浙教版九年级数学下册同步训练：解直角三角形（7类题型）（解析版）

第03讲解直角三角形（7类题型）

学习目标

课程标准学习目标

1.掌握解直角三角形；

2.掌握解直角三角形的应用一一仰俯角问题；

1.解直角三角形的应用；

3、掌握解直角三角形的应用一一方位角问题；

4、掌握解直角三角形的应用一一坡度、坡角问题；

5、掌握解直角三角形的综合应用；

思维导图

知识清单

知识点1：解直角三角形

（1）解直角三角形的定义

在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形.

（2）解直角三角形要用到的关系

①锐角、直角之间的关系：/A+NB=90°；

②三边之间的关系：a2+/=c2；

③边角之间的关系：

乙A的对边a乙A的邻边

s\r\A=一,cosA=2ta上等瓷=去

斜边c斜边c乙A的令B边b

（a,b,c分别是NA、NB、NC的对边）

【即学即练1】

1.（2023上•山东济宁•九年级济宁学院附属中学校考阶段练习）在RtABC中，ZC=90°,ZB=30°,则cosB

的值为（）

A1R亚

A.D.L•Un

232

【答案】C

【分析】本题主要考查的是锐角三角函数的定义，根据定义解题即可.

【详解】解：如图：

[aZC=90°,ZB=30°

^\AC=-AB

2

BC=y/AB2-AC2=—AB

2

BC6AB

cosB=cos30°二二-5G

ABf=—

AB2

故选：c.

知识点2：解直角三角形的应用一一仰角、俯角问题

（1）概念：仰角是向上看的视线与水平线的夹角；俯角是向下看的视线与水平线的夹角.

（2）解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角

形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把

实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决.

在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的角叫仰角；视线在水平线下方的角叫俯角；

视线

铅

水

线

平

仰角

垂

俯角

线

、

视线

【即学即练21

2（2023上•湖南邵阳•九年级统考阶段练习）如图，在地面上的点A处测得树顶8的仰角为a度，若AC=6

米，则树高为（）

A.6sintz米B.6tana米C.--—米D.―--米

tanacosa

【答案】B

【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键;

过点2作BC，AC于点C,在中根据AC=6,ZA=a,求出的高度.

【详解】解:过点8作3c±AC于点C,

在M45c中，

QAC=6,ZA=a,

BC=ACtana=6tana.

故选B.

知识点3:解直角三角形的应用一一方位角问题

（1）在辨别方向角问题中：一般是以第一个方向为始边向另一个方向旋转相应度数.

（2）在解决有关方向角的问题中，一般要根据题意理清图形中各角的关系，有时所给的方向角并不一定在

直角三角形中，需要用到两直线平行内错角相等或一个角的余角等知识转化为所需要的角.

【即学即练3】

3.（2023上•山东泰安•九年级校考阶段练习）如图，某货船以24海里/时的速度从A处向正东方向的。处航

行，在点A处测得某岛C在北偏东60。的方向.该货船航行30分钟后到达8处，此时测得该岛在北偏东30。

的方向上.则货船在航行中离小岛C的最短距离是（）

A.12海里B.66海里C.12山海里D.24后海里

【答案】B

【分析】过点C作CE人AS,利用=3E,结合锐角三角函数，列式计算即可.

【详解】解：如图，过点C作CE1AB,

30

由题意，得：ZCA£=30°,ZCBE=60°,AB=24x—=12,

60

在Rtz\C4E中，AE="=辰£,

tan30°

在RtZXCBE中，BD=CE=—CE,

tan6003

^AB=AE-BE=V3CE--CE=12,

3

0CE=65/3；

故选B

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是添加辅助线，构造直角三角形.

知识点4：解直角三角形的应用一:坡度、坡角问题

（1）坡度是坡面的铅直高度力和水平宽度/的比，又叫做坡比，它是一个比值，反映了斜坡的陡峭程度，

一般用，•表示，常写成/'=1：m的形式.

（2）把坡面与水平面的夹角a叫做坡角，坡度，与坡角a之间的关系为：i=h/l=tana.

