中考数学专项复习：三角形及其性质（解析版）

专题15三角形及其性质（14个高频考点）（举一反三）

【考点1三角形的三边关系】...................................................................1

【考点2三角形的角平分线、中线、高］........................................................4

【考点3三角形的内角和定理】.................................................................7

【考点4三角形的外角性质】..................................................................14

【考点5等腰三角形的判定与性质】...........................................................23

【考点6等边三角形的判定与性质】...........................................................34

【考点7含30度角的直角三角形的性质】......................................................44

【考点8角平分线的判定与性质】.............................................................51

【考点9垂直平分线的判定与性质】...........................................................61

【考点10勾股定理】..........................................................................68

【考点11勾股定理的逆定理】..................................................................76

【考点12勾股定理的应用】....................................................................82

【考点13直角三角形斜边的中线的性质】.......................................................87

【考点14三角形中位线的定理】...............................................................94

亨-/二

【要点1三角形的三边关系】

三角形两边的和大于第三边，两边的差小于第三边.

在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段

长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

【考点1三角形的三边关系】

【例1】（2022・河北•统考中考真题）平面内，将长分别为1,5,1,1,d的线段，顺次首尾相接组成凸五

边形（如图），则d可能是（）

A.1B.2C.7D.8

【答案】c

【分析】如图（见解析），设这个凸五边形为力BCDE,连接4C,CE,并设4C=a,CE=b,先在AABC和ACDE

中，根据三角形的三边关系定理可得4<a<6,0<b<2,从而可得4<a+b<8,2<a-b<6,再在

△力CE中，根据三角形的三边关系定理可得a-b<d<a+b,从而可得2<d<8,由此即可得出答案.

【详解】解：如图，设这个凸五边形为力BCDE,连接4C,CE,并设力C=a,CE=b,

在44BC中，5—l<a<l+5,即4<a<6,

在ACDE中，1一l<b<l+l,即0<6<2,

所以4<a+b<8,2<a—b<6,

在AaCE中，a—b<d<a+b,

所以2<d<8,

观察四个选项可知，只有选项C符合，

故选：C.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线，构造三个三角形是解题关键.

【变式1-1］（2022•江苏淮安•统考中考真题）下列长度的三条线段能组成三角形的是（）

A.3,3,6B.3,5,10C.4,6,9D.4,5,9

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系判断即可.

【详解】A.E3+3=6,

团长度为3,3,6的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

B.EI3+5<10,

团长度为3,5,10的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意；

C.04+6>9,6-4<9,

回长度为4,6,9的三条线段能组成三角形，本选项符合题意；

D.04+5=9,

团长度为4,5,9的三条线段不能组成三角形，本选项不符合题意;

故选：c.

【点睛】本题考查的是三角形的三边关系，熟记三角形两边之和大于第三边、三角形的两边差小于第三边

是解题的关键.

【变式1-2]（2022•四川德阳，统考中考真题）八一中学校九年级2班学生杨冲家和李锐家到学校的直线距

离分别是5km和3km.那么杨冲，李锐两家的直线距离不可熊是（）

A.1kmB.2kmC.3kmD.8km

【答案】A

【分析】利用构成三角形的条件即可进行解答.

【详解】以杨冲家、李锐家以及学校这三点来构造三角形，设杨冲家与李锐家的直线距离为。，

则根据题意有：5-3<a<5+3,即2<a<8,

当杨冲家、李锐家以及学校这三点共线时，a=5+3=8或者a=5—3=2,

综上a的取值范围为：2WaW8,

据此可知杨冲家、李锐家的距离不可能是1km,

故选：A.

【点睛】本题考查了构成三角形的条件的知识，构成三角的条件：三角形中任意的两边之和大于第三边，

任意的两边之差小于第三边.

【变式1-3]（2022•全国•九年级专题练习）如果方程（久-1）（——2x+：）=0的三根可以作为一个三角形的三

边之长，那么实数k的取值范围是—.

【答案】3<fc<4

【分析】首先根据题意得出方程的一个根为1，然后设另一个一元二次方程的两个根为根和"，再根据根的

判别式、完全平方公式、三角形三边的关系m-n<l<m+n即可求得k的取值范围.

【详解】解：由题意得：久一1=0,X2-2X+^=0

4

以1=1

设/—2%+[=0的两根分别是zu、则m+n=2,mn=^；

团771—72=J（TH+TI）2—4772几=，4一女;

根据三角形三边关系定理，得：m—n<l<m+n,即，4—kvl<2；

,（V4=fc<l,解得3<k44.

（4-/c>0

故答案为3</c44.

【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系、完全平方公式、三角形的三边关

系等知识点，灵活运用根与系数的关系成为解答本题的关键.

【考点2三角形的角平分线、中线、高】

【例2】（2022,浙江•模拟预测）如图，在中，0BAC=9O°,是高，BE是中线，CF是角平分线，CF

交于点G,交BE于点、H,下面说法正确的是（）

①EIABE的面积=勖。£的面积；@0AFG=EIAGF；③aR4G=20ACB@BH=CH.

