数列中的新定义综合-2025年高中数学一轮复习

第02讲数列中的新定义综合

（8类核心考点精讲精练）

.考情探究•

新高考改革后，数列作为高中数学的重要组成部分，在考试中占据了重要的地位。数列的考查不仅限

于传统的等差数列、等比数列等基础知识，还涉及到了一些新的定义和概念。这些新定义通常要求考生具

备较强的逻辑推理能力和创新思维。

在新定义数列的考题中，有以下几种情况：

1.新定义的数列类型：例如，斐波那契数列的变种、递推数列、分段定义的数列等。这些数列的定义

和性质可能与传统数列有所不同，需要考生仔细阅读题目，准确理解新定义。

2.数列性质的探究：考生可能需要探究新定义数列的通项公式、递推关系、特殊项的性质等。这要求

考生能够灵活运用数学归纳法、数列极限等数学工具。

3.数列与函数、不等式等其他数学知识的综合应用：新定义数列的题目往往与其他数学知识相结合，

考查考生的综合运用能力。例如，数列与函数的图像、数列与不等式的解法等。

4.实际问题的数学建模：新高考数学注重考查学生的实际应用能力，因此，数列问题可能会与实际问

题相结合，要求考生建立数学模型来解决实际问题。

为了应对新定义数列的考题，考生需要：

・熟悉并掌握高中数学数列的基本概念和性质。

•增强阅读理解能力，准确把握新定义数列的特点。

・培养逻辑推理和创新思维，能够独立探究数列的性质。

・加强与其他数学知识的联系，提高综合运用数学知识解决问题的能力。

・注重实际问题的数学建模训练，提升解决实际问题的能力。

总之，新高考数学数列部分的考查更加注重考生的综合能力，考生需要在平时的学习中注重基础知识

的积累，同时加强思维训练和实际应用能力的培养。

•考点梳理•

1

考点1斐波那契数列

考点一、斐波那契数列

典例引领

1.（2024•黑龙江大庆•模拟预测）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有这样的一列数:

1,1,2,3,5,8,…，该数列的特点是：从第三个数起，每一个数都等于它前面两个数的和，人们把这样的一列数

所组成的数列｛%｝称为"斐波那契数列"，则即+《+药+…+为。24是斐波那契数列中的第项.

“2024

【答案】2025

【分析】根据“斐波那契数列"的递推关系可得结果.

【详解】依题意有：%+2=4+1+为

一。2024。2025=。2024(。2024+“2023)=〃2024-1~42023(“202342022

“2024+02023+“2022(“2022+“2021)="2024+“2023+“202242+42%

=a；024+^2023+a2022-----F,

而［、］%+%++…+/024.4202442025_〃

所以：------------------------------a2025，

的024。2024

故答案为：2025.

2.（2024・贵州遵义•模拟预测）（多选）数歹U优｝:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...称为斐波那契数歹U，

又称黄金分割该数列，从第三项开始，各项等于其前相邻两项之和，即工+2=£M+£（〃eN*）,则下列选

项正确的是（）

A.片o=55

B.片+玛+区+月+……+%=&

C.......+6024=工205

F2+F4+F6+FS+

D.斤+怎+号+冗2+……+F；=FJFZ

【答案】ABD

2

【分析】根据递推公式进行验证.

【详解】由已知%=21+34=55,A正确；

&=-&+4+2••="3+居i+…+£+月=工3+与i+…+£+/，B正确;

/2025=月024+-^2023=^2024+^*2022+工021=',,=£（）24+^*2022+.,"K+£=g024+尸2022+且+鸟+月，C错；

££「£（£+FQ=琉+Fn_xFn=琮+FZ（FQ+工_2）=F；+%+Fn_1Fn_2=-=F^+F^+.-+F^+F3F2

=£2+己|+~+或+月（耳+耳）=£2+己|+~+呼+1+月£=£2+己|+―+号+琢+开，口正确，

故选：ABD.

3.（23-24高三上•河北廊坊•期末）意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例，引入数列：1,1,2,3,5,

8,该数列从第三项起，每一项都等于前两项之和，即。”+2=%+i+a,（"eN*）,故此数列称为斐波那契数歹U,

又称为"兔子数列”,其通项公式为。“=£—J］-设”是不等式

1082［（1+指）"-（1一行）［＞〃+6的正整数解，贝U"的最小值为（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】D

【分析】利用对数运算将log?［（1+逐）"-（1-⑹"］＞〃+6变形化简得到|后2/sY―f1_＞26,结合0“的

表达式可得片＞、-,结合&=21,%=34,即可求出答案.

