一次函数的应用压轴题四种模型全攻略（解析版）

专题21一次函数的应用压轴题四种模型全攻略

'丁工【考点导航】

目录

【典型例题】............................................................................1

【考点——次函数的应用一一分配方案问题】................................................1

【考点二一次函数的应用一一最大利润问题】................................................5

【考点三一次函数的应用一一行程问题】....................................................8

【考点四一次函数的应用一一几何问题】...................................................12

【过关检测】.........................................................................15

【典型例题】

【考点——次函数的应用一一分配方案问题】

例题（2023春•云南临沧•八年级统考期末）为全面推进乡村振兴，某省实行城市援助乡镇的政策•该省的/

市有120吨物资，B市有130吨物资•经过调研发现该省的甲乡需要140吨物资，乙乡需要110吨物资•于是决

定由/、8两市负责援助甲、乙两乡、已知从N市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为300元/吨、150元/

吨，从8市往甲、乙两乡运送物资的运费分别为200元/吨、100元/吨.

⑴设从《市往甲乡运送x吨物资，从/、8两市向甲、乙两乡运送物资的总运费为了元，求了与x的函数解

析式.

⑵请设计运费最低的运送方案，并求出最低运费.

【答案】（l）^=50^+45000（10<x<120）；

⑵见解析

【分析】Q）根据A市的120吨物资运往甲乡x吨，运往乙乡（120-x）吨，B市的130吨物资运往甲乡（140-x）

吨，运往乙乡（110-120+x）吨的费用求和，即可确定了与x的函数关系式；

（2）根据一次函数的性质即可确定运费最低的运送方案和最低运费.

【详解】(1)解：由题意可得，y=300x+150(120-x)+200(140-x)+100(110-120+x)=50x+45000,

x>0,120-x>0,140-x>0,110-120+x>0,

.”的取值范围是10JW120,

•••V与X的函数解析式为>=50x+45000(104x4120)；

(2)•■-50>0,

・.J随着x增大而增大，

当x=10时，了取得最小值，最小值为50x10+45000=45500(元)，

此时从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从8市往甲乡运送130吨物资物资，从8

市往乙乡运送0吨物资，

答：运费最低的运送方案是：从A市往甲乡运送10吨物资，从A市往乙乡运送110吨物资，从B市往甲乡运

送130吨物资物资，从8市往乙乡运送0吨物资，最低运费为45500元.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，根据题意建立一次函数关系式是解题的关键.

【变式训练】

1.(2023春•河南郑州•八年级河南省实验中学校考期中)4月23日是"世界读书日"，某书店在这一天举行了

购书优惠活动，有两种优惠方案可以选择：

方案一：享受当天购书按标价总额8折的普通优惠；

方案二：50元购买一张“书香城市纪念卡”，当天凭卡购书，享受标价总额在普通优惠的基础上再打7.5折的

优惠.

设小明当天购书标价总额为x(x>50)元，方案一应付弘元，方案二应付外元.

⑴当尤=150时，请通过计算说明选择哪种购书方案更划算；

⑵直接写出3%与x的函数关系式；

⑶小明如何选择购书方案才更划算？

【答案】⑴小明用方案一购书更划算；计算见解析；

⑵必=0.5x,y2=0.6x+50；

⑶见解析.

【分析】(1)当X=150时，根据方案一和方案二计算出实际花费，然后比较即可；

(2)根据题意给出的等量关系即可求出答案；

（3）根据y关于x的函数解析式，求出两种方案所需费用相同时的书本数量，从而可判断哪家书店省钱.

【详解】（1）解：当x=150时，

方案一：150x0.8=120（元），

方案二：50+150x0.8x0.75=50+90=140（元），

•1•120<140,

••・小明用方案一购书更划算；

（2）解：由题意得：方案一：必=0.8x；

方案二：%=50+0.8*0.75x=0.6x+50；

・••必与x的函数关系式为必=0.8x；%与x的函数关系式为%=0-6X+50；

（3）解:当%>为时，即0.8x>0.6x+50,

解得x>250；

当必时，§P0.8x<0.6x+50,

解得x<250；

当必=为时，即0.8x=0.6x+50,

解得x=250.

.•.当x<250时，方案一更划算，当x>250时，方案二更划算，当x=250时，方案一和方案二一样划算.

【点睛】本题考查一次函数的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系，本题属于基础题型.

2.（2023春•河南南阳•八年级统考阶段练习）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方

案如下.

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按六折优惠；

方案二：不购买学生暑期专享卡，每次健身费用按八折优惠.

设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为必（元），且+按照方案二所需费用为必

（元），且上=鱼立其函数图象如图所示.

