整式乘法与因式分解70道计算专训（7大题型）（解析版）

专题04整式乘法与因式分解70道计算专训(7大题型)

旨【题型目录】

题型一单项式的乘法

题型二多项式的乘法

题型三已知多项式乘积不含某项求字母的值

题型四整式乘法的化简求值

题型五乘法公式

题型六因式分解

题型七整式乘法与因式分解的新定义计算

41经典例题一单项式的乘法】

1.(2024上.福建泉州.八年级校考期末)计算：(-2.r3y)2+(-3^2)3-/.

【答案I_23吠

【分析】本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方.根据积的乘方以及单项式乘以单项式进行计算即可求

解.

【详解】解：(-2X3J)2+(-3X2)3./

=4x6y2-27x6y2

=-23x6y2.

2.(2024上•湖南长沙.八年级统考期末)计算：(-3]

【答案】一94“2c9

【分析】本题考查积的乘方和单项式的乘法，掌握先运算乘方，然后运算乘法是解题的关键.

【详解】解：(一3°26)2.(_/03)3

=9“%2.(—-c)

=-9al0b2c9.

3.(2023上•全国•八年级课堂例题)计算：

⑴4xy21-；x2yz)

⑵(0.31_/丫.(一0.2/y)2；

(3)5］(!办］.(一2.254肛).(一12,2).

(4)5。6.(一3人)2+(~6aZ?)2.(_〃人)一加.(-Ad)2.

【答案】⑴-2%3六

(2)0.0036?4/4

喈

(4)-7a3Z>3

【分析】此题考查了幕的混合运算，解题的关键是掌握塞的混合运算法则.

(1)根据单项式与单项式相乘的法则进行计算；

(2)先计算积的乘方，然后根据单项式与单项式相乘的法则进行计算；

(3)根据单项式与单项式相乘的法则进行计算；

(4)先算积的乘方和幕的乘方，再算单项式相乘，最后算加减.

【详解】⑴4町21］加)

=-2x3y3z.

(2)(0.3x3/)2.(-0.2x4y3)2

=0.09X6/-0.04//

=(0.09*0.04)_?+8产

=0.0036x14y14.

(3)5x-ax^■(-2.25ary)•(^-x2y2)

=5x|x(-2.25)x(-l)aMxi+M+2y,+2

=­a2x5y3.

4

(4)5^Z?-(-3&)2+(-6而了\-ab)-ab^(-Aa)2

t132

=5ab-9b+3642b2.^-ab）-ab-l6a

^45a3b3-36a3b3-16a3b3

=-7aV

4.（2024下.全国•七年级假期作业）计算:

（1）（3X103）2X（2X104）3X（4X102）2；

（3）10«刎一4/［和+8如曰

【答案】（1）1.152X1025；

（2）=-.

（3）—10。2b.

【详解】.解：（1）JM^=（9X106）X（8X1012）X（16X104）=1152X1022=1.152X1025.

⑵原式=沁（27切%

(3)原式=-6/6+2。%-6。26=-10々％.

5.(2023上•上海闵行七年级校联考期中)计算：2X5.(-X)2-(-2X2)3-^-1X^

【答案】-区

【分析】本题考查了整式的运算，先算积的乘方，再算单项式的乘法，然后合并同类项即可.

【详解】解：原式=2丁•尤2-8尤61).

=2x7—4x7

=—2x7.

6.(2023上•广东河源•七年级校考期中)计算：(3打+(-2/「］"

【答案】-5x6y3

【分析】本题考查了单项式乘以单项式，积的乘方，根据积的乘方以及单项式乘以单项式进行计算即可求

解.

【详解】解：㈠可+㈠/丫.\"

=-x6/-8x6x1y3

=—x6y3-4x6y3

=-5x6y3

7.(2023上•福建福州•八年级福建省福州教育学院附属中学校联考期中)计算:

⑴+/.(/；

⑵(_2〃)(3加_5加)；

［答案］⑴2aI?

(,2)-6a3b2+\0a3b3

【分析】(1)利用幕的乘方和同底数塞相乘运算法则即可求得答案；

(2)根据单项式乘以多项式运算法则计算即可.

【详解】(1)解：原式=a“+°8+4=a-4

(2)原式=(-2/).3ab1+{-2cr)(-5加)=-6a3M+iOa3b3.

【点睛】本题主要考查幕的乘方、同底数幕相乘、合并同类项及单项式乘以多项式，熟悉整式的运算法则

是解题的关键.

8.(2023上•上海长宁•七年级上海市复旦初级中学校考期中)计算：+(-x2y^xy2

【答案】0

【分析】本题考查了单项式乘以单项式，先计算乘方，再计算乘法，最后再合并同类项即可求解.

【详解】解："3/"无2＞［+㈠2y)3孙2

=9尤3y3x^x4y2-x6y3-xy2

=x7y5-x7y5

二0

?i

9.(2023上•上海浦东新•七年级统考期中)计算：3x3y3x(--x2yr+(--x2y)3x9xy2

【答案】X7/

【分析】原式先计算乘方运算，再计算乘法和加法运算即可得到结果.

［详解］解:原式=3T3片"卜’亲)?19孙2

x7y5

【点睛】此题考查了整式的加法，幕的乘方与积的乘方，以及单项式乘单项式，熟练掌握运算法则是解本

题的关键.