【详解】因为logj（l+b）"_（1一石）"］＞”+6,

所以唾2［（1+6）'-（1一⑹1一心6,二.log2［（l+5"-”析［一1鸣2"＞6,

由斐波那契数歹U可知。8=21,%=34,贝IJd＜、,0；＞、，

所以〃的最小值为9,

故选：D.

即时检测

3

1.(2024•河南•模拟预测)我们把由0和1组成的数列称为0-1数列，0-1数列在计算机科学和信息技术领

域有着广泛应用，把斐波那契数列｛月｝(片=g=1,工+2=月+工+1)中的奇数换成0,偶数换成1可得到

0-1数列5„｝,若数列5｝的前"项和为S“，且&=100,则左的值可能是()

A.100B.201C.302D.399

【答案】C

【分析】根据题意求出｛斯｝的前若干项，找出规律，从而逐一检验各选项即可得解.

【详解】因为4=月=1,F“HFw

所以用=2,玛=3,居=5,用=8,居=13,用=21,&=34,…，

所以数列｛即｝的前若干项为：

=。2=°，。3=L。4=°,%=°，。6=1,%=°，。8=°，。9=1，…，

贝I」％+出+%=%+〃5+〃6=%+〃8+〃9='"=^f

所以儿0=33x1+0=33,邑01=67乂1=67,

5302=100x1+0x2=100,5399=133x1=133.

故选：C.

2.(24-25高二上•山东青岛•阶段练习)在数学上，斐波纳契数列｛4｝定义为：4=1,a2=l,an+2^an+an+l,

斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合，如根据。“+2=。”+%+1可得。“=%+2-%+1，所以

aa

%+%+...+%=(%-°2)+(°4.%)+…+(%+2_4"+1)=n+2-%=n+2~>类比这一方法，可得

a；+星+…a；。=()

A.714B.1870C.4895D.4896

【答案】C

【分析】根据题意，分析可得。用=。“+2-。”，进而变形可得。3=““+2%+「。”+4，据此可得

a；+W+…0].=a；+(。2。3—。2%)+(。304—0203)+...+­°9%0)，计算可彳导

【详解】根据题意，数列｛0“｝满足。.=%+2-。7，即。用=2+2-。“，

两边同乘以an+1,可得a3=an+2an+l-an+ian,

贝！Ja；+4/2+…a；。=a：+(a2a3—a。1)+(a3a4—a。%)+

...+—°9%0)=1—的%+%o“ii=1—1+55x89=4895.

故选：C.

3.(2024・山东•模拟预测)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时，发现有这样的一

列数：1,1,2,3,5,8,13,21,....该数列的特点如下：前两个数均为1,从第三个数起，每一个数都等

于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列，若用尸("W^N*)表示斐波那契

数列的第〃项，则数歹此尸(")｝满足：F(1)=F(2)=1,尸(”+2)=尸(〃+1)+尸⑺.则下列说法正确的是()

A.尸(10)=34

4

B.3F(n)=F(n-2)+F(n+2)(n>3)

C.F(l)+F(2)+---+F(2023)=F^025)-1

D.[/⑴7+[/2)丁+…+田2O2'T=风2023.R2029

【答案】BCD

【分析】对于A,根据题意求出斐波那契数列的前10项进行判断，对于B,当"23时，

尸(〃一1)+尸(〃-2)=尸⑺，F(n+l)=F(n)+F(n-l),尸(〃+2)=尸(〃+1)+尸⑺，三式相加判断，对于C,

根据尸(〃+2)=尸(〃+1)+尸(〃)，对〃依次取1,2,......,2023,得到2023个式子相加进行判断，对于D,

由尸("+2)=/(〃+1)+尸⑺，[F(n+1)]2=F(n+1)F(M+2)-F(H)F(H+1),对〃依次取1,2.........2022,

然后相加进行判断.