（3）在解决坡度的有关问题中，一般通过作高构成直角三角形，坡角即是一锐角，坡度实际就是一锐角的

正切值，水平宽度或铅直高度都是直角边，实质也是解直角三角形问题.

应用领域：①测量领域；②航空领域③航海领域：④工程领域等.

【即学即练4】

4.（2023上•山西临汾•九年级校联考阶段练习）汾河水库位于山西省太原市西北娄烦县境内下静游村至下石

铅直高度BC

家庄之间.如图，水库某段横截面迎水坡A3的坡度i=1:2（坡度i=),若坡高3c=20m,则

水平宽度AC

坡面AB的长度约为（参考数据：＞/2«1.41,73-1.73,^«2.24）

A.28mB.35mC.45mD.67m

【答案】c

【分析】本题考查的是解直角三角形的应用：坡度坡角问题，熟记坡度的概念是解题的关键.

根据坡度的概念求出AC,再根据勾股定理计算，得到答案.

【详解】解：回迎水坡A3的坡度力=1:2,

,BC1

"AC"25

QBC=20m,

AC=2BC=40m,

由勾股定理得：AB=^BC2+AC2=A/202+402=20辨-45(m),

故选：C.

知识点5:解直角三角形的综合应用

（1）通过解直角三角形能解决实际问题中的很多有关测量问.

如：测不易直接测量的物体的高度、测河宽等，关键在于构造出直角三角形，通过测量角的度数和测量边

的长度，计算出所要求的物体的高度或长度.

（2）解直角三角形的一般过程是：

①将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）.

②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得

到实际问题的答案.

【即学即练5】

5.（2023上•山西临汾•九年级校联考阶段练习）为庆祝国庆，某校要在如图所示的五角星中（图中所有线段

的长度均相等，且NA=NB=NC="=NE=36。），从顶点A开始，沿边每隔40厘米装一盏闪光灯，如

果凡•/两点间的距离为（占-1）米，那么需要安装闪光灯的盏数是（参考数据：sin18。=与4）

A.30B.40C.50D.60

【答案】C

【分析】此题考查了等腰三角形三线合一性质，解直角三角形，连接E7,过点A作根据等腰三

角形三线合一的性质得到NE4M=qNEV=18。，FM=JM=-FJ,然后利用

222

FM

sinNE4M=sinl8o=F代数求出AF=2,然后求出总长度，进而求解即可.解题的关键是正确作出辅助

AF

线.

【详解】如图所示，连接£/,过点A作

团一AE/是等腰三角形,

回ZA=36°,

11x/s-1

^ZFAM=-ZFAJ=18°,FM=JM,FJ=^~^~,

222

FMr-6一]

[?]sinZ7^4M=sinl8o=——，gpV5-1_，

A.F■=72~—

4AF

解得AF=2米，

0AF=BF=BG=CG=CH=DH=ID=IE=JE=AJ=2米,

SAF+BF+BG+CG+CH+DH+ID+IE+JE+AJ=20^z,

020米=2000厘米，

02000-40=50.

团需要安装闪光灯的盏数是50.

故选：C.

题型精讲

题型01解直角三角形的相关计算

1.（22-23下•深圳•模拟预测）如图，在边长为6的等边中，点E在边AC上自A向C运动，点/在

边CB上自C向8运动，且运动速度相同，连接3瓦A厂交于点尸，连接CP,在运动过程中，点P的运动路

径长为（）

71

C.3A/3D.

2

【答案】A

【分析】过点A作。4LAC于A,作OBL3C于3,连接OC,交AB于D,证明RtACO^RtBCO（HL）,

得。4=。3,再证明AACF，&LE（SAS）,可得/4/归=180。-60。=120。，确定点尸的运动路径是以点。为

圆心，以Q4为半径的弧A2,再由弧长公式求解即可.

【详解】解：如图，过点A作CM_LAC于A,作于8,连接。C,交A3于。，

ACB是等边三角形,

：.AC=BC=AB,ZACB=ZCAB=60°,

ZAOB=360°-60°-90°-90°=120°,

_OC=OC,

.'.RtACO丝Rt3co(HL),

/.OA=OB,

・•・OC是A5的垂直平分线，AD=BD=^AB=3f

在RtZXADO中，ZDAO=30°,

:,OD=AD^n300=43,OA=2OD=2^,

AE=CF,

.-.AACF^BAE(SAS),

:.ZCAF=ZABE,

NC4F+NR4P=60。，

.•.ZABE+NBAP=60。,

/.ZAPB=180。-60°=120°,

•••点P的运动路径是以点。为圆心，以。4为半径的弧AB,

•・•点P的运动路径长为"Ox"'2行=迪万.

