浙江省绍兴市2023-2024学年高一年级上册1月期末考试 数学试卷

第一学期高一年级期末质量评估试卷

数学

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1.若暴函数的图象过点(42),则/⑶的值为()

1J33「

A.-B.4C.-D.J3

932、

【答案】D

【解析】

【分析】代入点可求出解析式，即可求出答案.

【解析】由募函数/⑺=产的图象过点(4,2),所以"4)=4。=2,

111

解得。=万,故/⑺=.,所以/⑶=32=人.

故选：D.

2.函数/(x)=lg(x—1)的定义域是()

A.(l,+oo)B.[l,+oo)C.(-(x),l)o(l,+oo)D.R

【答案】A

【解析】

【分析】根据对数函数定义域即可得出结论.

【解析】由题意，在〃x)=lg(x—l)中,

x—l>0即％>1,所以/(九)的定义域为(1,+8).

故选：A.

3.下列函数在其定义域上单调递增的是()

A./(x)=-1B./(x)=g]

C./(x)=log2xD./(x)=tanx

【答案】C

【解析】

【分析】利用基本初等函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.

【解析】反比例函数〃X)=-工在(-8,0)和(0,+8)上单调递增，在定义域上不单调，A

选项不满足条件；

指数函数〃x)=在定义域上单调递减，B选项不满足条件;

对数函数/(尤)=log?x在其定义域上单调递增，C选项满足条件;

正切函数/(尤)=taiu在定义域上不单调，D选项不满足条件.

故选：C

4.若〃>0,b>0,a+b=l,贝ij()

A.-+-<1B.Aab<l

ab

C.a2+b2>1D.+<1

【答案】B

【解析】

【分析】结合已知条件，利用基本不等式判断各选项中的结论是否成立.

【解析】若o>0,b>0,a+b=l,

11(10/7\、ba(、三Jba”

—+-=-+-(d!+/7)=l+-+-+l>2+2J--—=4A,当且仅当

abb7ab\ab

。=人=!等号成立，A选项错误；

2

4a人=1,当且仅当ag等号成立，B选项正确；

l=(a+Z?)2=a2+b2+2ab<2(a2+b2),得当且仅当口=人=g等号成立,

C选项错误；

(G+G)-a+b+2y[ab<2(^a+b^-2,得&+掂<0,当且仅当4=6=5等号

成立，D选项错误.

故选：B

5.下列四组函数中，表示同一函数的是()

A.y=|斗u=B.y=lux2,s=21n%

C.y=^zl,m=n+lD.y=sin[x+,y=-cosx

x-1

【答案】A

【解析】

【分析】逐项判断选项中两个函数的定义域与对应法则是否相同，即可得出结果.

【解析】A选项中，函数y=国与"=后=同，定义域相同，对应关系也相同，是同一

函数；

B选项中，函数y=ln%2定义域为(一8,o)u(0,+co),函数s=21n，定义域为(0,+。)，定

义域不同，不是同一函数；

C选项中，函数/二鲁定义域为(9/)(1,+s),函数加=〃+1定义域为R,定义域

不同，不是同一函数；

D选项中，函数y=sin=cosx与函数丁=一cosx,对应关系不同，不是同一函数.

故选：A

6.已知tan(e+力)=-2,tan(a—耳)=7,贝ijtan21=()

119

A.-B.——C.—

3313

【答案】A

【解析】

【分析】2a=(a+j3)+(a-)3),利用两角和的正切公式求解.

【解析】已知tan(a+/?)=-2,tan(a-/7)=7,

tan(tz+/?)+tan(tz-/?)

则tan2(z=tan[(tz+/?)+(«-/?)]-2+71

1-tan(«+/?)tan(tz-/?)―1-(-2)x73

故选：A

7.已知lg2。0.3010,若2"eN)是10位数，则”的最小值是()

A.29B.30C.31D.32

【答案】B

【解析】

【分析】由2"21x109,求满足条件的最小自然数即可.

【解析】若2'是1。位数，则〃取最小值时，应满足2"21x109,

贝ij有〃lg229,n>«x29.9,

&lg20.3010

由〃cN,则〃的最小值是30.

故选：B

(%一々)2

已知函数力(力=—谒

8.J—e2(m,.,“eR,ie{1,2,3})部分图象如图所示，则

()

1)

-------71\

O|X

叫

A.=m2,nx>n2B.叫〉m2,%="2

C.m3>%%>%n

D.%>m2,%>2

【答案】c

【解析】

【分析】分析函数的单调性、对称性,确定对称轴及最大值与列，4的关系，求解即可.

