运动学的基础内容（解析版）-2024-2025学年高中物理竞赛能力训练

专题01运动学的基础内容

一、单选题

1.（2024•全国竞赛）下列哪一个人必须是非惯性观察者？将地面视为惯性系，应考虑空气摩擦力（）

I.一个人的位置被另一个观察者描述为近。=-1•八

n.坐在固定在地面上旋转的旋转木马边缘的人

m.一个人垂直向上跳跃，而此刻，当人处于最高位置时

IV.一个人垂直向上跳跃，而此刻，人还在上升的时候

V.一个戴着打开的降落伞进行跳伞的人。

A.只有I,IV和V

B.只有I和n

c.只有i,n,iv和v

D,只有口，m和w

E.I,n,m,iv和v

【答案】D

【详解】非惯性系是指相对地面惯性系做加速运动的物体。由题知将地面视为惯性系，且考虑空气摩擦

力。

I.一个人的位置被另一个观察者描述为y⑺=-£〃，如果观察者是静止的，观察者为惯性观察者，如

果被观察者是静止的，观察者加速度不为零，观察者为非惯性观察者，不符合题意。

n.坐在固定在地面上旋转的旋转木马边缘的人，观察者受到圆周运动向心力，加速度一定不为零，木

马边缘的人作为观察者为非惯性观察者，符合题意。

m.一个人垂直向上跳跃，而此刻，当人处于最高位置时，人的速度为零，加速度一定不为零，最高位

置人作为观察者为非惯性观察者，符合题意。

iv.一个人垂直向上跳跃，而此刻，人还在上升的时候，加速度一定不为零，人作为观察者为非惯性观

察者，符合题意。

V.一个戴着打开的降落伞进行跳伞的人。跳伞的人做减速运动时，加速度一定不为零，人作为观察者

为非惯性观察者，当重力等于降落伞受到空气阻力时，跳伞的人做匀速运动，人作为观察者为惯性观察

者，不符合题意。

故选Do

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2.（2007•全国竞赛）在地球赤道上的/处静止放置一个小物体。现在设想地球对小物体的万有引力突然

消失，则在数小时内，小物体相对于/点处的地面来说，将（）

A,水平向东飞去

B.原地不动，物体对地面的压力消失

C.向上并渐偏向西方飞去

D.向上并渐偏向东方飞去

E.一直垂直向上飞去

【答案】C

东------------►西

【详解】

从地球外面的惯性参照系来看，物体沿切线方向向东匀速直线飞去（如图）。/为开始飞出点，夙C、D...

为经过2h、4h、6.h…后的4点位置.b、c,为.为经过2h、4h、6h...后物体在空间的位置。Bb、Cc、

…为地面观察者观看物体的视线。

在地面上/点的观察者来看，这些视线相对于他的方向和距离如图所示。将46、c、4…用光滑的曲线

连接起来就是从地球上观察到的物体的运动轨迹/6源…即2h后物体到b点处，4h后物体到c点处，6h

后物体到4点处…所以从地球上观察，小物体相对于/点处的地面来说从原地向上升起并渐偏向西方飞

去。

故C正确，ABDE错误。

故选C.

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东西

3.（2024•郑州竞赛）一运动质点在某瞬时位于矢径入尤））的端点处，其速度大小为（）

drdrd同

i.—B.—C.」

dtatdt

【答案】D

【详解】用匕、。表示速度v沿％、＞轴的分量式，则有

Ax

dt

dv

dt

于是v的大小为

故选D。

4.（2023•郑州竞赛）某质点的运动方程为%）=（采用SI单位制），则片1秒时该质点运动

的切向加速度大小为（单位：米/秒2）（）

A.0B.V2C.eD.V5

【答案】D

【详解】对运动方程求导，可得其速度方程

/⑴=i+tj+t~k

再对速度方程

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V(t+t2+14

当Z=1秒时，其切向加速度为

=(>/l+t2+t4)'

大小为

a=v'(l)=VSin/s2

故C正确.

