双变量问题（学生版）-2025高考数学一轮复习讲义

第22讲双变量问题

知识梳理

破解双参数不等式的方法：

一是转化，即由己知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化

为含单参数的不等式；

二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值；

三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果.

必考题型全归纳

题型一：双变量单调问题

例1.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/(x)=(a+l)ln尤+办？+1.

⑴当a=2时，求曲线V=/(x)在。，/⑴)处的切线方程；

(2)设aV-2,证明：对任意不，x2e(0,+oo),|/(X1)-/(^2)I>4|X1-%2|.

例2.(2024•安徽•校联考三模)设aeR,函数/(x)=aln(-x)+(a+l)Q+l.

(I)讨论函数/(x)在定义域上的单调性；

(II)若函数“X)的图象在点处的切线与直线8x+y-2=0平行，且对任意

国,乙€(-*0),芯片乙，不等式>加恒成立,求实数加的取值范围.

例3.(2024•福建漳州•高二福建省漳州第一中学校考期末)已知函数

1

/(x)=(a-1)Inx+af+1.

(I)讨论函数/(x)的单调性；

(II)若aNl时，任意的尤i>乙>0,总有|/(占)-/(乙)|>2|占-々I，求实数。

的取值范围.

变式L(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=logM+——-,meR,。〉0且“wl.

(1)当4=2时，讨论/(%)的单调性；

(2)当a=e时，若对任意的玉>马>0,不等式//(毛)一龙1(％)<J恒成立,求实数加的

-x22

取值范围.

变式2.(2024・天津南开•高三南开大学附属中学校考开学考试)已知函数

f(x)=lnx+ax2+(2t?+1)x.

⑴讨论〃x)的单调性；

3

⑵当a<0时，证明/(x)4-元-2；

(3)若对任意的不等正数与三，总有〃百)一/伍)>2,求实数”的取值范围.

2

题型二：双变量不等式:转化为单变量问题

例4.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=工-尤+alnx.

x

(1)讨论的单调性；

(2)已知若/(X)存在两个极值点与三，且可<%，求/色4的取值范围.

2%]%2

例5.(2024•新疆・高二克拉玛依市高级中学校考阶段练习)已知函数

f(x)=\nx+x2-ax(tzeR)

⑴若。=1,求函数/(x)在点(1,/(1))处的切线方程；

(2)当。>0时，讨论/(x)的单调性；

1,3

(3)设/(x)存在两个极值点X,三且再<9，若0<X[<5求证：/(^)-/(^2)>--^2.

例6.(2024•山东东营・高二东营市第一中学校考开学考试)已知函数f(x)=x2+ax+2lnx^a

为常数)

⑴讨论的单调性

O

(2)若函数“X)存在两个极值点芭，x2(%]<x2),且％-尤求/(网)-/(%)的范围.

变式3.(2024•山东•山东省实验中学校联考模拟预测)已知函数/■(x)=lnx+g(a-尤了，其

中4£R.

3

⑴当a=1时,求函数〃x)在(1,7(1))处的切线方程;

(2)讨论函数“X)的单调性；

(3)若/⑺存在两个极值点看,七(毛<苫2),|/(x2)-/(x)|的取值范围为g-In2,^--21n2

求〃的取值范围.

变式4.(2024•江苏苏州•高三统考阶段练习)已知函数/(x)=一.+(。.?x+a3(x>0)

⑴讨论函数/(无)的单调性；

(2)若函数/(x)存在两个极值点再,马,记例%,9)=/(%)/(%),求/t(xt,x2)的取值范围.

变式5.(2024・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=g(/+i)+a(]nx-4x+l).

(1)讨论/(无)的单调性；

(2)若/(x)存在两个极值点A，X],且〃&)+〃/)2/'(西々)-4。,求a的取值范围.

变式6.(2024・吉林长春•高二长春市实验中学校考期中)设函数

/(x)=ae2x+(1-x)e*+a(aeR).

(1)当。=匚时，求g(x)=/'(x)e2T的单调区间；

2

⑵若/(x)有两个极值点再,％(网<%),

4

①求。的取值范围;

②证明：国+2工2>3.

题型三：双变量不等式:极值和差商积问题

例7.(2024•黑龙江牡丹江•高三牡丹江一中校考期末)已知aeR,函数

/(x)=xIn2x-x+—+2.

2x

(1)当。=0时，求/(x)的单调区间和极值；

(2)若/CO有两个不同的极值点a，x2(xj<x2).

(i)求实数。的取值范围；

(ii)证明：111%+21眸<-]-31112(e=2.71828……为自然对数的底数).

例8.(2024•内蒙古•高三霍林郭勒市第一中学统考阶段练习)已知函数

/(x)=ex-e~x-ax(aGR).

(1)讨论"》)的单调性；

(2)若/⑸存在两个极值点与9，证明：2_"小)一"无2)<0.

X]-x2

例9.(2024•全国•模拟预测)已知函数/(x)=xlnx+q%2一。.

5

(1)当。=-1时，求曲线v=/(x)在X=1处的切线方程;

(2)若/(x)存在两个极值点为、x2,求实数。的取值范围，并证明：/(土丁)>0.

变式7.(2024•辽宁沈阳•高二东北育才学校校考期中)已知函数/(x)=mei-Inx,meR.

(1)当加时，讨论方程〃切-1=0解的个数；

⑵当加=e时，g(x)=/(尤)+lnx——--有两个极值点毛，巧，且再<工2，若e<l<5，

证明：

(i)2<X]+x2<3；

(ii)g(Xj)+2g(x2)<0.

变式8.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/(x)=lnx+|"x2-(a+l)x,aeR

(1)讨论函数/(x)的单调区间；

(2)设为，％(0<西<x?)是函数g(x)=/(x)+x的两个极值点，证明：g(x1)-g(x2)<.|-lntz

恒成立.

