2023版大一轮数学人教A版-第2节-函数的单调性与最值

第2节函数的单调性与最值知识梳理1.函数的单调性(1)增函数与减函数(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间.2.函数的最值前提设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足条件(1)对于任意x∈I，都有f(x)≤M；(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M(3)对于任意x∈I，都有f(x)≥M；(4)存在x0∈I，使得f(x0)＝M结论M为最大值M为最小值1.有关单调性的常用结论在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数；减函数＋减函数＝减函数；增函数－减函数＝增函数；减函数－增函数＝减函数.2.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝eq\f(1,f（x）)的单调性相反.3.“对勾函数”y＝x＋eq\f(a,x)(a>0)的单调增区间为(－∞，－eq\r(a))，(eq\r(a)，＋∞)；单调减区间是[－eq\r(a)，0)，(0，eq\r(a)].诊断自测1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)对于函数f(x)，x∈D，若对任意x1，x2∈D，且x1≠x2有(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0，则函数f(x)在区间D上是增函数.()(2)函数y＝eq\f(1,x)的单调递减区间是(－∞，0)∪(0，＋∞).()(3)对于函数y＝f(x)，若f(1)<f(3)，则f(x)为增函数.()(4)函数y＝f(x)在[1，＋∞)上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，＋∞).()答案(1)√(2)×(3)×(4)×解析(2)此单调区间不能用“∪”连接，故单调递减区间为(－∞，0)和(0，＋∞).(3)应对任意的x1＜x2，f(x1)＜f(x2)成立才可以.(4)若f(x)＝x，在[1，＋∞)上为增函数，但y＝f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞).2.下列函数中，在区间(0，＋∞)内单调递减的是()A.y＝eq\f(1,x)－x B.y＝x2－xC.y＝lnx－x D.y＝ex答案A解析易知A中y＝eq\f(1,x)－x在(0，＋∞)内是减函数，B，C中函数y＝x2－x与y＝lnx－x在(0，＋∞)内不单调，D中y＝ex在(0，＋∞)内是增函数.3.函数y＝eq\f(x,x－1)在区间[2，3]上的最大值是________.答案2解析函数y＝eq\f(x,x－1)＝1＋eq\f(1,x－1)在[2，3]上递减，当x＝2时，y＝eq\f(x,x－1)取得最大值eq\f(2,2－1)＝2.4.(2021·长沙检测)函数f(x)＝ln(x2－2x－8)的单调递增区间是()A.(－∞，－2) B.(－∞，1)C.(1，＋∞) D.(4，＋∞)答案D解析由x2－2x－8>0，得x>4或x<－2.设t＝x2－2x－8，则y＝lnt为增函数.要求函数f(x)的单调递增区间，即求t＝x2－2x－8的单调递增区间.∵函数t＝x2－2x－8的单调递增区间为(4，＋∞)，∴函数f(x)的单调递增区间为(4，＋∞).5.(2020·全国Ⅱ卷)设函数f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|，则f(x)()A.是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))单调递增B.是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2)))单调递减C.是偶函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))单调递增D.是奇函数，且在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))单调递减答案D解析f(x)＝ln|2x＋1|－ln|2x－1|的定义域为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(x≠±\f(1,2)))))，关于原点对称，又f(－x)＝ln|－2x＋1|－ln|－2x－1|＝ln|2x－1|－ln|2x＋1|＝－f(x)，∴f(x)为奇函数，故排除A，C；又当x∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))时，f(x)＝ln(－2x－1)－ln(1－2x)＝lneq\f(－2x－1,1－2x)＝lneq\f(2x＋1,2x－1)＝lneq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(2,2x－1)))，∵y＝1＋eq\f(2,2x－1)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减，由复合函数的单调性可得f(x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))上单调递减.故选D.6.(2021·聊城检测)函数f(x)＝9x2＋eq\r(x－1)的最小值为________.答案9解析∵f(x)的定义域为[1，＋∞)，且y＝9x2与y＝eq\r(x－1)在[1，＋∞)内均为增函数，∴f(x)在[1，＋∞)上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝9.考点一确定函数的单调性(区间)1.(2019·北京卷)下列函数中，在区间(0，＋∞)上单调递增的是()A.y＝xeq\s\up6(\f(1,2)) B.y＝2－xC.y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x D.y＝eq\f(1,x)答案A解析由图象知，只有y＝xeq\f(1,2)在(0，＋∞)上单调递增.