1803

故选：A.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，扇形的面积，动点尸的运动轨迹等知识，确定点尸的运动轨

迹是解本题的关键.

2.(2122下・芜湖•自主招生)如图所示，已知乙〃乙〃有，且4与4的距离为2,4与4的距离为L正三角

形ABC的三个顶点分别在4，/4上，则AB=.

【答案】学

【分析】作AH，/?于a.将“A3H绕点A逆时针旋转60。到△AC/T,过犷作《的垂线.显然有为

等边三角形，AAH'MAH'CN,都是有一个角为30。的直角三角形，所以==勾股

cos3003

定理，即可求解.

【详解】解：如图所示作AH于H则AH=2,将-ABH绕点A逆时针旋转60。到△AC",过”作4的

垂线，交44分别于点河外，

ElZVlffl/'为等边三角形，则/HA”'=60。

0ZHW=3O°

SZAHB^ZAH'C^90°,AAMH'=NCNH'=90°

0ZMAH'=90°-ZMH'A=Z.CH'N=30°

^MH'=-AH'=1,H'N=3-1=2

2

回BH=CH'=H'N=迪

cos3003

^\AB2=BH2+AH2

3

故答案为：事.

【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理，含30度角的直角

三角形的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键.

3.(2022秋•广东深圳•八年级深圳市南山区荔香学校校考期中)我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做

顶角正对(sad),如图①，在＜45。中，AB=AC,顶角A的正对记作sadA,这时sadA=^1^=C容

易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.根据上述角的正对定义，解下列问题：

(2)对于0。＜A＜180°,/A的正对值sadA的取值范围是

(3)如图②，已知sinA=(,其中/A为锐角，试求sadA的值.

【答案】⑴血

(2)0<sadA<2

⑶当

o

【分析】(1)如图，ZBAC=90,AB=AC,COs45°=—=—,所以sad90°=生=忘.

BC2AB

1

(2)如图，当点A向8c靠近时，NA增大，逐渐接近180。，腰长A3接近彳BC,相应的sadA=「<2；

2AB

当点A远离BC时，/A减小，逐渐接近0。，腰长A3逐渐增大，相应的sacL4=H>。；于是0<sadA<2.

AB

(3)如图，在A3上截取AH=AC,过"作HD_L4C于。，设7TO=3x,A//=AC=5无，则AD=4无，

DC^AC-AD=x.解RtZJTDC,HC=VlOx,sadA=—=—.

AH5

【详解】(1)解：如图，ZBAC=90a,AB=AC,

sad90°=—,

AB

0cos45°=—=—,

BC2

0sad9O0=—=>/2.

AB

(2)解：如图，点A在BC的中垂线上，当点A向8C靠近时，,A增大，逐渐接近180。，腰长A3接近

2

1

AB>-BC相应的sadA=1^<2；

当点A远离8C时,-A减小，逐渐接近°。，腰长A3逐渐增大'相应的sadA=^逐渐接近。，sadA=^>。；

团0vsadAv2

（3）解：如图，在AB上截取AH=AC,过H作HD_LAC于。,

sinA=^^

5AH

22

^HD=3x,AH=AC=5x,贝I」，AD=Y/AH-HD=4x,

'S\DC—AC—AD—5x—Ax=x.

RtAHDC中，HC=y/CD2+HD2=VlOx>

r「VioxVio

团sadA=-C--H--

AH5x5

8

【点睛】本题考查新定义,勾股定理，解直角三角形，等腰三角形性质；添加辅助线，构造等腰三角形是

解题的关键.

题型02解非直角三角形

L（2020•哈尔滨•模拟预测）如图，在A处测得点尸在北偏东60。方向上，在8处测得点P在北偏东30。方向

上，若AP=66千米，则点AB两点的距离为（）千米.