⑴求左i和6的值，并说明它们的实际意义；

⑵求打折前的每次健身费用和质的值；

⑶八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身7次，应选择哪种方案所需费用更少？请说明理由.

【答案】（1）后的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元.6的实际意义是：每张学生暑期专享卡的

价格为30元

⑵打折前的每次健身费用为25（元），e=20

⑶选择方案一所需费用更少.理由见解析

【分析】⑴直接根据函数的图象结合实际意义进行解答；

⑵根据方案一打折后每次健身费用是15元，因为是打六折，故可求打折前的费用；然后根据方案二再打八

折即可求得后；

⑶根据（1）（2）即可得到%=左》+6,%=&x,当必=%时，解得：x=6.即可得到答案.

【详解】（1）解：必=/x+6的图象过点（0,30）和点（10,180）,

J30=6,J左=15,

'[180=10/+6「1b=30..

自的实际意义是：打六折后的每次健身费用为15元.

b的实际意义是：每张学生暑期专享卡的价格为30元.

（2）打折前的每次健身费用为15+0.6=25（元）

k2=25x0.8=20.

（3）选择方案一所需费用更少.理由如下：

由（1）知左=15,6=30,

弘=15x+30.

由（2）知仅=20,

y2=2Ox.

当时,15x+30=20x,解得：x=6.

结合函数图象可知，小华暑期前往该俱乐部健身7次，选择方案一所需费用更少.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，看懂图象，理解题意，理解两种优惠方案之间的关键是解题的关

键.

【考点二一次函数的应用一一最大利润问题】

例题(2023春•贵州黔南•八年级统考期末)某地允许市场经营主体在规范有序的条件下，采取‘店铺外摆”"露

天市场”方式进行销售.个体业主小王响应号召，采取“店铺外摆"方式销售甲、乙两种特价商品，两种商品

的进价与售价如表所示：

甲商品乙商品

进价(元/件)4010

售价(元/件)5015

小王计划购进甲、乙两种商品共100件进行销售，设小王购进甲商品x件，甲、乙两种商品全部销售完后

获得的利润为y元.

⑴求出夕与x之间的函数关系式；

⑵若购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，当购进甲、乙两种商品各多少件时，可使得甲、乙两种

商品全部销售完后获得的利润最大？最大利润是多少？

【答案】⑴y=5x+500

(2)当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600元

【分析】(D设购进甲商品x件，则购进乙商品(100-x)件，根据题意即可列出>与x之间的函数关系式；

(2)根据购进乙商品的件数不少于甲商品件数的4倍，可得当x=20时，y取得最大值，即可求解.

【详解】(1)解：由题意可得：^=(50-40)x+(15-10)(100-^)=5x+500,

与x之间的函数关系式为y=5x+500；

(2)解：由题意，得100-x24x,解得无V20.

•・,y=5x+500,

・•・左二5〉0,

随X增大而增大，

.,.当x=20时，y的值最大，y=5x20+500=600,

此时100-20=70,

答：当购进甲种商品20件，乙种商品70件时，可使得甲、乙商品全部销售完后获得的利润最大为600

元.

【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用，明确题意，准确列出函数关系式是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023春•广西南宁•八年级校考期末）小冬在某网店选中A,8两款玩偶，决定从该网店进货并销售.两

款玩偶的进货价和销售价如表：

A款玩偶3款玩偶

进货价（元/个）2015

销售价（元/个）2820

⑴第一次小冬用550元购进了A,3两款玩偶共30个，求两款玩偶各购进多少个；

⑵第二次小冬进货时，网店规定A款玩偶进货数量不得超过8款玩偶进货数量的一半.小冬计划购进两款

玩偶共45个，应如何设计进货方案才能获得最大利润，最大利润是多少？

【答案】⑴A款玩偶购进20个，3款玩偶购进10个

⑵按照A款玩偶购进15个、8款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元

【分析】（1）根据题意和表格中的数据，可以列出相应的方程，然后求解即可；

（2）根据题意，可以写出利润与购进A款玩偶数量的函数关系式，再根据网店规定A款玩偶进货数量不得

超过3款玩偶进货数量的一半，可以得到A款玩偶数量的取值范围，然后根据一次函数的增减性分析，即

可得到答案.

【详解】（1）解:设A款玩偶购进x个，8款玩偶购进（30-x）个，

由题意得：20x+15（30-x）=550,解得：x=20,

.-.30-x=30-20=10（:个），

答：A款玩偶购进20个，8款玩偶购进10个；

（2）解：设A款玩偶购进。个，B款玩偶购进（45-a）个，获利了元，

由题意得：>=（28-20%+（2。-15）（45-。）=3。+225,

•・T款玩偶进货数量不得超过8款玩偶进货数量的一半.

a—（45—a）,解得a415,

,/y=3a+225,

由上=3>o,可知了随。的增大而增大,

...当a=15时，>最大=3xl5+225=27°(兀),

款玩偶为:45-15=30（个），

答：按照A款玩偶购进15个、B款玩偶购进30个的方案进货才能获得最大利润，最大利润是270元.

