中考数学函数专项复习：反比例函数与一次函数的综合（含答案及解析）

专题13反比例函数与一次函数的综合

知识对接

考点一、与一次函数的综合

确定交点坐标：

(1)

【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(-a,-b).

【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.

确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解

(2)

在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k>0和k

(3)

<0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.

比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确

(4)

定出解集的范围.

涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可

分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.

例：如图所不，二个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S/kAOC=Szk0PE>S”OD

专项训练

一、单选题

Q

1.如图，一次函数、=履+5(%为常数，且左片0)的图像与反比例函数y=的图像交于A(-2,6),B

x

两点.若将直线A8向下平移，加”>。)个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，则机的值为

A.1B.1或8C.2或8D.1或9

1kk

2.如图，直线尸尸-2与x轴交于点g与双曲线y=—(x>0)交于点A,过点3作x轴的垂线，与双曲线y=—

2xx

交于点CSAB=AC,则左的值为()

A.8B.12C.10D.16

3.如图，反比例函数％=2的图象和正比例函数为=5的图象交于点A(T,-2),3(1,2).若%>>2,贝也

X

的取值范围是()

A.-1<x<0

C.xv—1或OvxvlD.-IvxvO或%>1

4.如图，正比例函数%的图象与反比例函数%=&的图象相交于A,8两点，其中点A的横坐标为2,

X

当％<%时，尤的取值范围是(

%v—2或%>2一2<工<0或%>2

一2<x<0或0vxv2D.xv-2或0vxv2

k

5.如图所示的是反比例函数%=—（尤＞0）和一次函数%=，加+”的图象，则下列结论正确的是（）

一次函数的解析式为%=-x+6D.若一<%,则l<x<6

k

6.如图在平面直角坐标系中反比例函数》=一与直线尸-工交于点A,过点A作AE〃y轴交x轴于点£,点

x

OF3

。关于AE对称点为点5,点。为y轴上一点，且上二7，连接8。与直线。4交于点。，若以AZ）为边的

OC8

正方形面积为壬则女的值为（）

A.-7B.-6C.-5D.-4

2

7.如图，已知A（1,a）,B（41）为反比例函数y=一图象上y的两点，动点尸在x轴正半轴上运动,

当线段AP与线段5尸之和最小时，则点尸的坐标是（)

8.如图，在平面直角坐标系中，函数>=日+6（厚0）与>=一（m^O）的图象相交于点A（2,3）,B

x

（-6,-1）,则不等式依+匕〉竺的解集为（）

X

C.x>2D.%V-6或0VxV2

k

9.在平面直角坐标系xOy中，直线丁=尤向上平移1个单位长度得到直线/,直线/与反比例函数y=—的图

x

象的一个交点为A（Q,2）,则%（）

A.2B.6C.-2D.1

k

10.函数y=—与>=履+1（厚0）在同一坐标系内的图象大致为图中的（）

1k

11.如图，已知直线y=不％+1交x轴于点A,交反比例函数y=—(%>0)于点6,过点区作5C_LAB交反比

例函数y=£“(x>0)于点。，若3C=17A3,则左的值为一.

冗2

12.如图，在平面直角坐标系中，直线>=-元+2与反比例函数>=」的图像有唯一交点，若直线y=-x+b与

X

反比例函数丫=工的图像没有公共点，则b的取值范围是.

X

13.如图，一次函数y=-x+b的图象与X轴交于A点，与y轴交于8点，与反比例函数y='的图象交于

X

k

点E(l,4)和点R则不等式一%+〃的解集是.

14.如图，己知AOB,点A在反比例函数图像上，点8在彳轴正半轴上，03=4,。4=2屈，直线A5

与反比例函数的图像只有一个公共点，则上=.

k

15.如图，点A,B在反比例函数y=*第一象限的图象上,点A坐标为(1,2),的延长线交x轴于点

x

C.点。在x轴上，8。的延长线交双曲线的另一支于点E,AB=BC=BD.则点C的坐标为,ACDE

的面积等于.

