中考热搜高频考点60题（解析版）-2025年上海中考数学复习

新题特训01中考热搜高频考点60题

数轴（共3小题）

1.（2024•苏州）用数轴上的点表示下列各数，其中与原点距离最近的是（）

A.-3B.1C.2D.3

【答案】B

【分析】根据|-3|=3,|1|=1,|2|=2,|3|=3,而3<2<1,可知1与原点距离最近.

【解答】解：•」—3|=3,|2|=2,|3|=3,

而3<2<1,

二1与原点距离最近，

故选：B.

【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上点的分布特点是解题的关键.

2.（2024•河南）如图，数轴上点尸表示的数是（）

:

-1012

A.-1B.0C.1D.2

【答案】A

【分析】根据数轴所示即可得出结果.

【解答】解：根据数轴可知，点尸表示的数为：-1,

故选：A.

【点评】本题考查的是数轴，熟练掌握数轴上各点的分布特点是解题的关键.

3.（2024•河北）如图，有甲、乙两条数轴.甲数轴上的三点A,B,C所对应的数依次为T,2,32,

乙数轴上的三点D,E,歹所对应的数依次为0,x,12.

（1）计算A,B,。三点所对应的数的和，并求丝的值；

AC

（2）当点A与点。上下对齐时，点3,C恰好分别与点E,尸上下对齐，求尤的值.

甲—*~A----•--------------------------,----A

一4232

、DEF

乙―,-----•--------------------------•----►

乙0H12

【分析】（1）计算T+2+32即可，根据数轴上两点之间的距离公式先求出AB、AC的长，再计算比值即

可;

(2)先求出DE、DF的长，根据题意列出就=而:，然后计算即可.

【解答】解：(1)・・•点A,B,C所对应的数依次为-4,2,32,

「.A,B,。三点所对应的数的和为T+2+32=30,

vAB=2-M)=6,AC=32-(T)=36,

.AB_6_1

一~AC~36~6；

(2)由数轴得，DE=x-Q=x,=12—0=12,

〜后土/口ABDE

由感思倚'就=而，

1_X

••一二,

612

:.x=2.

【点评】本题考查了数轴，熟练掌握数轴上两点之间的距离公式是解题的关键.

有理数的混合运算(共3小题)

4.(2024•北京)联欢会有A,B,C,。四个节目需要彩排，所有演员到场后节目彩排开始.一个节目

彩排完毕，下一个节目彩排立即开始.每个节目的演员人数和彩排时长(单位：相㈤如下：

节目ABCD

演员人数102101

彩排时长30102010

已知每位演员只参演一个节目.一位演员的候场时间是指从第一个彩排的节目彩排开始到这位演员参演的

节目彩排开始的时间间隔(不考虑换场时间等其他因素).若节目按“A-3-C-O”的先后顺序彩排，

则节目D的演员的候场时间为60min；若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按—的

先后顺序彩排.

【分析】根据候场时间定义计算即可，若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：C-A-3-。

顺序排序.

【解答】解：根据题意，节目。的演员的候场时间为：30+10+20=60(〃曲)；

若使这23位演员的候场时间之和最小，则节目应按：C-A-3-D顺序排序，

(10+2+1)x20+(2+1)x30+1x10=360(相加)，

故答案为：60；C-A-B-D.

【点评】本题考查的是有理数的混合运算，熟练掌握其运算方法是解题的关键.

5.(2024•广州)如图，把耳，R2,4三个电阻串联起来，线路相上的电流为/,电压为U,则

U=IRl+IR2+IRi,当K=20.3,R,=31.9,R3=47.8,/=2.2时，U的值为220

AI_____,_____,_____IB

&氏2R3

【答案】220.

【分析】根据题干条件代值即可.

【解答】解:由题意可得17=2.2x（20.3+31.9+47.8）=220.

故答案为：220.

【点评】本题主要考查有理数的混合运算，根据题意列出式子是解题关键.

6.（2024•甘肃）定义一种新运算*,规定运算法则为：加*"=加'均为整数，且机20）.例:

2*3=23-2x3=2，则（-2）*2=8.

【分析】根据〃=可以求得所求式子的值.

【解答】解：•.,机*〃=加"-〃航，

（-2）*2

=(-2)2-(-2)X2

=4+4

=8,

故答案为：8.

