中考数学压轴大题专练：对角互补模型（解析版）

【压轴必刷】2023年中考数学压轴大题之经典模型培优案

专题3对角互补模型

解题策略

模型1：全等形一一90°对角互补模型

如图,/AOB=/DCE=90",/DCE的顶点在/AOB的平分线OC上，两边分别与射线。交于

点D,E,则：

(1)CD=CE；

(2)OD+C)E=y/2OC；

2

⑶S^(ro+S&「E='ytX'.

模型2：全等形一一120°对角互补模型

如图，NAOB=2/DCE=120°./DCE的顶点在NAOB的平分线OC上.两边分别与射线OA.OB交

于点D.E.则：

(1)CD=CE；

(2)OD+OE=OC；

(3)SA()CD+S△CX'E=

模型3：全等形任意角对角互补模型

如图.NAOB=2a，NDCE=180°-2a.ND('E的顶点在NAOB的平分线(无匕两边分别与射线(M.

交于点D・E,则：

⑴CD=CE；

(2)OP+OE=2(X,«cosa：

“十3）打•sinacosa.

一

模型4：相似形一一90°对角互补模型

如图,/AOB=/DCE=90°,/DCE的顶点在/AOB内部射线0C匕两边分别与射线OA.OB交于

点D,E.若/COB=a，则CE=CD-tana.

°4NB

，----------------------------

经典例题

<__________________/

【例1】.（2021•全国•九年级专题练习）如图1,在四边形ABCD中，AB=AD,ZB+ZADC=180°,点E,

F分别在四边形ABCD的边BC,CD±,NEAF^NBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系.

A

可

CFDGFCDC

图1图2图3

（1）思路梳理

将AABE绕点A逆时针旋转至AADG,使AB与AD重合，由/B+/ADC=180°,得NFDG=180°,即点F,

D,G三点共线，易证AAFG^^AFE,故EF,BE,DF之间的数量关系为_；

（2）类比引申

如图2,在图1的条件下，若点E,F由原来的位置分别变到四边形ABCD的边CB,DC延长线上,

ZEAF=|ZBAD,连接EF,试猜想EF,BE,DF之间的数量关系，并给出证明.

（3）联想拓展

如图3,在AABC中，ZBAC=90°,AB=AC,点D,E均在边BC上，且/DAE=45。，若BD=1,EC=2,直

接写出DE的长为.

【答案】（1）EF=BE+DF；（2）EF=DF-BE；证明见解析；（3）V5.

【分析】（1）将AABE绕点A逆时针旋转至AADG,使AB与AD重合，首先证明F,D,G三点共线，求

出NEAF=NGAF,然后证明AAFG电4AFE,根据全等三角形的性质解答；

（2）将AABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得到AADE,首先证明E，，D,F三点共线，求出

ZEAF=ZE'AF,然后证明AAFE名△AFE,根据全等三角形的性质解答；

（3）将AABD绕点A逆时针旋转至AACD,使AB与AC重合，连接ED,同（1）可证AAEDgAED',求

出NECD=90。，再根据勾股定理计算即可.

【详解】解：（1）将AABE绕点A逆时针旋转至AADG,使AB与AD重合，

VZB+ZADC=180°,

ZFDG=180°,即点F,D,G三点共线，

1

VZBAE=ZDAG,NEAF=：NBAD,

2

・・・NEAF=NGAF,

AE=AG

在4AFG和4AFE中,AEAF=AGAF，

AF=AF

AAAFG^AAFE,

・・・EF=FG=DG+DF=BE+DF；

(2)EF=DF-BE；

证明：将^ABE绕点A逆时针旋转，使AB与AD重合，得至！UADE,则△ABEgADE,

AZDAE'=ZBAE,AE'=AE,DE'=BE,ZADE'=ZABE,

VZABC+ZADC=180°,ZABC+ZABE=180°,

.*.ZADE'=ZADC,即E,D,F三点共线,

VZEAF=|ZBAD,

1

・・・NEAF=NBAD—(ZBAF+ZDAEO=ZBAD-(ZBAF+ZBAE)=NBAD-NEAF=；NBAD,

2

・・・NEAF=NE'AF,

(AE=AE'

在4AEF和AAEF中，｛£.EAF=/-E'AF,

(AF=AF

丁•△AFE丝△AFE'(SAS),

・・・FE=FE,

又・.・FE=DF-DE,

AEF=DF-BE；

(3)将2\ABD绕点A逆时针旋转至ZiACD,使AB与AC重合，连接EDT

同（1）可证△AEDgAED,

ADE=D,E.

NACB=NB=NACD=45。，

・・・NECD=90。，

在Rt^ECD中，ED!=VEC2+P'C2=VEC2+BD2=V5,即DE=“，

故答案为：V5.