三、解答题

16.如图在平面直角坐标系中，。为原点，A、B两点分别在y轴、x轴的正半轴上，AAOB的一条内角平

分线、一条外角平分线交于点尸，尸在反比例函数y=2的图象上.

X

(1)求点P的坐标；

(2)若OA=OB,则:

①/P的度数为.

②求出此时直线AB的函数关系式；.

(3)如果直线AB的关系式为>且。〈几<2,作反比例函数y=—-,过点(0,1)作x轴的平行

x

线与>=—4的图象交于点M,与y=-乌n的图象交于点M过点N作y轴的平行线与>="+〃的图象交于点

XX

Q,是否存在上的值，使得MV+ON的和始终是一个定值d,若存在，求出％的值及定值d；若不存在，请

说明理由.

17.如图，在平面直角坐标系中，直线％=尔+〃与双曲线％=:交于点M(T-2)和点N.正方形ABCD

的边长为2,且顶点A和顶点。在了轴上，顶点8在直线％=如+〃上，顶点C在双曲线必=与上，过点N

X

向x轴作垂线，垂足E是AO的中点.

(1)求直线与双曲线的解析式；

(2)求点N的坐标；

(3)在1范围内，总有不等式%＞必，请直接写出此时。的取值范围.

18.如图，点A为双曲线＞=

X

(1)若点8的纵坐标为2,比较线段和08的大小关系;

(2)当点A在双曲线图像上运动时，代数式“AB?-01，，的值会发生变化吗？请你作出判断，并说明理由.

vyi

19.如图，一次函数Y=京+8的图像与反比例函数＞=—的图像交于C(2,m,。两点，与X轴，y轴分别交

x

于A、8(0,2)两点，如果△AOC的面积为6.

(1)求点A的坐标；

(2)求一次函数和反比例函数的解析式.

20.如图，在平面直角坐标系中有放△ABC,已知NA=90。,AB=AC,A(-4,0)、B(0,2)、C(d,4).

(1)求d的值：

(2)将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内8、C两点的对应点夕、。正好落在某反比例函数》的

图象上.请求出这个反比例函数以和此时的直线夕。的解析式”；

(3)当x满足什么条件时，yi>y2.

AO

21.如图，直线>=丘+3与x轴、y轴分别交于点8、C,与反比例函数丁=一交于点A、D,过。做。E_Lx

轴于E,连接。4,OD,若A(-2,n),SAOAB：S^ODE=1：2.

(1)求反比例函数的表达式;

(2)求点C的坐标.

22.如图，一次函数〉=皿+〃(加力0)的图象与反比例函数y='(％大0)的图象交于第二、四象限内的

点A(。，4)和点B(8,b).过点A作了轴的垂线，垂足为点C,△AOC的面积为4.

(1)分别求出。和6的值；

k

(2)结合图象直接写出〃氏+，7〈人的解集；

X

(3)在％轴上取点尸，使出-尸2|取得最大值时，求出点尸的坐标.

2m

23.在平面直角坐标系xOy中，直线y=2与一次函数y=-%+机的图象交于点尸，与反比例函数y=—的

x

图象交于点。，点A(2,2)与点5关于y轴对称.

(1)直接写出点5的坐标；

(2)求点尸，。的坐标(用含根的式子表示)；

(3)若P,。两点中只有一个点在线段A5上，直接写出机的取值范围.

专题13反比例函数与一次函数的综合

।知识对接

考点一、与一次函数的综合

确定交点坐标：

(5)

【方法一】已知一个交点坐标为(a,b),则根据中心对称性，可得另一个交点坐标为(-a,-b).

【方法二】联立两个函数解析式，利用方程思想求解.

确定函数解析式：利用待定系数法，先确定交点坐标，再分别代入两个函数解析式中求解

在同一坐标系中判断函数图象：充分利用函数图象与各字母系数的关系，可采用假设法，分k>0和k

(7)

<0两种情况讨论，看哪个选项符合要求即可.也可逐一选项判断、排除.

比较函数值的大小：主要通过观察图象，图象在上方的值大，图象在下方的值小，结合交点坐标，确

(8)

定出解集的范围.