(XT―

【解析】由函数力2涕，令g’C由

二次函数性质可知：gj(x)图象关于x=〃1对称，J

c<々时,gt(x)单调递增，x>4时,

gj(x)单调递减，在X=4处达到最大值，

由图象得：则？〉0,

根据复合函数的性质可得：/(X)图象关于X=〃i对称，

X<〃j时，工(%)单调递增，X〉％时，/(%)单调递减，

在X=4处达到最大值，则%>々=%，且最大值为fi("j=-1=，

机jA/2兀

结合图象可知力(勺)>力(&)>力(巧)，所以叫<?<?.

故选：C

二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.已知贝U()

A.a+c>b+cB.ac>bc

ab

cc

C.——>-D.a<b

a+cb+c

【答案】ABC

【解析】

【分析】根据给定条件，利用不等式的性质，结合累函数性质逐项判断即得.

【解析】由Q>6>C>0,得a+c>b+c,ac>be,AB正确；

abac-bcab

显然------------>0,即----->-----C正确;

a+cb+c(a+c)(b+c)a+cb+c

函数y=V在(0,+8)上单调递增，则方>",D错误.

故选：ABC

71

10.已知函数/(x)=sinx+—cosx+—+sinxcosx,贝i]()

4jI4j

B.点［—］,()］是函数/(x)图象的

A.函数的最小正周期为2兀

一个对称中心

JTSJT

C.函数“可在区间上单调递减D.函数/(力的最大值为1

OO

【答案】BC

【解析】

【分析】利用二倍角公式及辅助角等公式化简得到/(%)=#

sinf2x+-^j,借助三角函

数的性质逐一判断即可.

【解析】结合题意:

7111711

/(x)=sinx+—兀cosx+—+smxcosx=—s-mn2x+兀—+—sm2x,

4)[4)22(22J22

1c1.c旦

即/⑺=—cos2x+—sm2x=sin2呜.

22"F

2兀

对于选项A:由sin2%+二可得①=2,所以7=@=兀故选项A错误;

4

对于选项B:将％=-四代入/(%)=1

sinf2x+；j得:

82

正sin「2x兀=^-sin0=0,所以点]一

+兀是函数/(%)图象的

2

一个对称中心，故选项B正确;

71尸一,

对于选项C:对于/(%)=sin2x+—j,令％=2%+四，则

44-2

7兀155兀兀”，小71兀3兀6/QJT37r

因为XG—，所以％=2%+:£—’而产了sinf在于万上单调递减,

8'84222

JT5冗

所以函数/(%)在区间上单调递减，故选项c正确;

OO

对于选项D:对于/(%)=下-sin[2x+；J,当2x+?=2kli+/keZ,

即％=也+二，4=42x1=42,故选项D错误.

8」、/max22

故选：BC.

11.定义域均为R的奇函数4％)和偶函数g(x),满足/(x)+g(x)=2A+cosx,则

()

A.lx。eR,使得mwRB.3x0eR,使得g(xo)=O

cVxeR,都有/(x)—g(x)<lD.V%eR,都有

/(x)g(x)+/(-x)g(-x)=O

【答案】ACD

【解析】

【分析】由两函数的奇偶性列方程组可求出两函数的解析式，对于选项A:利用函数/(x)在

R上单调递增，且值域为R,即可判断；对于选项B:借助基本不等式及三角函数的最值即

可判断；对于选项C:利用函数的值域求出/(力-g(x)=-g]-cosx<l即可判断；对

于选项D:利用函数的奇偶性即可判断.

【解析】因为/(x)+g(x)=2"+cosx,贝/(-%)+g(-x)=2r+COS(T),

因为/(X)为奇函数和g(X)为偶函数，所以/(-X)=-/(x),g(-x)=g(X),

所以一/(x)+g(x)=2~x+cos(-x),

联立[〃x)+g(x)=2'+cosx

-7(%)+g(%)=2r+COSX'

可得y(x)=1(2T-2-"),g(x)=g(2,+2-x)+cosx,

对于选项A:由/卜)=3(2£-2「£)=12:，；易判断函数/(%)在R上单调递增，

且值域为R,故Hr。eR,使得meR,故选项A正确；

对于选项B：由g(x)=g(2x+2f)+cosx,因为2£〉0,2一£〉0,

所以g(2x+2f)2gx2万逅7=1,当且仅当k=2-*，即％=0时，3(2工+2-工)取

得最小值1.