D.①③

【答案】B

【分析】根据三角形的中线性质、三角形的面积公式即可得判断①；先根据角平分线的定义可得

0ACF=0DCG,再根据三角形内角和定理、等量代换可得HAFGWCG。，再根据对顶角相等可得国CGZ>=0AGR

由此即可判断②；③先根据三角形内角和定理得到即AG+20AFC=18O。、等量代换可得I3E4G=2EIACH即可

判断③；④根据等腰三角形的判定即可得.

【详解】解:EI3E是EIABC中AC边上的中线，

^\AE=CEf

国SMBE=S^BCE，故①正确；

团团A4O90。，A0是3C边上的高,

团团GDC二团月4c=90°,

团朋尸。+朋。氏90°二团0GC+团0CG,

团平分回AC3,

回她。尸二团OCG,

^\AFG=BDGC,

又回团OGCSAGR

00AGF=[?L4FG,故②正确；

团团E4G+她/G+IMGF=180°,

回团项G+2朋尸。=180°,

EE矶G+2aAFC=2(0AFC+0ACF)，

0EMG=2EIACF,故③正确；

根据现有条件无法证明M/BC=回”CB,即无法证明H8=HC,故④错误；

故选B.

【点睛】本题考查了三角形的中线、三角形内角和定理、角平分线的定义、等腰三角形的判定等知识点,

熟练掌握三角形的中线、角平分线、高的性质是解题关键.

【变式2-1]（2022•浙江杭州•统考中考真题）如图，CZMAB于点。，已知EL48c是钝角，贝U（）

A.线段C£＞是AA8C的AC边上的高线B.线段CD是AABC的AB边上的高线

C.线段4D是AABC的8C边上的高线D.线段是aABC的AC边上的高线

【答案】B

【分析】根据高线的定义注意判断即可.

【详解】0线段C。是AABC的A8边上的高线，

国A错误，不符合题意；

团线段CD是AABC的边上的高线，

EIB正确，符合题意；

0线段A£＞是AAC。的CD边上的高线，

13c错误，不符合题意；

回线段AD是△ACD的CD边上的高线，

回D错误，不符合题意；

故选B.

【点睛】本题考查了三角形高线的理解，熟练掌握三角形高线的相关知识是解题的关键.

【变式2-2]（2022•江苏常州•统考中考真题）如图，在A/IBC中，E是中线AD的中点.若△4EC的面积是1,

则△4BD的面积是

A

【分析】根据AACE的面积=ADCE的面积，AaBD的面积=AACD的面积计算出各部分三角形的面积.

【详解】解：•••4。是BC边上的中线，E为4。的中点，

根据等底同高可知，AACE的面积=ADCE的面积=1,

△4BD的面积=△4CD的面积=2A4EC的面积=2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了三角形的面积，解题的关键是利用三角形的中线平分三角形面积进行计算.

【变式2-3]（2022,湖北荆门•统考中考真题）如图，点G为0ABe的重心，D,E,尸分别为8C,CA,AB

的中点，具有性质：AG：GD=BG：GE=CG：GF=2：1.已知财尸G的面积为3,则E1ABC的面积为.

A

【答案】18

【分析】根据线段比及三角形中线的性质求解即可.

【详解】解：0CG：GF=2：1,0AFG的面积为3,

EEACG的面积为6,

EBACF的面积为3+6=9,

回点厂为48的中点，

aa4cB的面积=EIBCP的面积，

0EL4BC的面积为9+9=18,

故答案为：18.

【点睛】题目主要考查线段比及线段中点的性质，熟练掌握线段中点的性质是解题关键.

【要点2三角形的内角和定理】

三角形内角的概念：三角形内角是三角形三边的夹角.每个三角形都有三个内角，且每个内角均大于0°且

小于180°.三角形内角和定理：三角形内角和是180°.

【考点3三角形的内角和定理】

【例3】（2022•浙江绍兴•统考中考真题）如图，在E1ABC中，0ABe=40。，EIACB=90o,AE平分交BC

于点E.尸是边BC上的动点（不与B,C重合），连结AP,将0APC沿AP翻折得回AP。，连结DC,记aBCD=a.

备用图

（1）如图，当尸与E重合时，求a的度数.

（2）当P与E不重合时，^BAD=/3,探究a与夕的数量关系.

【答案】⑴25°

（2）①当点尸在线段2E上时，2a一6=50。；②当点尸在线段CE上时，2a+P=50。

【分析】（1）由08=40。，EL4CB=90°,得EIBAC=50。，根据AE平分EIBAC,P与E重合，可得EL4CD,从而

a=EIACB-EACr）；

（2）分两种情况：①当点P在线段2E上时，可得aWCMEACDugO。-。，根据a4。。+回54。=鲂+勖8,

即可得2a-夕=50。；②当点P在线段CE上时，延长交5C于点F,由&4£^=&4。£>=90。-0（,&4£>。=她/。

+a=0A2C+EI2A£）+a可得90°-a=40°+a+夕，即2a+6=50。.