【点睛】本题考查一次函数的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函

数关系式，利用一次函数的性质求最值.

2.（2023•河南洛阳•统考二模）俄乌战争仍在继续，人们对各种军用装备倍感兴趣，某商家购进坦克模型（记

作/）和导弹（记作8）两种模型，若购进/种模型10件，8种模型5件，需要1000元；若购进/种模型

4件，2种模型3件，需要550元.

⑴求购进力,8两种模型每件分别需多少元？

⑵若销售每件N种模型可获利润20元.每件B种模型可获利润30元.商店用1万元购进模型，且购进/

种模型的数量不超过2种模型数量的8倍，设总盈利为少元，购买2种模型6件，请求出沙关于6的函数

关系式，并求出当6为何值时，销售利润最大，并求出最大值.

【答案】⑴/、2两种模型每件分别需要25元，150元

⑵卬=8000-906,购进/模型226件，2模型29件利润最大为5390元

【分析】（1）设购进48两种模型每件分别需要x元，y元，列方程组求解即可.

（2）设购买/种模型。件，购买3种模型6件，由题意列出方程组，求出6的范围，再列出少与6的函

数关系式，求最值即可.

【详解】（1）设购进/、3两种模型每件分别需要x元，y元，由题意得:

10x+5^=1000

4x+3y=550

尤=25

解得

7=150

答：/、3两种模型每件分别需要25元，150元.

（2）设购买/种模型a件，8种模型6件,

25a+1506=10000

a<Sb

解得62一

则购买4种模型为咽答丝件，即（400-66）件,

则w=20x(400-6b)+306,即w=8000-90b

v-90<0,

•••当6取最小值时总利润最大，由（2）得6为整数，

.•.当6=29时，w=8000-90x29=5390,

・•・购进/模型226件，B模型29件利润最大为5390元

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，找准数量关系,

正确列出方程组，函数关系式，不等式组是解题的关键.

【考点三一次函数的应用一一行程问题】

例题：（2023春•山东淄博•七年级统考期中）甲、乙两地相距300千米，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出

发开往乙地.如图，线段04表示货车离甲地距离M千米）与时间x（小时）之间的函数关系；折线3。表示

轿车离甲地距离y（千米）与M小时）之间的函数关系.请根据图象解答下列问题：

⑴求线段CD对应的函数解析式.

（2）货车从甲地出发后多长时间被轿车追上？此时离甲地的距离是多少千米？

⑶轿车到达乙地后，货车距乙地多少千米.

【答案】⑴线段。对应的函数解析式为＞=110xT95

⑵货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米

（3）轿车到达乙地后，货车距乙地30千米

【分析】（1）设线段。对应的函数解析式为V=h+b,由待定系数法求出其解即可；

（2）设04的解析式为方=/x,由待定系数法求出解析式，由一次函数与一元一次方程的关系建立方程求

出其解即可.

（3）先由函数图象求出货车在轿车到达乙地是时需要的时间，由路程=速度x时间就可以求出结论.

【详解】（1）解：设线段对应的函数解析式为、=区+6,由题意，得

[80=2.5左+b

1300=4.5左+b'

解得：U优-=119105-

则y=110口-195.

答：线段。对应的函数解析式为V=H0x-195；

(2)设04的解析式为春=《x,由题意，得

300=5左，

解得：左=60,

y货=60x.

,当〉=y货时,

110195=60x,

解得：x=3.9.

离甲地的距离是：3.9x60=234千米.

答：货车从甲地出发后3.9小时被轿车追上，此时离甲地的距离是234千米；

(3)由题意，得60x(5-4.5)=30千米.

答：轿车到达乙地后，货车距乙地30千米.

【点睛】本题考查了一次函数的图象的性质的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，一次函数与

一元一次方程的运用，解答时求出函数的解析式是关键.

【变式训练】

1.Q023•河北沧州•校考模拟预测)航模兴趣小组在操场上进行航模试验，甲型航模从距离地面20米处出发,

以。米/分的速度匀速上升，乙型航模从距离地面50米处同时出发，以15米/分的速度匀速上升，经过6分

钟，两架航模距离地面高度都是6米，两架航模距离地面的高度y米与时间x分钟的关系如图.两架航模都

飞行了20分钟.

