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文档简介
第02讲数列中的新定义综合
(8类核心考点精讲精练)
.考情探究•
新高考改革后,数列作为高中数学的重要组成部分,在考试中占据了重要的地位。数列的考查不仅限
于传统的等差数列、等比数列等基础知识,还涉及到了一些新的定义和概念。这些新定义通常要求考生具
备较强的逻辑推理能力和创新思维。
在新定义数列的考题中,有以下几种情况:
1.新定义的数列类型:例如,斐波那契数列的变种、递推数列、分段定义的数列等。这些数列的定义
和性质可能与传统数列有所不同,需要考生仔细阅读题目,准确理解新定义。
2.数列性质的探究:考生可能需要探究新定义数列的通项公式、递推关系、特殊项的性质等。这要求
考生能够灵活运用数学归纳法、数列极限等数学工具。
3.数列与函数、不等式等其他数学知识的综合应用:新定义数列的题目往往与其他数学知识相结合,
考查考生的综合运用能力。例如,数列与函数的图像、数列与不等式的解法等。
4.实际问题的数学建模:新高考数学注重考查学生的实际应用能力,因此,数列问题可能会与实际问
题相结合,要求考生建立数学模型来解决实际问题。
为了应对新定义数列的考题,考生需要:
・熟悉并掌握高中数学数列的基本概念和性质。
•增强阅读理解能力,准确把握新定义数列的特点。
・培养逻辑推理和创新思维,能够独立探究数列的性质。
・加强与其他数学知识的联系,提高综合运用数学知识解决问题的能力。
・注重实际问题的数学建模训练,提升解决实际问题的能力。
总之,新高考数学数列部分的考查更加注重考生的综合能力,考生需要在平时的学习中注重基础知识
的积累,同时加强思维训练和实际应用能力的培养。
•考点梳理•
1
考点1斐波那契数列
考点一、斐波那契数列
典例引领
1.(2024•黑龙江大庆•模拟预测)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时,发现有这样的一列数:
1,1,2,3,5,8,…,该数列的特点是:从第三个数起,每一个数都等于它前面两个数的和,人们把这样的一列数
所组成的数列{%}称为"斐波那契数列",则即+《+药+…+为。24是斐波那契数列中的第项.
“2024
【答案】2025
【分析】根据“斐波那契数列"的递推关系可得结果.
【详解】依题意有:%+2=4+1+为
一。2024。2025=。2024(。2024+“2023)=〃2024-1~42023(“202342022
“2024+02023+“2022(“2022+“2021)="2024+“2023+“202242+42%
=a;024+^2023+a2022-----F,
而[、]%+%++…+/024.4202442025_〃
所以:------------------------------a2025,
的024。2024
故答案为:2025.
2.(2024・贵州遵义•模拟预测)(多选)数歹U优}:1,1,2,3,5,8,13,21,34,...称为斐波那契数歹U,
又称黄金分割该数列,从第三项开始,各项等于其前相邻两项之和,即工+2=£M+£(〃eN*),则下列选
项正确的是()
A.片o=55
B.片+玛+区+月+……+%=&
C.......+6024=工205
F2+F4+F6+FS+
D.斤+怎+号+冗2+……+F;=FJFZ
【答案】ABD
2
【分析】根据递推公式进行验证.
【详解】由已知%=21+34=55,A正确;
&=-&+4+2••="3+居i+…+£+月=工3+与i+…+£+/,B正确;
/2025=月024+-^2023=^2024+^*2022+工021=',,=£()24+^*2022+.,"K+£=g024+尸2022+且+鸟+月,C错;
££「£(£+FQ=琉+Fn_xFn=琮+FZ(FQ+工_2)=F;+%+Fn_1Fn_2=-=F^+F^+.-+F^+F3F2
=£2+己|+~+或+月(耳+耳)=£2+己|+~+呼+1+月£=£2+己|+―+号+琢+开,口正确,
故选:ABD.
