河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期阶段性考试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省驻马店市环际大联考“逐梦计划”2024-2025学年高二上学期阶段性考试数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知空间向量，，满足，则实数的值是（）A.-5 B.-4 C.4 D.5【答案】D【解析】，，即，解得：.故选：D2.抛物线的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因为抛物线方程化为标准形式为，所以，则焦点坐标为0,1.故选：B.3.“”是“直线与直线互相垂直”（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】因为“直线与直线互相垂直”可得,所以，故或.所以“”是“直线与直线互相垂直”的充分不必要条件.故选：A.4.已知椭圆的左、右焦点分别为、，长轴长，焦距为，过点的直线交椭圆于，两点，则的周长为（）A.4 B.8 C.16 D.32【答案】D【解析】因为椭圆方程为，长轴长为，则，的周长为.故选：D5.某校A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，若A须在B前面出场，则不同的出场次序有（）A.18种 B.36种 C.60种 D.72种【答案】C【解析】因为A，B，C，D，E五名学生分别上台演讲，且A须在B前面出场，所以有种出场顺序.故选：C6.抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，则的最小值为（）A.5 B.9 C.8 D.10【答案】B【解析】由抛物线焦点弦性质可得，则，所以，令，，所以，当且仅当，即时等号成立.所以的最小值为9.故选：B.7.已知点，，点是圆上任意一点，则面积的最小值为（）A.6 B. C. D.【答案】D【解析】两点，B0,3，则，直线方程为，圆的圆心，半径，点到直线的距离，因此点到直线距离的最小值为，所以面积的最小值是.故选：D8.已知，分别是双曲线的左、右焦点，为上一点，，且的面积等于8，则（）A B.2 C. D.4【答案】C【解析】因为，所以，即，由双曲线定义可得，所以，即，又，所以，所以，解得.故选：.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.甲、乙、丙、丁、戊5人参加完某项活动后合影留念，则（）A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120种排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有24种排法C.5人站成一排，甲不在两端，共有144种排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78种排法【答案】BD【解析】对A：甲、乙、丙站前排，有种排法，丁、戌站后排，有种排法，共有种排法，故A错误；对B：甲、乙看作一个元素，则5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左边，共有种排法，故B正确；对C：5人站成一排，甲不在两端，共有种排法，故C错误；对D：5人站成一排，有种排法，则甲在最左端，乙不在最右端，共有种排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有种排法；甲在最左端，乙在最右端，共有种排法；则甲不在最左端，乙不在最右端，共有种排法，故D正确.故选：BD.10.在棱长为2的正方体中，点E，F分别为棱的中点，点在底面内运动（含边界），且平面，则（）A.若，则平面B.点到直线的距离为C.若，则D.直线与平面所成角的正弦值为【答案】ACD【解析】分别取棱，，，的中点M，N，P，Q，∵点E，F分别为棱，的中点，∴，∵，∴，∵平面，平面，∴，∵平面，∴平面，∵平面，∴，同理，∵平面，∴平面，根据条件平面，可得平面即为平面，于是点G的轨迹即为线段对于A，若，则点G在上，又点G的轨迹即为线段，则点G为棱的中点P，连，∵，∴为平行四边形，∴，又平面，平面，所以平面，故A正确；对于B，∵点F，Q分别为棱，的中点，∴，∴正六边形的边长为，设正六边形的中心，则均是边长为的正三角形，∵,∴，即与间的距离，因为，所以点G到的距离即为与间的距离，所以点G到的距离为，所以B错误；对于C，连，交点为，∵，则点G在上，又点G的轨迹即为线段，则点G为与的交点，∵分别为的中点，则，此时，于是满足，所以C正确；对于D，设平面，根据对称性可知，为的中点，∴，∵平面，∴为直线与平面所成的角，又，∴，所以直线与平面所成角的正弦值为，故D正确，故选：ACD.11.已知曲线，称曲线上的点Px,y为“边线点”，曲线称为“边线曲线”，则（）A.“边线曲线”关于对称B.“边线曲线”在处切线的斜率为C.存在“边线点”Px,y，使得D.“边线点”Px,y到原点距离的最小值为【答案】ABD【解析】对于A：因为Px,y在曲线上，则，点满足，所以点也在曲线上，所以“边线曲线”关于对称，A选项正确：对于B：由，可得，，所以“边线曲线”关于轴，轴，原点对称，所以“边线曲线”在处切线的斜率有正负两个值，且互为相反数，因为，所以以为例，，当时，，所以由对称性可知，在处切线斜率为，B正确；对于C：因为，所以，所以，即得，C错误；对于D：“边线点”Px,y，当且仅当即时取最小值2，D选项正确.故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知双曲线的渐近线方程为，则_____.【答案】【解析】对于双曲线，得，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为：.13.的展开式中的系数为_____.（用数字作答）【答案】【解析】因为，所以的展开式中含的项为，故的展开式中的系数为.故答案为：14.已知双曲线的离心率为2，把上所有点绕原点逆时针旋转角所得曲线的方程为，则的虚轴长为_____.【答案】【解析】设Px,y在曲线上，也在曲线上，且也在曲线上，曲线两条对称轴分别为，而与曲线没有交点，为曲线实轴所在的直线，联立，解得，则直线和曲线的交点为和，因此，双曲线中，又双曲线的离心率为2，则，，则虚轴长为.故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.曲线（1）若曲线表示双曲线，求的取值范围；（2）当时，点在曲线上，，，，求点的横坐标.解：（1）曲线表示双曲线，则，即，解得.（2）当时，曲线为双曲线，点在曲线上，设，则，所以，因为，所以，解得，故点的横坐标为.16.已知平面直角坐标系中，圆，点，（1）若是圆上的动点，线段的中点为，求的轨迹方程；（2）过点作直线与点的轨迹方程交于、两点，若，求直线的方程.解：（1）设Mx,y，Ax0,y0则，所以，点在圆上，代入圆，得，化简得，即为的轨迹方程；（2）由（1）知：的轨迹是以为圆心，为半径的圆，当直线的斜率存在时，设，即，则的圆心到直线的距离，所以，解得，故直线为；当直线斜率不存在时，，也符合题意，所以直线的方程为或.17.如图，在三棱柱中，平面，，分别为，的中点，，.（1）求证：平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值；（3）求点到平面的距离.解：（1）在三棱柱中，D，E为的中点，，平面，平面，平面，，在三角形中，，为中点，，，，平面，平面；（2）如图，以为原点，建立空间直角坐标系，在直角三角形中，，，，，，A1,0,0，，，，，设平面的法向量为，，令，则，，所以，设直线与平面所成角为，所以；（3）设点到平面的距离为，所以，故点到平面的距离.18.已知是抛物线的焦点，不过原点的动直线交抛物线于，两点，是线段的中点，点在准线上的射影为，当时，.（1）求抛物线的方程；（2）当时，求证：直线过定点.解：（1）由对称性可知，当时，轴且过焦点，不妨设在轴上方，则,此时，，因为，所以，解得或（舍去），所以抛物线方程为；（2）当直线的斜率为0时，显然不符合题意；当直线的斜率不为0时，设直线，、、，由化简得，，，，，所以，所以，，所以若，即，解得或（舍去），所以直线过定点；19.平面内有一点和直线，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是.点的运动轨迹是曲线，曲线上有、、、四个动点.（1）求曲线的方程.（2）若在轴下方，，求直线的斜率.（3）若、都