直线、射线、线段与角、余角、补角之十一大题型（解析版）

专题09直线'射线'线段与角'余角'补角之十一大题型

两点确定一条直线

例题：（2023秋•河南安阳•七年级校考期末）在安装如图所示的挂衣钩时，小明先在墙上标记两个固

定孔，就可以预先确定好挂衣钧合适的位置，这样做的依据是：.

【答案】两点确定一条直线

【分析】根据直线的性质解答即可.

【详解】解：这样做的依据是：两点确定一条直线.

故答案为：两点确定一条直线.

【点睛】本题考查了直线的性质，熟练掌握两点确定一条直线是解答本题的关键.

【变式训练】

1.（2023上•山西太原•七年级校考期末）在下列生活，生产现象中，不可以用基本事实"两点确定一

条直线”来解释的是（）

B

D.

平板弹墨线

建筑工人砌墙

会场摆直茶杯弯河道改直

【答案】D

【分析】直接利用直线的性质和线段的性质逐一分析，即可得到答案.

【详解】解：/、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；

可以用"两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；

C、可以用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意，选项错误；

。、可以用"两点间线段最短”来解释，符合题意，选项正确；

故选D.

【点睛】本题考查了直线的性质和线段的性质，正确理解相关性质是解题关键.

2.（2023上•新疆和田•七年级和田市第三中学校考期末）木工师傅在锯木料时，先在木板上取出两

点，然后弹出一条墨线，这是利用了的原理

【答案】两点确定一条直线

【分析】依据两点确定一条直线来解答即可.

【详解】解：在木板上画出两个点，然后过这两点弹出一条墨线，此操作的利用了两点确定一条直

线.

故答案为：两点确定一条直线.

【点睛】本题考查的是直线的性质，掌握直线的性质是解题关键.

两点之间线段最短

例题：（2022秋•湖北咸宁•七年级统考期末）如图："小草青青，足下留情"，为抄近路践踏草坪是一

种不文明的现象，请你用数学知识解释出这一不文明现象的原因是：,

【答案】两点之间线段最短

【分析】根据两点之间线段最短即可求解.

【详解】解：依题意，为抄近路践踏草坪是因为两点之间线段最短，

故答案为：两点之间线段最短.

【点睛】本题考查了两点之间线段最短，熟练掌握两点之间线段最短是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023上•云南昆明•七年级统考期末）小敏从金马碧鸡坊去往云南民族村，打开导航，显示两地

直线距离为8.8km,但导航提供的三条可选路线长却分别为10km,9.8km和11km（如图），能解释

这一现象的数学知识是（）

9.8km11km10km

A.两点之间，线段最短B.垂线段最短

C.两点之间，直线最短D.两点确定一条直线

【答案】A

【分析】根据线段的性质：两点之间，线段最短，可得答案.

【详解】解：打开导航，显示两地直线距离为8.8km,但导航提供的三条可选路线长却分别为

10km,9.8km和11km（如图），能解释这一现象的数学知识是"两点之间，线段最短”，故/正

确.

故选：A.

【点睛】本题考查了线段的性质，熟记线段的性质并应用是解题的关键.

2.（2023上•吉林长春•七年级统考期末）如图，从/地到3地有三条路径，当人们希望路程越短越

好时，往往选择线段这里体现的数学基本事实是.

【答案】两点之间，线段最短

【分析】根据两点之间线段最短解答.

【详解】解：在路径：AfMfB,以及曲线路线中，N8最近，因为两点之间，线段最

短.

故答案为：两点之间，线段最短.

【点睛】本题考查了线段的性质，熟记两点之间，线段最短是解题的关键.

作图一一画直线、射线、线段

例题：（2023上•吉林长春•七年级统考期末）如图，平面上有四个点A,B,C,D.按要求完成下

列问题：

/・

B.

•・

CD

⑴连结/C.

⑵画射线。8,射线。8与线段NC相交于点（?.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

【分析】（1）根据题意作图即可；

（2）根据题意作图即可.

【详解】（1）解：如图：

A

B.

CD

【点睛】本题考查了作图一一射线，线段，熟练掌握射线，线段的定义是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023上•甘肃白银•七年级统考期末）如图，平面上有三点A、B、C,请按照下列语句画出图

形并作答.

A

••

CB

⑴画直线N2,射线/C；

⑵连接C8,并延长C8至点。，使AD=48,取5D的中点E；

3

（3）若8。=^^=6,求线段CE的长.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶11

【分析】（1）根据直线、射线的定义作图即可；

（2）按要求作图即可；

3

（3）先根据6D=[C8=6求出CB,再根据中点的定义求出跖=3,即可求解.