【详解】对于A,由题意可知斐波那契数列的前10项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,

所以尸(10)=55,所以A错误，

对于B,当“23时，F(n-1)+F(n-2)=F(«),/(〃+1)=尸⑺+尸,户(〃+2)=尸(〃+1)+尸(〃),

所以三式相加得尸(〃-1)+F(/?-2)+F(n+l)+F(w+2)=F(«)+尸(〃)+F(«-l)+F(n+1)+F(n),

所以3尸(〃)=尸(〃-2)+尸(〃+2乂〃23),所以B正确，

对于C,因为数列但⑺｝满足：尸⑴=网2)=1,尸(〃+2)=尸(〃+1)+/⑺，

所以/(3)="2)+尸(1),F(4)=F(3)+F(2),F(5)=F(4)+F(3),….,

厂(2023)=尸(2022)+尸(2021),"2024)=尸(2023)+/(2022),尸(2025)=/(2024)+/(2023),

以上2023个等式相加得尸(2025)=F(2)+尸⑴+尸(2)+尸(3)+…+厂(2022)+尸(2023),

因为22)=1,所以尸⑴+尸(2)+…+尸(2023)=*2025)-1,所以C正确，

对于D,因为尸⑴=网2)=1,尸(〃+2)=尸(〃+1)+尸⑺,

2

所以[尸⑴了=尸(1)尸⑵，[F(2)]=F(2)F(3)-F(1)JF(2),

[厂(3)了=F(3)F(4)-F(2)F(3),[F(4)]2=F(4)F(5)-F(3)F(4),

...../

[F(2022)]2=/(2022)尸(2023)-尸(2021*(2022)

[F(2023)]2"(2023*(2024)-尸(2022*(2023),

所以[尸⑴了+[尸(2)了+…+[尸0023@023)F@024),所以D正确，

故选：BCD

【点睛】关键点点睛：此题考查斐波那契数列的性质，解题的关键是理解斐波那契数列中项之间的关系，

充分利用厂(力+2)=尸(〃+1)+尸⑺分析判断，考查推理能力和理解能力，属于较难题.

考点二、差数列及阶差数列

5

中典例引领

1.（23-24高二上•云南昆明•期末）数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中，提出

了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列，如数列2,4,7,11,16从第

二项起，每一项与前一项的差组成的新数列2,3,4,5是等差数列，则称数列2,4,7,11,16为二阶等

差数列.现有二阶等差数列｛4｝，其前六项分别为1，3,6,10,15,21,则空■的最小值为-

【答案】1

【分析】先得出递推公式，并用叠加法求出通项公式，再用基本不等式求最小值.

【详解】数列｛%｝的前六项分别为1,3,6,10,15,21,

依题知。2一。1=2,%一。2=3,。4一。3=4,L,an-an_x=«（«>2）,

叠力口可得：a〃-〃]=2+3H--FH=----------------｛n>2）,

2

n

整理得an=；"（几>2）,

当〃=1,满足氏二.,

2,

所以%=一,

2

n+Z2_

所以。“+i1"+、112L1-

n+1n+12n+12H+12\22

当且仅当空1=工时，即”=收一1,时等号成立，

又〃eN*,所以等号取不到，所以最小值在”=1时取得，

当力=1时，3=1,所以最小值为1.

故答案为：1

2.（23-24高三下•重庆•阶段练习）定义：满足jS=q（q为常数，„eN,）的数列｛4｝称为二阶等

an+lan

比数列，q为二阶公比.已知二阶等比数列I。“｝的二阶公比为行吗=1,。2=拒，则使得。">2024成立的最

小正整数〃为（）

A.7B.8C.9D.10

【答案】B

【分析】根据数列新定义可得出=（也广，利用累乘法求得％的表达式，解数列不等式，即可求得答案.

an-\

【详解】由题意知二阶等比数列I%｝的二阶公比为&,%=1,出=也，则”=拒，

6

1"，…，生3,

故工2'r，a=

%ax

将以上各式累乘得：小=（码"、（行厂•・…扬=（3=2—

故=2号2，令2千>2024，由于21°=1024,2"=2048,

故仅］)”>10,即(〃-1)〃>40,

又（〃-3的值随”的增大而增大，且（77）x7=42,（87）x8=56,

、匕rI(〃T)〃21

三"=7日寸'24=22=210xV2<210x2=2024'

；14

当”=8时,24_2>2024,

故n的最小值为8,

故选：B

3.（2024•全国•模拟预测）给定数列｛%｝,称｛%-*｝为｛%｝的差数列（或一阶差数列），称数列｛%-%｝

的差数列为｛«„）的二阶差数列

（1）求｛2"｝的二阶差数列;

⑵用含m的式子表示｛2'｝的m阶差数列,并求其前八项和.