【详解】（1）解：038=40°,0ACB=90°,

0EBAC=50°,

国产与£■重合，AE平分EIBAC,

回。在4B边上，A£0C£）,

0EACD=65°,

0ct=0ACB-0ACD=25°；

（2）①如图1,当点尸在线段BE上时,

A

图1

EEA£>C=0ACO=9O°-a,EIA£)C+SBAD=0B+0BCD,

[390°—a+£=40°+a,

EI2a-£=50°；

②如图2,当点尸在线段CE上时,

图2

延长AD交2C于点R

00ADC=0ACD=90°—a,0ADC=EAFC+a=0ABC+SBAD+a=40°+a+/,

EI90°—a=40°+a+P，

02a+^=5O°.

【点睛】本题考查三角形综合应用，涉及轴对称变换，三角形外角等于不相邻的两个内角的和的应用，解

题的关键是掌握轴对称的性质，能熟练运用三角形外角的性质.

【变式3-1](2022・湖北黄石,统考中考真题)如图，在AABC和AADE中，AB=AC,AD=AE,ABAC=

ADAE=90°,且点。在线段BC上，连CE.

⑴求证：AABD

(2)若NEAC=60°,求NCED的度数.

【答案】⑴见解析

(2)30°

【分析】（1）证出回54。=13cAE,由SAS证明ElABQaSACE即可；

（2）先由全等三角形的性质得到乙4CE=乙43£）,再由△力BC和AADE都是等腰直角三角形，得到N4CE=

乙48。=45。且N4ED=45。，利用三角形内角和定理求出EAEC的度数，即可求出回CEO的度数.

【详解】（1）证明：I3NB4C=々ME=90。，

0Z5AC-/-DAC=/.DAE-/.DAC,即=/.CAE.

在△力BD与AZCE中，

'AB=AC

/.BAD=LCAE,

.AD=AE

^ABD^ACE（SAS）；

（2）解：由（1）△ABDACE^ACE=/.ABD,

又回△28。和4ADE都是等腰直角三角形，

^ACE=4ABD=45°且N4ED=45°,

在44CE中EINEAC=60°且44CE=45°

0ZXFC=180°-60°-45°=75°,

0ZCFD=^AEC-^AED=75°-45°=30°.

【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三

角形的性质与判定条件是解题的关键.

【变式3-2］（2022,浙江丽水•校联考三模）如图，AABC中，4D平分ABAC交BC于点D,在射线2B上截取

AE=AC,过点E作EFIIBC交直线4。于点F.

⑴试判断四边形CDEF是何种特殊的四边形？并证明你的结论；

（2）当乙480=20。时，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时NB4C的度数；如果不能,

试说明理由；

⑶题目改为"4D平分NB4C的外角交直线BC于点D,在射线力B的反向延长线上截取4E=4C”,设乙48C=

%.其他条件不变，四边形CDEF能是正方形吗？如果能，求出此时N84C的度数（用关于x的关系式表示）；

如果不能，试说明理由.

【答案】⑴菱形，理由见解析；

(2)能，A.BAC=50°；

(3)能,ABAC=90°-2x或NBAC=270°-2x

【分析】(1)利用菱形的判定定理：四条边相等的四边形是菱形，证明即可；

(2)求出乙4EF=20°,禾I」用三角形外角性质得到乙4EF+^EAF=4EFD=45°,进一步求出NE”=25°,

再利用4。平分NB4C,得NB4C=50°；

(3)分两种情况讨论：当N4BC<90。时，当乙4BC>90。时，表示出乙4CB,利用三角形内角和定理求解即

可.

(1)

解:四边形CDEF是菱形，

理由如下：

EL4D平分NB4C,

0Z1=Z2,

^AAEF^AACF,

Z1=Z2

AE=AC

.AF=AF

ISAAEF=AACF(SAS)

团EF=FC,

同理可得：△ZE。三△ZCO(SZS),

BED=CD,Z.ADE=Z.ADC,

^EF||BD,

^/.EFD=Z.FDC,

团匕ADE=£EFD,

国EF=ED,

团EF=FC=ED=DC,

回四边形CDEF是菱形.

A

BDC

(2)

解：能，理由如下：

回CDEF是正方形，

配EDC=Z.DEF=90°,

BZ.ABC=20°,

S^AEF=20°,

SD尸是正方形对角线，

SZ.EFD=45°,

回乙4EF+X.EAF=乙EFD=45°,

^EAF=25°,

EL4D平分NB4C,

SZ.BAC=50°.

