圆（易错点梳理+练习）带解析-2022年中考数学复习

第14讲圆易错点梳理

易错点梳理

易错点01在弧'弦'圆心角之间的关系中忽略“在同圆或等圆中”这一前提条件

只有“在同圆或等圆中”，弧、弦、圆心角之间的关系才能成立。

易错点02忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解

忽视弦所对的圆周角的多种可能而漏解在同一个圆中，一条弦对着两种圆周角，这两种圆周角互补。

易错点03忽视弦的位置的不同情况而漏解

在同一个圆中，求两条平行弦的距离时，两条弦可能在圆心的同侧，也可能在圆心的两侧，解题时应分类

讨论。

易错点04混淆三角形的外心和内心

三角形的内心是指三角形内切圆的圆心，是三角形3条角平分线的交点；三角形的外心是指三角形外接圆

的圆心，是三角形三边垂直平分线的交点.。

*例题分析

考向01与圆有关的性质

例题1：（2021•山东临清•九年级期中）如图，A8为。。的直径，ZBED=20°,则NAC。的度数为（）

A.80°B.75°C.70°D.65°

【答案】C

【思路分析】连接5C,证明NAC5=90。，ZZ）CB=20°,可得结论.

【解析】解：连接3C

；A2是直径，

/./ACB=90。，

:NDCB=NDEB=2Q。,

：.ZACD=90°-ZDCB=70°,

故选：C.

【点拨】本题主要考查圆周角定理，准确分析计算是解题的关键.

例题2：（2021•山东陵城•九年级期中）如图,AC是。O的直径，弦BD1AO于E,连接BC,过点O作OFLBC

于若8cm,AE=2cm,则△OFC的面积是（）

A.40cm2B.20cm2C.10cm2D.5cm2

【答案】D

【思路分析】根据垂径定理得出OE的长，进而利用勾股定理得出BC的长，从而得到OC的长，即可求出

2

△BOC的面积，再根据三线合一定理得到BF=CF,则SAOfC==|sAfiOC=5cm,由此求解即可.

【解析】解：连接

A

C

「AC是。。的直径，弦瓦）_LAO于E,8。=8cm,A£=2cm.

/.BE=^BD=4cm,

在RtAOEB中，OE2+BE2=OB2,即OE2+42=（OE+2）2

解得：0£=3cm,

OC=OA=OE+AE=5cmf

1o

2

S^BOC=—OC-BE=10cm,

•：OB=OC,OFLBC,

：.BF=CF,

・1_2

,•^/\OFC=S&OBF=5s△BOC—5cm

1

92

SAOFC=—OF•FC=5cm,

故选D.

【点拨】本题主要考查了垂径定理，勾股定理，三线合一定理，解题的关键在于能够熟练掌握垂径定理.

考向02与圆有关的位置关系

例题3：下列说法：①平分弦的直径，平分这条弦所对的弧；②在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧

也相等；③等弧所对的圆心角相等；④过三点可以画一个圆；⑤圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的

对称轴；⑥三角形的外心到三角形的三边距离相等.正确的个数有（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【思路分析】由垂径定理的推论可判断①，由圆心角，弧，弦之间的关系可判断②③，由不在同一直线上

的三点确定一个圆可判断④，由圆的对称轴是直线可判断⑤，由三角形的外心的性质可判断⑥，从而可得

答案.

【解析】解：当被平分的这条弦是直径时，平分弦的直径，不平分这条弦所对的弧；故①不符合题意；

在等圆中，如果弦相等，那么它们所对的弧也不一定相等；因为圆当中任意一条弦都与两条弧相对，故②

不符合题意；等弧所对的圆心角相等；正确，故③符合题意；过不在同一直线上的三点可以画一个圆；故

④不符合题意；圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴；故⑤不符合题意；三角形的

外心到三角形的三个顶点的距离相等.故⑥不符合题意；故选A

【点拨】本题考查的是圆的基本性质，垂径定理的推论，圆心角，弧，弦之间的关系，圆的确定，三角形

的外心的性质，掌握以上基础知识是解题的关键.