【点睛】本题考查的是旋转变换的性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，灵活运用利用旋

转变换作图、掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

【例2】.（2019•山东枣庄•中考真题）在A4BC中，LBAC=90°,AB=AC,4D1BC于点。，

(1)如图1,点M,N分别在AD,4B上，且NBMN=90。，当41MN=30。，AB=2时，求线段AM的长;

(2)如图2,点E,F分别在AB,AC上，且NEDF=90。，求证：BE=AF；

(3)如图3,点M在AD的延长线上，点N在4C上，且NBMN=90。，求证：AB+AN^2AM;

图1图2图3

【答案】(1)AM—V2-(2)见解析；(3)见解析.

【分析】(1)根据等腰三角形的性质、直角三角形的性质得到AD=BD=DC=V2,求出NMBD=30。,

根据勾股定理计算即可；

(2)证明△BDEgZkND凡根据全等三角形的性质证明；

(3)过点M作MEHBC变48的延长线于E,证明根据全等三角形的性质得到BE=

AN,根据等腰直角三角形的性质、勾股定理证明结论.

【详解】(1)解：•••^BAC=90°,AB=AC,AD1BC,

：.AD=BD=DC,^ABC=AACB=45°,ABAD=^CAD=45°,

48=2,

AD=BD—DC—V2,,

乙AMN=30°,

4BMD=180°-90°-30°=60°,

ABMD=30°,

BM=2DM,

由勾股定理得，BM2-DM2=BD2,即(2DM)2-Z)M2=(鱼产,

解得，DM=晅,

3

•••AM=AD-DM=V2-—;

(2)证明：vADIBC,AEDF=90°,

Z.BDE=Z.ADFf

在/DDE和/力DF中,

乙B=Z.DAF

{DB=DA,

(BDE=Z.ADF

ABDE=AADF(ASA):.BE=AF；

(3)证明：过点M作ME〃BC交力B的延长线于E,

.­-4AME=90°,

贝1ME=五AB，NE=45°,

•••ME=MA,

•••^AME=90°,/-BMN=90°,

.­.Z.BME=Z.AMN,

在/BME和/AMN中，

4E=乙MAN

{ME=MA,

乙BME=乙AMN

ABME=AAMNQASA),

•••BE=AN,

AB+ANAB+BEAE正AM.

【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、直角三角形

的性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键.

【例3】.(2022•江苏•八年级课时练习)(1)如图①，在四边形ABCD中，AB=AD,AB=AD=90°,E,F

分别是边BC,CD上的点，且=请直接写出线段EF,BE,FD之间的数量关系：；

(2)如图②，在四边形ZBCD中，AB=AD,NB+ND=180°,E,F分别是边BC,CD上的点，且NEAF=^ABAD,

(1)中的结论是否仍然成立？请写出证明过程；

(3)在四边形4BCD中，AB-AD,+4。=180。，E,F分别是边BC,CD所在直线上的点，且乙区4F=

[nBAD.请画出图形(除图②外)，并直接写出线段EGBE,FD之间的数量关系.

【答案】(1)EF^BE+FD；(2)成立，理由见解析；(3)图形见解析，EF=BE-FD

【分析】(1)延长班到G,使8G=。尸，连接NG.证明△/GE和全等，WJEF=GE,则EF=BE+DF,

证明△48E和△/EF中全等，那么AG=AF,Z1=Z2,Z1+Z3=Z2+Z3=ZE^F=1Z^£>.从而得出EF=GE-,

(2)思路和作辅助线的方法同(1)；

(3)根据(1)的证法，我们可得出DF=2G,GE=EF,那么EF=GE=BE-BG=BE-DF.

【详解】(1)延长EB至G,使BG=DF,连接4G,

'：^ABG=乙ABC==90°,AB=AD,

：.AABG^^ADF,

：.AG=AF,Z1=Z2,

Azi+43=42+Z3=Z.EAF=-/.BAD,

2

：.^GAE=Z.EAF,

在AG/E和△/4E中,

AG=AF

*：\^GAE=AEAF,

、AE=AE

・•・△G4E丝△FZE(SZS),

：.EG=EF,

;EG=BE+BG,

：.EF=BE+FD.

故答案为：EF=BE+FD

(2)(1)中的结论仍成立，

证明：延长CB至M,使BM=DF,

9：Z.ABC-VZ-D=180°,Z1+/.ABC=180°,

.*.zl=乙D,

在△ABM和△ZOF中，

AB=AD

zl=zP,

BM=DF

四△/OF(SZS),

：.AF=AM,Z2=Z3,

i

,：Z.EAF=-Z-BAD,

2

Az2+Z4=-2Z.BAD=£.EAF,

Az3+Z4=/.EAF^Z-MAE=/.EAF,

在△ZME和△/尸E中，

'AM=AF

Z.MAE=Z.EAF，

、AB=AE

；.△AMEg△力FE(S力S),

：.EF=ME,即EF=BE+8M.