(3)

解：能，理由如下：

当乙4BC<90。时，如图：

回四边形CDEF是正方形，

0ZFCD=乙CDE=90°,

EL4Q平分NB4C的夕卜角，

国乙CAD=Z.EAD,

在△4C0和△4E0中，

AD=AD

AC=AE

Z-CAD=Z.EAD

回△4CD三△4ED(S4S),

^\Z-ACD=Z-AED,

^1Z.ABC=x,

^ACD=Z.AED=90°-%,

^FCA=90°-(90°-%)=x,

^BCA=90°+x

△B/C中，ABAC=180°-Z.B-ABCA

=180°-x-(90°+%)

=90°-2x；

当乙4BC>90。时，如图：

团四边形CDEF是正方形，

国EF||CD,乙FCD=乙CDE=90°,

团乙FEB=乙EBD,

团匕ABC=x,

团乙FEB=乙EBD=180°-%,

囿4。平分NB4C的夕卜角，

0ZCXF=Z.EAF,

在和A4EF中，

,AF=AF

AC=AE

.^CAF=^EAF

^ACF三△AEF(SAS),

0ZXCF=/.AEF,§PZXCF=/.AEF=乙FEB=180°-%,

0ZBCX=90°-(180°—K)=X—90°,

△BAC中，ZBXC=180°-ZS-^BCA

=180°-%-(%-90°)

=270°-2x.

综上所述：/-BAC=90°-2x或NB4C=270°-2x.

EF

【点睛】本题考查菱形的判定定理，正方形的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，解题的关键是

熟练掌握以上定理及性质，（3）注意需要分情况讨论，画出图形，结合图形分析.

【变式3-3]（2022•浙江宁波•统考一模）一个角的余角的两倍称为这个角的倍余角.

图1图2

（1）若N1=30°,02是回1的倍余角，则回2的度数为；若Nl=a,02是的倍余角，则回2的度数为

（用a的代数式表示）

（2）如图1,在0ABC中，AC>BC,在AC上截取CD=C8,在AB上截取4E=力。.求证：SABC^SEDB

的倍余角；

⑶如图2,在（2）的情况下，作BFIIDE交AC于点凡将勖“沿斯折叠得到ABFC，，BC，交AC于点P,

若乙48c=90°,设NC8F=a,求EICPB的度数.

【答案】⑴120°；180°-2a

⑵证明见解析

（3）90°

【分析】（1）由倍余角的定义可求解即可;

（2）由等腰三角形的性质可求0ADE+回BDC=180。一上，由三角形内角和定理可求0ABe=2（90。-回即8）,

可得结论;

（3）由倍余角的定义可求回EDB=45。，由平行线的性质可求回EDB=MBF=45。，由折叠的性质和等腰三角

形的性质可求回。8尸=45。-(1,即可求解.

【详解】(1)解：031=30。，02是回1的倍余角,

002=2(90°-30°)=120°；

HM=a,02是的倍余角，

002=2(90°-a)=180°-2a.

故答案为：120°；180°-2a.

(2)设=a,/.CBD=b

SCD=CB,AE=AD

SzXED=/.ADE=a,乙DBC=/.BDC=b

ElNEDB=180°-a-b,

4ABC=180°-(180°-2a)-(180°-2b)=2a+2b-180°,

El|Z71BC+Z.EDB=90。即EIABC是回皮＞2的倍余角.

(3)由(2)得LEDB=45°,

0BF||DE,

Sl^EDB=4DBF=45°,

团CB=CD,

国乙DBC=45。+a=乙BDC,

回乙OBP=45°-a,

团NOBP+(BDC=90°,Z.CPB=90°.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，理解倍余

角的定义并运用，是解题的关键.

【要点3三角形的外角】

三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角.

【要点4三角形的外角性质】

①三角形的外角和为360°;②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大

于和它不相邻的任何一个内角.

【考点4三角形的外角性质】

【例4】(2022•浙江宁波•校考模拟预测)如图1,在△力BC中，"=90。，NB=30。，作“28平分线4尸交

BC于点F,以2尸为边作等腰直角A/IFE,且N4FE=90°,如图2将AAFE绕点尸每秒3。的速度顺时针旋转

得到三角形。FE(当点。落在射线FB上时停止旋转)，则旋转时间为/秒.

图1图2图3图4

⑴当仁秒，DE||AB-,

(2)在旋转过程中，DF与48的交点记为M,如图3,若AaMF为等腰三角形，求/的值；

(3)当边DE与边AB、BC分别交于点尸、。时，如图4,连接AE,设NB力E=久。，^AED=y°,乙DFB=z。,

试探究x,y,z之间的关系.

【答案】(1)5

(2)10或25或40

⑶％+y+z=105

【分析】(1)根据平行线的性质可得，WEF=NBPE=45。，再利用三角形外角的性质得NBFE的度数，

从而得出旋转的角度，可得答案；

(2)分N4FM=4凡4M或41FM=N&MF或NM4F=N4MF,分别求出旋转的角度，从而解决问题；

(3)利用三角形外角的性质知NBPE=乙BAE+/.AED=x°+y°,乙BQP=4DFB+乙0=z。+45°,再根

据三角形内角和定理可得答案.