例题4：（2021•山东•德州市第九中学九年级期中）如图，在R3AO5中，。8=4也，NA=30。，。。的半

径为3,点尸是AB边上的动点，过点尸作。。的一条切线产。（其中点。为切点），则线段尸。长度的最小

值为（）

A.2版B.26C.3A/3D.472

【答案】C

【思路分析】连接0P、。。，作于P,根据切线的性质得到。。，尸。，根据勾股定理得到「。=

历。，根据垂线段最短得到当。尸，时，。尸最小，根据30度角直角三角形的性质、勾股定理计算

即可.

【解析】连接。P、OQ,作OPUAB于P,

是。。的切线，

C.OQLPQ,

PQ=^OP2-OQ2=/OP2-9，

当OP最小时，线段PQ的长度最小，

当0P_LA3时，。尸最小，

在RtAAOB中，ZA=30°,OB=4^/3,

/.AB=2OB=8A/3,

由勾股定理得：QA=〃产-OB2=J（8A）?-（4舟=12

在RtAAOP中，ZA=30°,

.,.OA=2OP=12,

：.OP'=6,

，线段PQ长度的最小值=762-9=36，

故选：C.

【点拨】本题考查的是切线的性质、勾股定理、含30度角直角三角形的性质、垂线段最短，掌握圆的切线

垂直于经过切点的半径是解题的关键.

考向03正多边形与圆

例题5：（2021•江苏宿迁•九年级期中）如图，在正六边形ABCDEF中，则ZAC尸的度数为（）

A.30°B.35°C.20°D.25°

【答案】A

【思路分析】由正六边形的性质得出/2=/氏4尸=NAFE=120。，BC=AB=AF=FE,由等腰三角形的性质和三

角形内角和定理得出N2AC=N2CA=30。，ZFAE=ZFEA=3>0°,求出NCAE=30。.

【解析】解：：六边形ABCDEF是正六边形，

ZB=ZBAF=ZAFE=12QO,BC=AB=AF=FE,

：.ZBAC=ZBCA=30°,

\'AB//CF,

：.ZCAB=ZACF=30o.

故选：A.

【点拨】本题考查了正六边形的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；熟练掌握正六边形的性质，

求出N2、NBAP和/尸的度数是解题的关键.

例题6：（2021•浙江•杭州市采荷中学九年级期中）下列关于正多边形的叙述，正确的是（）

A.正九边形既是轴对称图形又是中心对称图形

B.存在一个正多边形，它的外角和为720。

C.任何正多边形都有一个外接圆

D.不存在每个外角都是对应每个内角两倍的正多边形

【答案】C

【思路分析】根据正多边形、轴对称、中心对称的性质分析，即可判断选项A；根据多边形外角和的性质，

即可判断选项B；根据正多边形与圆的性质分析，即可判断选项C；根据正多边形和外角的性质分析，即可

判断选项D,从而得到答案.

【解析】正九边形是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项A不正确；

任何多边形的外角和都为360。，故选项B不正确；

任何正多边形都有一个外接圆，故选项C正确；

等边三角形的每个外角都是对应每个内角两倍，故选项D不正确；

故选：C.

【点拨】本题考查了正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的知识；解题的关键是熟练掌握

正多边形、轴对称、中心对称、正多边形与圆、外角的性质，从而完成求解.

考向04弧长与扇形面积的计算

例题7：（2021•浙江•杭州市天杭实验学校九年级期中）如图，半径为10的扇形AOB中，ZAOB=90°,C

为弧AB上一点，CDLOA,CELOB,垂足分别为。、E,若/CDE为36。,则图中阴影部分的面积为（）

A.lOnB.9兀C.8兀D.6兀

【答案】A

【思路分析】连接OC交DE于F,证得四边形ODCE是矩形,得到AODEm△ECO丝匕DOgAECD,

推出sODE=SOCE，zCOE=ZCDE=36°,再利用扇形面积公式计算.

【解析】解：如图，连接。C交。E于尸，

\'CD±OA,CELOB,

：.ZCDO=ZCEO=ZAOB=90°,

四边形ODCE是矩形，

：.MODE/XECOQXDOCQMECD,

s0DE=S0CE,zCOE=ZCD£=36°,

阴影部分的面积=367xlV=10万,

360

故选：A.