【答案】⑴5｝

(2){2〃-“}2〃+1一加—21一加

【分析】（1）根据差数列的定义，依次求出数列｛2"｝的一阶差数列和二阶差数列即得;

（2）根据（1）的规律，猜想｛2"｝的冽阶差数列为｛2'力｝,接着运用数学归纳法进行证明；再根据等比数列

的前〃项和公式求解即得.

【详解】（1）由差数列的定义，数列｛2"｝的一阶差数列为｛2"-2i｝=｛2"7｝

数列｛2"｝的二阶差数列为｛21｝的一阶差数列，即｛2"-l-21'-2｝=｛21-2｝

故数列｛2"｝的二阶差数列为｛2"2｝.

（2）通过找规律得，｛2"｝的加阶差数列为｛2"—"｝,下面运用数学归纳法进行证明:

①当加=1时，显然成立；机=2时，由（1）得结论也成立.

②假设该结论对m=k（k>3）时成立，尝试证明其对加=左+1时也成立.

由差数列的定义，｛2"｝的上+1阶差数列即｛2"｝的左阶差数列的一阶差数列，即

{2〃一左2〃一左—1}—{2〃一左-1}—{2〃_"+i)}

故该结论对加=左+1时也成立，证毕.

故｛2"｝的加阶差数列为｛21"｝.该数列是以为首项，2为公比的等比数列,

故其前〃项和为5“=%尸"）=2二7）=2〃1+1—m

\-q1-2

7

故｛2"｝的加阶差数列为｛2n-m｝,其前n项和为S*=.

即时检测

I________L__________

1.(2024・四川自贡•一模)南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中，提出了一些新的垛

积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高

次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究，在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列，其前7项

分别为3,7,13,23,39,63,97,则该数列的第8项()

A.131B.139C.141D.143

【答案】D

【分析】根据"高阶等差数列"的定义求得第8项.

[详解]Q]=3,%=7,%=13,%=23,%=39,6=63,%=97,

—42—%—4,Z72=Q3—aZ~6,63=一=]0,

b4=a5-a4=16,&=4一％=24,d=%-R=34,

设。1=b?-b]=2,Q=—“2=4'。3="—4=6,。4=4-a=8,。5=~^5=1。，

所以C用-的=2,所以｛g｝是首项为2,公差为2的等差数列，

所以。6=2+5x2=12,即4=12,&=12+^6=12+34=46,

所以=心—%=46,%=%+46=97+46=143.

故选：D

2.(2024・四川南充・三模)对于数列｛对｝,规定A%为数列｛%｝的一阶差分，其中Aa“=%+「a"("eN*),

AA

规定屋氏为数列｛。J的左阶差分，其中Aa„=A^„+1-(〃eN).若％="("詈…,则=()

A.7B.9C.11D.13

【答案】D

【分析】由数列的新定义计算即可.

【详解】由=+可得

由屋氏=4*%,川-屋eN")可得"&=Aa7-Aa6,

2

所以A(76=Aa7—Atz6=49-36=13,

故选：D.

3.(2024•吉林长春•模拟预测)对于数列｛%｝,称｛△*｝为数列｛%｝的一阶差分数列，其中

A«„=-%("eN)对正整数M左22),称｛△),,｝为数列｛%｝的左阶差分数列，其中

8

A%“”已知数列｛叫的首项q=1,且为｛%｝的二阶差分数列.

⑴求数列｛%｝的通项公式；

⑵设，=:（〃2-"+2）,｛当｝为数列也｝的一阶差分数列，对V〃eN*,是否都有£>C=a“成立？并说明理

2z=i

由；（其中C：为组合数）

,、产"If-xn1«一"

⑶对于（2）中的数列｛玉｝,令%L+，其中;</<2.证明：\>,<2"-22.

22,=1

【答案】（I）。”"-??

⑵成立，理由见解析；

⑶证明见解析.