【详解】(1)解：当DEII4B时，ADEF=NBPE=45。，

0ZBFF=Z.BPE一乙B=45°-30°=15°,

回起始状态NBFE=30°,

配=(30-15)-r3=5,

故答案为：5；

(2)解：当N4FM=/LFAM=30°,

t=30°+3°=10,

当N4FM=AAMF=75°时,

t=75°+3°=25,

当NM力F=^AMF=30°时，^AFM=120°,

t=120°+3°=40,

综上：f=10或25或40；

（3）解：EINBPE是AAPE的外角，

回匕BPE=Z.BAE+Z-AED=x0+y°,

EINBQP是ADFQ的外角，

EINBQP=乙DFB+4。=z°+45°,

在ABQP中，ZB+/.BQP+/.BPQ=30°+z°+45°+x°+y°=180°,

回％+y+z=105.

【点睛】本题是三角形综合题，主要考查了旋转的性质，平行线的性质，三角形内角和定理，三角形外角

的性质，等腰三角形的性质等知识，运用分类思想是解决问题（2）的关键.运用三角形外角的性质是解决

问题（3）的关键.

【变式4-1]（2022•浙江绍兴•一模）（1）问题背景

如图①，RtLABC+,SBAC=90°,AB=AC,S48c的平分线交直线AC于Z）,过点。作CEHBD,交直线3。

于E,CE交直线54于M.探究线段80与CE的数量关系得到的结论是.

（2）类比探索

在（1）中，如果把8。改为AA8C的外角0A8F的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还

成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由.

（3）拓展延伸

在（2）中，如果其他条件均不变（如图③），请直接写出BD与CE的数量关系为.

【答案】（1）问题背景：BD=2CE（2）类比探索：结论BD=2CE仍然成立，证明见解析（3）拓展延伸：

BD=CE

【分析】（1）根据角平分线及全等三角形的判定和性质得出三&BCE（ASA）,CE=ME,结合图形得

出国4DB=I3M,sin0ADB=sin0M,再由正弦函数证明即可；

（2）根据题意，证明方法同（1）类似，证明即可；

（3）根据②得需=若，将线段间的数量关系代入即可得出结果.

【详解】（1）解：BBE是0ABe的平分线，

^\ABD=^\CBD,

在回BAfE和团8CE中，

2ABD=乙CBD

BE=BE,

/BEM=乙BEC

^\BME=^\BCE（ASA）,

^\CE=ME,

⑦CEWD,团84090°,

回朋5。+回M=90°,^ADB+^ABD=90\

回胤二回M,

团sin朋。庆sin团M,

ni-tABAC

即一=—,

BDCM

^\AB=AC,

^\BD=CM,

^\BD=2CE；

（2）结论BD=2CE仍然成立.

证明：回5。是团43尸的平分线,

D

031=02,

团团1二羽，团2二团4,

团团3二团4,

在团和团M3E1中，

43=匕4

BE=BE,

ZCEB=/.MEB=90°

^\CBE=^MBE(ASA),

团CE=ME,

田CM=2CE,

国回。+回。CM=R1M+回。CM=90。.

团团。二团M,

团sinRLD=sinmM,

^ABAC

回--=--，

BDCM

[?L4B=AC,

^\BD=CM=2CE；

(3)解：同(2)可得®="，CE=ME,

BDCM

1

匿48=-AC,

2

回BD=-CM

2f

出BD=CE.

故答案为：BD=CE.

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，解三角形的应用，角平分线的计算等，理解题意，综合

运用这些知识点是解题关键.

【变式4-2］（2022,四川内江•统考模拟预测）探究与发现：

如图1所示的图形，像我们常见的学习用品一一圆规.我们不妨把这样图形叫做"规形图"，那么在这一个简

单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决以下问题：

⑴观察"规形图"，试探究N8DC与乙4、NB、NC之间的关系，并说明理由；

⑵请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：

①如图2,把一块三角尺XYZ放置在△力上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点8、C,若乙4=50。,

贝!U4BX+乙4cx=°；

②如图3,DC平分NADB,EC平分N4EB,若N£ME=50。，ZD5F=130°,贝UNDCE=°；

③如图4,乙ABD,乙4CD的10等分线相交于点Gi，G2,G9,若4如DC=140。,ZFG1C=77°,求乙4的度

数.

【答案】⑴4BDC=NB4C+NB+NC

（2）①40,②90,（3）70°

【分析】（1）根据题意观察图形连接4D并延长至点F,根据一个三角形的外角等于与它不相邻的两个内角

的和即可证明；

（2）①由（1）的结论可得N4BX+NACX+NA=NBXC,然后把N4=50。，NBXC=90。代入上式即可得到

NABX+ZACX的值；②结合图形可得Z_OBE=N£ME+N力DB+N4E8,代入Z_£ME=50°,NOBE=130°即可得

至！U4DB+N4EB的值，再利用上面得出的结论可知ADCE=：易得答案.③由②方法,

进而可得答案.