【点拨】此题考查了矩形的判定及性质，扇形面积的计算公式，熟记矩形的判定及性质定理是解题的关键.

例题8：（2021•江苏宿迁•九年级期中）如图，正方形ABCD内接于。。，线段在对角线3D上运动.若

。。的面积为6万，MN=1,则^AMN周长的最小值是（）

A.4B.5C.6D.7

【答案】C

【思路分析】由正方形的性质，知点C是点A关于的对称点，过点C作C4〃B。，且使C4=l,连接

AA，交BD于点、N,取NM=1,连接AM、CM,则点/、N为所求点,进而求解.

【解析】解：连接AC,

。。的面积为6兀，则圆的半径为#,则BO=2#=AC,

由正方形的性质，知点C是点A关于2。的对称点，BD1AC,

过点C作C4〃8O,且使C4=l,

：.CA'±AC,

连接AA，交8。于点N,取NM=1,连接AM、CM,则点M、N为所求点,

理由：'：A'C//MN,且4C=MN,则四边形MC4N为平行四边形,

则A'N=CM=AM,

故4AMN的周长=AMMN+MN=AV+1为最小,

则4A=J（2府+俨=5,

则4AMN的周长的最小值为5+1=6,

故选：C.

【点拨】本题考查了圆的性质、点的对称性、平行四边形的性质等，确定点“、N的位置是本题解题的关

键.

NW微练习

一、单选题

1.（2021•天津滨海新•九年级期中）如图，A2是。。的直径，C,D是。。上的两点，连接AC,CD,AD,

若ZADC=75。，则NBAC的度数是（

A.15°B.25°

【答案】A

【解析】解：连结BC,

是。0的直径,

ZACB=90°,

ZABC=ZADC=15°,

ABAC=90°-ZABC=90°-75°=15°,

故选A.

2.（2021•浙江省宁波市实验学校九年级期中）如图，C是以A8为直径的半圆。上一点，连结AC,BC,

分别以AC,为斜边向外作等腰直角三角形△AC。，△BCE,弧AC和弧的中点分别是N.连接

DM,EN,若C在半圆上由点A向8移动的过程中，DM：EN的值的变化情况是（）

A.变大B.变小

C.先变大再变小D.保持不变

【答案】D

【解析】解：如图，连接OE,0C.

,/AAOC是等腰直角三角形

：.ZADC=90°,DA=DC,

■：OA=OC,

二。。垂直平分线段AC,

...点M在线段。。上,

：.ZODC=45°,

同法点N在0E上，NOED=45。,

：.ZDOE=90°,

'：ZODE=ZOED,

：.OD=OE,

•：OM=ON,

：.DM=EN,

.".DM：EN的值不变.

故选：D.

3.（2021•广东•广州市第七中学九年级期中）若等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,则其内切圆半径的

长为（）

A.亚B.2A/2-2C.2-72D.收一2

【答案】B

【解析】如图所示，4ABC是等腰直角三角形，0D是它的外接圆，OE是它的内切圆，连接AE、BE,

:等腰直角三角形的外接圆半径的长为2,

：.AB=4,

二在RtZXABC中，AC=BC=26，

:。E是内切圆，

：.EF=EG=ED,

,•S^ABC=S&ACE+S^BCE+

=-xACxEF+-xBCxEG+-xABxED

222

=1x£Fx(AC+BC+AB),

S&ABC=LACxBC,

EF=2^2-2.

故选：B.

4.（2021•江苏玄武•九年级期中）如图，。。是△ABC的外接圆，NA=62。，E是3。的中点，连接OE并

延长交。。于点。，连接B。，则/。的度数为（）

©

D

A.58°B.59°C.60°D.61°

【答案】B

【解析】解：连接。，

©

D

••・四边形A8OC是圆内接四边形，NA=62。，

.\ZCDB+ZA=180°,

：.ZBDC=180°-ZA=118°,

YE是边8C的中点，

・・•ODLBC,

：.BD=CD,

：.ZODB=ZODC=1/BDC=59。,

故选：B.