【点评】本题考查有理数的混合运算、新定义，解答本题的关键是明确题意，利用新定义解答.

三.科学记数法一表示较大的数（共3小题）

7.（2024•广东）2024年6月6日，嫦娥六号在距离地球约384000千米外上演“太空牵手”，完成月球轨

道的交会对接.数据384000用科学记数法表示为（）

A.3.84xlO4B.3.84xlO5C.3.84xlO6D.38.4xlO5

【答案】B

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",其中L,|a|<10,〃为整数，据此判断即可.

【解答】解：384000=3.84xlO5.

故选：B.

【点评】此题主要考查了用科学记数法--表示较大的数，一般形式为4X10"，其中L,确定。与

”的值是解题的关键.

8.（2024•长沙）我国近年来大力推进国家教育数字化战略行动，截至2024年6月上旬，上线慕课数量超

过7.8万门，学习人次达1290000000,建设和应用规模居世界第一.用科学记数法将数据1290000000表

示为（）

A.1.29xlO8B.12.9xlO8C.1.29xlO9D.129xlO7

【答案】C

【分析】将一个数表示成axlO”的形式，其中L,|a|<10,〃为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此

即可求得答案.

（解答］解：1290000000=1.29x109，

故选：C.

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

9.（2024•安徽）据统计，2023年我国新能源汽车产量超过944万辆，其中944万用科学记数法表示为（

）

A.0.944xlO7B.9.44xlO6C.9.44xlO7D.94.4xlO6

【答案】B

【分析】将一个数表示成axlO”的形式，其中w为整数，这种记数方法叫做科学记数法，据此

即可求得答案.

【解答】解：94475=9440000=9.44xlO%

故选：B.

【点评】本题考查科学记数法表示较大的数，熟练掌握其定义是解题的关键.

四.实数的运算（共3小题）

10.（2024•北京）计算：（%一5）°+而一2sin30°+|-

【答案】3应.

【分析】先化简零指数幕，二次根式，三角函数，绝对值，再按照实数的运算法则计算即可.

【解答】解：（"-5）°+*-2sin30°+|-四|

=1+20-2」+应

2

=3A/2■

【点评】本题考查了实数的运算，解题的关键式掌握去绝对值，零指数幕，特殊三角函数值等相关知识.

11.（2024•湖北）计算：（一1）x3+扬+2?-2024°.

【分析】直接利用零指数幕的性质以及算术平方根、有理数的混合运算法则分别计算，进而得出答案.

【解答】解：原式=一3+3+4—1

=3.

【点评】此题主要考查了实数的运算，正确化简各数是解题关键.

12.（2024•长沙）计算：（-）-'+1-A/3|-2cos30°--6.8）°.

4

【答案】3.

【分析】先计算零次幕、负整数指数嘉和特殊角的三角函数值，再计算乘法，最后计算加减.

【解答】解：A-1+1-731-2cos30°--6.8）°

4

=4+/一2x3-1

2

=4+退-

=3.

【点评】此题考查了实数的混合运算能力，关键是能准确确定运算顺序和方法，并能进行正确地计算.

五.一元一次方程的应用（共5小题）

13.（2024•烟台）《周髀算经》是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织,

日减功迟.初日织五尺，末日织一尺，今三十日织讫.问织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子,

织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同，第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工,

问一共织了多少布？（）

A.45尺B.88尺C.90尺D.98尺

【答案】C

【分析】设每天减少x尺布，因为第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，可得5-29x=l,

解得x的值即得每天减少多少尺布，将30天织的布相加可得30天一共织了多少布.

【解答】解：设每天减少x尺布，

・•・第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，

/.5—29尤—1,

4

解得:X=—,

.一4<8,（5+l）x30“/口、

..5+5------1-5------F........+1=--------------=90（,

29292

故选：C.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，关键是根据题意列方程求解.

14.（2024•广州）定义新运算：。凶〃=]"一一"演°’例如：-2③4=（-2>-4=0,203=-2+3=l.若

[-a+/?,«>0.

%01=--,则x的值为—工或工.

4―2-4-

17

【答案】-彳或:.

【分析】根据题目中的新定义，利用分类讨论的方法列出方程，然后求解即可.

【解答】解：•.,xW）l=T，

4

3

当西,0时，x12—1=—,

4

解得了=-2或x=!（不合题意，舍去）；

22

3

当x>0时，一无+1——,

4

解得了=：7;

4

由上可得，*的值为-;1或‘7，

24

17

故答案为：-彳或二.

