一元二次函数、方程和不等式（单元重点综合测试）-2024-2025学年高一数学专项复习（人教版必修第一册）

第二章一元二次函数、方程和不等式

章节验收测评卷

（考试时间：150分钟试卷满分：150分）

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要

求的.

1.（23-24高二下•浙江温州•期末）下列命题为真命题的是（）

A.若a>8>0,则。<?>儿2B.若a>A>0,则a?>6?

C.若。<6<0,则D.若a<6<0,贝

ab

【答案】B

【分析】取c=0,可判断A；作差法比较数的大小可判断B；由不等式性质可判断C；作差法比较数

的大小可判断D.

【详解】对于A：当c=O时，显然不成立，故A错误；

对于B：因为a'-6、=（a+Z>）（a-6）>0,所以片〉尸,故B正确;

对于C：因为a</?<0,所以a?>ab,故C错误；

对于D：因为1-!==>0,所以故D错误.

ababab

故选：B.

2.（23-24高一上•吉林延边•阶段练习）不等式9-12xK-4f的解集为（）

A.RB.0C.|x|x=|jD.

【答案】C

【分析】利用一元二次不等式的解法直接求解即可.

【详解】由9一12元W-4尤2,得4--12彳+940,

3

得（2X-3）2<0,解得X=S，

所以不等式的解集为1x|x=|1,

故选：C

3.（23-24高一上•云南大理・期末）不等式V一工+420的解集为R,则实数。的取值范围是（）

A.a>—B.a>--C.a<—D.a^~~

4444

【答案】A

【分析】判别式小于等于零解出a的范围即可.

【详解】因为不等式V-X+.NO的解集为R,

所以判别式△=1一4。<0,解得a

4

故选：A.

4

4.（21-22高二下•山东威海•期末）Vx>O,6Z<x+—；成立的充分不必要条件是（）

x+1

A.a<2B.a<3C.a<4D.a<5

【答案】A

【分析】利用基本均值不等式求最值再结合充分必要条件与集合之间的关系即可求解.

44/4-4

【详解】因为％>0,x+——=x+l+-------1>2（X+1）----------1=3,当且仅当冗+1=—时去等号，

X+lX+lA7x+1X+1

即X=1时取等号；

4

所以使得Vx>0,〃0%+—；的充要条件为a«3,而充分不要条件应该为aW3的真子集，所以应选

x+l

a<2.

故选：A

5.（23-24高一上•陕西渭南•期末）己知不等式依2+a+2>0的解集为{尤I无<一2或了>-1},则不等式

2x?+fov+a<0的解集为（）

A.B.{x[x<-l或x>；}C.,工一1<尤<-；}D.{x\x<-2

或x>l}

【答案】C

【分析】

根据给定的解集求出a,b,再解一元二次不等式即得.

【详解】由不等式依2+如+2>0的解集为{xb<-2或无>-1},

得-2,-1是方程加+法+2=0的两个根，且a>0,

b7.

因此—2+（—1）=—,且—2x（-1）=—,解得a=l,Z?=3,

aa

不等式2光之+法+々v0化为：2x2+3x+1<0,解得一1〈元〈一],

所以不等式2龙之+Zzx+a<0为[x\-l<x<-^}.

故选：C

6.（23-24高一上•河南驻马店•阶段练习）对于实数x,规定国表示不大于九的最大整数，例

[1.1]=1,[3.8]=3,[-2.3]=-3,[5]=5,那么使得不等式-6国2+5国+21>。成立的工的取值范围是（）

A.-2<x<3B.-l<x<3C.—l<x<2D.—1Wx<3

【答案】D

【分析】由不等式-6[xf+5[x]+21>0解得区的范围，然后根据印的定义求出x的范围.

【详解】由题得6[#一5[幻一21<0,即（2[划+3）（3[幻—7）<0,

37

解得一5<口1<§，贝1J-1W尤<3.

故选：D.

7.（23-24高一上•吉林延边•阶段练习）已知x>0,y>0,且x+y=2.若4x+l-相冲2。恒成立，则

实数加的最大值是（）

A.4B.8C.3D.6

【答案】A

【分析】借助基本不等式中“1”的妙用计算即可得.