(3)EF=BE-FD,

证明：在BE上截取BG使BG=DF,

连接4G,

VZB+/.ADC=180°,Z.ADF+/.ADC=180°,

:.乙B—Z.ADF,

•・•在A/BG和△力OF中，

AB=AD

Z.ABG=Z.ADF,

BG=DF

「•△48G也△4D/SZS),

：.Z.BAG=Z.DAF,AG=AF,

：.Z.BAG+Z,EAD=^DAF+Z.EAD=/LEAF=^BADf

：.Z.GAE=^EAF,

在△ZEG和△/£1/中，

AG=AF

/.GAE=Z.EAF,

、AE=AE

：.^AEG^^AEF(SAS),

：.EG=EF,

'：EG=BE-BG,

：.EF=BE-FD.

【点睛】此题主要考查了三角形全等的判定与性质，通过全等三角形来实现线段的转换是解题关键，没有

明确的全等三角形时，要通过辅助线来构建与已知和所求条件相关联的全等三角形.

【例4】.（2022•全国•八年级课时练习）四边形A8CD是由等边2MBe和顶角为120。的等腰4A8D排成，将一

个60。角顶点放在。处，将60。角绕。点旋转，该60。交两边分别交直线BC、AC于M、N,交直线于E、F

两点.

（1）当E、F都在线段4B上时（如图1）,请证明：BM+AN=MN；

（2）当点E在边84的延长线上时（如图2）,请你写出线段MB,AN和MN之间的数量关系，并证明你的结

论；

（3）在（1）的条件下，若AC=7,AE^2.1,请直接写出MB的长为.

【答案】（1）证明见解析；（2）MB=MN+4N.证明见解析；（3）2.8.

【分析】（1）把ADSM绕点。逆时针旋转120。得到△/X4Q,根据旋转的性质可得£＞河=。0,AQ=BM,

/ADQ=NBDM,然后求出利用“边角边”证明△AWD和A0ND全等，根据全等三角形对应

边相等可得MN=QN,再根据AQ+AN=QN整理即可得证；

（2）把AD/N绕点。顺时针旋转120。得到AD8P,根据旋转的性质可得AN=BP,根据

/D4V=/r）AP=90。可知点P在8M上，然后求出/MDP=60。,然后利用“边角边”证明△跖VD和全等,

根据全等三角形对应边相等可得从而得证；

（3）过点〃■作〃4C交于G,交.DN于H,可以证明△的!〃？是等边三角形，根据等边三角形的性质

可得8M=MG=8G,根据全等三角形对应角相等可得/QND=NMVD,再根据两直线平行，内错角相等可得

ZQND=ZMHN,然后求出NMND=NMHN,根据等角对等边可得然后求出NN=GH,再利用“角

角边”证明A/A®和AG/ZE全等，根据全等三角形对应边相等可得4B=GE,再根据代入数据

进行计算即可求出BG,从而得到BM的长.

【详解】解：（1）证明：把△O8W绕点。逆时针旋转120。得到△D/0,

贝AQ=BM,NADQ=NBDM,NQAD=/CBD=9Q°,

...点。在直线。上，

ZQDN=ZADQ+ZADN=ZBDM+ZADN=ZABD-ZMDN=120°-60°=60°,

ZQDN=ZMDN=60°,

,:在4MND和AQND中，

(DM=DQ

{4QDN=4MDN,

(DN=DN

:.△MNDQ^QND(SAS),

：.MN=QN,

QN=AQ+AN=BM+AN,

：.BM+AN=MN-,

(2)：MB=MN+AN.

理由如下：如图，把绕点。顺时针旋转120。得到△D8P,

贝ij£W=DP,AN=BP,

'：/DAN=/DBP=9。。,

・•・点?在上，

ooo

ZMDP=ZADB-ZADM-ZBDP=n00-ZADM-ZADN=n0-ZMDN=n00-60=609

：.ZMDP=ZMDN=60°f

■:在AMND和中，

(DN=DP

(乙MDP=Z.MDN，

(DM=DM

:,丛MND丝丛MPD⑸S),

：・MN=MP,

,:BM=MP+BP,

:・MN+AN=BM；

(3)如图，过点M作必/〃4c交45于G,交DN于H,

：.△5MG是等边三角形,

：.BM=MG=BG,

根据（1）〉MND空/\QND可得NQND=/MND,

根据MH//AC可得/QND=/MHN,

：./MND=/MHN,

:・MN=MH,

：.GH=MH-MG=MN-BM=AN,

即AN=GH,

,:在2ANE和△GHE中，

ZQND=/.MHN

•乙AEN=CGEH,

、AN=GH

:.XANE丝XGHE（AAS）f

：.AE=EG=2.1,

■:AC=7,

:.AB=AC=7,

：.BG=AB-AE-EG=l-2.1-2.1=2.8,

：.BM=BG=2,S.

故答案为：2.8

【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质及等腰三角形的性质，根据等边三角形的性质，旋转变换的

性质作辅助线构造全等三角形是解题的关键，（3）作平行线并求出/N=G〃是解题的关键，也是本题的难点.