4

【详解】（1）解：图形如图所示:

A

C8=8,

・・,点E是3。的中点，

・•.BE=3,

.-.C£=CS+B£=8+3=11.

【点睛】本题考查直线，射线，中点的定义，线段的和差关系等，属于基础题，熟练掌握定义是解

题的关键.

2.（2023上•河北唐山•七年级统考期末）如图，在同一个平面内有四个点，请用直尺和圆规按下列

要求作图（不写作图步骤，保留作图痕迹，而且要求作图时先使用铅笔画出，确定后再使用黑色字

迹的签字笔描黑）：

•D

B・・C

⑴作射线48;

⑵作直线AC与直线BD相交于点。；

（3）在射线AB上作线段NC,使线段NC与线段/C相等.

【答案】⑴见解析

⑵见解析

⑶见解析

【分析】（1）根据射线的含义作图即可;

（2）根据直线的含义按要求作图即可；

（3）根据作一条线段等于已知线段作图即可.

【详解】（1）解：作射线如图所示；

（2）解：作直线NC与直线8。相交于点O,如图所示；

（3）解：用圆规在射线4C上截取/C'=/C,线段NC即为所求.

【点睛】本题考查了作线段、直线和射线的基本作图，作一条线段等于已知线段，难度不大，属于

基础题.

线段的应用

例题：（2023秋•河南许昌•七年级统考期末）2022年9月8日，随着列车从郑州港区段鸣笛出发，

郑许市域铁路开始空载试运行，未来“双城生活模式”指日可待.图中展示了郑许市域铁路的其中五

个站点，若要满足乘客在这五个站点之间的往返需求，铁路公司需要准备种不同的车票.

【分析】先求得单程的车票数，在求出往返的车票数即可.

【详解】解：5个点中线段的总条数是4x5+2=10（种），

,•,任何两站之间，往返两种车票，

应印制10x2=20（种）,

故答案为：20.

【点睛】此题考查了数线段，解决本题的关键是掌握“直线上有”个点，则线段的数量有皿3

2

条〃.

【变式训练】

I.（2023上•浙江金华•七年级统考期末）从杭州东站出发到金华南站的动车，中途要停靠诸暨站和

义乌站，则铁路部门供旅客购买的火车票要准备（）

A.12种B.10种C.6种D.4种

【答案】A

【分析】一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，由此可求出车票总数.

【详解】解：根据题意，一共有4个站，由一个站到其它3个站就需要3张不同的车票，

••・铁路部门供旅客购买的火车票要准备4x3=12（种），

故选：A.

【点睛】本题考查线段，解答的关键是理解题意，熟知两站之间有两种不同的车票，不能遗漏返程

示西.

2.（2021上,浙江衢州•七年级统考期末）杭衢高铁线上，要保证衢州、金华、义乌、诸暨、杭州每

两个城市之间都有高铁可乘，需要印制不同的火车票（）

A.20种B.15种C.10种D.5种

【答案】4

【分析】先求出线段的条数，再计算车票的种数.

【详解】解：需要印制不同的火车票的种数是：2（1+2+3+4）=20（种）.

故选：A.

【点睛】本题考查了线段的运用.注意根据规律计算的同时，还要注意火车票需要考虑往返情况.

题型05

例题：（2023上•云南红河•七年级统考期末）如图，已知线段/8=26,BC=18,点M是/C的中

点.

IlliI

AMCNB

⑴求线段/朋■的长；

⑵在C8上取一点N,使得CN:2V3=1:2,求线段AW的长.

【答案】⑴4

(2)10

【分析】(1)先求出NC=/8-8C=8,再根据中点的定义求解即可；

(2)根据8C=18,CN:NB=1:2,得出CN==6.再求出MC=L/C=4,看根据

32

MN=MC+NC,即可求解.

【详解】(1)解：线段48=26,5C=18,

.•./C=M-8C=26—18=8.

又「点M是NC的中点.

=-^C=-x8=4,

22

答：线段的长度是4.

(2)解：•••8C=18,CN:NB=1:2,

：,CN=-BC=-xl8=6.

33

又r点”是/C的中点，NC=8,

.-.MC=-AC=4,

2

MN=MC+NC=4+6=10,

答：MV的长度是10.

【点睛】本题主要考查了线段之间的和差关系，解题的关键是掌握中点的定义，结合图形得出线段

之间的和差关系.