■y八t,4x+l8x+28%+x+y91

【详解】由4x+l-f2。，则人荔―可T==E+“

9xy）

191（x1f199x>1i5+2

——十—（x+，）=5—+—+一+=4,

212y2x222ylx212y2x,

9rvia

当且仅当h==,即1=y时，等号成立.

2y2x22

故选：A.

8.（23-24高一上•江苏盐城•期中）若关于1的不等式（办-琰v£恰有两个整数解，则实数〃的取值范

围是（）

3,4T4,3

A.--<a<-—^—<a<—B.——<a<——或一VQ<一

23322332

3,4T4,3c3,4T43

C.——<a<——或一<Q4一D.——<a<——或一Ka<—

23322332

【答案】B

【分析】对二次不等式作差，利用平方差因式分解，分析集合的端点范围，结合不等式恰有两个整数

解求另一端点的范围，从而得到实数〃的取值范围.

【详解】由（办-1）2<尤2恰有两个整数解，即尤-1]<0恰有两个整数解,

所以（。+1）（。-1）>0,解得°>1或a<—1,

□当”>1时，不等式的解集为（义,」],因为工

+la-1）Q+1I2）

143

所以两个整数解1,2,则2<--<3,即2a—2<lW3a—3,

a-132

□当av—1时，不等式的解集为I」-;,--;],因为」

+la-1）a-1\2J

134

所以两个整数解一L—2,贝IJ—3W——<-2,即一2〃一2<1W—3。一3,解得一一<〃（一一，

Q+123

综上所述，实数。的取值范3围为4:或43

2332

故选：B.

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部

选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.（23-24高一上•安徽安庆•阶段练习）已知〃，b,ceR,则下列结论中正确的有（）

A.若ac1>be1,则>

B.若。<A<0,则/>ab

C.若。>a>Z?>0,贝!J&<.

c-ac-b

D.若a>b>0,贝!

ab

【答案】ABD

【分析】根据不等性质分别判断各选项.

【详解】对于A：因为〃。2>儿2,所以。2>0，所以♦>>，故A正确；

对于B：因为所以—a>—b>0>两边同乘以一a得（―。）〉（—"）（—"）'即/>ab，故B正确;

对于C：因为。>々>人>0,所以所以--—>—^->0,

c-ac-b

又a>6>0,两式相乘得故C错误；

对于D：（<?-工]-（6-,]=（“-6）+（,-4],因为a>8>0,所以7-->0,所以

<a）\bj\baJbaba

（a-&）+|y--|>0,即故D正确；

\baJab

故选：ABD.

10.（23-24高一上•福建漳州•期末）已知a>0,b>0,且a+2b=2,贝U（）

A.仍的最大值为:IB.上1+2[的最小值为《9

4ab2

C.4+4/的最小值为2D.（。+29+2）的最大值为8

【答案】BC

【分析】A选项，利用基本不等式直接进行求解；B选项，利用基本不等式“1”的妙用求出最值；C选

项，。+26=2两边平方后，利用基本不等式求出答案；D选项，变形得至1」（。+2）（6+2）=8-2〃<8,D错

、口

陕.

【详解】A选项，因为。>0,力>。，由基本不等式得Q+2Z?之

即abvg,故A错误；

B选项，因为a>0,b>0,

在N122丫。八1。ab、5n[^~b9

abyab）\2）2ba2yba2

当且仅当f=即。=6=3时，等号成立，

ba3

故上1+■?的最小值为9:，B正确；

ab2

C选项，。+2/?=2两边平方得a?+4〃8+4〃2=4,

4M=4-（片+4廿），其中4浦V/+4/,

当且仅当a=2/?,即。=1,6=1时，等号成立，

2

故4-（。2+4/）<。2+4/，解得M+止22,

/+4。2的最小值为2,C正确；

D选项，因为a+26=2,a>Q,b>0,

所以（°+2乂1+2）=（2—2&+2）9+2）=8—»<8,

故D错误.