10.(2023上•福建福州•八年级校考期中)计算

(1)3X2?X3

25

(2)—a~b'・一cibc

56

(3)(-4./2)?-x2

(4)(-4x2^)(-xy)2(-1y3)

【答案】⑴6十

⑵卜%4c

⑶TO尤4

(4)2了与6

【分析】(1)(2)按单项式乘以单项式法则计算;

(3)先乘方，再算乘法；

(4)先算乘方，再算乘法.

【详解】⑴原式=6/；

(2)原式=三酒＞

56

=—6Z3Z?4C；

3

(3)原式=—X2A6X2

2

=-40x4;

(4)原式=(-4元2yxfy2)(-gy3)

=2x4j6.

【点睛】本题考查了积的乘方、单项式乘以单项式法则等知识点.掌握单项式乘以单项式法则及整式的运

算顺序是解决本题的关键.

今【经典例题二多项式的乘法】

11.(2024上•福建厦门・八年级统考期末)⑴计算3孙-2y+x(2x-y2)；

⑵(2a+3-6).

【答案】(1)5盯2+2/

(,2)2a3+a2b-2ab-b2

【分析】本题考查了单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，同底数幕的乘法等知识.熟练掌握单项式乘

以多项式，多项式乘以多项式，同底数幕的乘法是解题的关键.

(1)先计算单项式乘以多项式，同底数幕的乘法，然后合并同类项即可；

(2)根据多项式乘以多项式计算即可.

【详解】(1)解：3xy-2.y+x(2x-y2^

=6xy2+2x2-xy2

=5xy2+2%2；

(2)解：(2。+3(〃叫

=2a,6f2—2a•b+b•a~-b•b

=2a3+a~b—2ab—•

12.(2023上•吉林长春•八年级统考期中)计算：(。-3力(2。-力-。(2。-76).

【答案】3段

【分析】本题主要考查整式的混合运算.先根据多项式乘多项式和单项式乘多项式法则展开，再合并同类

项即可.

【详解】解：(a-3b)(2a-b)—aQa-1b)

=2a°—ab—6ab+3b2—2cr+】ab

=3b2.

13.(2024上•广东广州•八年级统考期末)计算：

(1)2/(3片+5〃)

(2)(5x+2y)(3x-2y)

【答案】⑴6/+10/6

(2)15x2-4xy-4y2

【分析】本题考查整式的乘法.

(1)利用单项式乘以多项式的法则，进行计算即可；

(2)利用多项式乘多项式的法则，进行计算即可.

掌握相关运算法则，正确的计算，是解题的关键.

【详解】(1)解：原式=6/+10/6；

(2)原式=15/一10孙+6孙一4y之=15x2-4jcy-4y2.

14.(2023上•吉林长春•八年级校联考期末)计算：

⑴(x+5y)(x-2y)；

(2)(12/n3—6m2++3m.

【答案】(1)炉+3孙-10/

(2)4m2-2m+1

【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键.

(1)根据多项式乘多项式计算即可；

(2)根据多项式除以单项式法则计算即可；

【详解】(1)(x+5y)(x-2y)

=X2-2xy+5xy-10y2

=x2+3xy-10y2；

(2)(12m3—6m2+3mj4-3m

=12m3-r-3m—6m24-3m+3m-r-3m

=4m2—2m+1.

15.(2023上•辽宁抚顺・八年级统考期末)计算：

(2)(3%+1)(%+2)

【答案】⑴7,

⑵3炉+7尤+2

【分析】本题考查了幕的相关运算、整式的乘法，解题的关键是掌握累的运算、整式乘法的运算法则.

(1)根据同底数幕的乘法、幕的乘方及积的乘方运算法则即可求解；

(2)根据多项式乘多项式的运算法则即可求解.

【详解】(1)解：原式=84-

=8/—19

=7a9

(2)原式=3炉+6x+x+2

—3工2+7x+2

16.(2023上•吉林四平八年级统考期末)计算：2x(尤-4)-(2尤-3乂尤+2).

【答案】-9x+6

【分析】此题考查了整式乘法和减法的混合运算；先计算单项式乘多项式和多项式乘多项式，再计算整式

的加减.

【详解】解：原式=2x2-8x-(2d+4x-3x-6)

=2x?—8x—2x~—4x+3x+6

=-9x+6

17.(2023上•福建龙岩•八年级校考阶段练习)计算：

⑴元+(_2/?；

(2)(尤+y乂尤,一肛+力.

【答案】⑴—7%

(2)V+y3

【分析】本题考查了同底数暴的乘法、嘉的乘方与积的乘方、多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解

此题的关键.

(1)先计算同底数幕的乘法、幕的乘方与积的乘方，再合并同类项即可;

(2)先根据多项式乘以多项式的运算法则进行计算，再合并同类项即可.

【详解】(1)解：x-x5+(-2x2)3=x6-8x6=-7x6；

(2)解：(x+^)(x2-Ay+y)=x3++x2y-xy2+y3=x3+y3.

18.(2023上•湖北武汉•八年级校考阶段练习)计算：

(l)2a3-a5+(-a2)4-3a8

(2)(尤一3)(%+4)-尤(x+1)

【答案】⑴0

⑵-12

【分析】本题考查整式的混合运算：

(1)先计算同底数幕乘法、幕的乘方，再合并同类项；

(2)先计算多项式乘多项式、单项式乘多项式，再合并同类项.

【详解】(1)解：2//+(—叫一3〃

=2a*+a*—3a*

=0

(2)解：(x-3)(x+4)-x(x+l)

—丁+4%-3%-12-(%?+%)

=%2+4%—3x—12一炉一x

=-12

19.(2023上•四川泸州•八年级泸县五中校考阶段练习)计算：

(l)(2a+l)(a-2)；

(2)(6%4—8%3)+(-2炉)

(3)(%———2).