【变式训练】

I.(2023上•河南漠河•七年级校考期末)如图，C为线段2。上一点，点8为CD的中点，且

/Z)=10cm,BD=2cm.

।iii

ACBD

⑴图中共有条线段.

⑵求NC的长.

⑶若点£在直线40上，且E/=4cm,求BE的长.

【答案】⑴6

(2)6cm

⑶4cm或12cm

【分析】(1)根据线段的定义数出结果即可；

(2)先求CD,再求/C即可；

(3)分两种情况讨论：①点E在线段ND上，mBE=AD-AE-BD,②点£在线段D4延长线上,

*艮据BE=AE+AD-BD进行计算即可.

【详解】(1)解：图中共有共6条线段，

故答案为：6；

(2)••・点3为CD的中点，

BC=-CD,

2

,/y4Z)=10cm,BC=2cm,

/.BC=BD=2cm,即CD=BC+BD=4cm,

.•./C=ZO—CQ=10—4=6cm；

(3)分两种情况讨论：

①点E在线段4D上，

IIIII

AECBD

BE=AD-AE-BD=10-4-2=4cm；

②点E在线段D4延长线上，

।।।।।

EACBD

BE=AE+AD-BD=4+10-2=12cm.

综上：瓦?=4cm或12cm.

【点睛】本题考查了两点间的距离公式，掌握线段的计算方法是解题的关键.

2.(重庆市开州区2022-2023学年七年级上学期期末数学试题)已知点3在线段/C上，点。在线

段45上.

|||||III|

ADBCAEDBC

⑴如图1,若N8=6cm,BC=4cm,。为线段/C的中点，求线段。8的长度；

⑵如图2.若=E为线段的中点，EC=8cm,求线段/C的长度.

【答案】⑴1cm

(2)12cm

【分析】(1)由线段的中点，线段的和差求出线段的长度为1cm；

(2)设AD=xcm,由线段的中点，线段的和差倍分求出/C=N8+8C=4x+2x=6x,

EC=BE+BC=2x+2x=4x,根据EC=8cm可得4x=8,解方程即可求解.

【详解】（1）解：如图1所示：

IIII

ADBC

图1

AB=6cm,BC=4cm,

.♦./C=AB+BC=6+4=10（cm）,

又•••£>为线段NC的中点，

,•.Z>C=1^C=|xlO=5（cm）,

.­.DB=DC~BC=5-^=\{cm）-

（2）解：如图2所示，设8£»=xcm,

IIIII

AEDBC

图2

■:BD=-AB=-CD,

43

AB=ABD=4xcm,CD=3BD=3xcm,

BC=DC-DB=3x-x=2xf

AC=AB+BC=4x+2x=6x,

•••£为线段48的中点，

BE=—AB=—x4x=2x,

22

EC=BE+BC=2x+2x=4x,

又EC=8cm,

・•・4x=8,

解得：尤=2,

AC=6x=6x2=12（cm）.

【点睛】本题综合考查了线段的中点，线段的和差倍分等相关知识点，重点掌握直线上两点之间的

距离公式计算方法.

I

越型06|

——线段〃等分点的有关计算

例题（2023秋•四川成都•七年级统考期末）（1）如图1,点C在线段48上，M,N分别是/C,BC

的中点.若A8=12,AC=8,求MN的长;

AMCNBAMCN~B

图1图2

(2)设C是线段48上任意一点(不与点/,8重合)，

①如图2,M,N分别是NC,2C的三等分点，即⑷BN=；BC,求VN的长；

②若M,N分别是/C,2c的〃等分点，即BN=-BC,直接写出血W的值.

nn

【答案】(1)6；(2)①(2)--a

3n

【分析】(1)由中点的定义可得然后根据〃N=MC+CN求解即可；

1122

(2)由4M=鼻4。，BN=—BC可得MC=—AC,CN=—BC,然后根据初V=MC+CN求解即可;

3333

(3)仿照(2)的过程求解即可.

【详解】解：(1),:M,N分别是/C,8C的中点

：.MC-；AC,CN=；BC

"AB=12

.-.MN=MC+CN=-AC+-BC=-AB=-x\1=6

2222

(2)AM=AC,BN=BC

22

：.MC=-AC,CN=-BC

•・•AB=a

2222

：,MN=MC-vCN=-AC+-BC=-AB=-a；

3333

(2)vAM=-AC,BN=-BC

nn

TI—1n—1

/.CM=——AC,CN=——BC

nn

n—1n—1n—1

:.MN=CM+MN=CM+CN=——AC+——BC=——AB

nnn

AB-a

…「n-1

MN-a.

n

【点睛】本题考查线段的中点、线段的和差，解题的关键是掌握线段中点的定义及线段和差运算.