故选：BC

11.（2024高一上•全国・专题练习）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾

中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法:

如图（1）,用对角线将长和宽分别为6和。的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接

正方形（黄）和两个小直角三角形（朱、青）.将三种颜色的图形进行重组，得到如图（2）所示的矩形,

该矩形长为。+6,宽为内接正方形的边长d.由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图（3）,设

。为斜边5C的中点，作直角三角形/2C的内接正方形的对角线/E,过点/作A/IBC于点尸，则下列推

A.由题图（1）和题图（2）面积相等得d=2勺

a+b

B.由AENAF可得N”2

V22

22

la+b>2

C.由ADNAE可得1-2—―f

ab

D.由452AF可得2206

【答案】BCD

【分析】根据题图（1）,（2）面积相等，可求得1的表达式，从而判断A选项的正误，由题意可求

得题图（3）中AO,AE,AF的表达式，逐一分析B,C,D选项，即可得答案.

【详解】对于A,由题图（1）,（2）面积相等得S=H=（a+6）xd,所以［=吟，故A错误.

对于B,因为AF13C,所以—><」=儿，+6"一,所以AF=J”,,

22sla2+b2

设题图（3）中内接正方形的边长为3根据三角形相似可得"=：,解得，二々，所以

aba+b

AE=&二H

a+b

因为AENAF,所以在华21他,整理可得严乙、也，故B正确.

a+by］a2+b2V22

对于C,因为。为斜边BC的中点，所以=土己

2

因为ADNAE,所以"厂+”2史艺

2a+b

对于D,因为AD之AF,所以、医生上I帅整理得6+从22",故D正确.

V2址+修

故选：BCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.（23-24高一•全国•课堂例题）不等式—20的解集是—

x-4

【答案］">4或』2}.

【分析】分式不等式等价转化为整式不等式，结合二次不等式的解法求解集.

【详解】原不等式等价于卜：2），一4"。

%—4。0,

解得元〉4或x«-2,

故不等式的解集是{小>4或xW-2}.

故答案为：{x|x>4或xV—2}

13.（23-24高一上•河南开封•期末）若命题：“XeR,4d-2了+加<0”为假命题，则实数机的取值范

围为.

【答案】T

4

【分析】将问题转化为4尤2—2尤+加20恒成立问题，从而得解.

【详解】因为命题：44GR,4——2%+机v0”为假命题，

所以“VXER,4X2—2x+m>0,5为真命题，即4/—2%+mNO怛成立，

,1

所以A=（—2）-4x4m<0,解得加之

故实数机的取值范围为根NJ.

4

故答案为：m-~i-

14.（22-23高一上•湖北咸宁咱主招生）二次函数y=/+6x的图象如图，对称轴为直线x=l,若

1

关于x的一元二次方程x+bx-t=O（/为实数）在的范围内有解，则，的取值范围

是.

【分析】根据对称轴求出6的值，从而得到x=T,4时的函数值，再根据一元二次方程/+法7=0a

为实数）在T<x<4的范围内有解相当于y=/+bx与y=t在-l<x<4内有交点，依此求解即可得出结论.

b

【详解】1对称轴为直线》=-二=1,

2x1

b——2,

□二次函数解析式为y=x2-2x.

当x=_］时，y=1+2=3；当工=4时，y=16-2x4=8；当x=l时，j=l-2=-l.

因为方程x2+bx-t=O的根为y=^+bx图象与直线y=t的交点的横坐标，

□当-14<8时，在的范围内有解.

故答案为：TVr<8.

四、解答题：本题共5小题，其中第15题13分，第16,17题15分，第18,19题17分，共77分.解答应

写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(23-24高一上•江苏南通・期中)解下列不等式并将结果写成集合的形式:

⑴-f+2x+3>0;

2%-1

⑵>0.

x+3

【答案】⑴只一1<%<3}

(2){x|x>g或x<-3}

【分析】(1)应用一元二次不等式的解法求解；(2)应用分式不等式的求法求解.

【详解】(1)由一尤2+2X+3>0，得/一2*-3<0,

gp(x+l)(x-3)<0,解得—l<x<3,

则其解集为{x|-l<x<3}.

2x-l1(2尤-l)(x+3)>01

(2)由*>0,得。:，解得或x<-3,

尤+3[x+3/O2

则其解集为{x|x>g或无<-3}.