涉及与面积有关的问题时，①要善于把点的横、纵坐标转化为图形的边长，对于不好直接求的面积往往可

分割转化为较好求的三角形面积；②也要注意系数k的几何意义.

例：如图所不，三个阴影部分的面积按从小到大的顺序排列为：S/kAOC=Szk0PE>S”OD

H专项训练

、单选题

Q

1.如图，一次函数、=履+5(%为常数，且左片0)的图像与反比例函数y=的图像交于A(-2,6),B

两点.若将直线A8向下平移，加”>。)个单位长度后与反比例函数的图像有且只有一个公共点，则机的值为

A.1B.1或8C.2或8D.1或9

【答案】D

【分析】

先利用反比例函数解析式求出6,得到A点坐标为（-2,4）,然后把A点坐标代入y=fcv+5中求出也从

而得到一次函数解析式；由于将直线向下平移相（相>0）个单位长度得直线解析式为>=丘+5一小则

直线>=履+5-m与反比例函数有且只有一个公共点，即方程组，只有一组解，然后消去y得到关于x的二

次函数，再根据判别式的意义得到关于他的方程，最后解方程求出”的值.

【详解】

OQ

解：把A（-2,b）代入y=——得人=一一-=4,

x-2

所以A点坐标为（-2,4）,

把A(-2,4)代入>=依+5得-2左+5=4,解得无=g,

所以一次函数解析式为y=gx+5；

将直线A5向下平移机（m>0）个单位长度得直线解析式为y=gx+5-m,

8

y=-

X

根据题意方程组<只有一组解,

1u

y=-x+5-m

2

O[

消去y得=-x+5-m,

x12

整理得/N-(m-5)x+8=0,

△=(m-5)2-4x^-x8=0,解得mi=9或m2=1,

故选：D.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式

联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了一次函数与几何

变换.

1kk

2.如图，直线y=彳兀-2与x轴交于点3,与双曲线y=—。＞0)交于点A,过点8作x轴的垂线，与双曲线y=一

2xx

交于点C且则左的值为()

A.8B.12C.10D.16

【答案】D

【分析】

作ADLBC于D,根据等腰三角形的性质得BD=CD,再利用一次函数解析式确定8(4,0),则可设C(4,-),

4

l-kk1k

利用A点的纵坐标为?得到A(8,!),然后把A(8,9)代入y=：x-2得g=4-2,从而解关于人的方程即

可得到人的值.

【详解】

解：作AO_LBC于。，如图，

'：AB=AC,

：.BD=CD,

当y=0时，gx-2=0,解得x=4,则B(4,0),

设C(4,则A(8,5),

48

k1k

把A(8,g)代入＞=得?=4一2,

o2o

・••仁16.

故选：D.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式

联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点.也考查了等腰三角形的性质.

3.如图，反比例函数％=&的图象和正比例函数%=上2%的图象交于点A（-L-2）,8（1,2）.若%>丫2,贝产

X

的取值范围是（）

A.—1v%v0

C.x<—1或0<x<lD.-l<x<0或x>l

【答案】C

【分析】

利用函数图像的上下关系求出x的范围.

【详解】

解：

•••以图像在”的上方.

即在交点A的左边和B的左边，y轴右边.

：.x<-］或0<xVl.

故选：C.

【点睛】

本题考查用函数图像解不等式，将函数值的大小关系转化成图像的上下关系是求解本题的关键.

4.如图，正比例函数%的图象与反比例函数%=幺的图象相交于A,8两点，其中点A的横坐标为2,

X

当必<%时，X的取值范围是（）

A.%v—2或尤>2B.一2＜了＜0或%＞2

C.-2<%<0或0vxv2D.xv-2或0vxv2

【答案】D

【分析】

根据题意可得8的横坐标为2,再由图象可得当yiV”时，x的取值范围.

【详解】

解：..•正比例函数yi=所尤的图象与反比例函数为=4的图象相交于A、8两点,

X

•'•A,B两点坐标关于原点对称，

:点A的横坐标为2,

点的横坐标为-2,

在第一和第三象限，正比例函数yk4ix的图象在反比例函数%=&的图象的下方,

X

：.x<-2或0<x<2,

故选：D.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是掌握正比例函数与反比例函数图象交点关于原点对

称.