3.(23-24高三上•河北廊坊•期末)意大利数学家斐波那契以兔子繁殖数量为例,引入数列:1,1,2,3,5,
8,该数列从第三项起,每一项都等于前两项之和,即。”+2=%+i+a,("eN*),故此数列称为斐波那契数歹U,
又称为"兔子数列”,其通项公式为。“=£—J]-设”是不等式
1082[(1+指)"-(1一行)[>〃+6的正整数解,贝U"的最小值为()
A.6B.7C.8D.9
【答案】D
【分析】利用对数运算将log?[(1+逐)"-(1-⑹"]>〃+6变形化简得到|后2/sY―f1_>26,结合0“的
表达式可得片>、-,结合&=21,%=34,即可求出答案.
【详解】因为logj(l+b)"_(1一石)"]>”+6,
所以唾2[(1+6)'-(1一⑹1一心6,二.log2[(l+5"-”析[一1鸣2">6,
由斐波那契数歹U可知。8=21,%=34,贝IJd<、,0;>、,
所以〃的最小值为9,
故选:D.
即时检测
3
1.(2024•河南•模拟预测)我们把由0和1组成的数列称为0-1数列,0-1数列在计算机科学和信息技术领
域有着广泛应用,把斐波那契数列{月}(片=g=1,工+2=月+工+1)中的奇数换成0,偶数换成1可得到
0-1数列5„},若数列5}的前"项和为S“,且&=100,则左的值可能是()
A.100B.201C.302D.399
【答案】C
【分析】根据题意求出{斯}的前若干项,找出规律,从而逐一检验各选项即可得解.
【详解】因为4=月=1,F“HFw
所以用=2,玛=3,居=5,用=8,居=13,用=21,&=34,…,
所以数列{即}的前若干项为:
=。2=°,。3=L。4=°,%=°,。6=1,%=°,。8=°,。9=1,…,
贝I」%+出+%=%+〃5+〃6=%+〃8+〃9='"=^f
所以儿0=33x1+0=33,邑01=67乂1=67,
5302=100x1+0x2=100,5399=133x1=133.
故选:C.
2.(24-25高二上•山东青岛•阶段练习)在数学上,斐波纳契数列{4}定义为:4=1,a2=l,an+2^an+an+l,
斐波纳契数列有种看起来很神奇的巧合,如根据。“+2=。”+%+1可得。“=%+2-%+1,所以
aa
%+%+...+%=(%-°2)+(°4.%)+…+(%+2_4"+1)=n+2-%=n+2~>类比这一方法,可得
a;+星+…a;。=()
A.714B.1870C.4895D.4896
【答案】C
【分析】根据题意,分析可得。用=。“+2-。”,进而变形可得。3=““+2%+「。”+4,据此可得
a;+W+…0].=a;+(。2。3—。2%)+(。304—0203)+...+°9%0),计算可彳导
【详解】根据题意,数列{0“}满足。.=%+2-。7,即。用=2+2-。“,
两边同乘以an+1,可得a3=an+2an+l-an+ian,
贝!Ja;+4/2+…a;。=a:+(a2a3—a。1)+(a3a4—a。%)+
...+—°9%0)=1—的%+%o“ii=1—1+55x89=4895.
故选:C.
3.(2024・山东•模拟预测)(多选)意大利著名数学家斐波那契在研究兔子的繁殖问题时,发现有这样的一
列数:1,1,2,3,5,8,13,21,....该数列的特点如下:前两个数均为1,从第三个数起,每一个数都等
于它前面两个数的和.人们把这样的一列数组成的数列称为斐波那契数列,若用尸("W^N*)表示斐波那契
数列的第〃项,则数歹此尸(")}满足:F(1)=F(2)=1,尸(”+2)=尸(〃+1)+尸⑺.则下列说法正确的是()
A.尸(10)=34
4
B.3F(n)=F(n-2)+F(n+2)(n>3)
C.F(l)+F(2)+---+F(2023)=F^025)-1
D.[/⑴7+[/2)丁+…+田2O2'T=风2023.R2029
【答案】BCD
【分析】对于A,根据题意求出斐波那契数列的前10项进行判断,对于B,当"23时,
尸(〃一1)+尸(〃-2)=尸⑺,F(n+l)=F(n)+F(n-l),尸(〃+2)=尸(〃+1)+尸⑺,三式相加判断,对于C,
根据尸(〃+2)=尸(〃+1)+尸(〃),对〃依次取1,2,......,2023,得到2023个式子相加进行判断,对于D,
由尸("+2)=/(〃+1)+尸⑺,[F(n+1)]2=F(n+1)F(M+2)-F(H)F(H+1),对〃依次取1,2.........2022,
然后相加进行判断.