5.（2021•江西兴国•九年级期末）如图，边长为4的正六边形A8C。斯的中心与坐标原点。重合，AF//x

轴，将正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转n次，每次旋转60°,当«=2020时，顶点A的坐标为（)

x

A.(-2,2石)B.(-2,-2白)C.(2,-273)D.(2,273)

【答案】B

OH=dol—AH?=2A/3，

,/六边形ABCDEF是正六边形,

；•点A的坐标为（-2,2白），点尸的坐标为（2,2若），点E的坐标为（4,0）,点。的坐标为（2,-2白）,

点C的坐标为（-2,-2万），点B的坐标为（-4,0）,

六边形ABCDEF是正六边形，

/.正六边形ABCDEF绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，

2020-6=336...4,

...当“=2020时，顶点A与顶点C重合，

.,•此时顶点A的坐标为（-2,-273）,

故选：B.

6.古希腊数学家欧几里得在《几何原本》中记载了用尺规作某种六边形的方法，其步骤是：①在。。上任

取一点A,连接4?并延长交。。于点3；②以点2为圆心，2。为半径作圆弧分别交。。于C,。两点；

③连接CO,DO并延长分别交0。于点E,F；④顺次连接BC,CF,FA,AE,ED,DB,得到六边形AFCBDE.连

接AD,EF,交于点G,则下列结论错误的是.

c

A.△AOE的内心与外心都是点GB.ZFGA=ZFOA

C.点G是线段E尸的三等分点D.EF=42AF

【答案】D

【解析】解：如图，

在正六边形AEDBCF中，ZAOF=ZAOE=ZEOD=60°,

OF=OA=OE=OD,

：.AAOF,AAOE,△E。。都是等边三角形，

：.AF=AE=OE=OFfOA=AE=ED=ODf

・・・四边形AEOR四边形AODE都是菱形，

C.ADLOE,EFLOA,

•••△AOE的内心与外心都是点G,故A正确，

VZ£AF=120°,NEAD=30。,

ZMD=90°,

,/ZAFE=30°,

/.ZAGF=ZAOF=60°,故3正确，

VZGAE=ZGEA=30°,

：.GA=GE,

'：FG=2AG,

：.FG=2GE,

・••点G是线段跖的三等分点，故C正确，

：AF=AE,ZME=120°,

:.EF=0AF,故。错误,

故答案为：D.

7.（2021•山东巨野•九年级期中）如图，等边4ABC及其内切圆与外接圆构成的图形中，若外接圆的半径为

【答案】B

：△ABC是等边三角形，大。O是△ABC的外切圆,

：.AO=OB=OC,

:小。。是△ABC的内切圆，

OM=ON=OP,

：.ZAOC=nO°,ZAON^ZBON=ZAOP=ZCON=60°,BN=CM=AP=CP,

___120^-x32

.・、阴影一、扇形AOC...............-371,

360

故选：B.

8.（2021•河北古冶•九年级期中）如图，等腰AAOB中，顶角/AOB=40。，用尺规按①到④的步骤操作:

①以。为圆心，。4为半径画圆；

②在。。上任取一点尸（不与点A,B重合），连接AP；

③作48的垂直平分线与。。交于N；

④作AP的垂直平分线与。。交于E,F.

结论I：顺次连接M,E,N,尸四点必能得到矩形；

结论H：。。上只有唯一的点P,使得S扇形FOM=S扇形AOB・

对于结论I和II,下列判断正确的是（）

M

A.I和II都对B.i对n不对

【答案】D

EN,MF.NF.

脑V垂直平分A3,E■尸垂直平分”，由“垂径定理的逆定理”可知，MN和AP都是。的直径,

:.OM=ON,OE=OF,

四边形MENF是平行四边形,

EF=MN,

四边形MENF是矩形，故（I）正确,

观察图形可知当NMOF=ZAOB,

一S扇形F0”=S扇形40B>

观察图形可知，这样的点尸不唯一（如下图所示），故（II）错误,

P'

故选：D.

二、填空题

9.（2021•福建福清•九年级期中）如图，A8是半圆O的直径，点C在半圆上，AB=5,AC=4,。是我上

的一个动点，连接AD过点C作CELA。于E,连接BE,下列四个结论正确的有.（填序号）

①点B与点C的距离是3；②CE=BE；③CE长的最大值2.4；@BE的长的最小值是2班-2.