培优训练

\_______________Z

一、解答题

1.（2022•陕西・西安市第三中学七年级期末）回答问题

（1）【初步探索】如图1：在四边形中，AB=AD,ZB=ZADC=90°,E、尸分别是8C、CO上的点，

SLEF=BE+FD,探究图中乙&!£、ZFAD,尸之间的数量关系.

小王同学探究此问题的方法是：延长FD到点G,使DG=3£.连接4G,先证明A/BE2△4DG,再证明

4AEF咨AAGF,可得出结论，他的结论应是；

（2）【灵活运用】如图2,若在四边形48c。中，AB=AD,ZB+ZD=180°.E、尸分别是2C、CD上的点,

且EF=BE+FD,上述结论是否仍然成立，并说明理由；

(3)【拓展延伸】知在四边形/BCD中，ZABC+ZADC=1SO°,AB=AD,若点E在C8的延长线上，点歹

在CD的延长线上，如图3所示，仍然满足£尸=3£+£0,请直接写出/£/尸与/ZX48的数量关系.

图1图2图3

【答案】(1)ZBAE+ZFAD=ZEAF；(2)仍成立，理由见解析；(3)ZEAF=1SO°-^ZDAB

【分析】(1)延长阳到点G,使DG=BE,连接NG,可判定△NBEgZUDG,进而得出

AE=AG,再判定A/E尸丝Z\/G尸，可得出NE4F=NG4F=NZUG+N£U尸n/B/E+N。/尸，据此得出结论；

(2)延长FD到点G,使DG=BE,连接NG,先判定ZUBE四△4OG,进而得出NB/£=N£MG,AE=AG,

再判定A/E尸乌△4GR可得出ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

(3)在。C延长线上取一点G,使得DG=BE,连接NG,先判定A/OG丝△/BE,再判定△/£1尸丝△/GF,

得出/月£=/E4G,最后根据/E4E+/E4G+NGNE=360。，推导得至U2/E4E+4048=360。，即可得出结论.

【详解】解：(1)ABAE+ZE4D=ZEAF.理由：

如图1,延长尸。到点G,使DG=8E,连接NG,

G

图1

,/ZB=NADF=90。,NADG=ZADF=90°,

：.ZB=ZADG=90°,

又；AB=4D,

•・•△ABE义4ADG(SAS),

:・/BAE=NDAG,AE=AG,

・：EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

.••△AEF咨AAGF(SSS),

・•・ZEAF=ZGAF=ZDAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

故答案为：ZBAE+ZFAD=ZEAF；

(2)仍成立，理由：

如图2,延长即到点G,使DG=BE,连接4G,

VZB+ZADF=180°fZADG+ZADF=\SO0,

：.ZB=ZADG,

又•：AB=AD,

・••△ABEQdADG(SAS),

:・/BAE=NDAG,AE=AG,

•:EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：./XAEF^ZXAGF(SSS),

・•・ZEAF=ZGAF=ADAG+ZDAF=ZBAE+ZDAF；

(3)ZEAF=\SO°-ZDAB.

2

证明：如图3,在。C延长线上取一点G,使得DG=BE,连接NG,

图3

AABC+AADC=\^0,ZABC+ZABE=1SO°,

：.NADC=NABE,

又；AB=AD,

:.AADG咨LABE(SAS),

：.AG=AE,ZDAG=ZBAE,

,:EF=BE+FD=DG+FD=GF,AF=AF,

：.^AEF^AAGF(SSS),

ZE4E=ZFAG,

"：ZE4E+ZE4G+ZGAE=360°,

：.2ZFAE+(,/GAB+NBAE)=360°,

：.2ZFAE+(ZGAB+ZDAG)=360°,

即2/FAE+/DAB=360°,

：.NE4F=18Qo，DAB.

【点睛】本题属于三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定以及全等三角形的性质的综合应用，解决

问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形.解题时注意：同角

的补角相等.

2.(2021•陕西•交大附中分校八年级开学考试)问题探究

((1)如图①，已知//=45。，ZABC=30°,ZADC=40°,则/BCD的大小为；

(2)如图②，在四边形48CD中，AB=BC,ZABC=ZADC=90°,对角线3。=6.求四边形48CD的面积；

小明这样来计算.延长。C,使得CE=N。，连接BE,通过证明丝△C8E,从而可以计算四边形48CD

的面积.请你将小明的方法完善.并计算四边形/BCD的面积；

问题解决

(3)如图③，四边形/BCD是正在建设的城市花园，其中4B=2C,ZABC=60°,ZADC=30°,0c=40米,

AD=30米.请计算出对角线BD的长度.

图1

【答案】(1)115。；(2)$峨/48co=18；(3)对角线AD的长度为50米.

【分析】(1)利用外角的性质可求解；

(2)延长。C,使得连接BE,通过证明△42。g△CBE,从而可以计算四边形4BCD的面积;

(2)将△BCD绕点8逆时针旋转60。，得到△24F,连接FD,由旋转的性质可得8尸=2。，AF=CD=A0,

ZBDC=ZBFA,由三角形内角和定理可求/放。=90。，由勾股定理可求解.