【答案】(1)2/-3。-2

(2)—3x2+4x

(3)—x2+8尤-5

【分析】本题考查了多项式乘以多项式、多项式除以单项式、单项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解

此题的关键.

（1）利用多项式乘以多项式的运算法则进行计算即可；

（2）利用多项式除以单项式的运算法则进行计算即可；

（3）利用多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算法则进行计算即可得到答案.

【详（1）-2）=2。2—4。+。—2=2。--3a—2；

（2）解：（6彳4_8彳3）+（_2尤2）=6尤4+（_2彳2）_8尤3+（_2尤2）=_3尤2+4彳；

（3）（x—l）（x+5）—2x（x—2）=x?+5x—x—5-2x?+4x=-x?+8x—5.

20.（2023上.北京西城.八年级北师大实验中学校考期中）计算：（2x-3）（x-4）-（x+2）（3x-l）

【答案】-X2-16X+14

【分析】根据整式混合运算法则进行计算即可.

【详解】解：（2%-3乂%-4）-口+2乂3%-1）

=2k-8x-3x+12-(3%~-x+6x-2)

=2x2—llx+12—3x2+x—6x+2

=一%?—16x+14.

【点睛】本题主要考查了整式混合运算，解题的关键是熟练掌握整式混合运算法则，准确计算.

【经典例题三已知多项式乘积不含某项求字母的值】

21.（2024上•四川成都・八年级校考期末）若卜+。苫+曝卜/-3》+4）的展开式中不含/和》3的项.

（1）求。，q的值;

（2）求代数式（-2p%y+Gpq「+"。％刈6的值.

【答案】（1）P=3,q=~

7

(2)215-

【分析】本题考查多项式乘多项式，代数式求值，积的乘方的逆运算：

（1）先利用多项式乘多项式法则将原式展开，令展开式中f和/项的系数为0,即可计算出P,q的值;

（2）根据（1）中结论可得欣=T,将原式变形为（-221）3+（3网尸+（国）：■q2,再将04以及。，4的

值代入计算即可.

【详解】(1)解：Ix2+px+yI(X2-3X+<?)

=x4—3x3+qx2+pd—ipx2+pqx+^j-x2-2Sx+^-q

328

=V+(p-3)x+L-3/?+y+(pq-28)xH——q,

1*•展开式中不含一和d的项,

••p—3=0,q—3p■--=0,

解得P=3,q=——；

(2)解：由(1)得〃=3,q=——,

2

=(—2网-p)3+(3〃q)T+(pq)284•q

=(2x3)3+(—3/+(—1升4

=216--+lx-

39

11

=216—-+—

39

=215i-

22.（2024上•四川成都•七年级成都嘉祥外国语学校校考期末）若卜+»-g

尤2-3x+q）的积中不含了项与

V项.

⑴求p、q的值;

(2)求代数式(一2P7J+(304尸+p2°0,2°04的值.

【答案】(1*=3,q=-g

(2)36.

【分析】本题主要考查多项式乘以多项式的法则.

(1)将原式根据多项式乘以多项式法则展开后合并同类项，由积中不含尤项与d项可知x项与d项的系数

均等于0,可得关于p、g的方程组，解方程组即可；

⑵由⑴中p、4的值得网=-1,将原式整理变形成(-2夕04+(3pq)T+(/?<7)2叫4再将0、外的

值代入计算即可.

【详解】(1)解：/+px-j(x2-3x+q)

=x4-3x3+QX2+px"-3/?x2+pqx—gx2

=x4+(p-3)x3+,

:积中不含x项与犬项，

/.77-3=0,/?q+l=0,

解得：0=3,q=-；；

(2)解：p—3,q=——

pq=T,

...(—2*"(3闲**3,004

=(-2p-pqf+(3的尸+的广。3.q

=(2小_；+(_)><(_1严3

=36——+—

33

=36.

23.(2023上•河北廊坊•八年级校考阶段练习)已知(2必+如-可。-1)展开的结果中，不含/和尤项.

"为常数)

(1)求机，"的值；

⑵在(1)的条件下，求(加-/。"+加+叫的值.

【答案】(1)%=2,〃=-2；

⑵16.

【分析】(1)先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，然后根据题意得出关于加、〃的方程,

解之即可求解；

(2)先根据多项式乘多项式运算法则展开，再合并同类项，再代入加、〃值计算即可；

本题考查了多项式乘多项式不含某项问题、多项式乘多项式化简求值，掌握多项式乘多项式的运算法则是

解题的关键.

【详解】(1)解：JMs5C=2x3-2x2+mx2—mx—nx+n,

=2x3+(/n-2)x2-^m+n^x+n,

：(2f+皿-展开的结果中，不含V和尤项,

m-2=0,机+〃=0,

m=2,n=—2；

(2)解：(m—(疗+mn+/)

=m3+m2n+mn2—m2n—mn2—n3，

=m3—n3,

把m=2,九=一2代入得，

原式=23—(—2»

=8-(-8),

=16.

24.(2023上•河南南阳•八年级校考阶段练习)若，+加+3乂/-3彳+向的展开式中不含/和》3项，求电

〃的值.

【答案】n=3,m=6

【分析】本题考查了多项式乘多项式.解题的关键在于正确的运算.先根据多项式乘以多项式法则展开，

合并同类项，根据已知得出关于相、几的方程，求出根、〃即可.