【变式训练】

1.（2023秋•陕西宝鸡•七年级校考期末）如图，已知点8在线段/C上，AB=9,BC=6,P、。分

别为线段/2、8。上两点，BP=；AB,CQ=^BC,则线段尸。的长为.

I11II

APBQC

【答案】7

【分析】根据已知条件算出2尸和C0，从而算出3。，再利用尸/=2尸+2。得到结果.

【详解】解：MB=9,BP=^AB,

：.BP=3,

；BC=6,CQ=^BC,

：.CQ=2,

■■BQ=BC-CQ=6-2=4,

；.PQ=BP+BQ=3+4=7,

故答案为：7.

【点睛】本题考查了两点间距离，线段的和差，熟练掌握线段上两点间距离的求法，灵活运用线段

的和差倍分关系解题是关键.

2.（2023上•湖北十堰•七年级统考期末）根据题意，填空完善解答过程：已知，线段N8=18,C是

直线48上的一点，M,N分别是线段4C,8c的三等分点，且/M=2CM,BN=2CN.

IIlliIIlli

AMCNBAMBNC

图1图2

⑴如图1,当点C在线段48上时，求MV的长；

⑵如图2,当点C在48延长线上时，求九W的长；

⑶当点C在用1延长线上时，画出图形，并模仿上述两间的解答过程，求的长.

【答案】⑴6

（2）6

⑶见解析，6

【分析】（1）由/M=2CN,BN=2CN可得CM=；AC、CN=；CB,然后根据图形可得

ACV=MC+NC=；/C+g5C=g/2=6即可角军答；

（2）根据图形可得的=同0_阳=；/0_32。=!/5=6即可解答；

(3)根据图形可得当点C在历1延长线上时，MN=NC一MC=±BC一三出=决=6.

【详解】(1)解：--AM=2CM,BN=2CN,

1122

：,CM=-AC,CN=-CB,AM=-AC,BN=-CB,

3333

如图1：当点C在线段48上时，MN=MC+NC=；AC+；BC=；AB=6.

(2)解：如图2：当点C在N8延长线上时，MN=MC-NC=gAC-；BC=；AB=6.

(3)解：如图：

当点C在8/延长线上时，MN=NC-MC=；BC-；AC=；AB=6.

CM_NAB

【点睛】本题主要考查了线段的和差、线段的等分点等知识点，正确化出图形成为解答本题的关

键.

I

题型07

求一个角的余角、补角

例题：(2223上•省直辖县级单位•期末)若Na=47。20，，则/a的余角等于,/a的补角等

于.

【答案】42°40,132°40'

【分析】两个角的和为90。，则这两个角互余，两个角的和为180。，则这两个角互为补角，根据互

余与互补的定义求解即可.

【详解】解：；Za=47°20,,

Na的余角=90。-47。20'=42。40'

Za的补角=180°-47°20'=132°40'

故答案为：42。40',132。40'.

【点睛】本题考查的是互余与互补的含义，角的四则运算中的减法运算，掌握"互余与互补的含义"

是解本题的关键.

【变式训练】

1.(2223上・内江•期末)如果乙4=25。，那么2人的余角等于；//的补角为.

【答案】65。/65度155。/155度

【分析】利用两角互余及互补的定义，进行计算，即可求解.

【详解】解：•.•//=25。，

的余角为：90。一25。=65。，NN的补角为：180°-25°=155°,

故答案为：65°,155°.

【点睛】本题考查了两角互余及互补的定义，牢固掌握两角互余及互补的定义，发现隐含条件：两

角之和是90。或180。，并能熟练运用.

2.（2223上•南京•期末）若Na=62。，则/a的余角为—。，/a的补角为一0.

【答案】28118

【分析】根据两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角，两个角的和等于180。（平角）,

就说这两个角互为补角，列式计算即可.

【详解】/a的余角：90°-62°=28°,

Na的补角:180°-62°=118°,

故答案为：28、118.

【点睛】本题考查余角和补角，解题的关键是掌握余角和补角的定义，根据定义列式计算.

[题型08]

角平分线的有关计算

例题：（2023秋•河南南阳•七年级统考期末）己知。为直线N8上一点，/COE是直角，O尸平分

NAOE.

⑴如图①，若NCOF=34。，则N8OE=；若/。。尸=机。，贝!|ZBOE=；ZBOE

与ZCOF的数量关系为；

⑵当射线OE绕点。逆时针旋转到图②的位置时，（1）中/8OE与/CO尸的数量关系是否仍然成

立？请说明理由.

