湘教版七年级数学下册压轴题攻略：平方差公式与完全平方公式 压轴题八种模型（原卷版）

专题06平方差公式与完全平方公式压轴题八种模型全攻略

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目录

【典型例题】.............................................................................1

【考点一判断是否可用平方差公式运算】.....................................................1

【考点二运用平方差公式进行运算】........................................................2

【考点三运用完全平方公式进行运算】.......................................................2

【考点四利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算】......................................3

【考点五通过对完全平方公式变形求值】.....................................................3

【考点六求完全平方式中的字母系数】.......................................................4

【考点七平方差公式与几何图形】..........................................................4

【考点八完全平方公式与几何图形】........................................................6

——S1【过关检测】..........................................................................8

【典型例题】

【考点一判断是否可用平方差公式运算】

例题：（2024上•福建泉州•八年级统考期末）下列各式中不能用平方差公式进行计算的是（）

A.B.(b+a)[a-b)C.(a-\-2b)(b-2a)D.+

【变式训练】

1.（2024上•湖南衡阳,八年级统考期末）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）

A.(2x-y)(2x+_y)B.(-x+y)(x-y)

C.[b-a)[b+a)D.(x-y)(-y-x)

2.（2024上•陕西延安•八年级统考期末）在下列计算中，不能用平方差公式计算的是（）

A.(m-n)(m+n)B.(/-y3)(x3+j3)

C.(-a-b){a+b)D.(2x+y)(y-2x)

【考点二运用平方差公式进行运算】

例题：（2023•上海•七年级假期作业）计算：

⑴（）；⑵；

3x+5/3x-5+(3)(2x+y)(2x-y).

【变式训练】

1.(2024下•全国•七年级假期作业)计算：

⑴+(2)(m+7i)(m-«)；

(3)(0.1-x)(0.1+x)；(4)(x+j)(-y+x).

2.（2023上•八年级课时练习）计算:

⑴（5/—3〃）（5根+3〃）；(2)(-2a2+5Z?)(-2a2-5Z,)；

(4)(-3j-4x)(3j-4x).

【考点三运用完全平方公式进行运算】

例题：（2023上,八年级课时练习）计算：

⑴（）（）（］；

2°-36\2^x-2y(3)(4/-36)2；(4)(x-l)2-%2.

【变式训练】

1.（2023上•八年级课时练习）计算：

22^a-3bv^3b-^a

⑴（3a一6）:（2）（-x-j）；(3)

2.（2023上•天津和平•八年级天津市第二南开中学校考开学考试）运用乘法公式计算:

(1)(X+J+1)(X+J-1)⑵(a+26-1)2

【考点四利用平方差公式与完全平方公式进行简便运算】

例题：(2023下•陕西西安•七年级校考阶段练习)求值：

(1)20202-2019x2021(2)20182+182-36x2018.

【变式训练】

1.(2023下•江西赣州•七年级校考阶段练习)利用乘法公式进行简便计算.

(1)1372-138X136(2)972

【考点五通过对完全平方公式变形求值】

例题：(2023上•河南南阳•八年级校联考阶段练习)已知x+y=5,个=4,求下列各式的值.

⑴(尤+“

⑵产+产

【变式训练】

1.(2023上•甘肃平凉•八年级统考期末)阅读理解：

已知。+少=5,ab=3,求〃2+匕2的值.

解:13a+6=5,

+=25,a2+lab+Z>2=25,

团aZ?=3,

^\a2+b2=(a+b)2-2ab=19,

参考上述过程解答：

⑴若x-y=_3,xy=-2.

@x2+y2=；

②求（元+y）2的值;

（2）已知x+y=7,x2+y2=25,求（x-y）2的值.

2.（2024上•甘肃定西•八年级统考期末）阅读材料：若满足（8-x）（x—6）=-3,求e-才+（*-6）2的值.

W：设8-x=a,x-6=b,则（8一%）（%—6）=仍=-3,a+b=8-x+x-6=2

所以（8_x）2+（x_6）2=+6=g+92_2仍=22_2X（_3）=]0

请仿照上例解决下面的问题：

⑴问题发现：若x满足（3—x）（x—2）=70,求：（3-尤『+（工-2）2的值.