【分析】（1）由二阶差分数列的定义可得利"+1-%-2"=管%,将篦4=公%7%,可得%-2%=2",

构造等差数列即可求解；

（2）由一阶差分数列的定义可得当="+「4=",要证£x,C=a”成立，即证C：+2C；+…2一,

1=1

根据二项式定理即可证明；

（3）作差可得〃+厂"<2"+2一"，故为匕=；火（小尸）<；火仅+2],根据等比数列的求和公式即可证明.

z=i2z=i2z=i

【详解】（1）因为0。“+为｛%｝的二阶差分数列，所以-2〃=储见，

将A2a“…+]-Aa”,代入得"-2"=Aa”+「Aa”，整理得Aa“-an=2",即。用-2a,=2",

所以工勺=g.故数列[会:是首项为（，公差为（的等差数列,

因此，.=；+（〃-*,即％=-2一

（2）因为｛%｝为数列｛%｝的一阶差分数列，所以斗=&「a=〃,

故SxC=%成立，即为C：+2C；+…+〃C；,=n.2、①

Z=1

当力=1时，①式成立；

当〃22时，因为2"一=〃♦（1+1）”—=n­（C"+Ch+•••+C：：]）,且“C：」=kC：,

所以①成立，故对都有成立.

Z=1

fn_Lf-n1

（3）”==,因为尸<2,所以⑵）">"<2",

22

故（2"+2-"）-化+1）=焉匕―"九2。"-1]>0,即/+厂“<2"+2-"，

所以

9

»，三£（，+尸）＜[1（2,+2-）

'~22-1.1

i=l4i=l4i=l1-----

2

=（2"_1）+311_£]=2"_；（1+2一"）＜2"_，2-7^=2"_24.

【点睛】关键点点睛：涉及数列新定义问题，关键是正确理解给出的定义，由给定的数列结合新定义探求

数列的相关性质，并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.

考点三、平方数列与类平方数列

典例引领

1.（23-24高三上•四川绵阳•阶段练习）若数列匕,｝满足g+i=c；则称匕,｝为“平方递推数列”.已知数列｛。"｝

是"平方递推数列"，且％>0,。产1，则（）

A.｛Igaj是等差数列B.｛1g%+「1g%｝是等差数列

C.｛。/.｝是"平方递推数列"D.｛。用+%｝是"平方递推数列"

【答案】C

【分析】对于AB,由题意得见+[=d，然后根据等差数列的定义分析判断即可，对于CD,由平方递推数列

的定义分析判断.

【详解】对于AB,因为｛%｝是"平方递推数列〃，所以。用=。\

又%>0,所以4>0,则3%+1-炫。“=电也=坨％,（榜%+2-也4+1）-（也%+|-场。“）=恒。“+[-榜。“=唬％,

an

所以｛lg%｝,｛lg0用-1g%｝不是等差数列，所以AB不正确.

对于C,因为%+2%+1=片+~：=（%+1%）2，所以是"平方递推数列"，所以C正确.

对于D,因为。“+2+。“+1=4+1+4工（。用+。"）2>

所以｛。用+%｝不是"平方递推数列"，D不正确.

故选：C

1.（2024・海南•模拟预测）（多选）已知数列｛须｝满足：①qeZ；②VieN*,三"，%+1=甘,左eN*,

则称数列｛册｝为"类平方数列"，若数列｛0｝满足：①数列｛0｝不是“类平方数列"；②将数列｛0｝中的项调整

一定的顺序后可使得新数列成为"类平方数列"，则称数列｛“｝为"变换类平方数列”，则（）

A.已知数列a,="（lV〃V7,"eN*）,则数列｛a“｝为“类平方数列"

10

B.已知数列｛%｝为：3,5,6,11,则数列｛斯｝为"变换类平方数列"

4a1

C.已知数列｛an｝的前力顶和为；/+=/+；〃，则数列｛册｝为"类平方数列"

326

WJT

D.已知％=sinT，〃=1,2,3,4.则数列｛an｝为"变换类平方数列”

【答案】CD

【分析】利用"类平方数列"的定义判断AC；利用"变换类平方数列”的定义判断BD.

【详解】对于A,MN*,K7,a,+i=2i,当月2时，2z•不是正整数的平方，数列｛册｝不为"类平方数列”,

A错误；

对于B,zGN*,Z<4,当q=ll时,ai+i=\\+ie｛12,13,14,15｝,

即无论11为数列的第几项，11+1都不可能为正整数的平方，数列｛册｝不为"变换类平方数列〃，B错误；

312

对于C,当时，an=—[n-(H-1)]H—[n-(w-1)]J[n-(n-1]=4n-n,

326

43i

而%=—I---1—=3满足上式，则%=4/—〃，当〃时，ci+z=4z2=(2z)2,

326i

数列｛七｝为''类平方数列〃，C正确；

对于D,数列｛4｝的4项依次为-1,0,(M,将此数列调整为0,-1,1,0时,

有0+1=-1+2=匕1+3=0+4=22,因此数列｛册｝为〃变换类平方数列〃，D正确.