变式9.(2024•全国•高三专题练习)已知函数/1(尤)=ln尤+mx/weR.

(1)求函数/(x)的单调区间；

6

(2)若g(x)=/(x)+gx2有两个极值点占户2,求证：g(X1)+g(x2)+3<0.

题型四：双变量不等式:中点型

例10.(2024•天津北辰・高三天津市第四十七中学校考期末)已知函数

/(x)=]nx-ax2+(2-tz)x,aeR.

(1)已知X=1为的极值点，求曲线>=〃x)在点(1J⑴)处的切线方程；

(2)讨论函数g(x)=/(x)+ax的单调性；

(3)当时，若对于任意X],%€(1,+8)(网<%)，都存在X。，使得

/,(/)=#上正1,证明：^±A<Xo.

x2-xx2

例11.(2024•湖北武汉・统考一模)已知函数/(x)=g/+(l-a)x-Mnx.

(I)讨论的单调性；

(II)设〃〉0,证明：当0<X<Q时，/(〃+、)</(〃—％);

(III)设4%是“X)的两个零点，证明/''[W1]>。.

例12.(2024•云南・高三云南师大附中校考阶段练习)已知函数

7

f(x)-x2+(i-2a)x-aInx(aeR且ah0).

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)当。＞2时，若函数＞=/(》)的图象与x轴交于A,8两点，设线段中点的横坐标

为x0,证明:/'(%)＞0.

变式10.(2024・全国•高三专题练习)已知函数/'(x)=In尤-ad+(2-a)x.

⑴讨论〃x)的单调性；

⑵若函数＞=/(x)的图像与x轴交于4,8两点，线段N8中点的横坐标为飞,证明:

变式11.(2024・四川绵阳•高二四川省绵阳南山中学校考阶段练习)已知函数

12

/(x)=\nx+—ax+(a+l)x.

(1)讨论函数/(x)的单调性；

(2)设函数/(X)图象上不重合的两点，(西，必),,%)(再＞X?).证明：戛＞八—强)•(kAB

是直线N3的斜率)

变式12.(2024•福建泉州•高二福建省永春第一中学校考阶段练习)已知函数

/(%)=/_勿X+21nx(a〉0).

8

(1)讨论函数〃X)的单调性;

(2)设g(x)=lnx-6x-c/,若函数/(x)的两个极值点X],＜(为＜/)恰为函数g(x)的

两个零点，且＞=(%-的取值范围是[ln3-l,+⑹，求实数”的取值范围.

题型五：双变量不等式:剪刀模型

例13.(2024•天津和平・耀华中学校考模拟预测)己知函数/6)=卜+勾9-°)0＞0)在点

(-1,/(-I))处的切线方程为(e-l)x+ey+e-l=0.

⑴求q、b；

⑵设曲线v=/a)与1轴负半轴的交点为尸，曲线在点尸处的切线方程为歹=〃(X),求证：对

于任意的实数%,都有

⑶若关于％的方程/(司=冽(冽＞0)有两个实数根为、而，且再＜/，证明：

m(l-2e)

x2-项蜡+--------.

例14.(2024•辽宁沈阳•统考三模)已知函数〃x)=(x+6)(/-矶6＞0)在点，gJ

处的切线方程为(e-l)x+a+^=°・

(1)求“，b；

(2)函数/(无)图像与x轴负半轴的交点为P,且在点P处的切线方程为》=人卜)，函数

F(x)=/(x)-A(x),xeR,求尸(x)的最小值;

(3)关于X的方程/(无)="?有两个实数根X],x»且不＜%，证明：X2-±W匕”-萼.

21-e

9

例15.(2024・全国•高三专题练习)已知函数f(x)=e*+l,ln3是〃x)的极值点.

⑴求”的值；

⑵设曲线y=f(x)与x轴正半轴的交点为产，曲线在点P处的切线为直线/.求证：曲线

V=/(尤)上的点都不在直线/的上方；

7777

<2

(3)若关于x的方程/(尤)=刃(机>0)有两个不等实根X],<x2),求证：x2-x,~—■

变式13.(2024•安徽•校联考二模)已知函数〃x)=3x-e"+l,其中e=2.71828…是自然对

数的底数.

⑴设曲线y=/(x)与x轴正半轴相交于点P(X°,O),曲线在点尸处的切线为/,求证：曲线

y=〃x)上的点都不在直线/的上方；

⑵若关于X的方程〃x)=m(加为正实数)有两个不等实根否,3(七<%),求证：

c3

x2-xx<2-­m.

变式14.(2024•全国•高三专题练习)已知函数g(x)=/,xeR,在点(l,g⑴)处的切线方

程记为了=m(x),令f(x)=m(x)-g(x)+3.

(1)设函数/(x)的图象与x轴正半轴相交于P,AM在点P处的切线为/,证明：曲线>=〃x)

上的点都不在直线/的上方；

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⑵关于X的方程〃x)=a(“为正实数)有两个实根X],4，求证：K-x/<2

题型六：双变量不等式:主元法

例16.(2024•江苏盐城•高三盐城中学校联考开学考试)已知函数/(无)=xlnx.

⑴求函数/(x)的单调区间和最小值；

(2)当b>0时，求证：bb>(其中e为自然对数的底数);

(3)若a>0,b>0求证:/(a)+(a+b)ln2±。求+b)-/@).

例17.(2024•河南信阳•高二校联考阶段练习)已知函数〃x)=xlnx.

(1)求曲线>=/(x)在点(ej(e))处的切线方程;

(2)求函数/(x)的最小值，并证明：当6>0时，//引J).(其中e为自然对数的底数)

例18.(2024•山西晋中•高二校考阶段练习