16.(23-24高一上・江西宜春•阶段练习)(1)比较(a-2)(a-6)和(4-3)(°-5)的大小；

X

(2)已知2vxv3,2<y<3,求％+2y和一的取值范围；

y

(3)已知炉+2以+120在R上恒成立.求〃的取值范围.

2x3

【答案】(1)(tz-2)(di-6)<(a-3)(^-5)；(2)6<x+2y<9；-<—<-；(3)-l<a<l.

【分析】(1)作差法比较大小即可；

(2)应用不等式性质判断大小关系；

(3)由一元二次不等式恒成立有AK0,即可求参数范围.

【详解】(1)因为(Q—2)(〃一6)—(a—3)(〃-5)=(/—8a+12)—(a?—8Q+15)=—3v0,

所以(a—2乂〃—6)<(a—3乂〃—5)；

(2)由2V%<3,2<y<3,贝|4<2y<6,故6<%+2y<9；

「1112x3

又§W故It

(3)由题意A=4/—4«0n—

17.(23-24高一上•陕西西安•期末)求下列式子的最小值.

4

(1)已知x〉2,求----+x；

x-2

(2)已知％>0,y>0,且1+,=1,求％+y的最小值.

%y

【答案】(1)6

⑵4

44

【分析】(1)根据题意，化简得到一-+%=--+x-2)+2,结合基本不等式，即可求解;

x-2尤-2'7

⑵根据题意，化简得到x+y=(x+y)d+L)=2+'+2,结合基本不等式，即可求解.

【详解】(1)解：由x〉2,可得％-2>0,

44)

则—+x=-+(一)+222.-^■(x-2+2=6,

当且仅当\4=苫-2时，即x=4时，等号成立，所以4」7+尤的最小值为6；

x-2x-2

(2)解：由x>0,y>0,且工+1=1,

xy

贝IJx+y=(x+y)(L+L)=2+2+2Z2+2jl.±=4,

xyxy\xy

yx

当且仅当2=一时，即％=y=2时，等号成立，所以九+y的最小值为4.

%y

18.(23-24高一上•浙江杭州•期中)为了丰富学生的课余生活、给学生更好的校园生活体验，某高中

决定扩大学校规模，为学生打造一所花园式的校园.学校决定在原有的矩形花园ABCD的基础上，拓展建

成一个更大的矩形花园AMPN.为了方便施工，建造时要求点5在AM上，点。在AN上，且对角线过

点C,如图所示.已知AB=30m,AD=20m.

NP

D

ABM

(1)当DN的长度为多少时，矩形4W/W的面积最小？并求出最小面积.

(2)要使矩形AMPN的面积大于3200x1?，则DN的长应在什么范围内？

【答案】(l)DN=20m时，矩形AMPN的面积最小，最小面积2400m2

20

(2)0<x<—^x>60,

【分析】(1)设出。N的长为x(x>0)m,则AN=(x+20)m,表示出矩形面积的解析式，利用不等

式求解;

(2)化简矩形面积，利用基本不等式求解.

【详解】(1)设出ON的长为x(x>0)m,则4V=(x+20)m,AB=30m,AD=20m

NDCD30(x+20)

•/CD!/AM,，AM=—-------L

ANAMx

2

Lmm”“"“附而中。30(X+20)30X+1200X+12000”12000小

口矩形AMPN的面积S=(x+20)——--------=----------------------------=30x+--------+1200(x>0),

由基本不等式得：30x+担S+1200>2130x.坦”+1200=2400，

XVX

当且仅当30%=坦80%=20时，取.■.当％=20,即DN=20m时，5min=2400m2；

30x2+1200x4-12000

(2)由(1)得>3200,即3x2-200A:+1200>0,

X

（%-60）（3x-20）＞0,

20、

0＜x＜—或x＞60,

3

20

:.DN的范围在0＜x＜可或%＞60,

19.（23-24高一上•上海浦东新•阶段练习）对在直角坐标系的第一象限内的任意两点（。力），（c,d）作

如下定义:，那么称点（。力）是点（C,d）的“上位点”，同时点（c,d）是点（。,6）的“下位点”.

（1）试写出点（3,5）的一个“上位点”坐标和一个“下位点”坐标；

（2）设。、3、。、d均为正数,且点（。⑼是点（G。的上位点,请判断