而cosxw[-L,l],当且仅当％=2析+兀,左€2时取到一1,

故g(x)=g(2'+2T)+cosx>0(不能同时取等)，

故不存在/eR,使得g(毛)=0,故选项B错误；

对于选项C:由/(x)=g(2*—2一*),g(x)=；(2x+2r)+cosx,

可得J(x)-g(x)=—COSX，而一<0,-COSXG[-1,1],

所以/(x)—g(x)=]£|-cosx<l，故VxeR,都有/(”—g(x)<l,故选项C正

确；

对于选项D：因为/(%)为奇函数和g(x)为偶函数，

所以/(T)=—/(X)，g(-X)=g(%)，

/(x)g(x)+/(-x)g(-x)=/(x)g(x)-/(x)g(x)=O,

故VXGR,者B有/(x)g(x)+/(-x)g(-x)=0，故选项D正确.

故选：ACD.

12.设〃是正整数，集合A={a|夕=(石,々,，，/)，x,.e{-l,l},i=l,2,对于

集合A中任意元素〃=(%,%，•，%)和/=(马/2，rzn),记

P(O，/)=XZ1+%Z2++ynz„,

/(尸，7)=3(弘+4+d—Z]|+%+z2+|%—Z2I++y〃+z〃+|笫—zj).则()

A.当〃=3时,若#=(1,L1)，7=(1,TT),则M{/3,y)=2

B.当〃=3时,尸(尸/)的最小值为-3

C.当〃=6时，河(尸,力2尸伊,7)恒成立

D.当〃=6时，若集合5=A,任取B中2个不同的元素，P(^,/)>2,则集合B

中元素至多7个

【答案】BD

【解析】

【分析】根据加(以力,？(△，7)的计算公式即可求解AB,举反例即可求解C,根据所给

定义，即可求解D.

【解析】对于A,当力=(1/,1),7=(1,—1,一1)时，

M（^0,/）=-1^1+1+1+1—1—1+11-1|+11—（―1）|+11—（―1）|^|=3,故A错误，

对于B,P（/3,/）=+y2z2+y3z3,而咨e{-L,l},i=L2,3,故当用=-1时,

此时P（0,/）=X4+y2z2+y3z3取最小值一3,

比如尸=（1,1,1）,7=（—1,T—1）时,P（Ar）=-3,故B正确,

对于C,〃=6时，P=（—1,—1,—1,—1,—1,—1）,/=（—1,—1,—1,—1,—1,1）,

M（/V）=g（y+z1+\yl-zl\+y2+z2+\y2-z2\++y6+z6+\y6-z6\）=-4,

P（ZV）=+为Z2++%Z6=4,不符合Af（/V）之尸（/V）,故C错误，

对于D,不妨设B中一个元素一=（%,%，…,％），Xe{—1,1},z=1,2,3,4,5,6

由于P（A/）＞2,则分，/中相同位置上的数字最多有两对互为相反数，

其他相同位置上的数字对应相同，

若，,7中相同位置中有一对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，

不妨设7=（如％,,乂）,此时尸（回力=422,

那么与7=（%,%，一，%）相同位置中有一对的数字互为相反数，

其他相同位置上的数字对应相同的元素有%=（%,%,E，E），%=（x，％，L，为，E），

/3=（%，％，乂，/，%，匕），74=（%禺，%，%，％&），r5=（几％，%，%，%，匕），

此时P（r,/）=4»2,其中，=1,2,3,4,5,P（先，%）=222,/=1,2,3,4,5,

而看,，=1,2,3,4,5与夕中相同位置上的数字有两对是不相同的，此时P（%,/7）=222,

满足，

若与7=（%，%，相同位置中有2对的数字互为相反数，

那么就与?=（%,%，…，％），％仪-1,1}有3对相同位置上的元素互为相反数，不符合，

因此此时B中满足条件的元素有7个，

若分产中相同位置中有两对的数字互为相反数，其他相同位置上的数字对应相同，

不妨设〃=（K，E）尸（匕力=422,

此时;/=（几％，…，E）与元素为=（乂，%，%，%，%，稣）重复,

综上可知8中元素最多7个，D正确，

故选：BD

【小结】方法小结：求解新定义运算有关的题目，关键是理解和运用新定义的概念以及元算,

利用化归和转化的数学思想方法，将不熟悉的数学问题，转化成熟悉的问题进行求解.