故选A.2.函数y＝logeq\f(1,2)(－x2＋x＋6)的单调递增区间为()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3)) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－2，\f(1,2)))C.(－2，3) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，＋∞))答案A解析由－x2＋x＋6>0，得－2<x<3，故函数的定义域为(－2，3)，令t＝－x2＋x＋6，则y＝logeq\f(1,2)t，易知其为减函数.则本题等价于求函数t＝－x2＋x＋6在(－2，3)上的单调递减区间.利用二次函数的性质，得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，3))，故选A.3.(2021·重庆联考)下列函数的图象既关于直线x＝1对称，又在区间[－1，0]上为增函数的是()A.y＝sinπx B.y＝|x－1|C.y＝cosπx D.y＝ex＋e－x答案C解析A中，当x＝1时，y＝sinπ＝0≠±1，所以y＝sinπx不关于直线x＝1对称，则A错误.B中，y＝|x－1|＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x－1，x≥1，,－x＋1，x<1，))在区间[－1，0]上为减函数，则B错误.D中，y＝f(x)＝ex＋e－x，则f(0)＝2，f(2)＝e2＋e－2，则f(0)≠f(2)，所以y＝ex＋e－x不关于直线x＝1对称，则D错误.4.设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1，x>0，,0，x＝0，,－1，x<0，))g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的递减区间是________.答案[0，1)解析由题意知g(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2，x>1，,0，x＝1，,－x2，x<1，))函数的图象如图所示的实线部分，根据图象，g(x)的递减区间是[0，1).感悟升华1.函数单调性的判断方法有：(1)定义法；(2)图象法；(3)利用已知函数的单调性；(4)导数法.2.函数y＝f[g(x)]的单调性应根据外层函数y＝f(t)和内层函数t＝g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.考点二函数的最值(值域)【例1】(1)函数f(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)－log2(x＋2)在区间[－1，1]上的最大值为________.(2)对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a，a≤b，,b，a>b.))设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是________.答案(1)3(2)1解析(1)由于y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)))eq\s\up12(x)在R上单调递减，y＝log2(x＋2)在[－1，1]上单调递增，所以f(x)在[－1，1]上单调递减，故f(x)在[－1，1]上的最大值为f(－1)＝3.(2)法一在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，依题意，h(x)的图象如图所示的实线部分.易知点A(2，1)为图象的最高点，因此h(x)的最大值为h(2)＝1.法二依题意，h(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，0<x≤2，,－x＋3，x>2.))当0<x≤2时，h(x)＝log2x是增函数，当x>2时，h(x)＝3－x是减函数，因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.感悟升华1.求函数最值的三种基本方法：(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.2.对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.【训练1】(1)已知1≤x≤5，则下列函数中，最小值为4的是()A.y＝4x＋eq\f(1,x) B.y＝x＋eq\f(4,x＋1)C.y＝－x2＋2x＋3 D.y＝5＋lnx－eq\f(1,x)(2)(多选题)(2021·淄博质检)对于实数x，记[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列说法中正确的是()A.f(－3.9)＝f(4.1)B.函数f(x)的最大值为1C.函数f(x)的最小值为0D.方程f(x)－eq\f(1,2)＝0有无数个根答案(1)D(2)ACD解析(1)函数y＝4x＋eq\f(1,x)在[1，5]上递增，所以4x＋eq\f(1,x)≥5，A不符合题意；因为x≥1，所以y＝x＋eq\f(4,x＋1)＝x＋1＋eq\f(4,x＋1)－1≥4－1＝3(当且仅当x＝1时取等号)，故其最小值不为4，B不符合题意；y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，其最大值为4(当x＝1时取得)，最小值是f(5)＝－12，C不符合题意.易知函数y＝5＋lnx－eq\f(1,x)在(0，＋∞)上递增，所以在区间[1，5]上也是增函数，其最小值为f(1)＝5＋ln1－eq\f(1,1)＝4，D符合题意.