【详解】解：(1)如图1,延长3c交/。于E,

图1

ZBCD=ZBED+ZD,ZBED=ZA+ZABC,

：.ZBCD=ZA+ZABC+ZD=45°+30°+40°=115°,

故答案为：115。；

(2)延长DC,使得CE=Z。，连接BE,

'、，

E

在四边形Z8CQ中，ZABC=ZADC=90°f

：.N4+N5CZM80。，

Z5C£+Z5CD=180°,

NA=NBCE,

在△/5Z)和△C5E中，

AB=BC

Z-A=Z-BCE,

、AD=CE

：.LABD咨/\CBE,

:,BE=BD,/ABD=/CBE,SAABD=SACBE,

ZABC=90°,即ZABD+/DBC=90。,

・•・/CBE+/DBC=90。,即ZDBE=90°f

•:BD=BE=6,/DBE=9U。,

：.SABDE春BExBD=18,

.*•SABDE=SACBE+SADBC=SAABD+SJDBC=S四边形ABCD=18；

(4)如图，将绕点2逊寸针旋转60。，得到△A4尸，连接阳,

:.ABCD冬ABAF,NFBD=60。,

：.BF=BD,AF=CD=40,ZBDC=ZBFA,

**.dBFD是等边三角形，

:・BF=BD=DF,

ZADC=3Q°,

：.ZADB+ZBDC=30°,

：.ZBFA+ZADB=30°,

'：ZFBD+ZBFA+ZBDA+ZAFD+ZADF=180°,

，60°+30°+ZAFD+180°,

ZAFD+ZADF=90°,

：.ZFAD=90°,

：.DF=y/AF2+AD2=V402+302=50,

.•.30=50（米）.

答：对角线的长度为50米.

【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理等知识,

添加辅助线构造全等三角形是本题的关键.

3.（2021•福建三明•八年级期中）感知：如图①，4D平分NB4C,Z5+ZC=180°,zF=90°.判断OB与DC

的大小关系并证明.

探究：如图②，力D平分NB力C,AABD+^ACD=180°,^ABD<90°,DB与DC的大小关系变吗？请说明理

由.

应用：如图③，四边形4BDC中，NB=45。，ZC=135°,DB=DC=m,则4B与AC差是多少（用含他的代

数式表示）

【答案】感知：DB=DC,证明见详解；探究：D8与。C的大小关系不变，理由见详解；应用：AB与AC差

是夜底

【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；

探究：过点。作于点E,DF1.AC,交4C延长线于点R根据角平分线的性质定理可得。E=0R

由题意可得N3=NDCF,进而可证△。匹乌△。尸C,然后问题可求证；

应用：过点D作DHLAB于点H,DG±AC,交4c的延长线于点G,连接由题意易证△ZVTBg/XDGC,

则有DH=DG,进而可得NG=47,然后根据等腰直角三角形的性质可得DG=CG=DH=BH=—m,则有

2

AGAHAC+—m,最后问题可求解.

2

【详解】感知：DB=DC,理由如下：

+=180°,ZB=90°,

=KC=90°,即081ABfDC1AC,

平分乙BZC,

：.DB=DC；

探究：与。。的大小关系不变，还是相等，理由如下：

过点。作。E_L4g于点£,DFLAC,交4c延长线于点尸，贝!|/。仍=/。/。=90。，如图所示:

图②

:A9平分484C,

:・DE=DF,

U：Z.ABD+AACD=180°,乙DCF+AACD=180°,

・•・ZB=ZDCF,

:•△DEBQADFC(AAS)f

：.DB=DC；

应用：过点。作于点//,DGLAC,交4C的延长线于点G,连接40,如图所示:

VzB=45°,zC=135°,

・"B+NC=180。，

9：Z.ACD+Z.DCG=180°,

:•乙B=乙DCG=45°,

■:乙DHB=4DGC=90°,DB=DC=m,

:.△DHBQXDGC（AAS）,且△。//B与△DGC都为等腰直角三角形，

：.DG=CG=DH=BH,

由勾股定理可得D"2+BH2=DB2t

：.2DH2=m2,

--DG=CG=DH=BH=—m,

2

在Rt^AHD和RtdAGD中，AD=AD,DH=DG,

；.RtAAHD丝Rt/XAGD（HL）,

■■AG=AH=AC+—m,

2

.,.ABAH+BHAC+V2m,

：-AB-AC=>/2m.

【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的

性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键.

4.（2021•辽宁大连•九年级期中）如图1,正方形力BCD中，BD是对角线，点E在48上，点F在8c上，连接EF

（EF与BD不垂直），点G是线段EF的中点，过点G作GH，EF交线段BD于点H.

（1）猜想GH与EF的数量关系，并证明；

（2）探索AE,CF,之间的数量关系，并证明；

（3）如图2,若点E在48的延长线上，点尸在BC的延长线上，其他条件不变，请直接写出力E,CF,DH之间

的数量关系.