【详解】(犬+依+3)(——3%+m)

=x4—3x3+mx2+nx3—3nx2+mnx+3x2—9x+3m

=x4+(-3+n)x3+(m-3zi+3)x2+(mn-9)x+3m

(x2+nx+3)(x2-3x+m)的展开式中不含尤?和/项,

.•.―3+〃=0,m—3n+3=0

解得"=3,m=6.

25.(2023上•四川内江•八年级校考期中)已知关于x的多项式/+g+〃与/-2元的积不含/项和/项，求

常数相、”的值.

【答案】m=2,n-4

【分析】本题主要考查多项式乘多项式，多项式的项、次数的定义以及代数式求值，解题的关键是熟练掌

握运算法则正确进行计算.先运用多项式乘多项式的运算法则进行运算并整理，再令二次项和三次项的系

数分别为。即可求解.

【详解］解：1丁+mx+t^x2-2x)=x4+(〃z-2)d+(”-2rri^x2-2nx,

又...积中不含f项和/项，

:.m-2=0,n—2m=0,

解得：m=2fn=4.

26.(2023上•广东东莞•七年级校联考期中)若关于光的多项式-5^+(2w-1)炉+(3〃—2)x-1不含二次项

和一次项.

(1)求机，〃的值.

(2)求m2+(-mri)

1?

【答案】(1)m=,，〃=§；

【分析】本题考查了多项式和代数式求值，熟练掌握相关知识点是解题的关键.

(1)先确定二次项和一次项的系数，再令其为。即可求如〃的值；

(2)将加〃的值的值代入求值即可.

【详解】(1)解：因为多项式-5^+(2*1)x2+(3n-2)x-1不含二次项和一次项,

2m—1=0,3〃—2=0,

12

解得加=/,〃=§.

1?

（2）解：由题（1）可得根=一,n=-

23

2

11

m2+(—mi)

312

27.（2023上•湖北•八年级校考周测）已知关于x的一次二项式依+6与/-3尤+1的积不含二次项，一次项

的系数是4.求:

⑴系数。与6的值;

⑵二项式6+6与炉-3%的积.

13

【答案】（1）系数。的值为-；，系数6的值为-];

Ia

(2)—VHX

22

【分析】本题考查了多项式乘多项式.

（1）先计算（以+“（——3%+1）,得改3+伍_3々）尤2+伍_3bb+匕，再根据关于X的一次二项式以+人与

f-3x+l的积不含二次项，一次项的系数是4,得到关于。与"的方程，解方程即可得到答案;

（2）把。与6的值代入（以+研/―3%）,计算即可得到答案.

【详解】（1）解：根据题意得:

(or+Z?)^x2—3x+l

=ax3—3or2ax+bx2—3bx+b

=加+(〃-3々)％2+(a_3b)%+》,

v关于1的一次二项式以+b与――3元+1的积不含二次项，一次项的系数是4,

\b-3a=0

'\a-3b=4"

1

a=——

2

解得：

b」

2

二•系数〃的值为-51，系数b的值为-；3；

一13

（2）解：由（1）得：系数。的值为-万，系数8的值为一万,

*,•二项式以+人与X2-3X的积为:

28.(2023上•重庆・七年级校联考期中)小马虎做一道数学题“两个多项式A,B,已知5=2尤?-3彳+6,试求

A-23的值”.小马虎将A-2B看成A+25,结果答案(计算正确)为5/-2x+9.

(1)当x=-3时，求多项式A的值；

⑵若多项式。=如2_依+1,且满足A-C的结果不含/项和x项，求加，〃的值.

【答案】(1)-6

(2)=1,n=-4

【分析】本题考查整式的加减，解题的关键是掌握整式的加减法则.

(1)将错就错，把B与错误结果代入确定A即可；

(2)化简A-C,根据不含/项和x项求出结果.

【详解】(1)解：根据题意得：

A=5x2-2x+9-2(2x2-3x+6)

二5炉—2x+9—4炉+6x—12

=x2+4x—3，

当％=-3时,原式=(-3)2_12-3=-6；

(2)解：A=x2+4x—3?C=nvc2—wc+17

A-C=(x2+4x-3)-(mr2-nx+1)

=炉+4%_3_jfix2+nx—1

=+(4+〃)x-4,

;结果不含N项和％项，

1—m=0,4+n=0,

/.m=l,n=-4.

29.(2023上•河南驻马店•八年级统考期中)已知(炉+侬:+矶/-工+勺展开式中不含丁和炉项.

(1)求加、〃的值；

⑵当机、〃取第(1)小题的值时，求(加+m(苏-加〃+/)的值.

【答案】⑴加=-4,n--A,

⑵-128

【分析】此题主要考查了多项式乘以多项式.

(1)利用多项式乘以多项式法则计算得到结果，根据展开式中不含/和/项列出关于用与〃的方程组，求

出方程组的解即可得到用与n的值；

(2)先利用多项式乘以多项式的法则将(加+“乂病-机力+，2)展开，再合并同类项化为最简形式,然后将(1)

中所求相、〃的值代入计算即可.

【详解】(1)解：(x3+mx+n)(%2-x+4)

=x5-x4+(m+4)x3+(〃一m)x2+(4m-n)x+4几,

fm+4=0

根据展开式中不含炉和d项得：

fm=-4

解得：,.