(2)f(－3.9)＝－3.9－[－3.9]＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－[4.1]＝4.1－4＝0.1，A正确；显然x－1＜[x]≤x，因此0≤x－[x]＜1，∴f(x)无最大值，但有最小值且最小值为0，B错误，C正确；方程f(x)－eq\f(1,2)＝0的解为x＝k＋eq\f(1,2)(k∈Z)，D正确.故选ACD.考点三函数单调性的应用角度1利用单调性比较大小【例2】(1)(2021·武汉模拟)已知函数f(x)＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)，若a＝f(21.3)，b＝f(40.7)，c＝f(log38)，则a，b，c的大小关系为()A.c<a<b B.a<c<bC.b<a<c D.a<b<c(2)(2021·福州质检)已知定义域为R的函数f(x)满足f(－x)－f(x)＝0，且当x≥0时，f(x)＝eq\r(x)－2－x，设a＝f(－31.2)，b＝f(3－0.2)，c＝f(log30.2)，则()A.c>b>a B.a>b>cC.c>a>b D.a>c>b答案(1)C(2)D解析(1)函数f(x)＝eq\f(1,ex＋1)－eq\f(1,2)是R上的减函数，又log38<2<21.3<21.4＝40.7，∴f(40.7)<f(21.3)<f(log38)，即b<a<c.(2)由f(－x)－f(x)＝0，知f(x)是偶函数，易知f(x)＝eq\r(x)－2－x在[0，＋∞)上单调递增.因为a＝f(－31.2)＝f(31.2)，c＝f(log30.2)＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,5)))＝f(－log35)＝f(log35)，且31.2>3，1＝log33<log35<log327＝3，0<3－0.2<1，即31.2>log35>3－0.2>0，所以f(31.2)>f(log35)>f(3－0.2)，即a>c>b.角度2求解函数不等式【例3】(1)已知函数f(x)＝lnx＋2x，若f(x2－4)<2，则实数x的取值范围是________.(2)(2021·青岛联考)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)＝f(－x)，且f(x)在(－∞，0]上单调递减，若不等式f(ax＋2)≤f(－1)对于任意x∈[1，2]恒成立，则a的最大值为________.答案(1)(－eq\r(5)，－2)∪(2，eq\r(5))(2)－1解析(1)因为函数f(x)＝lnx＋2x在定义域(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln1＋2＝2，所以由f(x2－4)<2得，f(x2－4)<f(1)，所以0<x2－4<1，解得－eq\r(5)<x<－2或2<x<eq\r(5).(2)由于f(x)满足f(x)＝f(－x)，可知f(x)的图象关于y轴对称，∵f(x)在(－∞，0]上单调递减，∴f(x)在[0，＋∞)上单调递增.根据f(x)的图象特征可得－1≤ax＋2≤1在[1，2]上恒成立，得－eq\f(3,x)≤a≤－eq\f(1,x)在[1，2]上恒成立，所以－eq\f(3,2)≤a≤－1，故a的最大值为－1.角度3求参数的值或取值范围【例4】(1)(2020·九江三校联考)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(22－x，x<2，,\f(3,4)x2－3x＋4，x≥2，))若不等式a≤f(x)≤b的解集恰好为[a，b]，则b－a＝________.(2)(2021·衡水中学检测)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x≥4，,2ax－3，x<4，))对任意x1，x2∈(－∞，＋∞)，x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，则实数a的取值范围为________.答案(1)4(2)eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,8)))解析(1)易知f(x)在(－∞，2)上递减，在[2，＋∞)上递增，且x<2时，22－x>22－2＝1，∴f(x)min＝f(2)＝1，又a≤f(x)≤b的解集恰好为[a，b].∴必然有a≤1，此时22－1＝2，所以b≥2.依题设，eq\f(3,4)b2－3b＋4＝b，解得b＝4或b＝eq\f(4,3)(舍).令22－x＝4，得x＝0，所以a＝0，于是b－a＝4.(2)依题设，函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(log2x，x≥4，,2ax－3，x<4))在R上单调递增，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a>0，,8a－3≤2，))解得0<a≤eq\f(5,8).故实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(5,8))).感悟升华1.比较函数值的大小，应将自变量转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决.2.求解函数不等式，其实质是函数单调性的逆用，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域.3.利用单调性求参数的取值(范围)的思路是：根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解.对于分段函数，要注意衔接点的取值.【训练2】(1)设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)单调递减，则()A.