C.2D.6

【答案】D

【分析】根据题意可知，NP4c=30。，AP=6一千米，则根据三角函数可求AC、PC,再根据/PBD=60。,

利用三角函数可求BC,则AB=AC-3c.

【详解】解：由题意可知，NP4c=30。，ZPBC=60°,

0AP=6A/3,

ElPC=APsin30°=Jx6石=3指，

2

AC=APCOS60°=6A/3^—=9,

2

K上=芈=3,

tan60°v3

AB=AC-BC=9-3=6,

故选：D.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，掌握锐角三角函数的定义，正确标注方向角是解题的关键.

3

2.（2019上•成都•期末）如图，在等腰ABC中，■=4。,3。，4。于点。,《«4=丁贝1]5血/63£>的值（）

【答案】D

332

【分析】先由cosA=g,易得=由AB=AC可得8=142,进而用勾股定理分别将BD、BC长

CD

用AB表示出来，再根据sin/C3D=；二即可求解.

3

【详解】解：SBD1AC,cosA=~,

3

0AZ）=-AB,

回8£>=JAB2-1|AB）=|AB,

又ElAB=AC,

SCD=AB-AD=^AB,

在RCC中，BC=+CD2=jg=^AB,

-ABr

团sinZCBD=-Y==——，

些AB5

5

故选：D

【点睛】本题主要考查了解三角形，涉及了等腰三角形性质和勾股定理以及三角函数的定义.此题难度适

中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用.

3

3.（2324上•哈尔滨•阶段练习）在，ABC中，若=屈，tanB=-,AC=3在,则3C=.

【答案】1或13

【分析】过点A作A。于点O,分高AD在三角形内部和三角形外部两种情况进行讨论求解.

【详解】解：过点A作AD/8C于点D,分两种情况讨论:

①当AD在ABC的外部时，如图：

AD3

团tanBn==—

BD7

团设AD=3x,B£）=7x,贝ij：AB=，心+5=病彳=屈，

团x=l,

团AD=3,BD=7,

^CD=yjAC2-AD1=6>

团BC=BD—CD=1；

②当AD在一ABC的内部时，如图:

同法可得：BD=T,CD=6,

0BC=BD+CD=13；

综上：8C=1或13；

故答案为：1或13.

【点睛】本题考查解非直角三角形，解题的关键是构造直角三角形，利用数形结合和分类讨论的思想，进

行求解.

题型03构造直角三角形求不规则图形的边长或面积

1.（2223下•益阳•期末）如图，在四边形A3a>中，ZABC=ZADC=90°,AB=1,BC=9,CD=3,则

四边形ABCD的面积为（）

C.52D.54

【答案】A

【分析】连接AC,利用勾股定理求出AC,再根据S3s=S成+S雄进行计算即可求出结果.

【详解】解：连接AC,如图所示

ZABC=90°,AB=7,BC=9

AC=y/AB2+BC2=#+92=5/130

ZADC^90°,CD=3

AD=y]AC2-CD~=V130-32=7121=11

•S=<7+S

一2ABCD21ADC2.ABC

=—xllx3+—x7x9=48

22

四边形A3CD的面积为48

故选：A.

【点睛】本题主要考查了四边形面积，解直角三角形的应用，勾股定理等知识，解题的关键是学会巧妙添

加辅助线，构造直角三角形解决问题.

2.（2223下•专题练习）如图，在_MC中，sinB=-,anC=—,AB=3,则AC的长为，_MC

3t2

的面积为.

【分析】过A作AD/3C,如图所示，在RtZXABD中，sinB=；,AB=3,得至ljAD=1,8。=2也；在RtA4CD

中，tanC=孝，得到CD=V^，由勾股定理得AC=A/L再由三角形面积公式代值求解即可得到

SAABC=g3c.AD=.

【详解】解：过A作AD/BC,如图所示:

22

:.AD^ABsinB=l,BD=A/A52-AD2=73-I=2>/2

在RSAGD中，tanC=—,

2

.•.殁=立，即CZ）=£

DC2

:.BC=BD+CD=3y/2，

由勾股定理得AC=^AD-+CD-=JF+（可=6；

…^AABC—2BC,A。—2，

故答案为：白，述.