【详解】对于A,由题意可知斐波那契数列的前10项为1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,
所以尸(10)=55,所以A错误,
对于B,当“23时,F(n-1)+F(n-2)=F(«),/(〃+1)=尸⑺+尸,户(〃+2)=尸(〃+1)+尸(〃),
所以三式相加得尸(〃-1)+F(/?-2)+F(n+l)+F(w+2)=F(«)+尸(〃)+F(«-l)+F(n+1)+F(n),
所以3尸(〃)=尸(〃-2)+尸(〃+2乂〃23),所以B正确,
对于C,因为数列但⑺}满足:尸⑴=网2)=1,尸(〃+2)=尸(〃+1)+/⑺,
所以/(3)="2)+尸(1),F(4)=F(3)+F(2),F(5)=F(4)+F(3),….,
厂(2023)=尸(2022)+尸(2021),"2024)=尸(2023)+/(2022),尸(2025)=/(2024)+/(2023),
以上2023个等式相加得尸(2025)=F(2)+尸⑴+尸(2)+尸(3)+…+厂(2022)+尸(2023),
因为22)=1,所以尸⑴+尸(2)+…+尸(2023)=*2025)-1,所以C正确,
对于D,因为尸⑴=网2)=1,尸(〃+2)=尸(〃+1)+尸⑺,
2
所以[尸⑴了=尸(1)尸⑵,[F(2)]=F(2)F(3)-F(1)JF(2),
[厂(3)了=F(3)F(4)-F(2)F(3),[F(4)]2=F(4)F(5)-F(3)F(4),
...../
[F(2022)]2=/(2022)尸(2023)-尸(2021*(2022)
[F(2023)]2"(2023*(2024)-尸(2022*(2023),
所以[尸⑴了+[尸(2)了+…+[尸0023@023)F@024),所以D正确,
故选:BCD
【点睛】关键点点睛:此题考查斐波那契数列的性质,解题的关键是理解斐波那契数列中项之间的关系,
充分利用厂(力+2)=尸(〃+1)+尸⑺分析判断,考查推理能力和理解能力,属于较难题.
考点二、差数列及阶差数列
5
中典例引领
1.(23-24高二上•云南昆明•期末)数学家杨辉在其专著《详解九章算术法》和《算法通变本末》中,提出
了一些新的高阶等差数列.其中二阶等差数列是一个常见的高阶等差数列,如数列2,4,7,11,16从第
二项起,每一项与前一项的差组成的新数列2,3,4,5是等差数列,则称数列2,4,7,11,16为二阶等
差数列.现有二阶等差数列{4},其前六项分别为1,3,6,10,15,21,则空■的最小值为-
【答案】1
【分析】先得出递推公式,并用叠加法求出通项公式,再用基本不等式求最小值.
【详解】数列{%}的前六项分别为1,3,6,10,15,21,
依题知。2一。1=2,%一。2=3,。4一。3=4,L,an-an_x=«(«>2),
叠力口可得:a〃-〃]=2+3H--FH=----------------{n>2),
2
n
整理得an=;"(几>2),
当〃=1,满足氏二.,
2,
所以%=一,
2
n+Z2_
所以。“+i1"+、112L1-
n+1n+12n+12H+12\22
当且仅当空1=工时,即”=收一1,时等号成立,
又〃eN*,所以等号取不到,所以最小值在”=1时取得,
当力=1时,3=1,所以最小值为1.