【详解】（1）4BDC=4BAC+4B+H理由如下:

连接/。并延长至点F,

由外角定理可得乙8。/=48/0+48,/,CDF=/.C+/.CAD,

⑦乙BDC=2BDF+乙CDF,

^\Z-BDC—Z-BADZ-B/-CZ-CAD,

^BAC=Z-BAD+^CAD,

团48+4C；

(2)①由(1)的结论易得：^ABX+^ACX+^A=2LBXC,

团乙4=50。，4BXC=90。，

团乙4BX+乙4cx=90。-50。=40。，

故答案是：40；

②由(1)的结论易得Z.DCE=^ADC+^LAEC+AA,

回乙DAE=50。,ZDBE=13O°,

团乙4DB+乙4EB=80。；

团。C平分EC平分N/EB,

11

^Z.ADC=-Z-ADB,/.AEC=-/-AEB,

22

EIN£)CE=IQG4DB+NaEB)+za=40°+50°=90°；

③由②知，NBGiC=5(NaBD+NACD)+N4,

ElNBGiC=77。，

团设乙4为汽。，

团4/BD+N4CO=140。一%。，

S^(140-x)+x=77,

团％=70,

EINA为70°.

故答案是：70°.

【点睛】本题考查三角形外角的性质，三角形的内角和定理的应用，能求出是解答的关

键，注意：三角形的内角和等于180。，三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和.

【变式4-3］(2022・四川成都•四川省成都市七中育才学校校考二模)(1)［模型研究］如图①，在A4BC中，

AB=AC,D为边延长线上一点，且NC=n。,贝IUC4D=°；

(2)［模型应用］如图②，在A/IBC中，ZJ1BC=2乙4cB若4B=3,BC=5,求AC的长；

(3)［模型迁移］如图③，点P为△力BC边4C上一点，^PBC=-^ABC=-2LBPC,CD1BP,交BP的延长

线于D.若/C=a,BD=b(Jj<a<2b),求^BDC的面积.

【答案】(［)2n；(2)2V6；(3)\b-^3b2-2ab

【分析】(1)根据三角形外角的性质即可得到NCW=NB+NC=2NC;

(2)以4为圆心，42长为半径画弧交8c于。，作4E1BC于E,这样构造(1)中模型，进一步得出结果；

(3)作CE〃BD交ABDE延长线于E,以点B为圆心，BE为半径画弧，交CE于G,作BF1CE于F,这样构造

出(2)中模型，进一步求得结果.

【详解】解：(1)在AABC中，

AB=AC,Z-C=几°,

•••Z-B=cC=n°,

•••皿0是△48C的外角，

•••/.CAD=NB+NC=2n°,

故答案为：2加

(2)如图1,

A

图1

以A为圆心，ZB长为半径画弧交于。，作ZE_LBC于E,

AD=AB,

Z.ADB=(B=2zC,

Z.ADB=Z.CAD+Z-C,

•••Z.C=Z.CAD,

CD=AD=AB=3,

・•.BD=BC—CO=5-3=2,

AB=AD,AE1BD,

i

DE=BE=-BD=1,

2

・•.CE=DE+CD=4,

・•.AE2=AD2-DE2=32-l2=8,

・•・AC=y/AE2+CE2=V8+42=2瓜

(3)如图2,

作CE〃80交/B延长线于E,以点B为圆心，BE为半径画弧，交CE于G,作8尸_LCE于F,

•・,CE//BD,

・•・乙E=乙ABP,乙BCE=乙PBC,Z.ECD=180°一乙D=90°,

^PBC=Z.BCE=a,贝！JzZBC=3a,乙BPC=4a,

•••Z-ABP=乙ABC—Z-PBC=2a,

Z-E=Z.ABP=2a,

又回=Z.BPC-Z.ABP=4a—2a=2a,

••・Z-E=Z-A=2a,

•••CE=AC=a,

由（2）模型知：BE=BG=CG,

•・•乙D=（ECD=Z.BFC=90°,

・•・四边形BFCD是矩形，

.・.CF=BD=b,CD=BF,

EF=FG=a—b,

BG=CG=CF—FG=b—（a—b）=2b—a,

CD=BF=y/BG2-FG2=y］（2b-a）2-（a-b）2=73b2-Zab,

：.S^BCD=抑口.CD=沙73b2-2ab.

【点睛】本题考查了三角形外角的性质，等腰三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，勾股定理等知识,

解决问题的关键是作辅助线，构造（2）中的"模型

【要点5等腰三角形】

（1）定义：有两边相等的三角形，叫做等腰三角形.

（2）等腰三角形性质

①等腰三角形的两个底角相等，即“等边对等角“；②等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线与底边上

的高线互相重合（简称“三线合一”）.特别地，等腰直角三角形的每个底角都等于45°.

（3）等腰三角形的判定

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（即“等角对等边”）.

【考点5等腰三角形的判定与性质】

【例5】（2022,江苏泰州•模拟预测）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形.若

得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的"友好分割线

⑴下列三角形中，不存在"友好分割线"的是（只填写序号）.