2

【点睛】本题考查解非直角三角形问题以及求三角形面积，涉及三角函数定义、勾股定理及三角形面积公

式，熟练掌握解非直角三角形的方法是解决问题的关键.

3.（2223上•西安•阶段练习）如图，在四边形A8CD中，连接AC、8。，ZABD=ZBCD=90°,NA4B=60。，

BC=CD,贝IJtanNACD的值为.

【答案】V3+1

【分析】延长AB,OC交于点E,过点A作AFLCD于点尸，根据直角三角形边角关系，等腰三角形的性质,

以及锐角三角函数的定义，进行计算即可.

【详解】解：如图，延长AB、。。相交于点E,过点A作AbLCD于点尸，

D

团NCDB=NCBD=45。，

ZABD=ZBCD=90°,ZDAB=60°,

0ZADB=3OO,

回NAT®=300+45°=75。，

[?]ZZMF=90°-75°=15°,

团NE4B=60。—15。=45。，

0AAFE,ABCD,BCE是等腰直角三角形，

设则AZ）=2a,BD=BE=&,AE=A5+班=（指+1）〃,

6厂口—母D口r口口_及A口—瓜+近c

团CE-BE-ci,EF-AE------------a，

2222

FEF-EC•FT当

团tanZACD==2=石+1,

FCV2

—a

2

故答案为：V3+1.

【点睛】本题考查解直角三角形.正确的添加辅助线，构造直角三角形，熟记直角三角形的边角关系，是

解题的关键.

题型04仰角俯角问题

1.（2223下•日照•阶段练习）如图，A3是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端B沿水平方向向左走8米

到达点C,沿坡度i=l:2（坡度,=坡面铅直高度与水平宽度的比）斜坡走到点。，再继续沿水平方向向左

走40米到达点E（A、B、C、D、E在同一平面内），在E处测得建筑物顶端A的仰角为34。，己知建筑物

底端8与水平面£>E■的距离为2米，则建筑物A3的高度约是（参考数据：sin34°®0.56,cos34°«0.83,

tan34°®0.67）（）

X34°C_B]__

E------

A.27.1米B.30.8米C.32.8米D.49.2米

【答案】C

【分析】延长AB交匹的延长线于尸，作CGLEF于G,首先根据坡度求出OG,再根据锐角三角函数构

建方程即可解决问题.

【详解】解：如图，延长A3交匹的延长线于尸，作CG，£F于G,

£A34°_______

DGF

由题意得：/G=BC=8米，DE=40米，BF=CG=2^z,

在RtACDG中，i=l：2,

.•.£>G=4米，

在RtAbE中，ZAFE=90°,FE=FG+GD+DE=52米,NE=43。，

AF=FE-tan34°«52x0.67=34.84（米）,

AB=A尸-=34.84—2a32.8（米）；

即建筑物AB的高度约为32.8米.

故选：C.

【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角

三角形是解答此题的关键.

2.（2223•一模）安装了软件%"的智能手机可以测量物高.其数学原理是：该软件通过测量手

机离地面的高度，物体底端的俯角和顶端的仰角即可得出物体高度.如图，小明测得大树底端C点俯角a,

顶端。点的仰角夕，点A离地面的高度钻=。米，则大树CO的为（）

图1图2

A.a(tantz+tan£)米B.a(sine+sin£)米

(tana八、”(tan/八、“

C.a\-------+1|米D.a\—+米

Itan£JItanaJ

【答案】D

【分析】过点A作A£，CD,垂足为E,由题意得：AB=CE=am,AE=CB,AE//BC,从而可得

NEAC=ZACB=a,然后在Rt^ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，再在RtA4ED中，利用

锐角三角函数的定义求出。E的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答.

【详解】解：过点A作AE_LCD,垂足为E,

图2

由题意得：AB=CE=am,AE=CB,AE//BC,

Z.EAC=AACB=a,

在中，2C=©-=，一(m),

tanatana

:.AE=BC=-^—(m],

tana

在RtA4E£>中，NZME="，

/.DE=AE•tan13—--------tan0------------(m),

tanatana

八厂八厂小厂”tan尸(tan/?、/、

DC=DE+CE=a-\----------=a\1H---------(m),

tanaytana)

故选：D.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助

线是解题的关键.