24

【点评】本题考查一元一次方程的应用、新定义，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程.

15.（2024•长沙）为庆祝中国改革开放46周年，某中学举办了一场精彩纷呈的庆祝活动，现场参与者均

为在校中学生，其中有一个活动项目是“选数字猜出生年份”，该活动项目主持人要求参与者从1,2,3,

4,5,6,7,8,9这九个数字中任取一个数字，先乘以10,再加上4.6,将此时的运算结果再乘以10,然

后加上1978,最后减去参与者的出生年份（注：出生年份是一个四位数，比如2010年对应的四位数是2010）,

得到最终的运算结果.只要参与者报出最终的运算结果，主持人立马就知道参与者的出生年份.若某位参

与者报出的最终的运算结果是915,则这位参与者的出生年份是2009.

【分析】根据题意列出方程，再根据实际情况推理即可得解.

【解答】解：设这位参与者的出生年份x,选取的数字为加，

(10m+4.6)x10+1978一九=915

.•.100帆+46+1978—兀=915,

.,.x=1109+100m,

・・・此时中学生的出生时间应该在2000年后，

:.m=9,

.”=2009.

故答案为：2009.

【点评】本题主要考查一元一次方程实际应用以及逻辑推理等知识，理解题意列出关系式进行推理是解题

关键.

16.（2024•苏州）某条城际铁路线共有A,B,。三个车站，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，

其中D1001次列车从A站始发，经停3站后到达C站，G1002次列车从A站始发，直达C站，两个车次

的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变.某校数学学习小组对列车运行情况进行研究，收集到列车

运行信息如下表所示.

列车运行时刻表

车次A站B站C站

发车时刻到站时刻发车时刻到站时刻

D10018:009:309:5010:50

G10028:25途经6站,不停车10:30

请根据表格中的信息，解答下列问题：

（1）£）1001次列车从A站到3站行驶了90分钟,从3站到。站行驶了分钟；

（2）记01001次列车的行驶速度为匕，离A站的路程为4；G1002次列车的行驶速度为火,离A站的路

程为d2.

①三=—.

匕

②从上午8:00开始计时，时长记为f分钟（如：上午9:15,则f=75）,已知“=240千米/小时（可换算

为4千米/分钟），在G1002次列车的行驶过程中（25剥150）,若|[-%|=60,求f的值.

【答案】⑴90；60；

（2）①*；②f=75或125.

6

【分析】（1）直接根据表中数据解答即可；

（2）①分别求出£>1001次列车、G1002次列车从A站到C站的时间，然后根据路程等于速度乘以时间求

解即可；

②先求出匕，A与3站之间的路程，G1002次列车经过3站时，对应，的值，从而得出当9怎方H0时，

D1001次列车在3站停车，G1002次列车经过3站时，D1001次列车正在3站停车，然后分25,"<90,

9藤1100,100<?„110,150讨论，根据题意列出关于t的方程求解即可.

【解答】解：（1）D1001次列车从A站到3站行驶了90分钟，从3站到C站行驶了60分钟，

故答案为：90,60；

（2）①根据题意得：D1001次列车从A站到C站共需90+60=150分钟，G1002次列车从A站到C站共

需35+60+30=125分钟，

二.150匕=125%,

.匕=3

v26，

故答案为：--；

6

②■.飞=4（千米/分钟），—

v26

.­=4.8（千米/分钟），

•.-4x90=360（千米）,

A与3站之间的路程为360千米，

,.•360+4.8=75（分钟），

.•.当t=100时，G1002次列车经过3站，

由题意可知，当90别110时，D1001次列车在3站停车，

G1002次列车经过B站时，D1001次列车正在B站停车，

i.当25,,r<90时，4>4，

4—d?|—4—d-2，

.•.41—4.8Q—25）=60,

t=75（分钟）；

ii.当9旗力100时，4,

4—d~21=4—d?,

360—4.8Q—25）=60,

♦二87.5（分钟），不合题意，舍去；

iii.当100<%,110时，4Vd2，

..|4—d?|=d>2—4,

..4.8Q—25）—360=60,

t=112.5（分钟），不合题意，舍去；

iv.当110<1,150时,4Vd2,

d[—d，21=d?—4,

4.8。-25）-[360+4a-110）]=60,

（=125（分钟）；

综上所述，当f=75或125时，14-41=60.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系，明确题意，合理分类讨论是解题的

关键.