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>f(2－eq\f(3,2))>f(2－eq\f(2,3))B.feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))>f(2－eq\f(2,3))>f(2－eq\f(3,2))C.f(2－eq\f(3,2))>f(2－eq\f(2,3))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))D.f(2－eq\f(2,3))>f(2－eq\f(3,2))>feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))(2)如果函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（2－a）x＋1，x<1，,ax，x≥1))满足对任意x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0成立，那么a的取值范围是________.答案(1)C(2)eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2))解析(1)因为f(x)是定义域为R的偶函数，所以feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))＝f(－log34)＝f(log34).又因为log34>1>2－eq\f(2,3)>2－eq\f(3,2)>0，且函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(log34)<f(2－eq\f(2,3))<f(2－eq\f(3,2)).即feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(log3\f(1,4)))<f(2－eq\f(2,3))<f(2－eq\f(3,2)).(2)对任意x1≠x2，都有eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)>0，所以y＝f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－a>0，,a>1，,（2－a）×1＋1≤a，))解得eq\f(3,2)≤a<2.故实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，2)).构造函数破解不等式(方程)问题对于结构相同(相似)的不等式(方程)，通常考虑变形，构造函数，利用基本初等函数的性质，寻找变量之间的关系，达到解题目的.考查的核心素养是逻辑推理与数学抽象.【典例】(2020·全国Ⅰ卷)若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则()A.a>2b B.a<2b C.a>b2 D.a<b2答案B解析由指数和对数的运算性质可得2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.令f(x)＝2x＋log2x，则f(x)在(0，＋∞)上单调递增.又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log2(2b)，∴2a＋log2a<22b＋log2(2b)，即f(a)<f(2b)，∴a<2b.故选B.素养升华1.破解此类题的关键：一是细审题，盯题眼，如本题的题眼为“2a＋log2a＝4b＋2log4b”；二是巧构造，即会构造函数，注意活用基本初等函数的单调性进行判断；三是会放缩，即会利用放缩法比较大小.2.(1)本题主要考查利用函数的单调性，比较大小等知识；(2)逻辑推理是解决数学问题最常用、最重要的手段，将题目变形“22b＋log2b<22b＋log2(2b)”时要充分借助选项与提供的信息.【训练】(2020·全国Ⅱ卷)若2x－2y<3－x－3－y，则()A.ln(y－x＋1)>0 B.ln(y－x＋1)<0C.ln|x－y|>0 D.ln|x－y|<0答案A解析原已知条件等价于2x－3－x<2y－3－y，设函数f(x)＝2x－3－x.因为函数y＝2x与y＝－3－x在R上均单调递增，所以f(x)在R上单调递增.即f(x)<f(y)，所以x<y，即y－x>0，所以A正确，B不正确.因为|x－y|与1的大小不能确定，所以C，D不正确.A级基础巩固一、选择题1.(2021·青岛一中月考)函数f(x)＝logeq\f(1,2)(x2－4)的单调递增区间为()A.(－∞，－2) B.(2，＋∞)C.(－∞，0) D.(0，＋∞)答案A解析f(x)的定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，令t＝x2－4，易知t＝x2－4在(－∞，－2)上单调递减，又y＝logeq\f(1,2)t是减函数，∴f(x)的单调递增区间为(－∞，－2).2.(2021·宜宾调研)下列函数中，同时满足：①图象关于y轴对称；②∀x1，x2∈(0，＋∞)(x1≠x2)，eq\f(f（x2）－f（x1）,x2－x1)>0的是()A.f(x)＝x－1 B.f(x)＝log2|x|C.f(x)＝cosx D.f(x)＝2x＋1答案B解析满足条件的函数f(x)为偶函数，且在(0，＋∞)上单调递增，∵f(x)＝x－1为奇函数，f(x)＝2x＋1非奇非偶，f(x)＝cosx为周期函数，且在(0，＋∞)上不单调，∴A，C，D项均不正确，只有f(x)＝log2|x|为偶函数，且在(0，＋∞)上递增.3.(2021·南昌四校联考)已知函数f(x)＝3x－2cosx，若a＝f(3eq\r(2))，b＝f(2)，c＝f(log27)，则a，b，c的大小关系是()A.a<b<c B.c<a<bC.b<a<c D.b<c<a答案D解析对f(x)＝3x－2cosx求导得f′(x)＝3＋2sinx，则有f′(x)＝3＋2sinx>0在R上恒成立，则f(x)在R上为增函数.又2＝log24<log27<3<3eq\r(2)，所以b<c<a.4.若函数y＝eq\f(2－x,x＋1)，x∈(m，n]的最小值为0，则m的取值范围是()A.(1，2) B.(－1，2)C.[1，2) D.[－1，2)答案D解析函数y＝eq\f(2－x,x＋1)＝eq\f(3－（x＋1）,x＋1)＝eq\f(3,x＋1)－1在区间(－1，＋∞)上是减函数，且f(2)＝0，所以n＝2.根据题意，x∈(m，n]时，ymin＝0.∴m的取值范围是[－1，2).5.