[n=-4

即加=-4,〃=—4；

(2)解：(m+n)(机之-mn+")

=m3—m2n+mn~2+m2n—mn~2+n3

=m3+n3>

当根=T,”=—4,原式=(-4)3+(—4)3=—64—64=—128.

30.(2023上・甘肃庆阳•七年级统考期中)(1)小明在对多项式2/+办-丫+6-京+3x-5y+l合并同类项

后，不含X,/项请求出的值.

(2)已知整式+2y-〃a+5-依2+6x-20y的值与字母x的取值无关求相、〃的值.

【答案】(1)25(2)帆=6,〃=一1

【分析】(1)合并同类项，然后根据不含羽炉项，即含的项的系数等于0,可得出心6的值，再代入

计算即可；

(2)令x的二次项与x的一次项系数为0,求出机与w的值.

【详解】解：（1）2x2+ax-y+6-bx2+3x-5y+l

—（2—+（〃+3）x—y+6—5y+l,

依题意得：々+3=0,2->=0,

所以匕=2,。=-3,

所以（a—8）2=（—3—2）2=25；

（2）-x2+2y-mx+5-wc2+6x-20y

=—x2—nx2—mx+6x+2y+5—20y,

=一（1+〃卜2+（6-m）x+5-18y

依题意得：

—1—n=0,—m+6=0,

所以〃二-1,冽=6.

【点睛】本题考查合并同类项，整式加减中不含某项问题，掌握相关知识是解题关键.

41经典例题四整式乘法的化简求值】

31.（2024•全国•八年级竞赛）已知ax+by=7,ax2+by2=49,ax3+by3=133,ax'+by4=406,求

2006（x+y）+100孙一2（a+Z?）的值.

【答案】4823

【分析】

本题主要考查了代数式求值以多项式乘以多项式运算，熟练掌握多项式乘以多项式运算是解题关键.先

将ax?+/7y2=49,以3+勿3=133分别乘以（x+y）,联立解出x+y=2.5,肛=—1.5,再根据

（冰+"）（%+丁）=办2+/7y孙（〃+人）求出"+人=21,代入求值即可.

【详解】解：（依2+勿2）（1+丁）=幺3+打3+孙（依+勿），

ax2+by2=49,ax'+by3=133,ax+by=7,

/.49（x+y）=133+7xy@

（加+by3）（x+y）=ax'+by4+xy^ax2+by2）,ax4+by4=406,

.•.133(尤+y)=406+49■好②

联立①②解得彳+，=2.5,邛=一1.5.

X'.^ax+by^x+y)-a)^+by2+xy(^a+b"),

.•.7x2.5=49-1.5(a+b),

:.a+b=21,

2006(%+y)+100孙-2(a+Z?)=4823.

32.(2023上•福建泉州•八年级校联考期中)先化简，再求值[(x-3y)(x+3y)_(x-3y)}(-3y),其中

x=3,y=—2,

【答案】化简得：6y-2x,求值得：一18

【分析】本题考查整式的混合运算之化简求值，根据完全平方公式、平方差公式将括号内的式子展开，再

根据多项式除以单项式的方法化简，然后将尤、V的值代入化简后的式子计算即可.

【详解】解：MJ^=[X2-9y2-(x2-6xy+9y2)]-(-3y)

=卜2-9y2-x2+6xy-9y2)4-(-3y)

二(—18y2+6xy)+(—3y)

=6y—2x

当％=3,y=-2时，原式=6x(-2)-2x3=-18.

33.(2023上•广东广州•八年级校联考期中)先化简，再求值：(x-2y)(x+y)-y(x-2y)，其中尤=-g,>=2.

【答案】尤2-2孙，2；

【分析】此题考查整式的化简求值，整式的混合运算，先根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式

法则去括号，合并同类项，再将字母的值代入计算即可，熟练掌握整式混合运算法则是解题的关键.

【详解】解：原式=%2+肛一2肛一2y2一孙+2/

=x2-2xy

当％=_：,y=2时，原式=_2x1—g]x2=2；.

34.(2023上•陕西延安•八年级校考阶段练习)先化简，再求值：(x-y)(x+2y)-x(2x+y),其中无=：,y=-l.

o

【答案】--一2y2,--

【分析】本题考查了整式的混合运算-化简求值.原式利用单项式乘多项式以及多项式乘多项式化简，去括

号合并得到最简结果，把元与y的值代入计算即可求出值.

【详解】解：（x-y）（x+2y）-x（2x+y）

=J?+2xy-xy-2y2-2x2-xy

=-x2-2y2,

当X=g,y=-i时，原式=-g]-2x（-i）2=-，

35.（2023上•四川宜宾•八年级四川省宜宾市第二中学校校考期中）先化简，再求值：

2

（2%+l）（2x-l）-（x-2）_（3J?+彳2—x）十尤,其中彳=_；.

【答案】3x-4；-5

【分析】本题考查了整式的化简求值，正确化简，是解题的关键.

【详解】（2^+l）（2x-l）-（x-2）2-（3/+/%

=4/—1—f+4%—4—3Y—x+1

=3%—4,

当X=-；时，

原式=3x1-£|-4=T-5=-5.

36.（2023上•北京东城•八年级校联考期中）先化简再求值：（。+26）（。-9+（。石+4"3）+"，其中。=：,

b=-2

【答案】2cr+ab+2b-,7.5

【分析】先对整式进行化简，然后再代值求解即可.

【详解】解：原式=。2一粗7+2a6—2〃+〃+4/

=2〃2+ab+2b2;

把"；沙=-2代入得:原式=2x；+；x（-2）+2x4=7.5.