17.（2024•威海）定义？我们把数轴上表示数。的点与原点的距离叫做数。的绝对值.数轴上表示数a,b

的点A,3之间的距离AB=。-伙a.6）.特别的，当a..O时，表示数a的点与原点的距离等于a-0.当a<0

时，表示数。的点与原点的距离等于0-a.

应用？如图，在数轴上，动点A从表示-3的点出发，以1个单位/秒的速度沿着数轴的正方向运动.同时，

动点3从表示12的点出发，以2个单位/秒的速度沿着数轴的负方向运动.

AB

[_________I_________________________________I»

-3012

（1）经过多长时间，点A,3之间的距离等于3个单位长度？

（2）求点A,3到原点距离之和的最小值.

【答案】（1）经过4秒或6秒，点A,3之间的距离等于3个单位长度；

（2）点A,3到原点距离之和的最小值为3.

【分析】（1）根据“点A,3之间的距离等于3个单位长度”列方程求解；

（2）先表示点4,3到原点距离之和，再分类讨论求出最小值.

【解答】解：（1）设经过x秒，点A,5之间的距离等于3个单位长度，

则：1（—3+x）—（12—2x）1=3,

解得：x=4或x=6,

答：经过4秒或6秒，点A,3之间的距离等于3个单位长度；

（2）设经过x秒，点A,3到原点距离之和为V,

则？=1—3+x|+112-2x|,

当X,3时，y=|—3+尤|+112—2x|=3—x+12—2x——3尤+15,

当％=3时，y值最小，为6,

当3<%,6时,y=|—3+x|+112—2x|=—3+x+12—2尤=—x+9,

当x=6时，y值最小，为3,

当x>6时"，y=|—3+x|+112—2x|=—3+x—12+2x=3尤—15,

当x=6时，y有极小值，为3,

综上所述，点A,3到原点距离之和的最小值为3.

【点评】本题考查了一元一次方程的应用、数轴和绝对值，找到相等关系是解题的关键.

六.根的判别式（共4小题）

18.（2024•黑龙江）关于x的一元二次方程（租-2）尤2+4x+2=0有两个实数根，则机的取值范围是（）

A.m,,4B.m.AC.〃7,..-4且〃2H2D.犯，4且〃？片2

【答案】D

【分析】由根的判别式可得△=62一4的..0,从而可以列出关于机的不等式，求解即可，还要考虑二次项

的系数不能为0.

fl6-4（/7i-2}x2>0

【解答】解：根据题意得'n,

解得"4,4且相片2.

故选：D.

【点评】本题考查了一元二次方程根的判别式的应用.切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一

隐含条件.

19.（2024•广安）若关于x的一元二次方程（加+1）X2-2X+1=0有两个不相等的实数根，则优的取值范围

是（）

A.m<0-1B.m..QC.%。且加力一1D.m<0

【答案】A

机+1w0

【分析】根据关于X的一元二次方程（加+l）f-2x+1=0有两个不相等的实数根，可得

4—4（加+1）>0’

即可解得答案.

【解答】解：•.・关于x的一元二次方程（加+1）--2%+1=0有两个不相等的实数根,

Jm+10

…[4-4（m+l）＞0，

解得根＜0且相。一1；

故选：A.

【点评】本题考查一元二次方程根的判别式和一元二次方程的定义，解题的关键是一元二次方程有两个不

相等的实数根需满足△＞（）.

20.（2024•北京）若关于x的一元二次方程Y-4x+c=0有两个相等的实数根，则实数c的值为（）

A.-16B.-4C.4D.16

【答案】C

【分析】根据一元二次方程根的判别式即可解决问题.

【解答】解：因为关于了的一元二次方程%2-4x+c=0有两个相等的实数根，

所以△=（一4）2-4c=0,

解得c=4.

故选：C.

【点评】本题主要考查了根的判别式，熟知一元二次方程根的判别式是解题的关键.

21.（2024•广州）关于x的方程f-2x+4-%=0有两个不等的实数根.

（1）求正的取值范围；

（2）化简：

|m—312m+1

【分析】（1）根据判别式的意义得到△=（-2）2-4（4-㈤〉0,然后解不等式即可.

（2）根据根的取值范围化简即可.