对于新型集合，首先要了解集合的特性，抽象特性和计算特性，抽象特性是将集合可近似的

当作数列或者函数分析.计算特性，将复杂的关系通过找规律即可利用已学相关知识求解.

三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.

13.120角是第象限角.

【答案】二

【解析】

【分析】直接由象限角的概念得答案.

【解析】由象限角的定义可知，120的角是第二象限角.

故答案：二.

14.己知函数/（尤）="+1（a>0,且aw1）的图象过定点，则该定点的坐标是.

【答案】（0,2）

【解析】

【分析】借助指数函数令x=0,代入函数式可得定点纵坐标.

【解析】在函数/（x）="+l（a>0,且awl）中，

令x=0,则/（O）=a°+l=2,所以该定点的坐标是（0,2）.

故答案为：（0,2）.

sin（兀-a）+sin]--a

15.已知tana=3,-------------7-----的值为___________.

cos（兀+a）-cosI—+6ZI

【答案】2

【解析】

分析】利用诱导公式化简，结合齐次式代入计算即可.

【解析】因为tan。=3,

sin（兀一a）+sin——a

~\/\2）sina+cosatana+13+1-

所以---------------7----4二-------------二----------二------二2.

/\［71］-cosa+sina—1+tan。-1+3

cos（兀+a）-cos1万+aI

故答案为：2.

16.若函数/（x）=f—2x+|x—矶a>0）在［0,2］上的最小值为1,则正实数。的值为

13

【答案】—

4

【解析】

【分析】对参数。进行分类讨论，根据分段函数的单调性和最值，即可求得结果.

’2

［解析］由题可得/（%）=炉―2%+,一。|=<：xa，x_a,

［x-3x+a,x<a

因为函数/（%）=*一2］+,一矶〃>。）在［0,2］上的最小值为1,

当0<a<：时，在［0,2］上，〃龙）在单调递减，|1,2单调递增，

2L2」_

所以/（Hmin=/13］=：一1一0=1,解得（舍）；

13

当5<a<5时，在［0,2］上〃龙）在［0,同单调递减，（a,2］单调递增，

所以/（x）min=/（。）=片-2a=L解得。=1±拒（舍）；

当a>5时，在［0,2］上，"％）在0,-单调递减，匕,2单调递增，

o13

—5+4=1,解得a=1.

,13

故答案为：一m

4

四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程

或演算步骤.

17.计算：

।---------21_

⑴y（兀-3）3+8§-25X2《；

（2）lg4+lg25-log23xlog34.

【答案】（1）兀

（2）0

【解析】

【分析】（1）根据根式的性质及分数指数幕的运算法则计算可得；

（2）根据对数运算性质及换底公式计算可得.

【小问1解析】

,（兀―3）3+83-23x2i=^-3+（23）3-2°=^-3+4-l=^-

【小问2解析】

2

lg4+lg25-log23xlog34=lg（4x25）-log23xlog32=IglOO-2log23xlog32=2-2=0.

18.已知A={x[（x-l）（x-3）<0},B={x|x>m}.

（1）若m=2,求AryB；

（2）若尤eA是尤e8的充分不必要条件，求实数小的取值范围.

【答案】（1）{xeR|2<%<3}

（2）（-co,l]

【解析】

【分析】（1）由交集的定义直接求解；

（2）由题意AB,利用集合的包含关系求用的取值范围.

【小问1解析】

若m=2,则A={xeR|1<x<3},B={xeR|x>2},

所以Ac5={xeR|2<x<3}.

【小问2解析】

若xeA是尤e3的充分不必要条件，则AB,

得加£1,故机的取值范围是（-8,1].

19.已知函数/(%)=/^0%+以%22+〃2的最大值为2.

')22

(1)求常数m的值;

(2)先将函数/(%)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的。(纵坐标不变)，再将所得图

象向右平移2个单位长度，得到函数g(x)的图象，求g(x)在区间0,g上的取值范围.

62

【答案】(1)|

(2)—,2

【解析】

【分析】(1)利用二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式，由函数最大值求常数机的值;

(2)求出图象变换后的函数解析式，然后利用正弦函数的性质求值域.

【小问1解析】

,/、6.2%6.11.(兀

r(X=——sinx+cos—+m=——sinx+—COSXH1-m=sinx+—M\-m.

v7222226)2

因为/(%)的最大值为2,所以l+g+冽=2,

故4加=一1.