【点睛】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握整式的运算是解题的关键.

37.（2023上•北京海淀•八年级北大附中校考期中）已知三+彳-4=0,求（x+2）（3x-1）-2x（x+2）的值.

【答案】2

【分析】先利用整式的混合运算化简代数式，再把已知条件变形，最后整体代入求值即可.

【详解】解：..F+XTMO,

•e•尤2+X=4,

(尤+2)(3x—1)-2x(%+2)

=3x2—x+6x-2-2x2-4x

—x2+x—2

=4-2=2.

【点睛】此题考查了整式的混合运算和化简求值，熟练掌握多项式乘以多项式、单项式乘以多项式的运算

法则是解题的关键.

38.(2023上•山西长治•八年级长治市第六中学校校考阶段练习)先化简，再求值：

2q(q2+Q—1)—(.+1)(2/-a),,中Q=—,

【答案】a2-a,与

【分析】先计算单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，再合并同类项即可得到化简的结果，再把；代

入进行计算即可.

【详解】解：2a(a?+a—1)—(a+l)(2/—a)

=(2/+2az_2a)-(2q-+_a)

=2a+2a~-2a—2cr—+ci

=ci~-a•

2

当。=-§时，原式

【点睛】本题考查的是整式的乘法运算中的化简求值，掌握整式的乘法运算的运算法则是解本题的关键.

39.(2023上.全国.八年级课堂例题)若尤+y=3,且(x+2)(y+2)=12.

⑴求冲的值；

⑵求1)的值.

【答案】⑴个=2；

(2)0

【分析】(1)先根据多项式乘多项式的法则化简(x+2)(y+2)=12,再把x+y=3代入即可；

(2)先化简1),再把尤+y=3,呼=2代入即可.

【详解】(1)解：由(x+2)(y+2)=12,

得xy+2%+2y+4=12,

则孙+2(x+y)=8,而无+y=3,

于是孙+2x3=8,

所以孙=2；

(2)解：(x-l)(y-l)=xy-x-y+l=xy-(j;+y)+l,

因为无+y=3,xy=2,

所以原式=2-3+1=0.

【点睛】本题考查了整式的混合运算、求值，熟练掌握运算法则和整体代入的数学思想是解题的关键.

40.(2023下•浙江金华•七年级校考期中)先化简，再求值：

(1)(3x+l)(2x-3)-(6x-5)(x-4),其中％=一2；

(2)(2x-y)(x+y)~2x(-2x+3y)+6x(—x-y),其中x=l,y=2.

【答案】⑴22x-23；-67

⑵-20孙-y2；-44

【分析】(1)根据多项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将龙的值代入即可求解；

(2)根据多项式乘以多项式以及单项式乘以多项式的运算法则可将原式展开，再合并同类项，最后将x、y

的值代入即可求解.

【详解】(1)解:(3x+l)(2尤一3)—(6无-5)(*-4)

=6x~—9x+2x—3—6x?+24x+5x—20

=22%—23,

当x=—2时，原式=Y4-23=-67；

(2)解：(2x-y)(x+y)-2x(-2x+3j)+6xf-x-1yj

=2x2+2xy—xy—y2+4x2—Gxy—6x2—15xy

=_20xy_y2,

当x=l,y=2时，原式=-20x1x2—2?=4.

【点睛】本题考查整式的混合运算，多项式乘多项式的法则，单项式乘多项式的法则等知识，解题的关键

是掌握乘法运算法则，属于中考常考题型.

51经典例题五乘法公式】

41.(2024・全国•七年级竞赛)已知x+y=10,xy=4,求d(l+y)+y20+尤)一2孙的值.

【答案】124

【分析】本题考查整式乘法的化简求值，先把式子化为(x+yy+-(x+y)-4冲，然后整体代入求值是解题

的关键.

【详解】解:x2(l+y)+y2(l+x)-2xy

=X2+尤2y+y2+孙2-2xy

=(x+y)~+孙(尤+,)-4冲

当x+y=10,个=4时，原式=102+4x10-4x4=124.

42.(2024.全国•八年级竞赛)已知实数a、b、c满足等式a+里=5和。2=曲+6一9,求3a+46+5c的值.

【答案】18

【分析】本题考查了整式的加减、完全平方公式和其性质等知识，对已知条件进行恰当的变形，结合完全

平方公式的非负性即可得出答案，熟练运用整式和完全平方公式的化简是解题的关键.

【详解】解：,a+b=5

「.a+l=6—b

c2=ab+b-9=(a+I)b-9=(6-b)b-9=-(b-3)2

.•"+S-3)2=0

c=0,b=3

:.a=2

3a+4b+5c=3x2+4x3+5x0=18.

43.(2024上•安徽黄山•八年级统考期末)计算：(机+可(m-〃)-(加-2〃了.

【答案］—5n2+4mn

【分析】本题考查了平方差公式，完全平方公式的计算，熟练掌握公式是解题的关键.

【详解】解：原式=川-(疗-4W+4〃2)

=m2—n2—rrr+4mn—4n2

=—5n2+4mn■

44.(2024上•江西上饶•八年级统考期末)用乘法公式计算：

(1)51x49

(2)1032

【答案】⑴2499

(2)10609

【分析】(1)变形后利用平方差公式计算即可；

(2)变形后利用完全平方公式计算即可；

此题考查了乘法公式在计算中的应用，熟练掌握公式和灵活变形是解题的关键.