⑴直接写出a、b的值；

⑵求出两架航模距离地面高度y.、（米）与飞行时间x（分钟）的函数关系式;

（3）直接写出飞行多长时间，两架航模飞行高度相差25米？

【答案】⑴"20,6=140；

⑵稀=20X+20,=15%+50；

⑶飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米

【分析】（1）利用速度、路程、时间的关系直接计算即可.

（2）根据一次函数中一次项系数和常数项的实际意义直接列函数关系式即可.

（3）令隔-%|=25,解方程得到x的值，即可得到答案.

【详解】（1）6分钟时，乙型航模距离地面高度为：50+15x6=140（米），

."=140.

a=20,b=140.

（2）由题意可得：=15x+50,

设h=b+20,把（6,140）代入得，6k+20=140,解得左=20,

二.y甲=20%+20.

（3）y甲一）乙=20%+20—（15%+50）=5%—30,

令甲—y乙|=25,

则5%一30=25,或5%-30=-25,

解得X=ll,或x=l.

答：飞行1分钟或者11分钟时，两架航模飞行高度相差25米.

【点睛】本题考查一次函数的实际应用，理解函数图象表示的意义是解题的关键.

2.（2023春•江苏淮安•九年级校考期中）如图1,甲、乙两车分别从相距480km的A、5两地相向而行，乙

车比甲车先出发1小时，并以各自的速度匀速行驶，甲车到达。地后因有事立刻按原路原速返回A地.乙车

从5地直达A地，两车同时到达A地.甲、乙两车距各自出发地的路程V（千米）与甲车出发所用的时间工

（小时）的关系如图2,结合图像信息解答下列问题：

⑴乙车的速度是_千米/时，乙车行驶一小时到达A地；

⑵求甲车从C地按原路原速返回A地的过程中，甲车距它出发地的路程了与它出发的时间x的函数关系式;

⑶求甲车出发多长时间两车相距60千米？

【答案】⑴80,6

(2)J=-120x+600

⑶甲车出发经过1.7h,2.3h,3.5h,两车相距60千米.

【分析】(1)结合题意，利用速度=路程+时间，可得乙的速度、行驶时间；

(2)找到甲车到达C地和返回A地时x与了的对应值，利用待定系数法可求出函数解析式；

(3)分三种情况，甲和乙相距前，甲和乙相距后，甲返回/地时，根据甲、乙两车相距60千米分情况讨

论即可求解.

【详解】(1),••乙车比甲车先出发1小时，由图象可知乙行驶了80千米，

二乙车速度为：80千米/时，乙车行驶全程的时间t=480-80=6(小时)；

故答案为：80,6；

(2)根据题意可知甲从出发到返回A地需5小时，

•••甲车到达C地后因立即按原路原速返回A地，

结合函数图象可知，当x=g时，)=300；当x=5时，y=0；

设甲车从C地按原路原速返回A地时，即

甲车距它出发地的路程了与它出发的时间x的函数关系式为：y=kx+b,

5—k+b=300

将(5,300),(5,0)函数关系式得：2,

2[5k+b=0

快=-120

解得：IhAnn,

[b=600

故甲车从C地按原路原速返回A地时，

甲车距它出发地的路程y与它出发的时间x的函数关系式为：y=-120%+600；

（3）由题意可知甲车的速度为：—=120（千米/时），

设甲出发经过加小时两车相距60千米，有以下三种情况：

①120加+80（加+1）+60=480,解得加=1.7

②120机+80（加+1）=480+60,解得比=2.3

（3）120（m-2.5）+60=（m-2.5）+100,解得加=3.5

综上，甲车出发经过1.7h,2.3h,3.5h,两车相距60千米，

【点睛】本题主要考查了一次函数的应用问题，解答此题的关键是要理解分段函数图象所表示的实际意义,

准确找到等量关系.

【考点四一次函数的应用一一几何问题】

例题：（2023春•河南南阳•八年级校考阶段练习）如图，正方形/3CZ）的边长为4,P为正方形边上一动点,

运动路线是。-Cf设尸点经过的路程为x,以点月、P、。为顶点的三角形的面积是乃则下列

图象能大致反映y与x的函数关系的是（）

【分析】根据动点从点。出发，首先向点C运动，此时y随x的增加而增大，当点P在。C上运动时，丁不

变，当点尸在上运动时，V随着x的增大而减小，据此作出选择即可.

【详解】解：当点尸由点。向点C运动，即04x44时，y=g4D-x=gx4x=2x；

当点尸在8C上运动，即4<x<8时，y=1x4x4=8,是一个定值;

当点P在24上运动，即8<xV12时，了随x的增大而减小.

故选:B.