【答案】（1）（1）68°；2m°；ZBOE=2ZCOF

⑵/BOE=2/COF仍然成立，理由见解析

【分析】（1）先求得/£。尸，再根据角平分线的定义求得=尸，再根据平角定义求解即

可;

(2)设/CO尸=〃。，仿照(1)中方法，先求得NEO尸，再根据角平分线的定义求得

ZAOE=2ZEOF,再根据平角定义求解即可.

【详解】（1）解：•♦•/（%）£是直角，ZCOF=m0,

/EOF=90°-ZCOF=90°-m°,

•：OF平分N40E,

ZAOE=2ZEOF=180°—2m°,

ZBOE=180。-NAOE=180。-（180。-2加。）=2m°,

贝”ZBOE=22coF,

若NCO尸=34°,贝1]/50£=2乂34=68°,

故答案为：68°；2m。；ZBOE=2ZCOF.

（2）解：NBOE=2NCO厂仍然成立，理由为：

如图2,设/COF="°,

・・•/COE是直角，

ZEOF=90°-ZCOF=90°-n°,

•••OF平分/AOE,

ZAOE=2ZEOF=180°-2n°,

ZBOE=180。-N/OE=180°-（180°-2〃。）=2n°,

贝IABOE=2NCOF.

【点睛】本题考查直角、平角定义、角平分线的定义，根据相关定义求解是解答的关键.

【变式训练】

1.（2023上•吉林长春•七年级统考期末）如图，/AOB=90°,/8OC=30。，（W平分//OC,

ON平分/BOC.

⑴求的度数.

⑵若乙408=x。，NBOC=y。，用含x、了的代数式表示的度数为

【答案】(1)45°；

⑵3

【分析】(1)先求得//0C的度数，然后由角平分线的定义可知/MOC=60。，NCON=15。,最

后根据ZMON=ZMOC-ZCON求解即可；

(2)先求得//OC=a+30。，由角平分线的定义可知NMOC=ga+15。，/CON=15。，最后根据

ZMON=ZMOC-ZCON求解即可.

【详解】(1)解：•・•//OB=90。，/3OC=30。，

・••//OC=900+30=120°.

由角平分线的性质可知：/MOC=g//OC=60。，NCON./BOC=15。.

•••NM0N=ZMOC-NCON,

••./MON=60°-15°=45°；

(2)解：••・NNO8=x°,Z5OC=y°,

.­.ZAOC=(x+y)0.

由角平分线的性质可知：ZMOC=^AOC=j-(x+y)°,ZCON=yZBOC=1.

­,•NM0N=ZMOC-ZCON,

:.NMON='x。.

2

【点睛】本题主要考查的是角的计算、角平分线的定义，求得/MOC和/CON的大小，然后再依

据ZMON=/MOC-/CON求解是解题的关键.

2.(2023下•山东聊城•七年级统考期末)如图，已知点O是直线上一点，射线OC、OE分别是

/AOB、/80D的平分线.

(1)若//。。=30。，求/COE的度数.

⑵如果把“44。。=30。"条件去掉，那么/COE的度数有变化吗？请说明理由.

【答案】⑴90。；

⑵不会有变化，理由见解析.

【分析】（1）利用角平分线的定义得/BOC=/OC=30。，根据邻补角的定义求得乙80。=120。,

再根据角平分线的定义求出ZBOE=60°,然后根据ZCOE=ZBOE+ZBOC即可求解；

（2）由角平分线的定义得4=再根据角的和差得

ZCOE=NBOE+ZBOC,代入整理可得结论.

【详解】（1）•.・射线分别是的平分线，

ZBOC=AOC=-ZAOB=30°,

2

ZBOD=180。一ZBOC-ZAOC=180°-2x30°=120°,

・.•射线OE分别是ZBOD的平分线，

:.ZBOE=-ZBOD^-xl20°=60°,

22

ZCOE=ZBOE+ZBOC=60°+30°=90°；

（2）不会有变化，理由如下:

,•,射线OC、分别是44。及4BOD的平分线,

ZBOC=-ZAOB,NBOE=-ZBOD,

22

•••ZCOE=ZBOE+ZBOC,

ZCOE=I(NBOD+NAOB)

ZBOD+ZAOB=180°,

ZCOE=-xl80°=90°,

2

.•.NCOE的度数没有变化.

【点睛】本题考查了角平分线的定义，邻补角的定义，此题关键是充分利用角平分线的定义.