故选：CD

考点四、数列的单调性

典例引领

1.(2024•江西新余•模拟预测)我们规定：若数列优｝为递增数列且也为递增数列，则优｝为"X-数

列”.

⑴已知：U"心―，数列｛叫，也｝在｝中其中只有一个一列，它是一请从另

外两个数列中任选一个证明其不是X-数列.

(2)已知数列｛册｝满足：向-％)=4+%，%=1，I为｛an｝的前〃项和，试求｛册｝的通项并判断数列

是否为X-数列并证之.

⑶已知数列｛霰｝、｛%｝均为X-数列，且4>0,々>0,求证：数列也也为X-数列.

【答案】⑴,“｝,证明见解析

⑵氏=2〃-1,[2]不是X-数列，证明见解析

⑶证明见解析

11

【分析】（1）利用基函数的单调性可得｛c,J与I?1都是递增数列；利用特殊项的大小比较可得｛册｝与｛"J

均不是X-数列；

（2）由已知等式变形裂项可得=工-——,再由累加法可求通项鳗=2-工，进而可得。

n+1nnn+1nn

利用等差数列求和公式可得S„,由2=1可证明［e4不是X-数列；

nInJ

（3）由"X-数列〃的定义可得马当>”>0,组■>%>0,结合不等式的性质与放缩法得:用,

n+\nn+\n（几+1）n

由此分别证明c,<C"+i与99-宝>0即可得证.

n+1n

【详解】（1）空格处填｛g｝.

3

一371

原因如下：因为则£=后，

n

31.

由幕函数>=/与>=/在r［0,+8）上都是增函数，由“eN*,

故数列｛g｝与都是递增数列，则｛c„｝为"X-数列

若选｛a“｝,下面证明｛册｝不是X-数列.

证明：由%=[T]，则%3%一3_9.

一T~2JT~2~8

故?〉今，所以&不是递增数列.

12［〃J

故｛%｝不是X-数列；

若选国力，下面证明｛“｝不是X-数列.

,log32log3421og32

证明：由"T°g2",则匕=Jq_=J=J屈

222'442x22

所以，｝，不是递增数列.

故｛%｝不是X-数列.

（2）由〃（4+「％）=%+%=%+1可得〃4+1=（〃+1）%+1,

所以_----n__------=-------

n+1n+n〃+1

设‘〃=’，则仇_a=1_；，"一%=；一；，…，bn

n223n-1n

11n-1

累力口得6=1—7+7一彳~1-2--1----7

223n-\nnn

12

又4=?=1,故”=%=2」="

1nnn

所以〃〃二2几一1.由an+x—an=2(W+1)-1-(2H-1)=2,

故｛册｝是以1为首项，2为公差的等差数列.

所以5=叱”八则

即数列，:，是递增数列，但，*，不是递增数列，故，*，不是X-数列.

(3)数列｛%｝、｛%｝均为X—数列，且％>0,(>0,

由题意可得。“>q>0，bn>bx>Q,

且也>幺>0,二〉%>0,

〃+1n〃+1n

a3•bma-b

由不等式的性质可得，黄卡>ur，又％=。也>°，

〃％0+1

则g<<c”+>所以｛%｝为递增数歹U,

("+1)2

且有十〃的+1

5+1)2

C

mil„+1g_(〃+l)c，，+iC"、(〃+l)c，，+incn+l

则ur丁司广工‘耳»"^

故也是递增数列，故｛，“｝为X-数列.

即时检测

|L__________

1.(24-25高三上•河南•开学考试)若数列｛。“｝的相邻两项或几项之间的关系由函数/'(x)确定，则称/(无)为

｛%｝的递归函数.设｛%｝的递归函数为/(x)=-/+x.

(1)若0<%<1,«„+1=/(«„)(“eN*),证明：｛4｝为递减数列；

(2)若。"+i=/(a“)+5%+片，且％=g,｛0｝的前"项和记为S..

①求加

②我们称g(x)=[x]为取整函数，亦称高斯函数，它表示不超过x的最大整数，例如[L2]=1,[-1.3]=-2.若

2024

求2g(4).

z=lS-+1Z=1

【答案】⑴证明见解析

(2)①y-1；@10120

13

【分析】⑴根据定义得出(0」)，再根据--。“=乜＜0即可证明；

ns

(2)根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①；结合①得出,当〃=1时,

cq

7]=六=5,所以*]=5；当”22时，由放缩得出北＜5+：=5.6,结合7；27；=5得出g([)=⑵]=5进

2—15

而求解.