故选c。

5.(2023•郑州竞赛)运动质点在某瞬时位于位矢的端点处，对其速度的大小有四种意见，即

(1)，⑵⑶曰⑷糕H*)

下述判断正确的是()

A.只有(1)(2)正确B.只有(2)正确

C.只有(2)(3)正确D,只有(3)(4)正确

【答案】D

【详解】在自然坐标系中，速度的大小为

dr

vA\_ds

dtdt

在直角坐标系中有

2

"亚+匕2=，*)2+吟)

与是位矢尸的大小7•的变化率，g="是矢量，故(1)(2)错误，(3)

(4)正确，故选D。

atat

6.(2023•安阳竞赛)一个质点在。町平面上运动，已知质点的运动方程为r=2t2T-5t2j(SI),则该质点

作()

A,匀速直线运动B.变速直线运动

C.抛物线运动D.一般曲线运动

【答案】B

【详解】根据

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r=2rz-5t2j

可得

x=2产,y=-5t2

结合

1212

X=+-«/■,y=Vo/+-ayt

可知质点沿+x方向做初速度为零的匀变速直线运动，沿7方向做初速度为零的匀变速直线运动，故质

点的合运动为匀变速直线运动。

故选B。

7.（2022•河西竞赛）站在电梯内的一个人，看到用细线连结的质量不同的两个物体跨过电梯内的一个无

摩擦的定滑轮而处于“平衡”状态。由此，他断定电梯作加速运动，其加速度为（）

A.大小为g,方向向上B.大小为g,方向向下

C.大小为会，方向向上D.大小为母，方向向下

【答案】B

【详解】质量不等的两个物体跨过电梯内的一个无摩擦的定滑轮而处于“平衡”状态即物体自身重力恰好

提供各自加速度，且加速度相等，根据牛顿第二定律可知绳子没有拉力，即处于完全失重状态，可知电

梯作加速运动，其加速度为g.

故选B。

二、多选题

8.（2020•全国竞赛）甲、乙两车在同一平直公路上以相同速度30m/s同向行驶，甲车在前，乙车在后，两

车距离100m.从"0时起，甲、乙两车的加速度随时间变化如图所示。取运动方向为正方向，下面说

法正确的是（）

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A.f=3s时刻两车距离最近

B.r=9s时刻两车距离为100m

C.3〜9s内乙车做匀减速运动

D.f=9s时刻乙车速度为零

【答案】CD

【详解】A.。一图像的面积表示速度变化量，因此在3s末甲车的速度变化量为

△v=M=-10x3=-30m/s

可知此时甲车的速度为零，甲车的位移为

v2302..

x,=—=--=45m

12a20

乙车的位移为

%=%=30x3=90m

则此时两车之间的距离为

Ax=100-90+45=55m

此时乙车没追赶上甲车，乙车速度比甲车速度大，因此距离进一步缩小，A错误；

BCD.甲车9s末的速度为

v2=af2=5x6=30m/s

乙车9s末的速度为

v3=v-at2=30-5x6=Om/s

乙车在3〜9s做匀减速运动，说明甲乙两车在3〜9s互逆向运动，因此位移大小相等,因此9s的距离和

3s末相同为55m,故B错误CD正确；

故选CD.

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三、解答题

9.(2022•全国竞赛)一质量为M=1000kg的封闭车厢在水平地面上运动。车厢内底面水平。车厢内一乘

客试通过车厢内的实验来研究车厢在水平地面上的运动。他在车厢底面上建立与底面固连的平面直角坐

标系(xQy系)，并在坐标原点。放置一质量为加=5.0kg的物块A。在f=0时，A从静止开始运动.在

Ow/wl5s时间段内，A在xOy系中x、y方向上的速度V,、。与时间/的关系分别如图服6所示。已知

物块A与车厢内底面之间滑动摩擦系数为，=0.20,重力加速度大小g=10m/s2.