【点睛】本题考查了动点问题的函数图象，解决动点问题的函数图象问题关键是发现了随x的变化而变化的

趋势.

【变式训练】

1.（2021春•福建漳州•七年级福建省漳州第一中学校考期中）如图，已知动点尸从2点出发，以每秒2cm的

速度在图①的边（相邻两边互相垂直）上按CfOfE”尸“/的路线移动，相应的A/BP的面积

S（cm2）与点尸的运动时间Ms）的图象如图②所示，且4B=6cm.当S=30cm2时，，=.

【答案】7s或11s

【分析】从图象上分析可知，由于速度是2cm/s,图中0~4的过程为尸点在线段3C上，故8c=4x2=8cm,

4~6为CD=4,6~9为DE=6,9〜10为斯=2,10至畀为E4,FA=BC+DE=14,6=10+14+2=17,

根据A4BP的面积为30cm2,底边48=6cm可知高为10cm,也就是尸点距离48的距离是10cm,从数据上

可知，尸在线段上有一个符合条件的点，在线段"'上有一个符合条件的点，求出对应的t值.

【详解】解：由图可知，

尸点的运动速度为2cm/s,

BC=4x2=8（cm）,CD-2x2=4（cm）,Z）E=3x2=6（cm）,EF=1x2=2（cm）,

FA=BC+DE=\^cm）,

■：S=30cm2,AB=6cm,

•・•点P至IjAB的距离为30x2+6=10（cm）,

故可知P在线段DE上和线段相上各有一个尸点满足条件,

^D=10-8=2（cm）,

.•/=(3C+CO+Oq)+2=7(s),

当月在线段川上时：P2F=AF-10,

P2F=14-10=4(cm),

t=(BC+CD+DE+EF+FP℃=ll(s),

故答案为：7s或Ils.

【点睛】本题考查了动点问题的图象，一次函数和动点问题的应用，三角形的面积公式.

2.(2023春•安徽宿州•七年级校考期中)如图，在长方形48CQ中，BC=8,CD=6,点、E为边AD上一动

点，连接CE,随着点£的运动，的面积也发生变化.

⑴写出△£>色的面积了与NE的长x(0<x<8)之间的关系式;

(2)当x=3时，求y的值.

【答案】⑴N=-3x+24

⑵15

【分析】(1)可求DE=8-x,由〉=3S)・£>£即可求解；

(2)将x=3代入解析式即可求解.

【详解】(1)解：由题意得：

DE=8—x,

y=-CDDE

2

=；x6x（8一%）

=—3x+24.

答：4DCE的面积y与/E的长x（O<x<8）之间的关系式为y=-3x+24.

（2）解:当x=3时，

y=-9+24=15,

答：当x=3时，>=15.

【点睛】本题主要考查了一次函数在动点问题中的应用，掌握‘化动为静”的方法解决动点问题的方法是解题

的关键.

【过关检测】

一、单选题

1.（2023秋•黑龙江哈尔滨•九年级哈尔滨市萧红中学校考开学考试）市自来水公司为鼓励居民节约用水，采

取月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数关系如图，若该用户本月用

水21吨，则应交水费（）

A.52.5元B.48元C.45元D.42元

【答案】D

【分析】当尤>15时，可设>=辰+6"30）,结合图形，利用待定系数法即可求出V与x的函数解析式；将

x=21代入以上所求的函数解析式中，求出了值，即可得出答案.

【详解】解：设直线42解析式为V=E+6（x>15）,把（15,27）,（20,39.5）代入得：

"+6=27

说左+6=39.5'

住=2.5

解得[6=-10.5

y=2.5x-10.5,

当x=21时，y=2.5x21-10.5=42（元）,

故选：D.

【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键在于掌握待定系数法求一次函数解析式的方法.

2.（2023•陕西西安•校考二模）在物理实验课上，小鹏利用滑轮组及相关器材进行实验，他把得到的拉力下

（N）和所悬挂物体的重力G（N）的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象（不计绳重和摩擦），请你根据

图象判断以下结论不正确的是（）

B.当拉力尸=1.5N时，物体的重力G=6N

C.当物体的重力G=7N时，拉力尸=1.9N

D.当滑轮组不悬挂物体时，所用拉力为0.5N

【答案】B

【分析】由函数图象可以直接判断设出拉力厂与重力G的函数解析式用待定系数法求出函数解析式,

G=6,7,0,代入函数解析式求值即可判断8,C,D.

