，代入，得即为点的轨迹方程，如下图所示：圆心，半径，点在圆外，点到圆心的距离为，所以的最大值为.16.已知圆：.（1）若直线平分圆，求的最小值；（2）顶点在原点，焦点在轴上的抛物线的准线与圆相切，为抛物线的焦点，为抛物线上的动点，点，求的最大值.解：（1）由圆的方程，即，则圆的圆心，半径，由题意知，直线过圆心，则，即，，，由，当且仅当时等号成立，所以的最小值是4.（2）由题意，抛物线的准线为，所以抛物线方程为，焦点，所以，，，其中，所以，时有，当且仅当，即时等号成立；而时，，，则.所以最大值是.17.在图1的直角梯形ABCD中，，，，点是DC边上靠近于点的三等分点，AC交BE于点，以BE为折痕将折起，使点到达的位置，且，如图2.（1）求四棱锥的体积；（2）求与平面所成角的正弦值.解：（1）根据题意，由直角梯形边长，，可知故，；又点是边上靠近于点的三等分点，所以，可得为等边三角形；连接，如下图所示：可得四边形为菱形，所以，即折起后，，如图所示，易知，又，满足，即；又，AF，平面，所以平面，且，梯形的面积为，所以（2）以为坐标原点，分别以，为，轴，方向为轴正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则，，，,，可得，，，设平面的法向量，则，令，则得为平面一个法向量，设与平面所成的角为，所以.18.如图，在四棱锥中，底面四边形ABCD为正方形，为棱PD的中点，为边AB的中点.（1）求证：平面POC；（2）若侧面底面ABCD，且，，求二面角的余弦值.解：（1）取线段PC的中点，连接OM，EM，在中，，分别为PD，PC的中点∴，且，又∵底面ABCD是正方形，且是AB的中点，∴，且，∴，且∴四边形AOME为平行四边形，则，又平面POC，平面POC，∴平面POC.（2）由，，可知为等边三角形，设OA中点为，则，又∵平面平面ABCD，平面平面，平面，所以平面ABCD，设CD上靠近点的四等分点为，则，，以为原点，分别以QB，QN，QP所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则，，，，，设平面PBD的法向量为，则，取，得，，所以为平面PBD的一个法向量.取平面ABD的法向量为设平面PBD与平面ABD所成的平面角为，且为锐角，则.所以二面角的余弦值为.19.焦距为的椭圆，如果