三角板中角度计算问题

例题（2023上•江西上饶•七年级校联考期末）如图，这是一副顶点重合的直角三角板，已知乙B/C=

60°,Z1=26°43,,贝UN2的大小是

【分析】先求出ND4C的度数，然后利用余角解题即可.

■­.ADAC=/LBAC-Z1=60°-26°43,=33°17',

N2=900-ADAC=90°-33°17'=56。43'

故答案为：56。43'.

【点睛】本题考查三角板中角的和差，结合图形运用角的和差计算是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023上•浙江金华•七年级统考期末）如图，将一副三角板的顶点重合放置，三角板208绕点。

旋转.当=时，ZAOD=°

【答案】130或170/170或130

【分析】分两种情况讨论：当三角板4a绕点。顺时针旋转时，当三角板绕点。逆时针旋转

时，先求出/80C的度数，^AOD=ZAOB+ZCOD-ZBOC

NAOD=NAOB+ZCOD+ZBOC求角军即可.

【详解】当。8在NC。。内部时，ZBOC=|ZCOD=1x60°=20°,

...ZAOD=ZAOB+ZCOD-ZBOC=90°+60°-20°=130°；

当OB在乙COD外部时，ZBOC-1ZCOD1x60°=20°,

ZAOD=NAOB+ZCOD+NBOC=90°+60°+20。=170°；

故答案为：130或170.

【点睛】本题考查了角的和差，熟知三角板中各角度和运用分类讨论的思想是解题的关键.

2.（2023下•辽宁沈阳•七年级统考期末）在数学实践活动课上，“奋进”小组准备研究如下问题：如

图，点O,8在同一条直线上，将一直角三角尺如图1放置，使直角顶点重合于点O,NCOD是

直角，OE平分/BOC.

图1图2

问题发现：

⑴如图1,若N/OC=30。，则NDOE的度数为；

⑵将这一直角三角尺如图2放置，其他条件不变，探究//OC和的度数之间的关系，写出

你的结论，并证明.

【答案】⑴15。

⑵//OC=2/DOE,证明见解析

【分析】（1）先求解£）008=150°,£）8。。=60°,再利用角平分线的含义求解=75°,

再利用角的和差关系可得答案；

（2）先求解/。。£=90。-NOOE,再利用角平分线的定义可得/8OC=2NCOE,再利用角的和差

关系可得结论；

【详解】（1）解：AOC=30°,E）COD=90°,

\=180°-30°=150°,030。=180°-90°-30°=60°,

•.•OE平分ZBOC,

\SBOE=-GBOC=15°,

2

\BDOE=E)BOE-BBOD=75°-60°=15°.

故答案为：15。；

（2）ZAOC=2ZDOE.

理由：因为NCOD是直角

所以/COD=90。

所以ZCOE=90°-ZDOE

因为OE平分/30C

所以48OC=2/COE

所以乙4OC=180°-ZBOC

=180°-2/COE

=180。-2（90。-/£＞。£）

=180°-180°+2Zr）（9£,

=2ZDOE

所以N/OC=2/DOE.

【点睛】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，掌握"几何图形中角的和差关系”是解本题

的关键.

II

题型10

■I

例题（2023秋,山西大同•七年级统考期末）在2408的内部作射线OC,射线OC把分成两

个角，分另IJ为/40C和/80C,若=或=则称射线OC为

的三等分线.若//。8=60。，射线OC为的三等分线，则//OC的度数为（）

A.20°B.40°C.20°或40°D.20°或30°

【答案】C

【分析】根据题意得出//OC=20。或4OC=20。，再根据角之间的数量关系，得出//OC=40。,

综合即可得出答案.

【详解】解：•••//。8=60。，射线OC为/NO2的三等分线.

ZAOC=-ZAOB=20°或ZBOC=-ZAOB=20°,

33

ZAOC=NAOB-ZBOC=60°-20°=40°，

ZAOC的度数为20。或40°.

故选：C.

【点睛】本题考查了角度的计算，理解题意，分类讨论是解本题的关键.

【变式训练】

1.(2023秋・浙江湖州•七年级统考期末)定义：从的顶点出发，在角的内部引一条射线。C,

把//08分成1:2的两部分，射线OC叫做N2O3的三等分线.若在中，射线。尸是

的三等分线，射线。。是NMO尸的三等分线，设=则NMON用含x的代数式表示为

()

9,99、99.9

A.—x或3x或一xB.—x或3x或9xC.—尤或一无或9xD.3x或一x或9x

424422

【答案】C

【分析】分四种情况，分别计算，即可求解.