故答案为:1
2.(23-24高三下•重庆•阶段练习)定义:满足jS=q(q为常数,„eN,)的数列{4}称为二阶等
an+lan
比数列,q为二阶公比.已知二阶等比数列I。“}的二阶公比为行吗=1,。2=拒,则使得。">2024成立的最
小正整数〃为()
A.7B.8C.9D.10
【答案】B
【分析】根据数列新定义可得出=(也广,利用累乘法求得%的表达式,解数列不等式,即可求得答案.
an-\
【详解】由题意知二阶等比数列I%}的二阶公比为&,%=1,出=也,则”=拒,
6
1",…,生3,
故工2'r,a=
%ax
将以上各式累乘得:小=(码"、(行厂•・…扬=(3=2—
故=2号2,令2千>2024,由于21°=1024,2"=2048,
故仅])”>10,即(〃-1)〃>40,
又(〃-3的值随”的增大而增大,且(77)x7=42,(87)x8=56,
、匕rI(〃T)〃21
三"=7日寸'24=22=210xV2<210x2=2024'
;14
当”=8时,24_2>2024,
故n的最小值为8,
故选:B
3.(2024•全国•模拟预测)给定数列{%},称{%-*}为{%}的差数列(或一阶差数列),称数列{%-%}
的差数列为{«„)的二阶差数列
(1)求{2"}的二阶差数列;
⑵用含m的式子表示{2'}的m阶差数列,并求其前八项和.
【答案】⑴5}
(2){2〃-“}2〃+1一加—21一加
【分析】(1)根据差数列的定义,依次求出数列{2"}的一阶差数列和二阶差数列即得;
(2)根据(1)的规律,猜想{2"}的冽阶差数列为{2'力},接着运用数学归纳法进行证明;再根据等比数列
的前〃项和公式求解即得.
【详解】(1)由差数列的定义,数列{2"}的一阶差数列为{2"-2i}={2"7}
数列{2"}的二阶差数列为{21}的一阶差数列,即{2"-l-21'-2}={21-2}
故数列{2"}的二阶差数列为{2"2}.
(2)通过找规律得,{2"}的加阶差数列为{2"—"},下面运用数学归纳法进行证明:
①当加=1时,显然成立;机=2时,由(1)得结论也成立.
②假设该结论对m=k(k>3)时成立,尝试证明其对加=左+1时也成立.
由差数列的定义,{2"}的上+1阶差数列即{2"}的左阶差数列的一阶差数列,即
{2〃一左2〃一左—1}—{2〃一左-1}—{2〃_"+i)}
故该结论对加=左+1时也成立,证毕.
故{2"}的加阶差数列为{21"}.该数列是以为首项,2为公比的等比数列,
故其前〃项和为5“=%尸")=2二7)=2〃1+1—m
\-q1-2
7
故{2"}的加阶差数列为{2n-m},其前n项和为S*=.
即时检测
I________L__________
1.(2024・四川自贡•一模)南末数学家杨辉在《详解九章算法》和《算法通变本末》中,提出了一些新的垛
积公式,所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同,前后两项之差并不相等,但是逐项差数之差或者高
次差成等差数列.对这类高阶等差数列的研究,在杨辉之后一般称为“垛积术”.现有高阶等差数列,其前7项
分别为3,7,13,23,39,63,97,则该数列的第8项()
A.131B.139C.141D.143
【答案】D
【分析】根据"高阶等差数列"的定义求得第8项.
[详解]Q]=3,%=7,%=13,%=23,%=39,6=63,%=97,
—42—%—4,Z72=Q3—aZ~6,63=一=]0,
b4=a5-a4=16,&=4一%=24,d=%-R=34,
设。1=b?-b]=2,Q=—“2=4'。3="—4=6,。4=4-a=8,。5=~^5=1。,
所以C用-的=2,所以{g}是首项为2,公差为2的等差数列,
所以。6=2+5x2=12,即4=12,&=12+^6=12+34=46,
所以=心—%=46,%=%+46=97+46=143.