【答案】（1）GH=理由见解析；（2）AE+CF=理由见解析；（3）4E-CF=理由

见解析

【分析】(1)过H作4B,BC的垂线，分别交力B,CD,4D,BC于连接HE,HF,利用正方形的性质及角

平分线的性质，证明出AH/E三通过等量代换得出AHEF为等腰直角三角形即可得出结论；

(2)由(1)中4HIE珏HJF(HL),得EI=可,从而得4/=KH=HL=/C,通过等量代换计算可得AE+CF=

AI+JC^2A1=2KH,根据△为等腰直角三角形即可得出结论；

(3)过点H作垂线，分别交2B,BC,CD,力。于/,/,L,K,连接HE,HF,证明出△“/£'三通过等

量代换计算得DH=V2KH,再根据△DKH为等腰直角三角形即可得出结论.

【详解】解：(1)GH=(EF,理由如下；

过H作的垂线，分别交4B,CD,4D,BC于连接HE,HF,

图1

•••4BCD为正方形，

.­.Z.HBI=4HBJ,乙HIB=/.HJB=90°,HB=HB,

Rt△HBI三Rt△HBJQAAS),

•••HI=HJ,

HG垂直平分EF,

•••HE=HF,

•••/.HIE=乙HJF=90°,

:AH1E34HJF(HL),

.­./.IHE=乙JHF,

又乙IHJ=4IHE+乙EHJ=90°,

:.乙EHF=Z.]HF+EH]=90°,

.•・AHEF为等腰直角三角形，

G为斜边的中点，

•­.GH=-EF.

2

(2)AE+CF^\[2DH,理由如下：

由(1)中△HIE三△HJF(HL),

・•・EI=F],

由下图：

乙4=Z.AIH=LAKH=90°,

・•・四边形4HK为矩形，

・•.AI=KH,

在△OHK中，由正方形的性质知,

乙HDK=45°,

•••乙HKD=90°,

••・(DHK=90°-45°=45°

・•.△DKH为等腰直角三角形，

又・・•乙D=乙HKD=(HLD=90°,

・•・四边形"KDL为正方形，

HL=KH,

同理四边形"LC/为矩形，

HL=JC

.・.AI=KH=HL=JC,

AE=AI+EI,CF=JC-FJ,

AE+CF=Al+]C=2AI=2KH,

在△DHK中，由正方形的性质知，

乙HDK=45°,

•・•乙HKD=90°,

・・・(DHK=90°-45°=45°

.•.△DKH为等腰直角三角形,

・•・DH=&KH,

AE+CFV2DH.

（3）AE-CF=V2DH,理由如下：

过点H作48,BC垂线,分别交48,BC,CD,AD^IJ,L,K,

连接HE,HF,

图2

HI=HJ,HE=HF,AHIE=乙HJF=90°,

.•.AHIE=△HJF,

：.El=F],

由（2）得力/=KH=HL=JC,

CF=FJ-JC,AE=Al+El,

AE-CF=Al+JC2AI=2KH,

由（2）可得：

DH=

△DKH为等腰直角三角形，

•••AE-CF/2DH.

【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定及性质、等腰直角三角形、解题的关键是添加适当

的辅助线，掌握相关的知识点，通过等量代换的思想进行求解.

5.（2020•河南洛阳•八年级期中）在NM4V内有一点0,过点D分别作DB1AM,DCLAN,垂足分别为B,

C.且8。=CD,点、E,尸分别在边AM和4N上.

图1

(1)如图1,若乙BED=LCFD,请说明DE=OF；

(2)如图2,若乙BDC=120。，Z.EDF=60°,猜想EF,BE,CF具有的数量关系，并说明你的结论成立的

理由.

【答案】(1)见解析；(2)EF=FC+BE,见解析

【分析】(1)根据题目中的条件和MED="FD,可以证明会/CDF,从而可以得到OE=DF；

(2)作辅助线，过点。作NCDG=乙BDE,交4V于点G,从而可以得到/BDE=ACDG,然后即可得到DE=DG,

BE=CG,再根据题目中的条件可以得到/EOF会/GDF,即可得到EF=GF,然后即可得到EF,BE,CF

具有的数量关系.

【详解】解：(1)vDB1AM.DCJ.AN,

・•・乙DBE=乙DCF=90°,

在』和4COF中，

2BED=Z.CFD,

••••乙DBE=Z.DCF,

BD=CD,

ABDE=ACDF^AAS).

DE=DF；

(2)EF=FC+BE,

理由：过点。作NCDG二480日交4V于点G,

在4RDE和』COG中，

Z.EBD=Z.GCD

BD=CD,

/BDE=Z-CDG

ABDE=ACDG{ASA),

DE=DG,BE=CG.

•・•乙BDC=120°,Z.EDF=60°,

••・^BDE+^CDF=60°.

・••乙FDG=Z-CDG+2CDF=60°,

•••Z.EDF=Z-GDF.