【详解】(1)证明：若0〈尤＜1,显然/(无)=x(l-x)e(O,l).

又所以的€(0,1),%e(O,l),L,an+l=/(a„)e(O,l),

所以

因为/(x)=-x2+x,g+i=/(%),所以。用=-%+。”，

=-。；＜。，所以%＞4+1，所以｛%｝是递减数列.

(2)①由题息得a”+i=-a”+。“+5^“+a*=&“，

又所以。“*0,所以曝=6,

a

3n

所以｛%｝是以g为首项，6为公比的等比数列，

则4(IT)：。——"1.

-：------------：———-

当〃=1时，7]=-^-=5,所以[*=5；

<5+3-+^---+—

所以当“22时，?；=E2.6/-I_1

3

所以当〃N2时，/<5+—=5.6,

又°工，＞0,所以=

所以V/eN*,5<Tn<5.6,所以g（7；）=/]=5,

所以2g（Z"024x5=1012。.

2024S6a

【点睛】关键点睛：求解\＞(为时，关键是求出7,的取值范围，根据不等式放缩得出:；＜9^=1

z=i2-6—12-66

是解题关键.

14

2.(2024・广东深圳•模拟预测)已知｛%｝是各项均为正整数的无穷递增数列，对于上eN*,定义集合

纥=｛/eN*|at<k\,设bk为集合Bk中的元素个数，特别规定：若星=0时，4=0.

⑴若5=2",写出白，&及瓦的值;

⑵若数列｛b„｝是等差数列，求数列｛%｝的通项公式；

(3)设集合S=｛s[s=〃+a””eN"｝,T=\t\f=n+bn,n&N,j,求证：SUT=N*且ScT=0.

【答案】⑴4=0,4=0,狐=3；

(2)。“=〃；

⑶证明见解析.

【分析】(1)根据数列｛%｝的定义，分别求出4，儿,狐；

(2)假设q="与2,an+l-an>2,均与数列｛bn｝是等差数列矛盾，进而得到数列｛an｝是以1为首项，1为公

差的等差数列，进而得到与=〃；

(3)根据定义得到数列｛"+“｝是递增数列；用反证法证明ScT=0,假设存在正整数peSfK,若

则推出0e7,与假设矛盾，所以ScT=0；SUTqN*,所以要证SU7=N*,只需证N*aSUT，qeN*

且4eS,能推出所以qeSUT,所以N*qSUT,所以结论成立.

【详解】(1)因为。“=2"22,所以4=0,b2=0,

由2"<3得，"=1,所以4=1,

由2"<10得，"=1,2,3,所以g=3；

(2)由题可知生之1,所以4=0,即4=0,

若q=〃?>2,则52=0,纥+i=｛1｝,

所以“=0，耙+1=1，与仍“｝是等差数列矛盾，所以％=1，

设力=%+「%(〃©N*),因为｛册｝是各项均为正整数的递增数列，所以d,eN*,

假设存在左eN*使得M云2,设。*=t,由。“+1-a”N2得4届言,+2,

由9=，V，+L<f+2WaM得b,<k,bM=bk+2=k,与也｝是等差数列矛盾,

所以对任意〃eN*都有4,=1,

所以数列｛%｝是等差数列，%=1+(〃-1)=〃；

(3)因为对于〃eN*,BnG3„+1,所以“M"+1，所以〃+dW〃+6,+i<〃+l+b“+i，即数列｛〃+，｝是递增数列，

先证明ScT=0,

假设ScT片0,设正整数pesnr,

由于peS,故存在正整数使得尸=，+q,所以q=p-i,

因为｛册｝是各项均为正整数的递增数列，所以—+

所以4T=，T,bp_M=i,

所以(P")+%=(p_，)+(I)=pT，(p_'+l)+%+i=(0-i+l)+i=p+l,

15

又因为数列｛〃+，｝是递增数列，所以PET,与假设矛盾，

所以ScT=0；

再证明SUT=N*,

由题可知SUr=N*,所以要证SUT=N*,只需证N*=SU7，设qeN*且qeS,

因为数列｛〃+%｝是各项均为正整数的递增数列，所以存在正整数九使得+

令J=min[/k<j+盯｝,

若4=1则4<1+%，即所以所以4=0,所以q+%=q+0=qeT,

1

若4>1，贝JOoT）+«7o-i<4<Jo+”，所以<4-4+1W%所以（4-J。+1）+b2=（4-J。+1）+0。-1）=4,

因为伍_，0+1）+4底+茂7,所以"7,所以qeSUT,

所以N*qSU7;

综上所述，SUT=N*且ScT=0.