3.（2023•湖北襄阳•统考中考真题）在襄阳市诸葛亮广场上矗立着一尊诸葛亮铜像.某校数学兴趣小组利用

热气球开展综合实践活动，测量诸葛亮铜像的高度.如图，在点C处，探测器显示，热气球到铜像底座底

部所在水平面的距离CE为32m,从热气球C看铜像顶部A的俯角为45。，看铜像底部5的俯角为63.4。.已

知底座3D的高度为4m,求铜像A3的高度.（结果保留整数.参考数据：sin63.4。。0.89,cos63.4°®0.45,

tan63.4°®2.00,->/2«1.41）

【答案】铜像的高度是14m；

CF

【分析】根据题意可得——=tan63.4。“2.00,从而求出CG=W=14m,即可求解.

BF

【详解】解：由题意得：CE=32m,EF=BD=4m,

SCF=CE-EF=28m,

回四边形3rCG是矩形，

团BG=CF=14m,

团NACG=45。，ZBCG=63.4°,

团ZFBC=ZBCG=63.4°,

CF

团一=tan63.4"2.00,

BF

0BF=14m,

团CG=BF=14m,

回CG=AG=14m,

团AB=5G—AG=14m,

团铜像A3的高度是14m；

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，关键是求出CF.

题型05方位角问题

1.（2324上•石家庄•阶段练习）如图，岛P位于岛。的正西方，P、。两岛间的距离为20（1+6）海里，由

岛尸、。分别测得船R位于南偏东60。和南偏西45。方向上，则船R到岛P的距离为（)

A.40海里B.40后海里C.406海里D.40面海里

【答案】A

【分析】要求PR的长，需要构造直角三角形，作辅助线然后根据题目中的条件利用特殊角的三

角函数值求解即可.

【详解】解：如图，作R4LPQ于点A,

尸。=20(1+6)海里,？尸少45?,NQPR=30°,ZPAR=ZQAR=90°,

RARA

■-PA=——,QA=——,PR=2RA,

tan30tan45

.•.华+出=20（1+⑸

V31,

T

解得：R4=20海里，

PR=2/M=40海里，

故选：A.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用-方向角问题，解题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用特

殊角的三角函数值进行解答.

2.（2223下•清远•三模）如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东45。方向，距离灯塔60nmile的A处，它沿正

北方向航行一段时间后，到达位于灯塔尸的北偏东30。方向上的8处，这时，8处与灯塔尸的距离为

nmile.

【答案】60A/2

【分析】过点尸作PCLAB，垂足为C,先在Rt^APC中，利用锐角三角函数的定义求出PC的长，然后在

RtACBP中,利用锐角三角函数的定义求出3P的长，即可解答.

【详解】解：过点P作垂足为C,

在RtzXAPC中，AP=60海里，ZAPC=90°-45°=45°,

PC=AP-cos45°=60x=3072（海里），

2

在RtAC5P中，ZBPC=90°-30°=60°,

PC_30V2_/-

/尸-嬴布一丁-60北（海里），

2

3处与灯塔P的距离为60>/2海里，

故答案为：600.

【点睛】本题考查了解直角三角形的应用一方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线

是解题的关键.

3.（2022秋•安徽合肥・九年级合肥市第四十八中学校考期末）如图，某渔船向正东方向以10海里/时的速度

航行，在A处测得岛C在北偏东60。方向上，1小时后渔船航行到8处，测得岛C在北偏东30。方向上，已

知该岛周围9海里内有暗礁.

（1）2处离岛C有多远？

⑵如果渔船继续向东航行，有无触礁危险？

⑶如果渔船在8处改为向东偏南15。方向航行，有无触礁危险（参考数据：65732、sin75。a0.966、

cos75°«0.259）

【答案】⑴10海里

⑵有危险

⑶没有危险

【分析】（1）过C作co垂直AB,通过证明NACB=/C4B=30。，即可求出CB的长；

（2）求出点C到A3的距离是否大于9,如果大于9则无触礁危险，反之则有；

（3）过点C作CEL族，首先求出/。8石=60。+15。=75。，然后根据三角函数求出CE的长，进而比较求

解即可.