5.如图所示的是反比例函数％=：（尤>0）和一次函数%=〃比+〃的图象，则下列结论正确的是（）

A.反比例函数的解析式是％=9B.当无=6时，y=1

x

C.一次函数的解析式为%=T+6D.若％<%，则l<x<6

【答案】D

【分析】

k

根据点(1,5)在反比例函数x=：(x>0)图象上，可求得反比例函数的解析式，可对A选项作出判断；根据

己求得的反比例函数关系式可求得当x=6时对应的函数值，从而可对B选项作出判断；由前面的计算，用

待定系数法可求得一次函数的解析式，从而可对C选项作出判断；观察图象可对D选项作出判断.

【详解】

k

..•点(1,5)在反比例函数%=?无>0)图象上

/.-=5

1

即k=5

...反比例函数的解析式是％

X

故A错误；

在M=*中，当x=6时，y=y

故选B错误；

:直线为=如+〃过点(1，5)和[6,|)

m+n=5

，L5

om+n=—

、6

[5

m=——

6

解得：35

16

一次函数的解析式为%=-?5x+邛35

66

故选项C错误；

k

观察图象知，当l<x<6时,反比例函数％=-(^>0)的图象位于一次函数%=〃优+〃的图象的下方，即％<%

故选项D正确；

故选：D.

【点睛】

本题考查了用待定系数法反比例函数和一次函数的解析式，函数图象上点的特征，本题的关键是数形结合.

k

6.如图在平面直角坐标系中反比例函数＞=一与直线产-%交于点A,过点A作AE//y轴交x轴于点E,点

x

Op3

。关于AE对称点为点8,点。为y轴上一点，且3二3,连接8C与直线。4交于点。，若以A0为边的

OC8

正方形面积为"，则人的值为（）

B£O]»

A.-7B.-6C.-5D.-4

【答案】A

【分析】

np3

设点A（-加，加）（相＞0）,根据题意以及三=?分别求得3,C的坐标，进而求得2C的解析式，根据BC与直

OC8

线。4交于点D,求得交点坐标，从而求得AZ）的长度，根据以A。为边的正方形面积为。求得机，进而

求得人的值.

【详解】

A点在y=一％上，设点A（-“加）O＞0）则E（-加,0）,B（-2m,O）,

OE=m,

OE_3

OC-8,

QQQ

OC=-OE=-m,则C（0,—m）,

333

设直线5c的解析式为y=京+b,

[87

,—m=b

则3,

-2km+b=0

解得：，

b=—m

I3

48

・・・直线BC的解析式为=+

.3。与直线OA交于点。，

y=—x

<48

y=—x+—m

[33

f8

x=——m

7

解得：

oQ

y=­m

I7

/.AD2=(—m+ym)2+(m—ym)2=2(-^)2,

.以A。为边的正方形面积为:，则Ar>2=],

解得m=±A/7，

m>0,

:.m=ypj,

A(-币，币，

k=—m2=-7•

故选A

【点睛】

本题考查了反比例函数和一次函数的图像和性质，待定系数法求一次函数解析式，设点的坐标是解题的关

键.

2

7.如图，已知A(1,a),B(/?,1)为反比例函数y=—图象上y的两点，动点P在x轴正半轴上运动，

当线段AP与线段之和最小时，则点P的坐标是()

【答案】C

【分析】

先求出A,2的坐标，然后作2点关于x轴的对称点玄，连接交x轴即为P,此时B4+P2最小，最小值

为的长，然后求出直线A8的解析式，求出其与x轴的交点坐标即可.