【详解】解：由图象可知，拉力厂随着重力的增加而增大，故/说法正确，选项不符合题意；

・••拉力厂是重力G的一次函数，

.,.设拉力厂与重力G的函数解析式为尸=2+/左=0），

6=0.5

左+6=0.7

,拉力厂与重力G的函数解析式为尸=0.2G+0.5,

当G=6时，拉力尸=02x6+0.5=1.7,故3说法错误，选项符合题意；

当G=7时，拉力F=0.2x7+0.5=1.9,故C说法正确，选项不符合题意；

•••G=0时，拉力尸=0.5,故。说法正确，选项不符合题意；

故选：B.

【点睛】本题考查了一次函数的应用，关键是数形结合思想的运用.

3.（2023春•重庆九龙坡•八年级重庆实验外国语学校统考阶段练习）在5.1劳动节期间，甲乙两人相约一起

去登山，登山过程中，甲先爬了100米、乙才开始追赶甲，乙行了2分钟后，速度变成甲登山速度的3倍,

甲、乙两人距地面的高度y（米）与乙登山时间x（分）之间的函数图像如图所示，根据图像所提供的信息

有下列说法：①甲的登山速度10米/分；②/=11分；③当乙行了6.5分钟后，甲乙相遇；④甲乙相遇后,

甲再经过1分钟与乙相距20米，其中正确的有（）

A.①②B.①②③C.②③④D.①②③④

【答案】D

【分析】①根据图象可知道山的高度和所用时间，即可求出乙登山的速度；

②当,>2时，根据高度=初始高度+速度x时间，即可得出V关于x的函数关系，令夕=300可求出相应x

的值，即可得到（的值；

③先求出甲、乙距离底面函数解析式，再根据路程之间的关系列出方程求解即可；

④求出两个解析式后，分别根据时间计算出相应的函数值，作差即可求解.

【详解】解：①甲的登山高度是200米，用时20分钟，故速度是20+20=10米/分，故①正确；

②当x〉2时，,y=30+10x3（x—2）=30x—30,

当y=30x—30=300时，%=11,故，=11,

故②正确；

③乙提速后距地面的高度了（米）与登山时间x（分）之间的函数关系式为：

^=30x-30（2<x<ll）；

甲登山全程中，距地面的高度〃米）与登山时间打分）之间的函数关系式为：

y=10x+100（0W2W20）

当10x+100=30x-30时

解得:x=6.5；

故③正确；

④令x=7.5,30x-30=195,10x+100=175,

195-175=20,

甲乙相遇后，甲再经过1分钟与乙相距20米，故④正确；

综上，①②③④均正确，故正确答案为。.

【点睛】本题考查了一次函数的应用以及解一元一次方程，解题的关键是根据数量关系列出函数解析式.

二、填空题

4.（2023春•山东荷泽•八年级校考阶段练习）拖拉机工作时，油箱中的余油量。（升）与工作时间1（时）d

关系式为。=40-5j当"4时，Q=升，从关系式可知道这台拖拉机最多可工作小时.

【答案】208

【分析】根据题意，将f=4代入计算。即可得到答案，令020即可求出最多工作的时间.

【详解】解：当7=4时，2=40-5x4=20；

根据拖拉机工作时必须有油，得：。2。，

代入得到：。=40-5d0,

解得：/48,

故答案为：20；8.

【点睛】本题主要考查了一次函数、一次函数在生活中的应用，做题是要注意自变量的取值范围，例如油

量不可以为负数.

5.（2023春・安徽宿州•七年级统考阶段练习）如图，李大爷要围成一个长方形菜园/BCD,菜园的一边利用

足够长的墙，用篱笆围成的另外三边总长度恰好为32m.设2C边的长为xm,N8边的长为冲，则y与x

之间的关系式是.

墙

【答案】y=~^x+16

【分析】根据矩形周长公式写出〉与x之间的函数关系式即可.

【详解】解：••・三边总长恰好为32m,设8c边的长为xm,边的长为冲，

=g（32-x）=—gx+16.

故答案为：了=-]X+16.

【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，解题的关键是理解题意，熟练掌握矩形周长公式.

6.（2023春•北京石景山•七年级统考期末）小石的妈妈需要购买盒子存放15升的食物，且要求每个盒子要

装满.现有48两种型号的盒子，单个盒子的容量和价格如下表.

型号AB

单个盒子容量（升）23

单价（元）1315

（1）写出一种购买方案，可以为;

（2）恰逢五一假期，A型号盒子正在做促销活动，即购买三个及三个以上可一次性返现金10元，则购买盒

子所需要的最少费用为元.

【答案】购买方案为3个A型号，3个3型号（答案不唯一）74

【分析】（1）设购买A型号为。个，购买3型号为6个，根据题意列二元一次方程即可解答；

（2）设购买A型号的盒子无个，则购买8型号的盒子个数为工一个，并设购买盒子所需要的费用为V元，

根据题意列一次函数即可解答.