【答案】①③

【解析】解：连接BC,取AC的中点T,连接ET,BT.

,：AB是直径,

ZACB=90°,

•1-BC=7AB2-AC2=J52-42=3,故①正确，

当点。与C重合时，BE>CE,故②错误，

当点。与B重合时，CE的值最大，最大值=£=2.4,故③正确，

'：EC±AD,

：.NAEC=90。，

,:CT=AT,

：.ET=^AC=2,

'•*BT=y/BC2+CT2=732+22二V13,

：.BE>BT-ET=-JY3-2,

•••BE的最小值为屈-2.故④错误，

故答案为：①③.

10.（2021•江苏宿迁•九年级期中）如图，在Rt^ABC中，ZABC=90°,/4=34。，点2、C在。。上，边A3、

AC分别交。。于。、E两点，点8是弧CO的中点，求/4BE的度数.

【答案】11°

【解析】解：连结CD

VZABC=90°,ZA=34°

ZACB=90°-ZA=90°-34°=56°

:点B是弧CO的中点

：.^BC=^BD

NBCD=NBDC

/BCD+ZBDC=90°

：.ZBCD=ZBDC=45°

：.ZACD=ZACB-/BCD=56。一45。=11°

又：NABE=NACD（同弧所对的圆周角相等）

/.ZABE=U°

11.（2021•江苏灌南•九年级期中）在即ABC中，ZC=90°,AB=5,周长为12,那么△ABC内切圆半径

为.

【答案】1

【解析】解：设切点分别为。、F、E,连结。。，OF,OE

在放△ABC中，ZC=90°,AB=5,AB+BC+AC=12,

：.BC+AC=12-AB=n-5=l,

：AC,BCAB为圆的切线，

：.AF=AE,BD=BE,CD=CF,ODLBC,OFLAC,

：.CD+CF^BC+AC-AB=7-5=2,

：.CD=l,

'：ZC=90°,ZODC=ZOFC=90°,

，四边形CDO尸为矩形，

CD=CF,

四边形。。尸为正方形，

AABC内切圆半径r=CD=1.

故答案为1.

B

12.（2021•江苏新吴•九年级期中）如图，正方形A8C。内接于。O,线段在对角线8。上运动，若。。

的面积为2兀，MN=1,则△AMN周长的最小值为

【答案】4

【解析】解：OO的面积为2兀，则圆的半径为0,贝1加。=2夜=43

由正方形的性质，知点C是点A关于8。的对称点,

过点C作C4〃B。，且使C4=l,

连接44'交8。于点M取M0=1,连接AM、CM,则点M、N为所求点,

理由：'：A'C//MN,且4C=MN,则四边形MC4N为平行四边形,

则A'N=CM=AM,

故4AMN的周长=AM+AN+MN=A441为最小，

则4A=«2可+f=3,

则4AMN的周长的最小值为3+1=4,

故答案为：4.

13.（2021•山东青岛•中考真题）如图，正方形A3a（内接于00,PA,PZ）分别与00相切于点A和点

尸D的延长线与BC的延长线交于点E.已知AB=2,则图中阴影部分的面积为.

【答案】5-万

【解析】解：连接AC,OD,

:四边形BCD是正方形，

：.ZB=90°,

；.AC是。。的直径，ZAOD=90°,

VB4,尸。分别与。。相切于点A和点，

：.ZPAO=ZPDO=90°,

四边形AOZJP是矩形，

OA=OD,

矩形AODP是正方形，

：.ZP=90°,AP=AO,AC//PE,

：.ZE=ZACB=45°,

△CDE是等腰直角三角形，

'：AB=2,

；.AC=2AO=2夜，DE=42CD=2y/2,

:.AP=PD=A0=6,

：.PE=3日

；・图中阴影部分的面积=：（4。+尸£）・人尸一；402.%=；（2&+3&）*&-；（&）2.%=5-万

故答案为：5-71.

14.（2021•江苏新吴•九年级期中）如图，在菱形ABCD中，Z£>=60°,43=2,以2为圆心、BC长为半径

画衣，点尸为菱形内一点，连接外,尸2,PC.当△2PC为等腰直角三角形时，图中阴影部分的面积为.