【解答】解：（1）根据题意得△=（—2）2—4（4—切）〉0,

解得m＞3；

（2）m＞3,

/.m—3>0,

1-m2m-1m-3

|m-312m+1

_（1+m）（l—m）2m—3

m—3m—1m+1

=—2.

【点评】此题主要考查一元二次方程根的情况与判别式△的关系以及绝对值和分式乘除法的化简，根据题

意得到关于的不等式是解题的关键.

七.一元二次方程的应用（共3小题）

22.（2024•通辽）如图，小程的爸爸用一段10加长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长5.5〃。的矩形鸭舍，

其面积为15m2,在鸭舍侧面中间位置留一个1加宽的门（由其它材料制成），则3C长为（）

2.5m或3mC.5mD.3m

【分析】设长为尤m,则他的长为;（10+1-x）加，根据题意列方程即可得到结论.

【解答】解：设长为无加，则AB的长为g（10+l-x）/〃，

根据题意得，—(10+1—x)x=15,

解得x=5或x=6>5.5(舍去),

答：BC长为5m,

故选：C.

【点评】本题考查了一元二次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元二次方程是解题的关键.

23.（2024•青岛）如图，某小区要在长为16m，宽为12m的矩形空地上建造一个花坛，使花坛四周小路的

宽度相等，且花坛所占面积为空地面积的一半，则小路宽为2m.

【分析】设小路宽为xm,根据花坛所占面积为空地面积的一半得：（16-2x）（12-2x）=gxl2xl6,即可

解得答案.

【解答】解：设小路宽为无m，

根据题意得：（16-2x）（12-2x）=|xl2xl6,

解得x=2或x=12（舍去），

二小路宽为2m；

故答案为：2.

【点评】本题考查一元二次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出方程解决问题.

24.（2024•淄博）“我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高.某市参加健身运

动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人.

（1）求该市参加健身运动人数的年均增长率；

（2）为支持市民的健身运动，市政府决定从A公司购买某种套装健身器材.该公司规定：若购买不超过

100套,每套售价1600元；若超过100套,每增加10套，售价每套可降低40元.但最低售价不得少于

1000元.已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数.

【分析】（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x,根据从2021年的32万人增加到2023年的50

万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可；

（2）设购买的这种健身器材的套数为机套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程,

解之取符合题意的值即可.

【解答】解：（1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为x,

由题意得：32（1+x）2=50,

解得：%=0.25=25%,无2=-2.25（不符合题意，舍去），

答：该市参加健身运动人数的年均增长率为25%；

（2）设购买的这种健身器材的套数为机套，

m—100

由题意得：m（1600——-—x40）=240000,

整理得：nr~500/〃+60000=0,

解得：小=200,牡=300（不符合题意，舍去），

答：购买的这种健身器材的套数为200套.

【点评】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键.

八.一次函数的应用（共2小题）

25.（2024•威海）同一条公路连接A,B,C三地，3地在A,C两地之间.甲、乙两车分别从4地、B

地同时出发前往C地.甲车速度始终保持不变，乙车中途休息一段时间，继续行驶.如图表示甲、乙两车

之间的距离y（初7）与时间x（〃）的函数关系.下列结论正确的是（）

A.甲车行驶与乙车相遇B.A,C两地相距220Am

3

C.甲车的速度是70初”/2D.乙车中途休息36分钟

【答案】A

【分析】根据函数图象推导出E点的意义是两车相遇，F点意义是乙车休息后再出发，据此判断O；乙车

休息后两者同时到达C地，则甲车的速度比乙车的速度慢，据此推导甲，乙两车速度与AC的距离，从而

判断3,C；设x小时两辆车相遇，依题意得：60x=2x70+20,解答即可判断A.

【解答】解：根据函数图象可得AB两地之间的距离为40-20=20（版），

两车行驶了4小时，同时到达C地，如图所示，在1-2小时，两车同向运动，在第2小时，即点。时，两

者距离发生改变，此时乙车休息，E点的意义是两车相遇，尸点意义是乙车休息后再出发,

，乙车休息了1小时，故。不正确，不符合题意;

设甲车的速度为。km/h,乙车的速度为6km/h,

根据题点，乙车休息后两者同时到这。地，则甲车的速度比乙车的速度慢，a<b,

•处+20-2。=40,即

在DE-EF时，乙车不动，则甲车的速度是"户=60（加//?）,

，乙车速度为60+10=70协1/〃，故C不正确，不符合题意；

的距离为4x60=240（千米），故3不正确，不符合题意；

设X小时两辆车相遇，依题意得：60x=2x70+20,

QO

解得：%=-,即2小时时，两车相遇，故A正确，符合题意；

33

故选：A.