⑵若（6-xy+（x-4）2=8,求：（6—x）（x-4）的值.

【考点六求完全平方式中的字母系数】

例题：（2023上•宁夏吴忠•八年级校考期末）如果—+区+25是一个完全平方式，那么左的值是

【变式训练】

1.（2024上•河南驻马店•八年级统考期末）若V-6x+k是x的完全平方式，贝心=

2.（2023上•全国•八年级期末）若多项式a?+1+M的结果是一个多项式的平方，则单项式〃=

【考点七平方差公式与几何图形】

例题：（2023上•吉林・八年级统考期末）探究活动:

图2

（1）如图1是边长分别为服b的正方形，可以求出阴影部分的面积是写成两数平方差的形式）

（2）如图2,若将图1中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是一.（写成多项式乘积的形式）

（3）比较图1、图2阴影部分的面积，可以得到等式：

知识应用:

①计算：(x+3y)(x-3y)(x2+9y2)；

②计算998x1002

【变式训练】

1.（2022上•湖南衡阳•八年级衡阳市外国语学校校考阶段练习）实践与探索：如图1,在边长为。的大正方

形里挖去一个边长为6的小正方形，再把图1中的剩余部分（阴影部分）拼成一个长方形（如图2所示）.

b

图1图2

⑴上述操作能验证的等式是：（请选择正确的一个）

A.a2—b2=(«+/?)(«—Z?)

B.a"—2ab+=(a—b)

C.a2+ab=a^a+b)

（2）请应用这个等式完成下列各题：

①已知4/-/J?=24,2a+b=6,贝!|2。-6=.

②计算：（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）（216+1）（232+1）.

2.（2023上•河南南阳•八年级统考期中）我国著名数学家华罗庚说过"数缺形时少直观，形缺数时难入微;

数形结合百般好，隔离分家万事休".请你利用数形结合的思想解决以下数学问题.

从边长为。的正方形减掉一个边长为b的正方形（如图1）,然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）.

图1图2

⑴通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证的一个等式是

(2)若9/一16y2=30,3尤+4y=6,求3x-4y的值.

⑶计算焉］的值是

【考点八完全平方公式与几何图形】

例题：现有长与宽分别为a、6的小长方形若干个，用两个这样的小长方形，拼成如图1的图形，用四个相

同的小长方形拼成图2的图形，请认真观察图形，解答下列问题:

⑴根据图中条件，请写出图1和图2所验证的关于“、b的关系式：（用。、b的代数式表示出来）;

图1表示：；图2表示：；

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

（2）若x+y=8,尤2+y2=40,贝lj（x-y）2=；孙=；

（3）如图3,点C是线段A5上的一点，以AC,3c为边向两边作正方形，设4?=7,两正方形的面积和

H+S2=16,求图中阴影部分面积.

【变式训练】

1.将完全平方公式(。±6)2=。2±2岫+〃进行适当的变形，可以解决很多的数学问题，例如：若。+匕=3,

ab=\,求"+廿的值.

解：因为。+6=3,所以(a+6)2=9,BPa1+?.ab+b2=9-

又因为。。=1,所以〃2+62=7.

根据上面的解题思路与方法，解决下列问题：

⑴若x+y=8,x2+y2=40,则孙=_；

(2)若尤-y=6,xy=5,求f+,2的值;

(3)两个正方形ABC"AEFG如图摆放，面积和为34,BG=8,则图中阴影部分面积和为

2.如图①，正方形A3CD是由两个长为人宽为6的长方形和两个边长分别为。、6的正方形拼成的.

图①

⑴利用正方形ABCD面积的不同表示方法，直接写出S+4、4+〃、通之间的关系式，这个关系式是.