【详解】

2

解：把A（1,。），B（6,1）代＞=—得。=2,b=2,则A点坐标为（1,2）,8点坐标为（2,1）,

x

作8点关于x轴的对称点玄，连接AB咬x轴即为P,此时以+PB最小，最小值为A夕的长，

点坐标为（2,1）,

•••夕点坐标为（2,-1）,

设直线A夕的解析式为y^kx+b,

k+b=2

2k+b=-l

k=—3

解得

b=5

・・・直线A夕的解析式为y=-3%+5,

令y=0,贝!J-3x+5=0,

,5

・・x=一,

3

的坐标为q,o),

故选c.

【点睛】

本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

一tn

8.如图，在平面直角坐标系xOy中，函数(胖0)与丁=一(m^O)的图象相交于点A(2,3),B

x

YYt

(-6,-1),则不等式依+6＞—的解集为()

x

C.x＞2D.尤＜-6或0＜尤＜2

【答案】B

【分析】

不等式区+6＞竺的解集，在图象上即为一次函数的图象在反比例函数图象的上方时的自变量的取值范围.

X

【详解】

m

解：•函数产质+。(厚0)与广一(m^O)的图象相交于点A(2,3),B(-6,-1),

x

IY1

・'.不等式—的解集为：-6VxVO或%＞2,

x

故选B.

【点睛】

此题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，关键是注意掌握数形结合思想的应用.

k

9.在平面直角坐标系xOy中，直线V=龙向上平移1个单位长度得到直线/,直线/与反比例函数>=勺的图

尤

象的一个交点为4（。,2）,则左（）

A.2B.6C.-2D.1

【答案】A

【分析】

由直线平移性质求出一次函数解析式，再求出A的坐标，再代入反比例函数解析式可得.

【详解】

y=x向上平移1个单位长度可知直线/为y=x+l,因为点A（a,2）在y=x+l上，所以a+l=2,解得a=l.即点4

kk

（1,2）,把（1,2）代入反比例函数y=~的得2=?,解得"2.

x1

故选A

【点睛】

考核知识点：一次函数和反比例函数.理解反比例函数和一次函数一般性质是关键.

k

10.函数y=—与>=区+1（原0）在同一坐标系内的图象大致为图中的（）

【答案】C

【分析】

根据反比例函数及一次函数的性质对四个选项进行逐一分析即可.

【详解】

解：4由此反比例函数的图象在二、四象限可知，k<0；而一次函数的图象经过一、三象限七>0,相矛盾，

故本选项错误；

B、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，k>0；而一次函数的图象经过二、四象限，相矛盾,

故本选项错误；

C、由此反比例函数的图象在二、四象限可知，/<0；而一次函数的图象经过一、三象限，左<0,两结论一

致，故本选项正确；

D、由此反比例函数的图象在一、三象限可知，4>0；而一次函数的图象经过一、三象限，k<0,因为1>0,

所以此一次函数的图象应经过一、二、三象限，故本选项错误.

故选：C.

【点睛】

此题主要考查反比例函数与一次函数图象综合，解题的关键是熟知两函数的图象与性质特点.

二、填空题

1k

11.如图，已知直线y=手工+1交工轴于点A,交反比例函数y=—(%>。)于点3,过点3作5C_LAB交反比

2%

k1

例函数y=£(x>0)于点C,若5C=7A3,则％的值为一.

%2

【答案】4

【分析】

CMBM

证明贝I」J=——=1-,进而求解.

BNAN2

【详解】

过点5作y轴的平行线交工轴于点N,交过点C与九轴的平行线于点设直线A3交y轴于点。，如图.

令x=0,y=—x+l=l,

2

：.D(0,1),

・•・00=1,

令y=0,y=^x+l=0,解得x=-2,

・・・A(-2,0),

：.OA=2,

在放AANB中，tan/BAN=2=!，

AO2

在放△ABN中，设BN=t,则AN=2f,

ZCBM+ZABN=90°,ZABN+ZBAN=90°,

:.NCBM=NBAN,

而/8MC=NANB=90°,

:.丛BMCs&ANB,

'：BC=^AB,

则4BMC和4ANB相似比为1：2,

n.CMBM1

贝1」——=——=一,

BNAN2

则BM=t,

则点8、C的坐标分别为(—2+2f,f)、(—2+2?--|-Z,2z),

•点8、C在反比例函数上，故(—2+2/0xf=(―2+2f—gf)x2t,解得f=2,

则点2的坐标为（2,2）,

则左=2x2=4,

故答案为4.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点，涉及到三角形相似.当有两个函数的时候，着重使用一次函数，

体现了方程思想，综合性较强.