【点评】本题考查了一次函数的实际应用，观察函数图象结合数量关系，列式计算是解题的关键.

26.（2024•北京）小云有一个圆柱形水杯（记为1号杯）.在科技活动中，小云用所学数学知识和人工智

能软件设计了一个新水杯，并将其制作出来.新水杯（记为2号杯）示意图如图.

当1号杯和2号杯中都有必地水时，小云分别记录了1号杯的水面高度九（单位：cm）和2号杯的水面高

度％单位:cm）,部分数据如下：

V/mL040100200300400500

\/cm02.55.07.510.012.5

02.84.87.28.910.511.8

h11cm

（1）补全表格（结果保留小数点后一位）；

（2）通过分析数据，发现可以用函数刻画九与V,为与丫之间的关系.在给出的平面直角坐标系中，画

出这两个函数的图象；

（3）根据以上数据与函数图象，解决下列问题：

①当1号杯和2号杯中都有320〃zL水时，2号杯的水面高度与1号杯的水面高度的差约为1.2cm（结

果保留小数点后一位）；

②在①的条件下，将2号杯中的一部分水倒入1号杯中，当两个水杯的水面高度相同时，其水面高度约为

cm（结果保留小数点后一位）.

0100200300400500V/ml

【答案】(1)1.0；(2)详见解析；(3)①1.2,②8.6.

【分析】(1)观察表格数据可知，4和V是正比例函数关系，设解析式，代入求解即可.

(2)描点、连线画出函数图象即可;

(3)由图象观察可得出①②的答案.

【解答】解：(1)设将(100,2.5)代入得：2.5=100左，解得人=工,

•.▽=40,

4=i.o,

故答案为：1.0.

(2)如图所示,

(3)①当V=3204时，%=8.0cm,由图象可知相差约为1.2m,如图所示.

②解法一：在①的条件下两杯相差1.2cm,此时％大约是8。加上0.6约为8.6cm.

解法二：观察图象可知，当两个水杯的水面高度相同时，估算高度约为8.6。".

故答案为：8.6.

【点评】本题主要考查了一次函数的应用、函数的图象与性质、描点法画函数图象，正确理解题意熟练掌

握知识点是解题关键.

九.二次函数综合题(共5小题)

27.(2024•北京)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=加-2<?尤("0).

(1)当。=1时，求抛物线的顶点坐标；

(2)已知%)和N(%,%)是抛物线上的两点.若对于玉=3”，3轰也4,都有%<%,求a的取

值范围.

【分析】(1)将。=1代入即可求出抛物线的顶点坐标；

(2)利用作差法建立关于马和。的不等式，因为。不确定，所以要分类讨论，再根据范围取舍即可.

【解答】解：(1)将。=1代入得y=x?-2x=(无一1>一1,

・•・顶点坐标为(1，T);

223

(2)方法一：由题得，y1=a-(3a)—2a-3a=3a,

2

y2=axf-2ax2,

X<%，

2

y2~yi=-2ax2-3a）=a（x2-3a）（x2+a）>0,

①当a>0时，（％-3a）（X+。）>。，

[x2-3a>0[x2-3a<0

1c或1c，

四+〃〉0\x2+a<0

解得%>3a或%。，

・・・3瓢24,

3av3或一。>4,

二.avl或avT,

/.0<6Z<l；

②当Q<0时，（%2-3。）（冗2+。）<。，

_3〃〉0、1%2_3〃<0

「•1八或1八，

。[x2+a>0

角翠得3a<x2<-a,

3领Jr24,

[3a<3

\/,解得avT,

\-a>4

综上，0<Q<1或av4

%)和N(w，%)都在对称轴右侧，

此时y随元增大而增大，

x<%，

再〈%，

.\3a<3,

.\0<a<l；

②当avO时，

M&，%)在对称轴左侧，N(%,%)在对称轴右侧，

点M(3a,%)关于对称轴的对称点(-a,%)在对称轴右侧,

在对称轴右侧，了随九增大而减小，

%<必，

-Q>4,

CLv—4,

综上，0<avl或avT.