在4EOF和4GOF中,

DE=DG

Z.EDF=Z.GDF,

、DF=DF

AEDF=AGDFiSAS).

・•・EF=GF,

・•.EF=FC+CG=FC+BE.

图2

【点睛】本题考查全等三角形的判定、解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答.

6.(2020•江西萍乡•八年级期末)【课题研究】旋转图形中对应线段所在直线的夹角(小于等于90。的角)与

旋转角的关系.

【问题初探】线段AB绕点O顺时针旋转得到线段CD,其中点A与点C对应，点B与点D对应，旋转角

的度数为a,且0。<01<180。.

(1)如图①，当a=60。时，线段AB、CD所在直线夹角(锐角)为；

(2)如图②，当90。<(1<18()。时，直线AB与直线CD所夹锐角与旋转角a存在怎样的数量关系？请说明理

由；

【形成结论】旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的夹角与旋转角.

【运用拓广】运用所形成的结论解决问题：

(3)如图③，四边形ABC.D中，ZABC=60°,ZADC=30°,AB=BC,CD=3,BD=V19,求AD的长.

【答案】(1)60°；(2)互补，理由见解析；【形成结论】相等或互补；(3)V10

【分析】(1)由旋转的性质可得=CD,OA=OC,BO=00,可证'/COO(SSS),可得乙8=乙。,

由三角形内角和定理可求解；

(2)由旋转的性质可得AB=CD,OA=OC,BO=DO,可证4A0Bw4C0D(SSS),可得NB=ND,由平

角的定义和四边形内角和定理可求解；

【形成结论】由(1)(2)可知对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相等或互补；

【运用拓广】(3)将4BCD绕点B顺时针旋转60。，得到ZB4F,连接FD,由旋转的性质可得BF=BD,AF=

CD=3,由三角形内角和定理可求4FAD=90。，由勾股定理可求解.

【详解】解：(1)如图1,延长DC交力B于尸，交B。于E,

01

a=60°,

/.BOD—60°,

••・线段力B绕点。顺时针旋转得线段CD,

AB=CD,OA=OC,BO=DO,

AAOBsACOD(SSS),

：.Z.B=Z-D,

Z.B-Z.D,Z.OED-乙BEF,

•••4BFE=乙EOD=60°,

故答案为：60°；

(2)直线与直线CD所夹锐角角与旋转角a互补,

理由如下：

如图2,延长力B,DC交于点E,

E

或\

图2

••・线段力B绕点。顺时针旋转得线段CD,

••・AB=CD,OA=OC,BO=DO,

AAOB=4C00(SSS),

Z.ABO=乙D,

・・・NZBO+4EBO=180。,

・•・NO+乙EBO=180°,

•••(EBO+ZE+ZD+乙BOD=360°,

・•・乙E+乙BOD=180°,

••・直线力B与直线CD所夹锐角角与旋转角a互补.

形成结论

由(1)(2)(3)可知：旋转图形中，当旋转角小于平角时，对应线段所在直线的所夹锐角角与旋转角：相

等或互补.

故答案为：相等或互补.

运用拓广

(3)如图3,将/BCD绕点B顺时针旋转60。，得到/BAF,连接FD,

延长凡4,DC交于点E,

••・旋转角乙4BC=60°,

•••ABCD三ABAF,

：.AAED=乙4BC=60°,AF=CD=3,BD=BF,

■：^ADC=30°,

/.FAD=/.AED+/.ADC=90°,

又乙FBD=/LABC=60°,BF=BD,

.・"BFD是等边三角形，

•••BF—BD=DF,

.•.在RU1DAF中，4。=yjDF2-AF2=V19-9=V10.

【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性

质等知识，添加辅助线构造全等三角形是本题的关键.

7.（2021••九年级专题练习）如图，在△ABC中，乙4cB=120°,BC＞力C,点E在BC上，点。在上，CE=CA,

连接。E,^ACB+AADE=180°,CHLAB,垂足为H.证明：DE+AD=2V3CH.

【答案】见解析

【分析】如图，延长34到点F,使4F=0E,连接C尸、CD,根据四边形的内角和和邻补角互补可得乙乙4尸=

△CEO,进而可根据SAS证明△AFC=△EDC,可得CF=CD,^ACF=乙ECD,进一步即可求得NFCO=120°,

然后利用等腰三角形的性质和解直角三角形的知识即可证得结论.

【详解】证明：如图，延长到点心使=连接CF、CD,

vAACB+/.ADE=180°,

・•・/.CAD+MED=360°-180°=180°,

•・•Z.CAD+/-CAF=180°,

•••Z-CAF=Z.CED,

vAC=EC,AF=ED,

AFC=AEDCj

・•・CF=CD,Z.ACF=Z.ECD,

・•.Z.FCD=Z,ACF+^ACD=乙ECD+4ACD=^ACB=120°,

vCF=CD,CH1DF,

111

•••FH=DH=^DF=+AD),乙HCD=^FCD=60°,

tanzHCD="=百，

CH

：.DH=V3CH,

DE+AD2DH=2百CH.