2

【小问2解析】

/(x)=sin^x+^+l,函数/(%)的图象上所有点的横坐标缩短到原来的g(纵坐标不

变)，

得函数y=sin[2x+《1+l的图象，再将所得图象向右平移£个单位长度，

得g(x)=sin21无一已卜已+l=sin12x—tj+l，

.„7T/口兀/c7T57r

由0〈犬<一,得——<2x—<——,

2666

所以一;—^-<l+sinf2x--^-j<2,

jr1

故g(x)在区间o,-上的取值范围是-,2.

20.M@/(log32)=-1;②函数/(%)为奇函数；③/(%)的值域是(-M),这三个条件

中选一个条件补充在下面问题中，并解答下面的问题.问题：已知函数

/(%)=-------1,«eR,且

3'+1--------

(1)求函数八％)的解析式；

(2)若/(a•3、+2)+f(9x+m)<0对任意xeR恒成立，求实数m的最小值.

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【答案】(1)答案见解析

(2)-2

【解析】

【分析】(1)根据题意，分别选择①②③，结合函数的性质，求得实数。的值，即可求解；

(2)根据函数的单调性的定义判定方法，得到了(另在R上单调递减，再由/(%)为奇函

数，把不等式转化为加2一夕-2-3,-2恒成立，结合指数函数与二次函数的性质，即可求

解.

【小问1解析】

解：若填①：由/'(log32)=—

可得了(log32)=m*7T=《？T=—:，解得”=2,所以/(》)=三

IA.4IIA

若填②：由函数/(乃二，一—1,

3+1

因为函数/(%)为奇函数，故"0)=1,可得/(0)=1%—1=0,

解得。=2,所以/(X)=F——1,即/(X)=，—一i

3A+13A+13X+1

1_3r3l_12

经验证：=~-=-/(%),符合题意，所以/(x)=F——1.

3-x+l3X+13r+l

若填③：由y=’——1,可得y+l=——,

3A+13X+1

exa1y-l八y-(a-V)八

贝i]3'=---l=->0,即'—<0,

y+ly+ly+l

2

又由7(%)的值域是(-M)，可得q-l=l,故4=2,所以/(x)=不节—L

【小问2解析】

解：Vxl；x2eR,且占<々,则/(石)―/(%)=(3%+1)(3*+1)〉0'

所以函数〃x)=§+-1在R上单调递减，

21-3工l-3-x3=1

又因为/(x)=-1=」-,满足y(-x)==-=^--=-/(%),

3*+l3X+13-*+13*+1

所以"%)为奇函数，

由不等式f(a-3X+2)+f(9x+m)<0,可得“2•3A+2)<f(-9x-m)，

则2-3*+22-9X—m，所以加之一9,—2・3,—2，

令3'=(>0,,己_y=_2•3*_2=—t~—2?—2=—(?+1)~—1,

所以y<—2,所以加2—2,所以m的最小值为—2.

21.如图是一种升降装置结构图，支柱OP垂直水平地面，半径为1的圆形轨道固定在支柱

OP上，轨道最低点。，PD=2,OD=L•液压杆04、OB,牵引杆C4、CB,水平

2

横杆A3均可根据长度自由伸缩，且牵引杆C4、CB分别与液压杆Q4、08垂直.当液压

杆。1、08同步伸缩时，钱点46在圆形轨道上滑动，钱点C、E在支柱OP上滑动，

水平横杆A3作升降运动（较点指机械设备中较链或者装置臂的连接位置，通常用一根销轴

将相邻零件连接起来，使零件之间可围绕钦点转动）.

P

（1）设劣弧的长为x,求水平横杆A3的长和A3离水平地面的高度0E（用工表示）;

（2）在升降过程中，求较点C、E距离的最大值.

3

【答案】（1）AB=2sinx；OE=——cosx

2

（2）3-A/5

【解析】

【分析】（1）轨道圆心为T，圆的半径为1,劣弧的长为x时，有=由三

角函数表示出A5和0E的长;

AE2sin2x_l-cos2x

CF=

（2）证明出一〜一OE4,则0E3=3，通过换元利用基本

------COSX—COSX

22

不等式求出最大值.

【小问1解析】

记轨道圆心为T，则AT=1，

设劣弧AO的长为九，则/ATD=x,

得AB=2AE=2sinx,

3

OE=OT-ET=OT-cosx=——cosx.

2

【小问2解析】

由已知，ABLOP,CA1OA,ZCAE+ZACE=ZCAE+ZOAE=90，

则NACE=NQ4E,又NCE4=NOEA=90，所以.AEC〜,OEA,

AE2sin2xl-cos2x

则CE==

OE33

------COSX