【详解】（1）过C作CO垂直AB,

CO为渔船向东航行到C道最短距离

团在A处测得岛C在北偏东的60°

0ZC4B=3O°

又配处测得岛C在北偏东30°,

团NCBO=60。，/ABC=120°,

SZACB=ZCAB=30°,

ElA5=3C=10xl=10（海里）；

（2）0CO±AB,NCBO=60°

0ZBCO=30°

S\BO=-BC^5（海里）

2

0CO=y/BC2-BO2=5A/3«8.66（海里）

08.66<9

团如果渔船继续向东航行，有触礁危险；

（3）如图所示，过点C作CELB/"

根据题意可得，ZCBE=60°+15°=75°

[?]sinZ.CBE=sin75°=,BP0.966=

BC10

解得C石=9.66（海里）

[219.66>9

回没有危险.

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是根据角度得到钻=3C,再通过三角函数计算出相

关距离.

题型06坡度坡比问题

1.（2223下•广州•一模）如图是一个山坡，已知从A处沿山坡前进160米到达8处，垂直高度同时升高80

A.30°B.1:2C.1：A/3D.3:1

【答案】C

【分析】直接利用勾股定理得出AC的长，进而利用坡度的定义得出答案.

【详解】解：由题意可得：AC=A/1602-802=80-73（米），

则山坡的坡度为：BC:AC=80:80^=1:43,

故选：C.

【点睛】本题考查了勾股定理、解直角三角形的应用，正确掌握坡度的定义是解题的关键.

2.（2223下•太原•一模）我校数学兴趣小组的同学要测量建筑物8的高度，如图，建筑物。前有一段坡

度为，=1：2的斜坡跳，用测角仪测得建筑物屋顶C的仰角为37。，接着小明又向下走了4指米，刚好到达坡

底E处，这时测到建筑物屋顶C的仰角为45。，A、B、C、D、E、b在同一平面内，若测角仪的高度

AB=EF=1.5米，则建筑物8的高度约为（）米.（精确至U0.1米，参考数据：sin37。g0.60,cos37。，0.80,

tan37°«0.75）

【答案】D

【分析】设CD=x米，延长AB交。E于"，作FNLCD于N,于求出3"=4米，EH=8

米，由矩形的性质得出AM=D",AH=DM,FN=DE,EF=DN=L5米,在Rt^CFN中，求出

CN=FN=DE=(x-l»米,AM=D”=(8+x—1.5)米，GW=(x—5.5)米，在Rt一ACN中，由

AM=—CM盥CM，得出方程，解方程即可.

tan37°0.75

【详解】解：设CD=x米，延长AB交OE于作RV_LCD于N,4m，8于时，

.•■=4米，即=8米，

四边形是矩形，四边形EEDN是矩形，

:.AM=DH,AH=DM,FN=DE,FE=DN=L8米,

在Rt/XCWV中，：NCFN=45。，

：.CN=FN=DE=（x—L5）米,

AM=£）"=（8+X-1.5）米，CM=（尤-5.5）米，

在RtACM中，.NC4M=37。，

tan37°0.75

x—5.5

8+x—1.5x

0.75

.•.龙马1.4米，

.•.CDB41.5米,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用的辅助线，构造直角三角形解

决问题.

3.（2L22下•江门•模拟预测）如图，在距某居民楼A3楼底B点左侧水平距离60m的C点处有一个山坡，

山坡8的坡度（或坡比）?=1：0.75,山坡坡底C点到坡顶。点的距离CD=45m,在坡顶。点处测得居民

楼楼顶A点的仰角为28。，居民楼A3与山坡。的剖面在同一平面内，则居民楼AB的高度约为（参

考数据：sin28°~0.47,cos28°®0.88,tan280~0.53）

【答案】82.1m

【分析】构造直角三角形，利用坡比的意义和直角三角形的边角关系，分别计算出。E、ECBE、DF、AF,

进而求出AB.