(1)求t=15s时，物块A在xOy系中的位置；

(2)在地面上建立静止的坐标系VOT,使V轴、了轴分别与xp系的x轴、〉轴方向两两相同。求在

坐标系x'O'y'中，车厢在/方向所受到的合力在整个过程(0*t<15s)中的冲量。

【答案】(1)(3.0m,2.5m)；(2)1.7xlO4N.s,方向沿1轴负方向

【详解】⑴在尤0系中，由图。、b所示速度图线匕-，5T可知，在阶段I(0<?<5s),物块A

做匀加速直线运动，它在x、y方向的加速度分别为

=8.0cm/s2

旬=4.0cm/s2

在阶段口(5s=yA做匀速直线运动。在阶段W(10sY<15s=f3),A做类斜抛运动，它在

y方向做匀速直线运动，在x方向做匀加速直线运动，加速度为

2

%1a=-16cm/s

由速度图线匕―，可知，在X0系中，物块A在Yl5s内时间段沿x、y方向的位移分别为

x=(；x40x5+40x5^jcm=3.0m

y=(；x20x5+20xlO,m=2.5m

在f=15s时，物块A在xp系中的位置为(3.0m,2.5m).

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(2)设车厢相对于水平地面在V方向的加速度为%'。设在某一时刻物块A速度方向与〉轴夹角为8。

物体A在无0系中x方向上受到摩擦力和惯性力的作用，由牛顿第二定律有

-max-/jmgsm0-max

同理，在x'。》'系中，车厢在V方向所受到的合力满足

车厢在X,方向所受到的合力在整个过程中的冲量为

/合,尸合。)”=加仙

整理有

,t2

/合=-M「ax(t)dt-/jMg([；sin劭+sin劭

%

由加速度的定义有

rt3

]0a*(t)dt=v(3

在阶段I、n,物体A相对车厢做初速度为零的直线运动，因此角度8保持不变，其值为

2275

singu%

在阶段m,在尤Or系中，有

%(，)="((2)

vnst(t)=vfa(t2)+amt[t-t2)

考虑到时,<0,物块A在阶段IE做类斜抛运动，8随时间改变，但在抛物线顶点两侧的对称点上8恰好

反号。于是有

Jsm3dt=-J_'sin3dt

这意味着在阶段W滑动摩擦力在x方向上的冲量为零，实际上滑动摩擦力与物块速度方向相反；在阶段

皿的前一半和后一半，物块在x方向上的速度方向相反，因此，作用在物块上的滑动摩擦力方向相反；

再由运动轨迹的对称性可知，在阶段DI的前一半和后一半，滑动摩擦力在x方向上的冲量正好相互抵消。

由上述各式得

r।,2y/5275

H

工=-Mvh-Z/M—gq=%

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解得

1'=-1000xf-0.4+^X0.2X10X10>|N-S=-17489N-S=-1.7x10

5

方向沿/轴负方向。

10.(2021•全国竞赛)6个小朋友在操场上玩追逐游戏.开始时，6个小朋友两两间距离相等，构成一正

六边形。然后每个小朋友均以不变的速率v追赶前面的小朋友(即小朋友1追2、2追3、3追4、4追

5、5追6、6追1),在此过程中，每个小朋友的运动方向总是指向其前方的小朋友。已知某一时刻/尸0,

相邻两个小朋友的距离为/,如图所示。试问:

⑴从为时刻开始，又经过多长时间后面的小朋友可追到前面的小朋友;

⑵从功时刻开始，直至追上前面的小朋友，每个小朋友又跑了多少路程;