①等腰直角三角形；②等边三角形；③顶角为150。的等腰三角形.

(2)如图1,在△ABC中，=60。，zB=40°,直接写出△ABC被"友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度

数；

⑶如图2,△力BC中，乙4=30。，CD为力B边上的高，BD=2,E为4D的中点，过点E作直线/交AC于点F,

作CM1I,DN1I,垂足为M,N.若射线CD为AZBC的“友好分割线"，求CM+DN的最大值.

【答案】⑴②

(2)20°,40°,60°,80°或100°

(3)4

【分析】(1)根据"友好分割线”的定义判断即可；

(2)分三种情形：当“友好分割线"经过点C,当“友好分割线"经过点4当“友好分割线〃经过点8,分别画

出图形求解即可；

(3)证明ADNEmAAGE(ASA),推出DN=AG.^ERt△AGF^RtACMF^P,Z.CMF=/.AGF=90°推出CM<

CF,AG<AF,推出CM+4GWCF+4F,即CM+4GWAC,由此可得结论.

【详解】(1)根据"友好分割线"的定义可知，

如图，等腰直角三角形，顶角为150。的等腰三角形存在"友好分割线

等边三角形不存在"友好分割线”.

故答案为：②；

(2)•••Z4=60。4=40°,

/.ACB=180°-60°-40°=80°,

如图，

当EC=E4时，^AEC=60°,

当FC=FB时，乙BFC=100°,

当BC=BG时，乙B=40°.

如图，

当CA=CW时，ZC=80°,

如图，

综上所述，满足条件的等腰三角形的顶角的度数为：20。，40。，60。，80。或100。；

(3)解：如图2中，作于点G.

EIC。为48边上的高，

0ZCDB=Z.CDA=90°.

0ZXCD=90。一乙4=60°.

0ACD4不是等腰三角形.

力BC的"友好分害ij线”，

0A。。8和4CD4中至少有一个是等腰三角形.

团△COB是等腰三角形，且CD=8O=2.

瓦血4c=30°,

团4c=2CD=4.

团DN12于N,

回乙DNE=乙AGE=90°.

ae为力D的中点，

EIDE=AE.

在△ONE和AAGE中，

\LAGE=乙DNE

DE=AE

ZDEN=4AEG

0ADNE三△4GE(ASA),

ISDN=AG.

在Rt△力GF和Rt△CM尸中，Z.CMF=/.AGF=90°,

0CM<CF,AG<AF,

0CM+AG<CF+AF,

即CM+2G<AC,

BCM+DN<4,

EICM+DN的最大值为4.

【点睛】本题属于三角形综合题，考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最

短等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问

题.

【变式5-1](2022•山东威海•模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，已知两点4(6,0),B(0,n)(n>m>0),

点C在第一象限，AB1BC,BC=84，点P在线段0B上，OP=OA,2P的延长线与C8的延长线交于点M,

4B与CP交于点N.

(1)点C的坐标为：(用含n的式子表示)；

⑵求证：BM=BN；

⑶设点C关于直线AB的对称点为。，点C关于直线4P的对称点为G,求证：D,G关于x轴对称.

【答案】⑴(Xm+n)

⑵证明见解析

⑶证明见解析

【分析】(1)过点C作CEly轴于点E,证明ABEC三△力。B(AAS),求出。E,CE,即可得到点C的坐标;

(2)证明AABM三△CBN,即可得证；

(3)如图，连接DG交x轴于点H,证明三△G4”(SAS),即可得证.

【详解】(1)过点C作CE轴于点E,

贝U：NCEB=90。，

EL4B1BC,

0ZXBC=90°,

0ZCSF+乙BCE=乙CBE+^OBA=90°,

^\Z-BCE=Z-OBA,

国匕CEB=Z.AOB=90°,BC=BA,

[HABECZOB(AAS),

BCE=OB,BE=OA,

回a(zn,0),B(0,n),

回CE=OB=n,BE=OA=m,

团。E=OB+BE=m+n,

0C(n,TH+n)；

故答案为：(弭血十九)；

(2)证明：△BEC=^AOB,

国BE=0A=OP,CE=BO,

团PE=0B=CE,^OPA=^OAP=45°,

⑦乙EPC=45°,Z.APC=90°,

团匕ANP=乙BNC,2CBN=乙APN=90°,

团NP/B=乙BCN,

在△48时与4CBN中，

Z.ABM=乙CBN

Z.PAB=乙BCN,

AB=CB

HAABM=△CBN(ASA),

MM=BN；

(3)证明：如图，点C关于直线48的对称点为。，点C关于直线TIP的对称点为G,连接OG交汇轴于点H,

贝!J：AD=AC,AG=AC,

团4。=AG,

国匕

ABC=90°fBC=AB,

^CAB=乙4cB=45°,

BZ.BAD=乙BDA=45°,

B/.OAP=45°,

国匕HAD+Z.DAM=匕PAB+Z.DAM=45°,

^Z-HAD=Z.PAB,

EL4G=AC,AP1CG,

^GAP=/.CAP,

EIN/MG+45°=APAB+45°,

0ZHXG=4PAB

0ZHXG=Z.HAD,

在4H与AGaH中，

'AD=AG

Z.HAG=/.HAD

.AHAH

0ADAH=△GAH(SAS),

EID,G关于x轴对称.