【详解】解：如图：射线O尸是/MON(NMOP=2/NOP)的三等分线，射线。。是

NMOP(/QOP=2ZMOQ)的三等分线,

ii3

贝IJ/QO尸=2x,ZNOP=-ZMOP=-x(x+2x)=-xf

39

,AMON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+2x+-x=-x；

如图：射线O尸是NMCW(NMOP=2NNOP)的三等分线，射线。。是=2NQOP)的三

等分线,

x+^x3

-ZMOP=-x=X，

224

139

ZMON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+-x+-x=-x；

如图：射线O尸是/MCW（NN0P=2/M0P）的三等分线，射线。。是/跖??（40。0=2/。。「）的三

等分线，

19

.•.AMON=ZMOQ+N0O尸+ANOP=x+-x+3x=-x；

如图：射线。尸是/〃ON（NNO尸=2/MQP）的三等分线，射线。。是/苗0尸（/。。？=2/跖9。）的三

贝|/QO尸=2x,ZNOP=2ZMOP=2x（x+2x）=6x,

ZMON=ZMOQ+ZQOP+ZNOP=x+2x+6x=9x；

99

综上，NMON为7x或二x或9x,

42

故选：C.

【点睛】本题考查了角的有关计算，画出图形，采用分类讨论的思想是解决本题的关键.

2.（2023秋•福建龙岩•七年级统考期末）已知4403=120。，以射线CM为起始边，按顺时针方向依次

作射线OC、OD,使得/COD=60。，&ZAOC=6>,0°<6><180°.

D

⑵备用图①，当60。<。<120。时，试探索与/80C的数量关系，并说明理由；

⑶备用图②，当120°4。<180°时，分别在//OC内部和内部作射线OF,使

21

ZAOE=-ZAOC,ZDOF=-ZBOD,求NEO9的度数.

【答案】⑴/2OC=97。；

⑵//。。+/8。。=180。；理由见解析；

⑶NEO尸=80。

【分析】（1）根据图形可知/8。。=44。3-44。0,继而根据NBOC=NCOO+N2OD,即可求

解；

（2）根据图形得出/30。=/。。。-480。=60°-48。/）,计算乙100+/80C,即可得出结论；

（3）分两种情况讨论，①当。=120。时，射线OC与03重合，射线。。与04互为反向延长线，②

当120。<。<180。时，如图4,射线。C、。。在//O8的外部，结合图形分析即可求解.

【详解】（1）如图1,V0°<6»<60°,

:./COD在/AOB内部，

QZAOB=120°,ZAOD=83°,

NBOD=NAOB-NAOD=12。°-83°=37。,

■.■ZCOD=60°,

NBOC=ZCOD+ZBOD=60°+37°=97°；

（2）ZAOD+ZBOC=18Q°；理由如下：如图2,

，射线OC、0。分别在内、外部，

ZAOD=ZAOB+ZBOD=120°+ZBOD,

ABOC=NCOD-ZBOD=60°-ZBOD,

ZAOD+NBOC=120。+ZBOD+60°-ZBOD=180°,

:.ZAOD+ZBOC=ISO°；

(3)①当0=120。时，射线OC与03重合，射线。。与。4互为反向延长线,

则//OC=403=120。，ZBOD=ZCOD=60°,如图3,

,B（C）

E

\/

AOD

图3

21

•・•ZAOE=-ZAOC,/DOF=-ZBOD,

33

/COE=-ZAOC=-ZAOB=40°,

33

22

ZCOF=-/BOD=-ZCOD=40°,

33

ZEOF=/COE+ZCOF=40°+40°=80°；

②当120。＜。＜180。时，如图4,射线。。、。。在N405的外部，如图4,

图4D

贝I」ZBOC=ZAOC-ZAOB=3-120°f

/BOD=/BOC+ZCOD=0-60°f

21

•・•ZAOE=-ZAOC,/DOF=-4BOD,

33

?.ZCOE=-ZAOC=-0f

33

222

ZBOF=-ZBOD=-（0-60°）=-0-40°,

2i

ZCOF=NBOF-ZBOC=-6>-40°-（6>-l20°）=-；8+80°,

ZEOF=NCOE+ZCOF=-61--6»+80°=80°.

33

综合①②得NEOF=80°.

【点睛】本题考查了结合图形中角度的计算，数形结合是解题的关键.