【点睛】方法点睛：新定义问题解题策略

首先，明确新定义的特点；其次，根据定义中的步骤对具体题目进行运算；最后得到结论.

考点五、数列的凹凸性

典例引领

1.（2024•安徽池州•模拟预测）定义：若对V左€z,左22,%_+。川《2%,恒成立，则称数列｛%｝为"上凸数列

（1）若%=77=I,判断｛%｝是否为"上凸数列"，如果是，给出证明；如果不是，请说明理由.

（2）若｛%｝为"上凸数列"，则当〃zN"+2®,〃eN"）时，%+a“4%__1+0“+1.

（i）若数列S,为｛%｝的前〃项和，证明：S„>1（^+^,,）；

（ii）对于任意正整数序列网产2户3,…,x”…,X,（〃为常数且“22,〃eN*）,若gj3-l丘j/x厂，-1恒

成立，求彳的最小值.

【答案】（1）是，证明见解析

（2）（i）证明见解析；（ii）«-1

【分析】（1）构造函数〃x）=J（x+l）2-1-GT,XZ1,利用导数研究其单调性结合"上凸数列"定义判定

即可；

（2）（i）利用"上凸数列"定义及倒序相加法证明即可；令册;后二I，利用条件及数列求和适当放缩计

算即可.

【详解】（1）｛%｝是"上凸数列"，理由如下：

16

222

因为。〃=n—1,a研]—an=y1｛n+1)—1-Vz?—1,

令/(X)=J(X+1)-1—J幺-1,X>1,

f

川If(x\=X+1___X_J(x+l)3(j―]卜#3(X+2)

、J(x+1)2-1Vx2-1^/(x+1)2-1-A/X2-1

当时，(x+1)3(x-1)-/(%+2)=-2x-1<0,

所以J(x+1)3(X_])<Jx，(x+2),

所以/'(x)<0J(x)在区间[l,+8)上单调递减，

所以/(几)>/(〃+1),4n+\~an>an+2~an+\>

所以a,铉+a,M2%,

所以｛%｝是"上凸数列

(2)(i)证明：因为｛%｝是"上凸数列"，由题意可得对任意l<7Y〃(ieN*),

%+an_M>%+an_i+2>%+a„_;+3-->a2+an_x>ax+a„

所以2s,=(%+a“)+(%+a,i)+—+(a„_i+%)％+a),

所以

(ii)解：令a“=J/-1，

由(1)可得当a〃=J71I时，｛%｝是"上凸数列"，

由题意可知，当机2〃+2(加,〃eN*)时，am+an<am_x+an+i.

因为£J尤;-1=Jx；_1+yjx；_]+展_]+--F店-1，

i=l

即-1=｛X；-1+Jx；­]+《X；-]H--

当且仅当网=%=…=X"T时等号成立,

所以X21.

综上所述，4的最小值为〃-L

17

即0唧(

1.(24-25高三上•安徽亳州•开学考试)已知数列｛%｝,对于任意的“eN*,都有见+。用＞2。用，则称数列

｛见｝为“凹数列”.

(1)判断数列。“=2”是否为"凹数列"，请说明理由；

⑵已知等差数列｛2｝,首项为4,公差为d,且为"凹数列"，求d的取值范围；

⑶证明：数列死,｝为"凹数歹！J"的充要条件是"对于任意的无，加,”©N*,当人＜能＜”时，有上?＜仁人”.

m-kn—m

【答案】(1)数列｛2"｝是"凹数列"，理由见解析

(2)(-®,4)

⑶证明见解析

【分析】⑴计算出。"+。”+2＞2。用，故满足"凹数列"的定义；

(2)利用等差数列通项公式得到6,=4+("-1)d,由题意得上+&＞2x%对任意”22,〃eN*恒成立，

n-\n+1n

化简得到d＜4,得到答案；

(3)先证明出必要性，放缩得到上%故上?＜乙+「匕＜^^』，再证明充分性，取

n-m