【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质.通过添加合适辅助线，证明三角

形全等，是解题的关键.

【变式5-2］（2022•青海・统考中考真题）两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把

它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，把具有这个规律的图形称为“手拉手”图形.

⑴问题发现：

如图1,若△48c和AADE是顶角相等的等腰三角形，BC,OE分别是底边.求证：BD=CE；

E

BC

图1

⑵解决问题：如图2,若A4CB和ADCE均为等腰直角三角形，N4CB=ADCE=90。，点A,D,E在同一

条直线上，CM为ADCE中。E边上的高，连接8E,请判断0A班的度数及线段CM,AE,BE之间的数量关

系并说明理由.

图2

【答案】⑴见解析

(2)zDCE=90°；AE=AD+DE=BE+2CM

【分析】(1)先判断出EI54£)=I3CAE,进而利用SAS判断出△BAQaaCAE,即可得出结论；

(2)同(1)的方法判断出△氏SEBCAE,得出AD=BE,0ADC=0B£C,最后用角的差，即可得出结论.

【详解】(1)证明：回△力BC和AaDE是顶角相等的等腰三角形，

EL4B=AC,AD=AE,/.BAG=/-DAE,

EINB力C-Z.CAD=Z.DAE-Z.CAD,

^Z-BAD—/.CAE.

在△BAD和△£>!£■中，

'AB=AC

ABAD=MAE,

.AD=AE

BABADSACAE(SAS),

ELBD=CE.

(2)解：^AEB=90°,AE=BE+2CM,

理由如下：由(1)的方法得，AACDmABCE,

EL4D=BE,Z.ADC=/.BEC,

0ACDE是等腰直角三角形，

0ZCDF=Z.CED=45°,

回匕ADC=180°-乙CDE=135°,

^BEC=Z.ADC=135°,

⑦乙AEB=乙BEC-MED=135°-45°=90°.

0C£）=CE,CM±DE,

团DM=ME.

团匕DCE=90°,

=ME=CM,

团OE=2CM.

团4E=AD+DE=BE+2CM.

【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形，等边三角形，等腰直

角三角形的性质，判断出AACDmABCE是解本题的关键.

【变式5-3］（2022•甘肃兰州•统考中考真题）综合与实践，【问题情境】：数学活动课上，老师出示了一

个问题：如图1,在正方形ABC。中，£是8c的中点，AELEP,EP与正方形的外角△DCG的平分线交于

尸点.试猜想AE与EP的数量关系，并加以证明；

图1图2

图3

⑴【思考尝试】同学们发现，取AB的中点凡连接EF可以解决这个问题.请在图1中补全图形，解答老

师提出的问题.

⑵【实践探究】希望小组受此问题启发，逆向思考这个题目，并提出新的问题：如图2,在正方形A8CD

中，E为边上一动点（点E,B不重合），ANEP是等腰直角三角形，^AEP=90°,连接CP,可以求出

NDCP的大小，请你思考并解答这个问题.

⑶【拓展迁移】突击小组深入研究希望小组提出的这个问题，发现并提出新的探究点：如图3,在正方形

ABCD^,E为BC边上一动点、（点E,B不重合）,△4EP是等腰直角三角形，^AEP=90°,连接。尸.知

道正方形的边长时，可以求出ANDP周长的最小值.当力B=4时，请你求出AADP周长的最小值.

【答案】⑴答案见解析

（2）45°,理由见解析

（3）4+4V5,理由见解析

（分析［（1）取的中点R连接EF,利用同角的余角相等说明&PEC=SBAE,再根据ASA证明0AF£HE£CP,

得AE=EP；

（2）在AB上取AF=EC,连接ER由（1）同理可得EIC£P=EIE1E,则团EtEEBCEP（SAS）,再说明团2所

是等腰直角三角形即可得出答案；

（3）作OG0CP,交BC的延长线于G,交C尸于。连接AG,贝USDCG是等腰直角三角形，可知点。与G

关于CP对称，则AP+Z）尸的最小值为AG的长，利用勾股定理求出AG,进而得出答案.

【详解】（1）解：AE=EP,

理由如下：取AB的中点尸，连接EE

回尸、E分别为A3、BC的中点,

^\AF=BF=BE=CE,

酿A尸£=135°,

团。尸平分团OCG,

团团。。尸=45°,

酿ECP=135°,

^\AFE=^ECP,

[2L4E0PE,

酿A£P=90°,

团朋M+回尸EC=90°,

^1AEB^BAE=90°,

^