【详解】(1)51x49

=(50+1)(50-1)

=502-12

=2499；

(2)1032

=(100+3)2

=1002+2X100X3+32

=10609.

45.(2024上•福建福州•七年级统考期末)先化简，再求值：2(d一2/)一(了一2月-卜-4/+2/)，其中尸一1,

y=-2.

【答案】2y-2x,-2.

【分析】本题考查的知识点是整式的四则混合运算、合并同类项、去括号、整式的加减中的化简求值，解

题关键是熟练掌握整式的四则混合运算法则.

先去括号，在合并同类项，根据整式的四则混合运算即可化简，将犬、y的值分别代入即可求值.

【详解】解：原式=2d_4y2一兀+2'一兄+4y2—2兀3,

=2y-2xf

将尤=-1,y=-2代入，

原式=2y—2x=2x（—2）-2x（-1）=—2.

46.（2024上•河南南阳•八年级统考期末）对于任意实数加，〃，我们规定：F（m,n）=nr+K,H（m,n）=nm,

例如：F（l,2）=l2+22=5,"（3,4）=3X4=12.

⑴填空：

①/（-1,3）=；

②若"（2,x）=-6,贝产=；

③若P（a,b）=H（a,2b）,则a-60.（填“>”，“<"或，="）；

⑵若x+2y=5,且“2x+3y,2x-3y）-H（7,x2+2y2）=i3,求孙与（》-2才的值.

【答案】⑴①10;②-3；③二

（2）3,1

【分析】此题考查了有理数的混合运算及整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键.

（1）①原式利用题中的新定义计算即可解答；②原式利用题中的新定义列出方程即可解答；③原式利用题

中的新定义列出等式并进行变形即可解答；

（2）已知等式利用题中的新定义化简，得出/+49=13,再结合x+2y=5,即可求值.

【详解】（1）①尸（-1,3）=（-1）2+32=10；

②若"（2,x）=-6,

则2x=-6,

则x=-3；

③若F（a,b）=H（a,2b）,

则a2+b2=2ab，

则（a叫2=o,

贝Ua-b-0,

故答案为：①10；②-3；③二

(2)F(2%+3^,2x-3y)-H(7,x2+2y2)=13

/.(2x+3y>+(2x-3y)2-7(%2+2y2)=13

HP%2+4/=13

*.*x+2y=5

x2+4y之+4xy=25

xy=3,

/.(x-2y>=x2+4y之一4孙=1

47.(2024上•河北沧州•八年级统考期末)对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一

个数学等式.

⑴模拟练习，如图，写出一个我们熟悉的数学公式；

(2)解决问题：如果a+Z?=10,ab=16,求/十从的值；

(3)类比探究：如果一个长方形的长和宽分别为(8-力和(x-2),且(8-尤『+(尤-2)2=22,求这个长方形的

面积.

【答案】⑴(〃+加2=1+2必+〃；

(2)68；

⑶7.

【分析】本题考查的知识点是完全平方公式在几何图形中的应用、通过对完全平方公式变形求值，解题关

键是熟练掌握完全平方公式及其变形.

⑴由图可得，边长为a+b的正方形面积=边长为。的正方形面积+边长为6的正方形面积+长为。，宽为b

的长方形面积x2,据此式即可求解;

⑵将完全平方公式变形成/+匕2=(“+"2_2",将。+6=10,必=16代入即可求解；

⑶设8—x=a,x-2=b,贝(长方形面积为(8_x)(x_2)=q(=S+6);(/+/),将和〃+〃的值代

入即可求解..

【详解】(1)解：由图得：边长为。+沙的正方形面积=边长为。的正方形面积+边长为b的正方形面积+长

为。,宽为人的长方形面积x2,

即(a+Z?)2=a2+2ab+b1.

(2)解：由⑴得：Ca+b)2=a2+2ab+b2,

Q?+b?=(Q+Z?)2—2ab,

X<〃+b=10,ab=16,

.•./+/=1()2—2x16=68.

(3)解：设8-X=Q,x-2=b,

(8—x)2+(x—2)2=22即为a?+Z?2=22,

贝U长方形面积为(8一x)(x_2)=a〃=S+9；()+”),

〃+人=(8-%)+(工-2)=8-2=6,

，长方形面积为史必=7.

2

48.(2024上•福建福州•八年级统考期末)阅读与思考：我们把多项式02+20b+62及/一2他+/叫做完全

平方式.如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全

平方式，再减去这个项.使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法，配方法是一种重要的解决问题的数

学方法，可以求代数式的最大值或最小值.

例如，求代数式无2+2丈-4的最小值：

%2+2X-4=(X2+2X+1)-5=(X+1)2-5

可知当x=-l时，V+2x-4有最小值，最小值是-5.

再例如，求代数式-3炉+6尤-4的最大值：

-3X2+6X-4=-3(X2-2%+1)-4+3=-3(X-1)2-1.

可知当x=l时，-3/+6X-4有最大值.最大值是-1.

【直接应用】

(1)在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：f+6x+；

(2)求当x取何值时，代数式8x+12有最大或最小值？这个最大或最小值是多少？

【知识迁移】

(3)如图，学校打算用长20米的篱笆围一个长方形的生物园，生物园的一面靠墙(墙足够长)，设垂直于

墙的一边长为x米，请用配方法求围成的生物园的最大面积.

培J

AD

生物园

----------------------1c

【答案】(1)9；(2)当x=4时，代数式V-8元+12有最小值，最小值为-4;(3)50m2.