⑶在幼时刻，每个小朋友的加速度大小是多少。

【答案】(1)t=~；(2)2/；(3)巫

v21

【详解】由对称性知，每个小朋友运动情况是一样的，以小朋友1为例

(1)在从小朋友1到小朋友的2连线方向上，小朋友1相对于小朋友2的速度分量为

V

匕=v-vcos60°=—

r2

小朋友1追上2的时间为

/21

t=—=—

匕y

(2)从初时刻开始，直至追上前面的小朋友每个小朋友所跑的路程为

s=vt=21

(3)取小朋友1的运动轨迹为自然坐标系，其切向加速度为

dv

a=——=0

r'dt

如解题图所示，设经dt时间小朋友1运动到「点，小朋友2运动到2,点，小朋友1的速度方向变为从

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1'点指向2,点，转过的角度为d仇

由余弦定理得

I=J/；+(v力I一%©os12QP

1'2'V1'2\/1'2

=J(/-vdtJ+"dt『一2(vdt)vdtcos12。

=，(/-vdtJ+“由『+(/-Mt4山

二yjl2-2lvdt+2(ydt)2+Ivdt-(ydt)2

二yjl2-lvdt+(vdt)2

~l----vdt

由正弦定理得

11?_vdt_vdt

sin120°sin(d8)d9

式中de为尺22'中两边〃与心之间的夹角。小朋友1运动的角速度为

d9vsin120°

cu=—=------------

dt/

1-2-

小朋友1运动的法向加速度为

则小朋友1的加速度大小为

11.（2019•泉州竞赛）共享单车极大地方便了人们的出行。如图所示，单车在水平地面上行驶的速度为v,

单车与人的总质量为私合质心离地高度为％质心离前后轮的水平距离分别为再、马,车轮与水平地

面间的动摩擦因数为〃，若前后车轮同时刹车，同时被“抱死”。

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(1)求地面对前、后轮的支持力大小M、N2,及车能滑行的距离；

(2)若车速较快，为保证刹车时不发生危险，y与肛应满足什么关系?

2

x2+[jyxx-/jyvM

【答案】⑴-雅，-mg,—；(2)y<—

石+%2x[+X22〃g〃

【详解】⑴自行车刹车时，合质心的合外力矩为零，则

〃（乂+N^y-NR+N2X2=0

其中

Ni+N?=mg

解得

x+

7Vl=-2---mg

再+x2

N2=------—mg

再+x2

根据牛顿第二定律可得自行车刹车时的加速度大小为

_pmg

m

根据位移速度关系可得车能滑行的距离为

v2

电=----

2〃g

(2)若车速较快，刹车时后轮有离地趋势，为保证刹车时不发生危险，应有

例＞0

解得

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12.（2007•全国竞赛）如图所示，B是质量为加队半径为R的光滑半球形碗，放在光滑的水平桌面上。A

是质量为帆4的细长直杆，被固定的光滑套管C约束在竖直方向，A可自由上下运动。碗和杆的质量关

系为：73=2利初始时，A杆被握住，使其下端正好与碗的半球面的上边缘接触（如图）。然后从静

止开始释放A,A、B便开始运动.设A杆的位置用0表示，。为碗面的球心。至A杆下端与球面接触

点的连线方向和竖直方向之间的夹角。求A与B速度的大小（表示成。的函数）.

【详解】由题设条件知，若从地面参考系观测，则任何时刻，A沿竖直方向运动，设其速度为四，B

沿水平方向运动，设其速度为VB.若以B为参考系，从B观测，则A杆保持在竖直方向，它与碗的接

触点在碗面内作半径为尺的圆周运动，速度的方向与圆周相切，设其速度为忆.杆相对地面的速度是

杆相对碗的速度与碗相对地面的速度的合速度，速度合成的矢量图如图中的平行四边形所示.由图得

VAsm0=vA(1)

小。s8=%(2)

因而

%=/cot8(3)

由能量守恒

匕+1B落

mAgRcos0=—mA

由（3）,（4）两式及%=2%得

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2gRcos9

以=sin8⑸

1+cos29

2gRcosB

%=cos<9(6)

1+cos29

13.（2007•全国竞赛）有一只狐狸以不变速度匕沿着直线逃跑，一猎犬以不变的速率紧迫，其运动

方向始终对准狐狸。某时刻狐狸在歹处，猎犬在。处，FDVAB,且£0=£（如图），试求此时猎犬

的加速度的大小。

【答案】a.