【点评】本题主要考查二次函数综合，熟练掌握二次函数的图象和性质、因式分解、解不等式等知识点是

解题关键.

28.(2024•重庆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线了=加+法+4("0)经过点(-1,6),与y轴交于点

C,与x轴交于A,3两点(A在3的左侧)，连接AC,BC,tanNCBA=4.

(1)求抛物线的表达式；

(2)点尸是射线C4上方抛物线上的一动点，过点尸作尸轴，垂足为E,交AC于点。.点/是线

段DE上一动点，MNLy轴，垂足为N,点P为线段3c的中点，连接AW,NF.当线段PD长度取得

最大值时，求AA/+MN+NF的最小值；

(3)将该抛物线沿射线C4方向平移，使得新抛物线经过(2)中线段PD长度取得最大值时的点£>,且

与直线AC相交于另一点K.点。为新抛物线上的一个动点，当NQ£>K=NACB时，直接写出所有符合条

件的点。的坐标.

【答案】(1)y=-尤②-3x+4；

(2)2+—；

2

(3)点。的坐标为：(一1,一2)或(_：19,943).

416

【分析】(1)由待定系数法即可求解；

(2)将点A向右平移2个单位得到点4(-2,0),连接从尸交y轴于点N,过点N作NM,连接AM,

则此时4打+"乂+八犷=47^+"乂+八犷=2+4尸最小，即可求解；

(3)ZQDK=ZACB,则。Q/ABC,则直线。。的表达式为：y=-4(x+2)+2,即可求解；当点。(。')在

AC上方时，同理可解.

【解答】解：(1)由抛物线的表达式知，OC=4,

•.•tanZCBA=4,贝U05=1,

即点2(1,0),

a-b+4=6

由题意得:

a+b+4=0

a=11

解得:

b=-3'

则抛物线的表达式为：>=-尤2一3犬+4；

(2)由抛物线的表达式知，点A、B、。的坐标分别为：(T,0)、(1,0)、(0,4),则点歹§,2),

由点A、。的坐标得，直线AC的表达式为：y=x+4,

设点P(x,-x〜—3x+4),则点Z)(x,x+4),

贝IPD=—JC—3X+4—X—4=—X2一4尤>

当x=—2时，20取得最大值，则点E(-2,0)、。(一2,2),则MN=2,

将点A向右平移2个单位得到点A'(-2,0),连接A尸交，轴于点N,过点N作连接AM,

则四边形肱域匕4为平行四边形，则AM=AN,

贝此时AM+MN+NF=AN+MN+NF=2+A尸=2+</(2+-)2+22=2+—为最小；

V22

(3)将该抛物线沿射线C4方向平移，当向左平移加个单位时，则向下平移了优个单位,

则新抛物线的表达式为：y=-(x+rri)2-3(x+m)+4-m,

将点0(-2,2)的坐标代入上式得：2=-(-2+-3(-2+m)+4-m,

解得：m=2,

贝iI新抛物线的表达式为：y=—（尤+”7）2—3（尤+〃。+4—加=-尤2—7尤一8,

由点3、。的坐标得，直线3c的表达式为：y=-4x+4,

当点。在AC下方时，

yjk

ZQDK=ZACB,则。Q//BC,

则直线。。和BC表达式中的左值相同，

而DQ过点。（—2,2）,

则直线。。的表达式为：y=-4（x+2）+2,

联立上式和新抛物线的表达式得：-4（X+2）+2=-X2-7X-8,

解得：x=-2（舍去）或—1,

即点。（一1,一2）；

当点。（。'）在AC上方时，

同理可得，点

由点。、印的坐标得，直线WT的表达式为：、=-：（尤+2）+2,

联立上式和新抛物线的表达式得：（x+2）+2+2=-尤②-7尤-8,

19

解得「7(舍去)或：,

1943

即点01,-)

1943

综上，点。的坐标为:T-2)或(F，-).

【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养.要会利用数形结合的

思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系，解决

相关问题.

29.(2024•连云港)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y=依?+bxT(a、6为常数，a>0).(1)若

抛物线与x轴交于A(-1,0)、3(4,0)两点，求抛物线对应的函数表达式；

(2)如图，当3=1时，过点C(-l,a)、D(l,a+2夜)分别作y轴的平行线，交抛物线于点M、N,连接MN、

MD.求证：MD平分NCMN；

(3)当a=l,仇，-2时，过直线y=x-1(度k3)上一点G作y轴的平行线，交抛物线于点若G”的

最大值为4,求6的值.