【分析】本题主要考查配方法的实际应用能力，根据题意列出关系式是基础，配方是关键.

(1)依据题意，由配方法的意义得，V+6X+9是完全平方式，进而判断可以得解；

(2)依据题意，由尤2-8x+12=(x-4)2-4,再由平方数是非负数进而可以判断得解；

(3)依据题意，设垂直于墙的一边长为尤米，则另一边长为(20-2”米，然后再表示出四边形A3CD的面

积，结合尤的取值范围进而可得围成的植物园的最大面积.

【详解】解：(1)由题意得，/+6x+9是完全平方式.

故答案为：9；

(2)f-8x+12=(f-8x+16)-4=(x-4)2-4

・・・当x=4时，代数式元2一8尤+12有最小值，最小值为T.

(3)设垂直于墙的一边长为x米，则另一边长为(20-2力米，

根据题意得：S=x(20-2x)=20x-2x2=-2(x2-10x)

=-2(x2-10A-+25-25)=-2(x-5)2+50

，当x=5时，S有最大值，最大值是50.

•••围成的植物园的最大面积是50n?.

49.(2021上•山西临汾•八年级校考期末)阅读材料：据一份资料介绍，如果根与〃都是两位数，且相与”

的十位数字相同，个位数字之和为10,那么可以按下面的速算法则来计算

例如：53x57

第一步：5x(5+l)=3O；第二步：30x100=3000；

第三步：3x7=21；第四步：3000+21=3021.贝！)53x57=3021.

又如：24x26

第一步：2x(2+l)=6；第二步：6x100=600；

第三步：4x6=24；第四步：600+24=624.则24x26=624.

(1)请你用这个速算法则来计算62义68,15x15,并写出计算过程；

(2)你能用整式的乘法法则来说明这个速算法则的原理吗？写出证明过程.

【答案】(1)4216；225

(2)见解析

【分析】本题考查有理数的计算，整式运算.

(1)根据题意列式即可；

(2)根据题意设其中一个两位数的十位数字为。，个位数字为8,列出整式化简即可.

【详解】(1)解：根据题意：

6X(6+1)=42,42X100=4200,2X8=16,4200+16=4216,

则62x68=4216,

1x(1+1)=2,2x100=200,5x5=25,200+25=225,

则15x15=225；

(2)解：设其中一个两位数的十位数字为。，个位数字为6,

贝(10Q+6)(10〃+10-Z?),

=lOOtz2+100a—lOab+lOab+10b—b2?

=100〃+1004+10〃—〃，

=100a(a+I)+b(10-b).

50.(2024上.重庆万州.八年级统考期末)“数形结合”是一种非常重要的数学思想方法，比如：在学习“整式

的乘法”时，我们通过构造几何图形，用“等积法”直观地得到多项式的乘法公式.

⑴从图1可以容易得到(。+，)(24+，)=2/+3ab+b2；a^a+b^a2+ab,[a+b'f=Z?2+2°6+。2等乘法公

式(如图1),根据得到的乘法公式完成下列问题：

①若a+b=6,ab=4,贝!JH+/n；

②若尤满足(x—2025)2+(2O23—X)z=2024,求(2()25-x)(x-2023)的值.

⑵观察图2,回答下列问题：

①请你从图2中得到(a+6+c)2=；

②根据得到的结论，解决问题：若。=2x+3,b=3x+5,c=-5x-7,ab+ac+bc=-9,^.a2+b2+c2

【答案】⑴①28②—1010

(2)@a2+b2+c2+lab+2bc+2ac(2)19

【分析】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式是解题的关键.

(1)①根据完全平方公式计算即可；②设2。25-x=a,x-2023=6,分别求出"十尸和行方，根据完全

平方根时间是即可；

(2)①根据完全平方公式计算即可；②根据完全平方公式计算即可.

【详解】(1)©1.(G+/?)2=a2+2ab+b2,a+Z?=6,"=4,

.•.〃+/=(。+6)2-2团=36-2*4=28,

故答案为：28；

②设2025-x=无一2023=6,贝耳了一2025)2+(2023—x)?=(—°)2+(—与2==储+〃=2024

a+b=(2025-x)+(x-2023)=2,

因为(a+Z>)2+b2+2ab,

所以(2025-x)(x-2023)="

=g[(a+b)2-(/+⑹]

=1(22-2024)=-1010；

(2)(J)(〃+0+c)=a?+/++2〃。+20c+2〃c；

故答案为：a2+b2+c2+2ab+2bc+2ac;

②由①得a2+b2+c2=(a+Z?+c)2-2ab-2bc-2ac

=(2x+3+3%+5-5x-7『-2("+ac+bc)

=l-2x(-9)

=19.

X【经典例题六因式分解】

51.(2024上•山东临沂・八年级统考期末)分解因式：

(l)ox2+2axy+ay2；

(2)%2-(/-2y+l).

【答案】(l)a(x+y)2；

⑵(x+yf(x-y+l).

【分析】本题主要考查了因式分解，解决问题的关键是熟练掌握提公因式法分解因式，运用公式法分解因

式.

(1)先提公因式，再用完全平方公式分解因式；

(2)先用完全平方公式分解因式，再用平方差公式分解因式.

【详解】(1)解：ax1+2axy+ay2=a(x2+Zxy+y2)=a{x+y)2

(2)x2-(y2-2y+l)=x2-(y-l)2=(x+y-l)(x-y+l)

52.(