【详解】如图，由题意得，ZADF=28°,CD=45,BC=6。,

在RtADEC中，

回山坡8的坡度i=1:0.75,

DE14

°EC0.753'

设。石=4刘则EC=3x,由勾股定理可得CD=5x,

又CD=45,即5尤=45,

回了=9,

团EC=3x=27,DE—4x=36=FB,

回助=5。+石。=60+27=87=。尸，

在Rt_AD尸中，

AF=tan28°xDF«0.53x87«46.1Im,

团AB=AF+F6=46.n+36P82.1m,

故答案为：82.1m.

【点睛】本题考查解直角三角形、坡比；添加辅助线构建直角三角形是解题的关键.

题型07解直角三角形的其他应用

L（2022春•云南红河•八年级统考期末）我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直指算法统宗》里

有一道"荡秋千"的问题："平地秋千未起，踏板一尺立地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，

终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？"词写得很优美，其大意是：当秋千静止在地面上时，秋

千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步（每一步为五尺），秋千的踏板与人一样高，这个人的

身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态，问这个秋千的绳索有多长？（）

A.14尺B.14.5尺C.15尺D.无法计算

【答案】B

【分析】设这个秋千的绳索AC=x,得到f=（x-4）2+102,求出尤的值即可.

【详解】解：设这个秋千的绳索AC=x,

贝I]AD=AC=x,

BE=FD=5,CE=1,

AB=AC-^-CE—BE=x^-l—5=x—4,

AD2=AB2+BD2,

：.X2=（X-4）2+102,

:.x=14.5,

这个秋千的绳索有14.5尺.

故选B.

【点睛】本题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

2.（2022秋•山东东营•九年级东营市胜利第一初级中学校考期中）为完成"综合与实践”作业任务，小明和小

华利用周末一起去郊外放风筝，小明负责放风筝，小华负责测量相关数据，如图，当小明把风筝放飞到空

中到点尸处时，小华分别在地面测得NPAB=45。，NP3A=30。，45=200米,则风筝的高度PC的长为（）

米（点C在点尸的正下方，A、8、C在地面的同一条直线上）（结果保留根号）

A.IOOA/2B.100A/2-100C.100石D.100百-100

【答案】D

pc

【分析】设尸c的长为X米，根据PCLAB,ZPAB=45°,々班=30。，得出AC=---------=x,

tan45°

pc1-

BC=——=V3x,最后根据AB=200米，列出求解即可・

tan30°

【详解】解:设PC的长为尤米，

SPC1AB,ZPAB=45°,/尸64=30°,

PCPCI-

ElAC=---------=无，BC=------=岳，

tan45°tan30°

团48=200米，

SAC+BC=x+^/3x=200,

用军得：x=1005/3-100,

故选：D.

【点睛】本题主要考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是熟练掌握特殊角度的三角函数值，以及

解直角三角形的方法和步骤.

3.（2022春•黑龙江绥化•九年级绥化市第八中学校校联考阶段练习）松花江斜拉桥是哈尔滨绕城高速公路西

段（瓦盆窑一一秦家）项目的重要组成部分，是我省修建的第一座公路斜拉桥，也是哈尔滨市乃至黑龙江省

的标志性工程.主桥采用双塔双索面钢一混凝土结合梁斜拉桥，塔墩固结一体、塔与主梁纵向活动支承，属

塔墩固结、塔梁支承式半悬浮体系.大桥索塔为门式塔，桥面以上设一道上横梁.全长1268.86m.图2是

从图1引申出的平面图.假设你站在桥上测得拉索A3与水平桥面的夹角是30。，拉索8与水平桥面的夹

角是60。，两拉索顶端的距离为2米，两拉索底端距离为128米，请求出索塔高3〃的长.（结果精

确到0.1米，若=1.732）

图1

【答案】109.8米

【分析】设斯的长为x米，运用三角函数表示出的长，列出等式算出尤=64-6，即可解答;

【详解】解：设的长为x米,

在府CD“中，NCDH=60°,

CH=DH-tanZCDH=x-tan60°=A/3X（米），

BH=CH+BC=（2+氐）米,

在中，NA=30。米,

，历.BH.2+氐

=（26+3X）米,

tanAtan30°

AH=AD+DH,

2^/3^+3x=x+128，

解得：x=64-\/3，