(2)见解答；

⑶-3.

【分析】(1)利用待定系数法求解即可；

(2)连接CV,根据题意，求得河(T,a-2),NQ,d),进而求出C7V=2,OW=a-(a-2)=2,利用勾

股定理求出MN=2&，求出0V=2应，从而得到=结合平行线的性质即可证明结论;

(3)设G(风加-1),JUijH(m,n^+bm-Y),掇弧3,求出当a=l时，x2=\-b..3,得到点G在"的上方,

1—bq1—卜1—卜

设GH=r,故f=-"+(1-b)机，其对称轴为加=---，分为一麴］----3和----->3两种情况讨论即可.

2222

【解答】(1)解：•••抛物线与x轴交于A(-l交)、3(4,0)两点，

分别将A(-l,0),3(4,0)代入y=+法一1中，

/口ja-b-l=0

得116a+4Z?-l=0'

j_

a—

4

解得，

_3

b=

~4

i3

抛物线对应的函数表达式为y=—d-―x-1.

-44

(2)证明：连接QV,如图，

•;b=l,

y-ax2+x-\,

当x=—1时，y=a-2,

M(—1,ct—2),

当x=l时，y=a,

NQ,d),

:.CN=2,CM=a-(a-2)=2,CM±CN,

在RtACMN中，CM=2,CN=2,

MN=Y]CM2+CN2=242，

­,DN=a+2y[2-a=2s/2，

：.DN=MN,

:.ZNDM=ZNMD,

­.-DN//CM,

:.ZNDM=ZCMD,

.\ZNMD=ZCMD,

:.MD平分/CMN.

（3）解：设GO,机-1）,则“（九）+而-1）,啜如3,

当Q=1时，y=x1+bx-l,

•・•过直线y=%—1（1领k3）上一点G作y轴的平行线，

令%2+bx—1=x—1,

解得玉=0,x2=l—b.

，：b,,-2,

:.x2=l-b..3,

点G在"的上方，如图，

设GH=t,贝!j/=—m2+（1—b）m,

1—h1—b3

其对称轴为机=一，且一…9

222

①当—lx1]——3时，即—5轰卜—2,

由图可知,

解得6=—3或b=5（舍去）,

②当上心＞3时，得bv—5,

2

由图可知,

当机=3时，，取得最大值—9+3—36=4,

解得6=-修（舍去）,

综上所述，匕的值为-3.

【点评】本题考查二次函数的综合应用，主要考查待定系数法求解析式，二次函数的性质，掌握分类讨论

的思想是解题的关键.

30.（2024•苏州）如图①,二次函数y=V+6x+c的图象G与开口向下的二次函数图象C2均过点A（-l,0），

3(3,0).

（1）求图象G对应的函数表达式;

（2）若图象C2过点C（0,6）,点P位于第一象限，且在图象C2上，直线/过点尸且与X轴平行，与图象C?

的另一个交点为。（。在P左侧），直线/与图象G的交点为M，N（N在M左侧）.当PQ=MP+QN时,

求点P的坐标;

(3)如图②，D,“分别为二次函数图象C1,C2的顶点，连接A。，过点A作交图象C?于

点连接EF,当EF//AD时，求图象C2对应的函数表达式.

图①图②

【答案】(1)y=x2-2x-3；

(2)点P的坐标为(a+1,4)；

⑶图象C?对应的函数表达式为y=1(x+D(A3)=-%2+|15

X+——.

4

【分析】(1)将4L0),8(3,0代入y=Y+bx+c解方程组即可得到结论;

(2)设C2对应的函数表达式为y=a(x+l)(x-3)(a<0),将点Q0,6)代入得，a=-2.求得C2对应的函

数表达式为y=-2(x+l)6x+3),对称轴为直线x=l.作直线x=l,交直线/于点H(如答图①)由二次函

数的对称性得到。“=尸"，PM=NQ,求得PH=PM.设尸"=«。</<2),则点P的横坐标为/+1,

点M的横坐标为2/+1,解方程即可得到结论；

(3)连接DE,交尤轴于点G,过点F作FILED于点I,过点歹作R7轴于点J,(如