⑵若相满足(2024-机y+("-2023)2=4047,请利用(1)中的数量关系，求(2024—〃*〃?—2023)的值;

⑶若将正方形EFGH的边FG、G”分别与图①中的PG、MG重叠，如图②所示，已知P尸=8,NH=32,

求图中阴影部分的面积（结果必须是一个具体数值）.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023下•辽宁朝阳•七年级校考期中）下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）

A.（Tx+3y）（4尤+3y）B.（4x-3y）（3y—4x）

C.（Tx+3y）（Tx—3y）D.（4x+3y）（4x-3y）

2.（2023下•河北唐山•七年级统考期末）如果（3x+y）（）=9/-则括号内的多项式为（）

A.3x+yB.3x-yC.-3x-yD.-3x+y

3.（2024上•湖北襄阳•八年级统考期末）若代数式—6。+〃=（。—3）~+1,则”=（）

A.-10B.9C.10D.-9

4.（2023上•广东汕头•九年级汕头市澄海中学校考阶段练习）若M=2/-12x+15,N=x2-8x+U,则M

与N的大小关系为（）

A.M>NB.M<NC.M=ND.不能确定

5.（2023上•四川宜宾•八年级四川省宜宾市第二中学校校考阶段练习）诚诚同学在课外实践活动中，利用大

小不等的两个正方形纸板42进行拼接（重组）探究，已知纸板A与2的面积之和为52,如图所示，现

将纸板B按甲方式放在纸板A的内部，阴影部分的面积为9,若将纸板A,8按乙方式并列放置后，构造新

的正方形，则阴影部分的面积为（）

A.40C.44D.45

二、填空题

6.（山西省大同市2023-2024学年八年级上学期期末数学试题）计算：（2a+3顼2〃-3外=.

7.（2023上•河南商丘•八年级校考阶段练习）若V+GTI-DX+I可以用完全平方公因式分解，则〃?=.

8.（2024上•福建泉州•八年级统考期末）已知〃-62=14,a+b=2,贝.

^ab23

9.（2021上•河南郑州•七年级校考期中）我们定义=ad-bc,例如/<=2x5—3x4=10—12=—2.如

ca45

果X、y均为有理数，并且满足3一：=0,那么x+y的值为.

y-3x-1

10.（2024上•北京丰台•八年级统考期末）如图，有边长分别为。，可。>为的A型和B型正方形纸片，长为

。、宽为6的C型长方形纸片若干张、1张A型纸片、1张8型纸片和2张C型纸片可以无缝隙、不重叠地

拼成一个正方形，则这个正方形的边长为（用含。，6的式子表示）.

b

A型B型

三、解答题

11.（2024上•湖北恩施•八年级统考期末）计算:

(1)/,a**a+

(2)(x+2y)(x-y)-(x+y)2

12.（2024上•辽宁•八年级统考期末）（1）（24-l）（a-4）；

（2）（2x+3y）2—（2x+y）（2x—.

13.（2023下•江苏•七年级专题练习）先化简，再求值：（%+、）（%—日—（％—封2—N元一2'），其中％=—逅，

2020

y=.

2021

14.（2023下,山东青岛•七年级校考期末）计算：

⑴利用整式乘法公式计算：103x97；

（2）先化简，再求值：2Z?2+（a+Z?）（a—/?）—（a—Z?）2,其中。=—3,.

15.（2023上•云南昆明•八年级校考期中）（1）简便计算：2024x2022-2023"

（2）先化简再求值：（x-3y『+（3x+y）（3x-y）-5（2f-个），其中x=T,j=-|.

16.（2023上•全国•八年级课堂例题）利用乘法公式简化运算：

⑴（a+26+c）2；

⑵（x-2y+3z）（x+2y-3z）.

17.（2024上•陕西汉中•八年级统考期末）如图是一块长（2。+36）米，宽（2。+26）米的长方形地块，市发改

委计划在阴影部分铺设塑胶跑道，中间修建一个边长为（2a+6）米的正方形足球场地.

⑴塑胶跑道的面积是多少平方米？(用含。，b的代数式表示)

(2)当a=40,6=20时，求塑胶跑道的面积.

18.(2023上•吉林长春•八年级统考期末)下面是小明同学化简求值的过程，请你认真阅读并完成相应的任

务.

,2

先化简，再求值：2(x+l)-x(x-l)-(x+l)(x-l),其中x=-y.

解：原式=+2x+l)—x?+x—_])第_.步

=2x2+4尤+2-》2+X—彳2-1.....第二步

=5尤+1.....