【点睛】本题考查了四边形的内角和、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质和解直角三角形等知

识，正确添加辅助线、灵活应用上述知识是解题的关键.

8.（2020•湖南湘西•中考真题）问题背景：如图1,在四边形力BCD中，ABAD=90°,乙BCD=90°,BA=BC,

乙4BC=120。，^MBN=60°,ZJWBN绕B点旋转，它的两边分别交A。、DC于E、F.探究图中线段4E,CF,

EF之间的数量关系.小李同学探究此问题的方法是：延长FC到G,使CG=4E,连接BG,先证明△BCGmA

BAE,再证明ABFC三△BFE,可得出结论，他的结论就是；

探究延伸1：如图2,在四边形48CD中，/.BAD=90°,4BCD=90°,BA=BC,乙ABC=2乙MBN,乙MBN

绕B点旋转，它的两边分别交4D、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？请直接写出结论（直接写出“成立”

或者“不成立”），不要说明理由.

探究延伸2：如图3,在四边形4BCD中，BA=BC,/LBAD+ABCD=180°,4ABC=2乙MBN,4MBN绕B

点旋转，它的两边分别交4。、DC于E、F.上述结论是否仍然成立？并说明理由.

实际应用：如图4,在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西30。的A处舰艇乙在指挥中心南

偏东70。的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以75海里/小时的

速度前进，同时舰艇乙沿北偏东50。的方向以100海里/小时的速度前进，1.2小时后，指挥中心观测到甲、

乙两舰艇分别到达E、F处，且指挥中心观测两舰艇视线之间的夹角为70。，试求此时两舰艇之间的距离.

【答案】EF=AE+CF.探究延伸1：结论EF=AE+CF成立.探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立.实际

应用：210海里.

【分析】延长FC到G,使CG=4E,连接BG,先证明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,再

证明ABGF三ABEF,可得GF=EF,即可解题；

探究延伸1：延长FC至iJG,使CG=4E,连接BG,先证明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,

再证明△BGF三ABEF,可得GF=EF,即可解题；

探究延伸2：延长FC至1]G,使CG=AE,连接8G,先证明△BCG三△B4E,可得BG=BE,ZCBG=ZABE,

再证明A8GF三ABEF,可得GF=EF,即可解题；

实际应用：连接EF,延长AE,BF相交于点C,然后与探究延伸2同理可得EF=AE+CF,将AE和CF的

长代入即可.

【详解】解:EF=AE+CF

理由：延长FC到G,使CG=4E,连接BG,

A

图1

在ABCG和ABAE中，

-BC=BA

乙BCG=4BAE=90°,

,CG=AE

：.△BCG=i^BAE(SAS),

；.BG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=120°,ZMBN=60°,

ZABE+ZCBF=60°,

/.ZCBG+ZCBF=60°,

即NGBF=60°,

在ABGF和ABEF中，

'BG=BE

乙GBF=乙EBF，

.BF=BF

.,.△BGF^ABEF(SAS),

；.GF=EF,

VGF=CG+CF=AE+CF,

；.EF=AE+CF.

探究延伸1：结论EF=AE+CF成立.

理由：延长FC至l」G,使CG=/E,连接BG,

A

在4BCG和ABAE中，

BC=BA

乙BCG=乙BAE=90°,

、CG=AE

：.ABCG=^BAE(SAS),

.*.BG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=2ZMBN,

/.ZABE+ZCBF=|ZABC,

・•・ZCBG+ZCBF=^ZABC,

2

即NGBF=|NABC,

在4BGF和zXBEF中，

BG=BE

Z.GBF=乙EBF,

BF=BF

.,.△BGF^ABEF(SAS),

・・・GF=EF,

•・・GF=CG+CF=AE+CF,

・・・EF=AE+CF.

探究延伸2：结论EF=AE+CF仍然成立.

理由：延长FC到G,使CG=4E,连接BG,

9：^BAD+乙BCD=180°,ZBCG+ZBCD=180°,

・•・ZBCG=ZBAD

在ZJBCGWABAE中，

BC=BA

乙BCG=乙BAE,

、CG=AE

：・2BCG»BAE(SAS),

ABG=BE,ZCBG=ZABE,

VZABC=2ZMBN,

i

・•・NABE+NCBF二NABC,

2

・•・ZCBG+ZCBF=izABC,

2

即NGBF=|NABC,

在4BGF和zkBEF中，

BG=BE

(GBF=乙EBF,

BF=BF

.,.△BGF^ABEF(SAS),

・・・GF=EF,

GF=CG+CF=AE+CF,

・・・EF=AE+CF.

实际应用：连接EF,延长AE,BF相交于点C,

ZAOB=30°+90o+(90o-70o)=140°,ZEOF=70°,

・・・ZEOF-ZAOB

2

VOA=OB,ZOA