!题型11।

与余角、补角、角平分线有关角的综合问题

例题：（2023上•河南驻马店•七年级统考期末）如图，点。是直线上一点，OC平分//O8,在

直线AB另一侧以。为顶点作NDOE=90°.

c

B

⑴若NAOE=46°,那么ZBOD=;NAOE与ZDOB的关系是；

⑵ZAOE与NCOD有什么数量关系？请写出你的结论并说明理由.

【答案】⑴44。，互余

⑵//OE+/COZ)=180°,见解析

【分析】(1)先根据平角的意义，^ZAOE+ZEOD+/.BOD=180°,再由条件可知

ZAOE+ZBOD=90°,可求得答案；

(2)先证得48。。=；*180。=90。，NDOE=90。,再利用平角的定义证得

ZAOE+ZBOD=180°-ZDOE=90°,即可证B/OE+bC。。=180°.

【详解】(1)解：•.•点。在直线N8上，

NAOE+ZEOD+ZBOD=180°,

又/DOE=90°,

ZAOE+ZBOD=180°-90°=90°,

若4OE=46。,则2800=90。-46。=44。；

故填：44°,互余.

(2)解：E)/OE+E)COD=180°

理由：•・,点。是直线42上一点，OC平分

.•.ZBCC=-xl80°=90°,

J2

NDOE=90°

ZAOE+ZBOD=180°-NDOE=180°-90°=90°,

NAOE+NCOD=ZAOE+ZBOD+ZBOC=90°+90°=l80°,

即：ZAOE+ZCOD=1SO0.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义，平角的定义，掌握角平分线和平角定义是解题的关键.

【变式训练】

1.(2023上•江西南昌•七年级南昌市第二十八中学校联考期末)如图，已知点O为直线N8上一点,

ABOC=100°,ACOD=90°,O河平分NZOC.

⑴求/MOD的度数；

(2)若尸与N4W互余，求/COP的度数.

【答案】⑴50。

(2)50°

【分析】(1)由已知角度结合平角的定义可求解Z4OD,N/OC的度数，再利用角平分线的定义可

求解；

(2)根据余角的定义，平角的定义可求解/四。尸的度数，再利用角平分线的定义结合角的和差可

求解.

【详解】(1)解：・・・/80C=100°,NCOD=90°,

:.ZBOC+ZCOD=100°+90°=190°,

■.■ZAOB=100°,

ZAOD=190°-180°=10°,ZAOC=180°-100°=80°,

QQM平分N/OC,

ZAOM=-ZAOC=-x80°=40°,

22

ZMOD=ZAOM+ZAOM=40°+10°=50°；

(2)•：ZB0P与/A0M互余,

:.ZBOP+ZAOM=90°,

ZAOB=1SO°,

尸=180°-90°=90°,

QON平分N/OC,

ZAOM=-ZAOC=40°,

2

ZCOP=/MOP-ZCOM=90°-40°=50°.

【点睛】本题主要考查余角的定义，角平分线的定义及角的计算，灵活运用角的和差求解相关角的

度数是解题的关键.

2.(2023下•上海普陀•六年级统考期末)定义：如果两个角的度数的和是45。，那么这两个角叫做互

为半余角，其中一个角称为另一个角的半余角，例如/a=20。，N£=25。，因为Na+N/=45。，

所以/a和〃互为半余角.

⑴如果/&=26。32""是/a的半余角，那么少的度数是；

(2)如图，已知N/OB=90。，射线。。在的内部，满足0。＜/80。＜45。，OP是//OC的平

分线.

①在48。尸的内部画射线O。，使〃。。=45。.并写出图中NPOC的半余角：；

②NCOM是/80C的半余角，当NCOM是/RW的(时，求/80C的度数.

【答案】⑴18。28'

⑵①画图见解析；ZBOQ,ZCOQ.

②ZBOC度数为(手j或30°

【分析】(1)根据半余角的定义进行计算即可得；

(2)①在尸的内部画射线00,使々。。=45。，贝l]NPOC+NCO0=NPOQ=45。，

AAOP+ABOQ=ZAOB-ZPOQ=45°,根据OP是//OC的平分线得NPOC=N/OP,即可得

ZPOC+ZBOQ=45°；②设/BOC=a,则N/OC=90°—a,NPOC=N/O尸=45°-；a,根据

ZCOM是NBOC的半余角得ZCOM=45。-a,当ZCOM是NPOM的;时，

APOM=3ZCOM=135°-3a,若射线OM■在/POC内，贝U=/POC,即

1270

135。—3。+45。一。二45。—/a,计算得a=(力一)。；若射线在/POC外，贝！J

NP(W-/C(W=/POC,贝iJ135°-3a-(45°-a)=45°-g