【答案】

32

【解析】解：连接AC,延长AP,交BC于E,

在菱形A5C。中，ZD=60°fAB=2,

：.ZABC=ZD=60°,AB=BC=2,

•二△ABC是等边三角形，

：.AB=ACf

在△AP3和△APC中，

AB=AC

<AP=AP,

PB=PC

（SSS）,

：.APAB=APAC,

J.AELBC,BE=CE=\,

•••△B尸。为等腰直角三角形，

PE=-BC=1,

2

n

在放△AB石中，AE=^±AB=y/3,

2

.\AP=73-L

••S阴影S扇形48c-SAPAB~SAPBC

3602232

故答案为：2万一道+i.

32

三、解答题

15.如图，AB是；O的直径，点C在。。上，。为。。外一点，且NADC=90。,2ZB+ZZMB=18O°.

（1）求证：直线8为。。的切线.

（2）若。C=2A/LA£>=2,求。P的半径.

（3）在（2）的条件下，求阴影部分的面积.

【答案】（1）证明过程见解析；（2）4；（3）6^-y

【解析】（1）证明：如图1,

图1

连接PC,贝(J/4PC=2N8,

V2ZB+Z£>AB=180°,

ZAPC+Z£>AB=180°,

J.AD//PC,

*.•ZADC=90°,

・•・ZZ)CP=90°,

：.PCLDC,

故直线CD为。尸的切线；

(2)如图2,连接ACPC,

VZ)C=2A/3,AD=2,ZADC=90°,

・•・AC=VOC2+AD2=V122+42=4

ZCAD=60°,

由(1)得AO〃尸C,

・・・ZCAD=ZACP=60°,

又PA=PC,

•••△APC是等边三角形，

.,.PC=M=AC=4,

故。尸的半径是4；

(3)梯形ADC尸二;(AD+PC)xCZ)=;(2+4)x2^3—6A/3,S扇形APL4二——,

223603

；・S阴影部分二S梯形4DCP-S扇形4尸6A/3--

故阴影部分的面积为66-与.

16.（2021•浙江•杭州市天杭实验学校九年级期中）图，四边形ABC。是。。的内接四边形，A8是。。的直

径，ZD=108°,连结AC.

（1）求乙BAC的度数;

（2）若48=8,且/OCA=27。，求。C的长度;

（3）在（2）的条件下，求图中阴影部分的面积（结果保留兀）.

【答案】（1）NBAC的度数为18。；（2）。。的长度为4&;（3）4%—8.

【解析】解：（1）:四边形ABC。是。。的内接四边形，ZADC=1O8°,

：.ZB=180o-ZA£>C=180o-108°=72°,

；A2是。。的直径，

ZACB=90°,

:.NBAC=90°—72°=18°；

(2)如图，连接OC,OD,

'：ZA£)C=108°,ZDCA=21°,

：.ZDAC=180°-108°-27°=45°,

：.ZDOC=2ZDAC=90°,

U：AB=8,

：.OO=OC=OA=4,

，在处△OS中，DC=7or>2+OC2=V42+42=472；

(3)VZDOC=90°,OD=4,

.90^-x42

・・3扇形08=-----------=4"，

360

又,**=—2xOCxOD=—2x4x4=8,

,.S阴影=S扇舷。CD-SAOCD=4"一8.

17.(2021•湖北新洲•九年级期中)如图，A8为。。的直径，点C为防的中点，CDLAE交直线AE于。点.

(1)求证：0C〃4。；

(2)若DE=1,CD=2,求。。的直径.

【答案】(1)见解析;(2)5.

【解析】(1)连接BE.

是直径，

AZAEB=90°,BPAD±BE,

;点C为助的中点，

：.EC=CB,

J.OCLEB,

.'.OC//AD；

(2)设BE交OC于点T.

；CDLAD,

：.ZD=ZDET=ZCTE=90°,

，四边形。ETC是矩形，

：.CD=ET=2,DE=CT=1,

'：OC±EB,

：.BT=TE=2,

设OB=OC=r,

OT=OC-CT=r-\

在RfABOT中，由勾股定理得：产=（"1）2+22,

18.如图1,二次函数y=oy2-2以-3。（a<0）的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y

轴的正半轴交于点C,顶点为。.