已知函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋（4a－3）x＋3a，x<0，,loga（x＋1）＋1，x≥0))(a>0且a≠1)在R上单调递减，则a的取值范围是()A.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，1)) B.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4))) D.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,3)))答案C解析由分段函数f(x)在R上单调递减，可得0<a<1，根据二次函数图象及性质，可得－eq\f(4a－3,2)≥0，解得a≤eq\f(3,4)，又由3a≥loga(0＋1)＋1得3a≥1，解得a≥eq\f(1,3).∴实数a的取值范围是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(3,4))).6.定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x，2x－3，6－x}，则M的最小值是()A.2 B.3 C.4 D.6答案C解析画出函数M＝max{2x，2x－3，6－x}的图象(如图)，由图可知，函数M在A(2，4)处取得最小值22＝6－2＝4，故M的最小值为4.二、填空题7.若函数f(x)＝ex－e－x，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0的解集为________.答案eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞))解析由f(－x)＝－f(x)，知f(x)＝ex－e－x为奇函数，又易证在定义域R上，f(x)是增函数，则不等式f(2x＋1)＋f(x－2)>0等价于f(2x＋1)>－f(x－2)＝f(－x＋2)，则2x＋1>－x＋2，即x>eq\f(1,3)，故不等式的解集为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，＋∞)).8.函数y＝|x|(1－x)的单调递增区间是________.答案eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))解析y＝|x|(1－x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（1－x），x≥0，,－x（1－x），x<0))＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x2＋x，x≥0，,x2－x，x<0，))函数的大致图象如图所示.由图易知函数的单调递增区间是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2))).9.(2021·山东师大附中调研)已知函数f(x)＝e|x－a|(a为常数)，若f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________.答案(－∞，1]解析f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(ex－a，x≥a，,ea－x，x<a，))当x≥a时，f(x)单调递增，当x<a时，f(x)单调递减，又f(x)在[1，＋∞)上是增函数，所以a≤1.三、解答题10.函数f(x)＝loga(1－x)＋loga(x＋3)(0<a<1).(1)求方程f(x)＝0的解；(2)若函数f(x)的最小值为－1，求a的值.解(1)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(1－x>0，,x＋3>0))得－3<x<1.∴f(x)的定义域为(－3，1).则f(x)＝loga(－x2－2x＋3)，x∈(－3，1)，令f(x)＝0，得－x2－2x＋3＝1，解得x＝－1－eq\r(3)或x＝－1＋eq\r(3)，经检验，均满足原方程成立.故f(x)＝0的解为x＝－1±eq\r(3).(2)由(1)得f(x)＝loga[－(x＋1)2＋4]，x∈(－3，1)，由于0<－(x＋1)2＋4≤4，且a∈(0，1)，∴loga[－(x＋1)2＋4]≥loga4，由题意可得loga4＝－1，解得a＝eq\f(1,4)，满足条件.所以a的值为eq\f(1,4).11.已知函数f(x)＝a－eq\f(2,2x＋1).(1)求f(0)；(2)探究f(x)的单调性，并证明你的结论；(3)若f(x)为奇函数，求满足f(ax)<f(2)的x的取值范围.解(1)f(0)＝a－eq\f(2,20＋1)＝a－1.(2)f(x)在R上单调递增.证明如下：∵f(x)的定义域为R，∴任取x1，x2∈R，且x1<x2，则f(x1)－f(x2)＝a－eq\f(2,2x1＋1)－a＋eq\f(2,2x2＋1)＝eq\f(2·（2x1－2x2）,（1＋2x1）（1＋2x2）)，∵y＝2x在R上单调递增且x1<x2，∴0<2x1<2x2，∴2x1－2x2<0，2x1＋1>0，2x2＋1>0.∴f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)<f(x2).∴f(x)在R上单调递增.(3)∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，即a－eq\f(2,2－x＋1)＝－a＋eq\f(2,2x＋1)，解得a＝1.∴f(ax)<f(2)，即为f(x)<f(2)，又∵f(x)在R上单调递增，∴x<2.∴x的取值范围是(－∞，2).B级能力提升12.(多选题)(2021·长沙调研)函数f(x)的定义域为D，对给定的正数k，若存在闭区间[a，b]⊆D，使得函数f(x)满足：①f(x)在[a，b]内是单调函数；②f(x)在[a，b]上的值域为[ka，kb]，则称区间[a，b]为y＝f(x)的k级“理想区间”.下列结论正确的是()A.函数f(x)＝x2存在1级“理想区间”B.函数f(x)＝ex不存