12.如图，在平面直角坐标系中，直线＞=-元+2与反比例函数y=’的图像有唯一交点，若直线y=-x+b与

X

反比例函数丫=工的图像没有公共点，则b的取值范围是.

X

【答案】-2＜b＜2

【分析】

根据双曲线的性质、结合图象解答即可.

【详解】

..•直线y=r+2与反比例函数丫=［的图像有唯一公共点，双曲线是中心对称图形，

X

直线y=与反比例函数y△的图像也有唯一公共点，

X

...当-2＜。＜2时，直线＞=-尤+6与反比例函数y」的图像没有公共点.

X

故答案为：-2V0V2.

【点睛】

本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握双曲线是中心对称图形是解题的关键.

k

13.如图，一次函数丁=-1+匕的图象与％轴交于A点，与y轴交于5点，与反比例函数y=—的图象交于

x

点E（l,4）和点F.则不等式-x+b〈&的解集是.

X

【答案】0<%<1或x>4

【分析】

把点E。,4)分别代入两函数解析式，分别求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式，求出直线和双曲

线的交点坐标，利用数形结合思想解题.

【详解】

解：由题意得：4=—1+人，4=1,

解得：b=5,k=4,

・♦・一次函数解析式为：>=-工+5,

4

反比例函数解析式为：y=-,

x

y=-x+5

联立：4,

y=一

・・・点尸的坐标为：(4,1),

k

由题意得：当OVx<l或x>4时，一x+b<—,

x

故答案为：OVx<l或x〉4.

【点睛】

本题考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式，一次函数和反比例函数的交点问题，能够求出函

数的解析式和厂点的坐标是解题的关键，注意数形结合的运用.

14.如图，已知,AO3,点A在反比例函数图像上，点3在无轴正半轴上，03=4,0A=2加，直线

与反比例函数的图像只有一个公共点，则左=.

y

【答案】12

【分析】

设A点坐标为（加，"），然后分别求出直线和反比例函数的解析式，然后联立两个解析式，利用一元二

次方程根于系数的关系求解即可.

【详解】

解：由题意可知8（4,0）,设A点坐标为（相，〃）,

222

Am+w=OA=40

设直线AB的解析式为>=辰+6,

mk+b=n

4%+6=0

k=」一

m-4

解得

,4〃

b=----------

m-4

直线A8的解析式为y=-^（尤-4）,

加一4'7

设反比例函数的解析式为,

X

k、=mn,

rriri

设反比例函数的解析式为y=—

X

y=—^(x-4)

m-4

联立

mn

y=一

X

X2—4x-/n(m-4)=0,

•.•直线A3与反比例函数的图像只有一个公共点,

.\△=(―4)~+(加—4)=0,

解得m=2,

・・."+4=40,

解得n=6,

••km/r—12f

故答案为：12.

【点睛】

本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，一元二次方程根的判别式，解题的关键在于能够熟练掌握相

关知识进行求解.

15.如图，点A,2在反比例函数y=勺第一象限的图象上，点A坐标为(1,2),A8的延长线交无轴于点

x

C.点。在x轴上，8。的延长线交双曲线的另一支于点E,AB=BC=BD.则点C的坐标为,△CDE

的面积等于—.

【答案】(3,0)2

【分析】

2

先求出反比例函数的解析式y=—,根据B为AC的中点，由中点坐标公式可计算出C(3,o),同理可求出点

x

y=x-l

0(1,0),再求出直线3D的方程y=联立2求出点E(-l,-2),根据S区后|%|即可求解.