【详解】猎犬做匀速率曲线运动，其加速度的大小与方向在不断改变。从所讨论的时刻开始考虑一段

很短的时间4t,在这段时间内猎犬运动的轨迹可近似看作是一段圆弧，设其半径为R,则加速度是

a=v；/R①

其方向与速度的方向垂直。如图6-7所示，设在这包时间内狐狸与猎犬分别到达?与。，，猎犬的速度

方向转过的角度为

B=匕△//R②

而狐狸跑过的距离是

vQ=BL③

（At越小，此式越精确。）因而

V2AZ/R=vx/\i/L

R=LV2/V1

a=v；/R=V]V2//④

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图6'-7

此题要求学生能就一个具体问题讨论匀速曲线运动中加速度与速度方向的改变的关系，可检查学生对

速度、加速度概念的理解。学生如能采用以下解法就更好。

设猎犬在。处时加速度为万（图6-8）,则在4t时间内其速度由E（方向指向尸）变为B（方向指向尸'）,

速度增加了Z包，结果是速度大小不变，方向改变的角度为

ca/\tv[△/

（At越小，上式越准确。）由此立即可得

如果学生对于曲线运动中速度与加速度关系概念不清，则对此题常无从下手，或乱用公式不得要领。

图6'—8

14.（2024天津竞赛）摩托车以速度w沿平直公路行驶，突然驾驶员发现正前方x处有一辆汽车正以（V2<v/）

的速度开始减速，加速度大小为为了避免发生碰撞，摩托车也同时减速，求其加速度如至少需要

多大？

【答案】见解析

【详解】①当两车相向运动时，两车刚好不发生碰撞时，设摩托车的位移大小为昭则汽车的位移大小

为X-S-由匀变速直线运动的规律得

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y：=24sl

V；=2%(x-sJ

联立解得

一出一2

1

2a2x-vf

2

故摩托车的加速度至少为/%匕。

2a2x-v2

②当两车同向运动时，以前方减速运动的汽车为参照物，则摩托车相对汽车的相对初速为

相对汽车的相对加速度为

%=4-a?

刚与汽车不相碰时，摩托车相对汽车的相对位移为

s,=x

设摩托车从开始减速到摩托车与汽车速度相同所需时间为f,摩托车从开始减速到汽车停止所需时间为

t',有

〃2

sx2x

t==----------=---------

匕%一%匕一了2

2

摩托车与汽车刚不相碰时，汽车还未停止的条件是

t<t'

即

2xvv2

匕一4%

这时，以前方减速运动的汽车为参照物，有

，2s,

即

(匕-匕>

a-a.=—!--------

y2x

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可得

ax=^^+ai

2x

2x%摩托车加速度至少需要（是"+电。

故当-----时，为了避免发生碰撞,

V1-V2a22x

2x%

当-----工2时，摩托车与汽车相碰前,汽车已停止，这时汽车的位移为

%—v2a2

§2=

2a2

摩托车的位移为

sx=—

2ax

摩托车与汽车刚不相撞的条件是

S]=S?+X

联立解得

2

/-2

v2+2a2x

2x%2

故当-----工工时，为了避免发生碰撞,摩托车加速度至少需要，笑

V1-V2a2v2+2a2x

15.（2016•北京强基计划）两个路灯相距以高均为一人从左边路灯正下方处出发，以速度v对着另

一个路灯匀速前进。设人高为九人在两路灯下的影子落在两灯之间部分的长度为S,S为关于时间/

和高度的二元函数0当0</<七

6V〃时，S有极大值。求S取极大值时，相应的〃、九

V

H

L

2?

UT

【详解】从人经过左侧灯开始计时，如图2,图3所示，根据相似三角形，在4=工时，右灯照射人

Hv

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在0</<。时间内，设两灯间影子的长度为x,根据相似三角形

h_x-vt

x

可得

vH

x=------1

H-h

影子的长度随时间的增加而增大，最大值为

hL

Xmi=H-h

在4过程中，根据相似三角形可知

h_h_x2

Hxx-vt'Hx2+L-vt

可得影子的长度

若,影子长度与时间内对称，因此影子长度的最大值为

V

Lh

X

m=7H7-h7

且该最大值随人的增大而增大，但若出现该情况必须满足

4-%2

即

h7<—H

2

可知当〃=£时，影子取得最大值，且最大值为

Xm=L

该时刻为

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16.(2023•郑州期中)有一质点沿x轴作直线运动，"寸刻的坐标为x=4.5户-2卜(SI),试求：

(1)第2秒末的瞬时速度；

(2)第2秒内的路程。

【答案】⑴-6m/s；(2)2.25m

【详解】(1)由于位移的一次导数表示速度，则有

v=x'=9t—6t2

解得第2秒末的瞬时速度为

v=9x2m/s-6x22m/s=-6m/s

(2)根据上述有

x'=9t-6t2

令一次导数等于0,解得

£=1.5s

表明1.5s时，质点开始反向运动，可知第2秒内的路程

s=k(L5)-x(J+卜(2厂无⑸卜225m

17.(2022•全国竞赛)飞轮作加速转动时，轮边缘上一点的运动方程为s=0.1F(SI),飞轮半径2m,当该

点的速率片30m/s时，其切向加速度和法向加速度分别为多少？

22

【答案】aT=6m/s,an=450m/s

【详解】由s=0.1/可得

ds

v=——=0.3/=30m/s

dt

解得

t=10s

当夕10s时，切向加速度为

dv.