【详解】解：（1）••・小石的妈妈需要购买盒子存放15升的食物，

・•・设购买A型号为。个，购买8型号为6个，

・•.2a+3b=15,

.•・a=3,6=3,

购买方案为3个A型号，3个3型号；

故答案为：购买方案为3个A型号，3个B型号；

(2)设购买A型号的盒子x个，则购买&型号的盒子个数为上于个，并设购买盒子所需要的费用为了元,

第一种情况：没有接受A型号盒子促销活动的一次性返现金10元，

即当0Vx<3时，

y=13x+———xl5=3尤+75,

3

・•・一次函数的解析式为>=3X+75,

.,J随x的增大而增大，

・・・当x=0时，了有最小值，

••・购买盒子所需要的最少费用为75；

第二种情况：有接受A型号盒子促销活动的一次性返现金10元，

即当x23时,

15-2x

y=13XH----------xl5-10=3x+65,

3

・•・一次函数的解析式为y=3x+65(xN3),

•,J随x的增大而增大，

.•.当x=3,丁有最小值，

••・购买盒子所需要的最少费用为74,

•••75>74,

••・购买盒子所需要的最少费用为74,

故答案为74.

【点睛】本题考查了一次函数与实际问题，二元一次方程与实际问题，掌握一次函数的性质是解题的关

键.

三、应用题

7.（2023•广东深圳•深圳市桂园中学校考模拟预测）某小区为了绿化环境，计划分两次购进/、2两种花草,

第一次分别购进4、8两种花草30棵和15棵，共花费675元；第二次分别购进/、8两种花草12棵和5

棵.共花费265元；若两次购进的“、2两种花草价格均分别相同.

⑴48两种花草每棵的价格分别是多少元？

⑵若购买/、8两种花草共30棵，且8种花草的数量少于/种花草数量的2倍，请你给出一种费用最省的

方案，并求出该方案所需费用.

【答案】（1）/种花草每棵的价格是20元，8种花草每棵的价格是5元.

⑵购进/种花草的数量为11株、2种19株，费用最省，最省费用是315元.

【分析】（1）设/种花草每棵的价格x元，8种花草每棵的价格〉元，根据第一次分别购进/、8两种花草

30棵和15棵，共花费940元；第二次分别购进/、3两种花草12棵和5棵，两次共花费675元；列出方

程组，即可解答.

（2）设/种花草的数量为加株，则2种花草的数量为（31-加）株，根据3种花草的数量少于4种花草的数

量的2倍，得出加的范围，设总费用为沙元，根据总费用=两种花草的费用之和建立函数关系式，由一次

函数的性质就可以求出结论.

【详解】（1）设/种花草每棵的价格x元，2种花草每棵的价格丁元，根据题意得：

j30x+15k675

[12x+5y=265'

fx=20

解得：<，

答：/种花草每棵的价格是20元，8种花草每棵的价格是5元.

（2）设/种花草的数量为〃?株，则8种花草的数量为（30-加）株，

•:B种花草的数量少于A种花草的数量的2倍，

30-m<2m,

解得：加>10,

•:m是正整数，

•••加最小值=11，

设购买树苗总费用为少=20机+5（30-%）=15机+150,

k>0,

二少随X的减小而减小，

当加=11时，％小值=15x11+150=315（元）.

答：购进/种花草的数量为11株、2种19株，费用最省，最省费用是315元.

【点睛】本题考查二元一次方程组和一次函数，找准等量列出关系式是解题的关键.

8.（2023秋•广东茂名•八年级校联考期中）某文具商店文具促销给出了两种优惠方案：①买一支钢笔赠送

一本笔记本，多于钢笔数的笔记本按原价收费；②钢笔和笔记本均按定价的八折收费.已知每支钢笔定价

为15元，每本笔记本定价为4元.某顾客准备购买x支钢笔和笔记本（x+10）本，设选择第一种方案购买所

需费用为,元，选择第二种方案购买所需费用为为元.

⑴请分别写出必，为与》之间的关系式：_，

⑵若该顾客准备购买10支钢笔，且只能选择其中一种优惠方案，请你通过计算说明选择哪种方案更为优

惠.

【答案】⑴%=15X+40,%=15.2X+32,

⑵选择方案②更为优惠，见解析

【分析】（1）根据两种优惠方案，列出函数关系式即可；

（2）将x=10代入两个函数解析式，求出函数值，进行比较即可.

【详解】（1）解：由题意，得：m=15x+4x（x+10-x）=15x+40,

%=[15无+4（x+10）]x80%=15.2x+32；

（2）当x=10时，^=15x10+40=190；%=15.2x10+32=184

•1-190>184,

..・选择方案②更为优惠.