>=一2

Ix

【详解】

解：点A,2在反比例函数y=*第一象限的图象上，

x

将4(1,2)代入上式,

解得：k=2,

2

•.•y=一,

x

设点C(c，O),

AB=BC,

.•.8为AC的中点，

1+c

由中点坐标公式可得：B(—,1),

将5(彳1+,c1)代入y=2±,

2x

解得：c=3f

即C(3,0),

8(2,1)

由勾股定理得：AB=J(2-1)2+(1—2)2=血,

BD=y/i，

设£)®,0),(0<d<3),

即J(d_2)2+(0_1)2=0,

解得：d=1,

故。(1,0),

设直线3。的方程为>

解得民。两点代入其中得：

j0=k+b

[\=2k+b，

解得：k=l力=-1,

y=x-l,

y=x-l

联立2，

y=-

由图可得：E(-l,-2)

C£)=3-l=2,|%1=2,

由SBCE=；CD|%I=|x2x2=2,

故答案是：C(3,0),2.

【点睛】

本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，中点坐标公式，勾股定理，解题的关键是掌握用待定系数

法求函数的解析式.

三、解答题

16.如图在平面直角坐标系中，。为原点，A、8两点分别在y轴、x轴的正半轴上，AAOB的一条内角平

4

分线、一条外角平分线交于点P,P在反比例函数y=—的图象上.

X

(1)求点P的坐标；

(2)若。4=。2,则：

①/P的度数为.

②求出此时直线A8的函数关系式；.

(3)如果直线AB的关系式为>=履+〃，且0v〃v2,作反比例函数y=—-,过点(0,1)作x轴的平行

x

4ri

线与>=—的图象交于点与y=-乌的图象交于点M过点N作y轴的平行线与,=依+〃的图象交于点

XX

Q,是否存在人的值，使得MN+0N的和始终是一个定值d,若存在，求出发的值及定值d；若不存在，请

说明理由.

【答案】(1)P(2,2)；(2)①22.5。；②y=-x+4-2&；(3)故不存在人的值，使得MN+QV的和始终

是一个定值d.

【分析】

(1)过户作PCLx轴于C,作轴于点。，PELAB于E,根据角平分线性质得PC=PC,再根据反

比例函数的解析求得P点坐标；

(2)①由等三角形的外角定理求得乙BAO的度数，再由角平分线求得和/尸。4的度数，进而由三

角形外角定理求得结果；

②过尸作轴于点。，由角平分线得P8=PD,进而求得。H,0A,得出A、2两点坐标，再用待定

系数法求得AB的解析式;

(3)由已知点尸的坐标，根据已知条件求出M、N、。的坐标，再求得MN+N。的解析式，根据解析式的

特点进行解答便可.

【详解】

解：(1)过P作PCLx轴于C,作尸轴于点。，于E,如图1,

,：AP和0P分别是尸和N48C的平分线,

：.PC=PE=PD,

设尸C=a,则P(a,a),

4

把尸(a,a)代入>=一中得，a2—4,

X

・•.4="=2,

：.P(2,2)；

9

(2)@：OA=OBfZA0B=90°,

・・・NOA3=45。，

：.ZBAD=135°,

*：AP和BP分别是NBAb和NA3C的平分线,

：.ZPAD=61.5°,ZPOA=45°,

・•・AAPO=ZPAD-ZPOX=22.5°f

故答案为:22.5°；

②解：过尸作尸轴于点O,如图2,

图2

•：OA=OB,。尸平分/AOB,

OP±AB,

：AP平分NBA。，

：.PH=PD,

由(1)知尸(2,2),

：.PH=PD=OD=?.,OP=2垃,

：.。〃=2忘-2,

OB—OA—72OH—4-20,

(0,4-272)，B(4-20,0),

设直线AB的解析式为：y=mx-\-n(优力0),则

JZI=4-2A/2

[(4-2夜)机+〃=0

m=­l

{s，

•••直线AB的解析式为：y=-x+4-2应;

4

(3)把y=l代入y=—中，得x=4,

x

：.M(4,1),

n

把y=l代入y=-一中，得％=-九，

x

：.N(-H,1).

把工=一〃代入y=kx+n中，得>=一如十"，

Q(~nf~kn+几),

MN+QN=(4+n)+\-kn+n-l\,

MN+QN=4