a=—=0.6,=6m/s2

rdt

由于做圆周运动，因此法向加速度为

v2,

a=—=450m/s?

nR

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18.(2022•全国竞赛)一小轿车做直线运动，刹车时速度为w,刹车后其加速度与速度成正比而反向，即

a=-kv,左为已知常数。试求：

(1)刹车后轿车的速度与时间的函数关系；

(2)刹车后轿车最多能行多远。

【答案】⑴⑵?

k

【详解】(1)由加速度定义。=处，联立。=-狂并取积分，有

V

「小「J7,

—二一kdt

J%vJ。

解得

V=v0e-"

z/y

(2)由速度定义v=?并联立v=%e"取积分，得

at

当/.00时

19.(2022•全国竞赛)有一质点沿x轴做直线运动，f时刻的坐标为x=4.5/-2『(SI).试求:

(1)第2秒内的平均速度；

(2)第2秒末的瞬时速度；

(3)第2秒内的路程。

【答案】⑴-0.5m/s；(2)-6m/s；(3)2.25m

【详解】(1)平均速度

(2)瞬时速度

v=--9t-6t2=-6m/s

dt

(3)因为t=1.5s时

v=0

所以

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S=忖5-尤/+-玉51=2.25m

20.（2022•全国竞赛）一质点沿x轴做直线运动，其V—曲线如图所示，已知/=0时，质点位于坐标原点,

求I=4.5s时质点在x轴上的位置.

【答案】2m

【详解】由几何关系知位移大小等于曲线下的总面积

Ax=X45-Xo=5=2

所以

x45=2m

21.（2022•全国竞赛）若质点限于在平面上运动，试指出符合下列条件的应是什么样的运动?

为奉

d;不

山

一

为零

dv了

山

为零

da了

dr

【答案】（1）圆周运动；（2）速率不变的曲线运动；（3）加速度大小不变但方向变化的曲线运动

【详解】（1）质点的位矢大小不变，而位矢随时间不断变化，即位矢的方向随时间不断变化，可知质

点做圆周运动。

（2）质点的速率不变，而速度随时间不断变化，即速度的方向随时间不断变化，可知质点做速率不变

的曲线运动。

（3）质点加速度大小不变，而加速度随时间不断变化，即加速度的方向随时间不断变化，而此时加速

度方向不可能与速度方向在同一直线上，所以质点做加速度大小不变但方向变化的曲线运动。

22.（2022•全国竞赛）设质点作曲线运动的方程为x=x（。、y=y（t）.在计算质点的速度和加速度时，有

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两种方法：

（1）先求出r=JR+y2,再根据y=9、。=号片求出"、Q；

（2）先求出速度和加速度的各分量匕=与、%%=%、%=*，然后再用＜="；+¥、

a=M+aj求出v、/你认为哪一种方法正确？为什么？

【答案】见解析

【详解】质点做曲线运动，其位置矢量既有大小也有方向，且其方向随时间变化，所以对位矢的微分

的模|右|并不等于对位矢的模的微分，则

dtdt

d2r叩

a=

方法（1）先求出位矢的模,再用其对时间求导，得出的V和。显然是错误的。

方法（2）先求分量再合成，在x和y方向的单位矢量7和J都是大小与方向不随时间改变的常量，则

根据速度和加速度的定义有

-drd/idr-

v=——=——(xi+y/)=—i+=vj+vj

dtdtdt

-dvdd"x-：d2yi

a=一=一

AtAt中

所以

a=M=Ja；+a：

即方法（2）正确.

四、填空题

23.（2017•北京强基计划）如图所示，A、B、C三个物体处于一正方形的顶点上，其中NC连线水平。现

使三物同时开始运动，其中A物以初速%=lm/s下抛，B物自由落体，要使三物能同