（1）求顶点。的坐标（用含。的代数式表示）.

（2）若以为直径的圆经过点C.

①求。的值.

②如图2,点E是y轴负半轴上一点，连接8E,将△绕平面内某一点旋转180。，得到△PMN（点P、

M、N分别和点0、B、E对应），并且点M、N都在抛物线上，作MFLx轴于点E若线段求

点〃、N的坐标.

③如图3,点。在抛物线的对称轴上，以Q为圆心的圆过A、8两点，并且和直线8相切，求点。的坐

标.

【答案】(1)(1,-4/；(2)①T；②"弓，9、小；③(1,-4+2倔或(1,-4-2屈

【解析】解：(1)y=ax2-lax-3a=a(x-1)2-4a,

0(1,—4a).

(2)①1以AD为直径的圆经过点C,

为直角三角形，且NACD=90。；

由y=ax2—2ax-3a=a(x—3)(x+l)知，

4(3,0)、B(-LO)、C(0,-3a),则:

AC=。2+9、CD2=a2+1>AD2=16O2+4

由勾股定理得：AC2+CD2=AD2,

即：9a2+9+a2+l=16a2+4,

化简，得：a2=1,由a<0,得：ci——1,

②'a=—l,

二抛物线的解析式：y=-x2+2x+3,0(1,4).

,将\OBE绕平面内某一点旋转180。得到NPMN,

.•.PM//X轴，S.PM=OB=1-,

设”(尤,-/+2；1+3),则0尸=了，

MF=—JC+2x+3,BF=OF+OB=x+1•,

BF=2MF,

.'.%+!—2(—+2x+3),

化简,得：2f-3尤-5=0,

解得：X]=-l(舍去)、x=—,

22

\吟，

04=1,

37

.U，

.•点N,尸的横坐标相同，

.二,

又QN到抛物线上,

2

c3。15

+2x-F3=—,

24

③设。Q与直线C£＞的切点为G,连接QG,过C作于如下图:

C（0,3）、0（1,4）,

.-.CH=DH=1,即ACHD是等腰直角三角形，

■■^QGD也是等腰直角三角形，

即：QD2=2QG\

设！2（1,力,贝I］。=4-6,QG2=QB2=b2+4-

得：（4-牙=2（从+4）,

化简，得：加+助-8=0,

解得：b=-4±2-j6;

即点。的坐标为（1,-4+2局或（1,-4-2娓）.

19.（2021•江苏新吴•九年级期中）在一次数学探究活动中，李老师设计了一份活动单:

已知线段BC=4,使用作图工具作/BAC=30。，尝试操作后思考：

（1）这样的点A唯一吗？

（2）点A的位置有什么特征？你有什么感悟？

学习小组通过操作、观察、讨论后得到：点A的位置不唯一，它在以为弦的圆弧上（点8、C除外）

小华同学画出了符合要求的一条圆弧（如图1）.

图1图2备用图

(1)小华同学提出了下列问题，请你帮助解决.

①该弧所在圆的半径长为；

②△ABC面积的最大值为；

(2)经过比对发现，小明同学所画的角的顶点不在小华所画的圆弧上，而在如图1所示的弓形内部，我们

记为A',请你利用图1证明/BAC>30°；

(3)请你运用所学知识，结合以上活动经验，解决问题：如图2,已知矩形ABCD的边长为AB=2指，

BC=4,点P在直线CD的左侧，且/。尸C=60。.

①线段PB长的最小值为；

②若SPCD=与S^AD，则线段PD长为.

【答案】⑴①4；②8+4指；(2)见解析；(3)①2若-2；②指+近

【解析】(1)解：①设。为圆心，连接8。，CO,

VZBCA=30°,

：.ZBOC=6Q°,又OB=OC,

:AOBC是等边三角形，

：.OB=OC=BC=4,即半径为4,

故答案为：4；

②:△ABC以BC为底边，BC=4,

当点4到BC的距离最大时，AABC的面积最大，

如图，过点。作BC的垂线，垂足为E,延长EO,交圆于£>,以BC为底，则当A与。重合时，△ABC的

面积最大，

：.BE=CE=2,00=30=4,

・・0E=y/