【点睛】本题考查一次函数的实际应用，读懂题意，正确的列出一次函数的解析式，是解题的关键.

9.（2023春•贵州贵阳・九年级校考阶段练习）为进行垃圾分类，我校准备购买A,8两种型号的垃圾箱，通

过市场调研发现：购买1个A型垃圾箱和2个B型垃圾箱共需340元；购买5个A型垃圾箱和2个B型垃圾

箱共需540元.

⑴求每个A型垃圾箱和3型垃圾箱各多少元？

⑵若需要购买A,5两种型号的垃圾箱共30个，其中购买A型垃圾箱不超过15个，当购买A型垃圾箱多

少个时总花费w（元）最少，最少费用是多少？

【答案】⑴每个A型垃圾箱50元，每个8型垃圾箱145元

⑵购买A型垃圾箱15个时总花费可（元）最少，最少费用是2925元

【分析】（1）设每个N型垃圾箱x元，每个8型垃圾箱y元，根据"购买1个A型垃圾箱和2个8型垃圾箱

共需340元；购买5个A型垃圾箱和2个8型垃圾箱共需540元"，即可得出关于x、y的二元一次方程组,

解之即可得出答案；

（2）设购买加个/型垃圾箱，则购买（30-刃）个8型垃圾箱，根据总价=单价x购进数量，即可得出w关于

x的函数关系式，然后利用一次函数的性质解决最值问题.

【详解】（1）解：设每个A型垃圾箱x元，每个8型垃圾箱了元,

x+2y=340

由题意得:

5x+2y=540

x=50

解得:

歹=145

答:每个A型垃圾箱50元，每个6型垃圾箱145元;

（2）设购买，九个A型垃圾箱，则购买（30-加）个8型垃圾箱,

由题意得：w=50m+145（30-m）=-95m+4350（0<w<15,且加为整数），

-95<0,

w随州的增大而减小，

.•.当加=15时，卬取最小值，最小值为-95x15+4350=2925,

答：购买A型垃圾箱15个时总花费卬（元）最少，最少费用是2925元.

【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出

二元一次方程组；根据各数量间的关系，找出w关于加的函数关系式，并学会利用一次函数的性质解决最

值问题.

10.（2023春・贵州黔西•八年级校联考期末）为庆祝中华人民共和国七十周年华诞，某校举行书画大赛，准

备购买甲、乙两种文具，奖励在活动中表现优秀的师生，已知购买2个甲种文具，1个乙种文具共需要花费

35元，购买1个甲种文具，3个乙种文具共需要花费30元.

⑴求购买一个甲种文具，一个乙种文具各需多少钱？

⑵若学校计划购买这两种文具共120个，投入资金不少于955元，又不多于1000元，求有多少种购买方案?

⑶学校投入资金少元，在(2)的条件下，哪种购买方案需要的资金最少？最少资金是多少元？

【答案】⑴购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元

⑵有5种购买方案

⑶购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元

【分析】(1)设购买一个甲种文具。元，一个乙种文具6元，根据“购买2个甲种文具、1个乙种文具共需

花费35元；购买1个甲种文具、3个乙种文具共需花费30元"列方程组解答即可;

(2)设购买甲种文具x个，根据题意列不等式组解答即可;

(3)求出物与x的函数关系式，根据一次函数的性质解答即可.

【详解】(1)设购买一个甲种文具。元，一个乙种文具b元，由题意得:

2a+b=35。=15

a+36=30，解得

b=5

答：购买一个甲种文具15元，一个乙种文具5元;

(2)设购买甲种文具x个,

根据题意得:

955<15x+5(120-x)<1000,

解得35.5VxW40,

••.X是整数,

x=36,37,38,39,40

，有5种购买方案;

(3)FT=15%+5(120-x)=1Ox+600,

vl0>0,

二.少随工的增大而增大,

当x=36时，%小=10x36+600=960(元),

...120—36=84.

答：购买甲种文具36个，乙种文具84个时需要的资金最少，最少资金是960元.

【点睛】此题考查一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的实际应用，解题关键在于列

出方程.

11.(2023春•吉林长春•八年级校考期中)甲，乙两辆汽车分别从4,2两地同时出发，沿同一条公路相向

而行，已知甲车匀速行驶；乙车出发2h后休息，与甲车相遇后继续行驶，结果同时分别到达瓦/两地.设

甲、乙两车与5地的距离分别为眸(km),%(km),甲车行驶的时间为x(h),蹄、y乙与x之间的函数图

象如图所示，结合图象解答下列问题：

⑵求甲车的速度.