故选:D
2.(2024・四川南充・三模)对于数列{对},规定A%为数列{%}的一阶差分,其中Aa“=%+「a"("eN*),
AA
规定屋氏为数列{。J的左阶差分,其中Aa„=A^„+1-(〃eN).若%="("詈…,则=()
A.7B.9C.11D.13
【答案】D
【分析】由数列的新定义计算即可.
【详解】由=+可得
由屋氏=4*%,川-屋eN")可得"&=Aa7-Aa6,
2
所以A(76=Aa7—Atz6=49-36=13,
故选:D.
3.(2024•吉林长春•模拟预测)对于数列{%},称{△*}为数列{%}的一阶差分数列,其中
A«„=-%("eN)对正整数M左22),称{△),,}为数列{%}的左阶差分数列,其中
8
A%“”已知数列{叫的首项q=1,且为{%}的二阶差分数列.
⑴求数列{%}的通项公式;
⑵设,=:(〃2-"+2),{当}为数列也}的一阶差分数列,对V〃eN*,是否都有£>C=a“成立?并说明理
2z=i
由;(其中C:为组合数)
,、产"If-xn1«一"
⑶对于(2)中的数列{玉},令%L+,其中;</<2.证明:\>,<2"-22.
22,=1
【答案】(I)。”"-??
⑵成立,理由见解析;
⑶证明见解析.
【分析】(1)由二阶差分数列的定义可得利"+1-%-2"=管%,将篦4=公%7%,可得%-2%=2",
构造等差数列即可求解;
(2)由一阶差分数列的定义可得当="+「4=",要证£x,C=a”成立,即证C:+2C;+…2一,
1=1
根据二项式定理即可证明;
(3)作差可得〃+厂"<2"+2一",故为匕=;火(小尸)<;火仅+2],根据等比数列的求和公式即可证明.
z=i2z=i2z=i
【详解】(1)因为0。“+为{%}的二阶差分数列,所以-2〃=储见,
将A2a“…+]-Aa”,代入得"-2"=Aa”+「Aa”,整理得Aa“-an=2",即。用-2a,=2",
所以工勺=g.故数列[会:是首项为(,公差为(的等差数列,
因此,.=;+(〃-*,即%=-2一
(2)因为{%}为数列{%}的一阶差分数列,所以斗=&「a=〃,
故SxC=%成立,即为C:+2C;+…+〃C;,=n.2、①
Z=1
当力=1时,①式成立;
当〃22时,因为2"一=〃♦(1+1)”—=n(C"+Ch+•••+C::]),且“C:」=kC:,
所以①成立,故对都有成立.
Z=1
fn_Lf-n1
(3)”==,因为尸<2,所以⑵)">"<2",
22
故(2"+2-")-化+1)=焉匕―"九2。"-1]>0,即/+厂“<2"+2-",
所以
9
»,三£(,+尸)<[1(2,+2-)
'~22-1.1
i=l4i=l4i=l1-----
2
=(2"_1)+311_£]=2"_;(1+2一")<2"_,2-7^=2"_24.
【点睛】关键点点睛:涉及数列新定义问题,关键是正确理解给出的定义,由给定的数列结合新定义探求
数列的相关性质,并进行合理的计算、分析、推理等方法综合解决.
考点三、平方数列与类平方数列
典例引领
1.(23-24高三上•四川绵阳•阶段练习)若数列匕,}满足g+i=c;则称匕,}为“平方递推数列”.已知数列{。"}
是"平方递推数列",且%>0,。产1,则()
A.{Igaj是等差数列B.{1g%+「1g%}是等差数列
C.{。/.}是"平方递推数列"D.{。用+%}是"平方递推数列"
【答案】C
【分析】对于AB,由题意得见+[=d,然后根据等差数列的定义分析判断即可,对于CD,由平方递推数列
的定义分析判断.
【详解】对于AB,因为{%}是"平方递推数列〃,所以。用=。\
又%>0,所以4>0,则3%+1-炫。“=电也=坨%,(榜%+2-也4+1)-(也%+|-场。“)=恒。“+[-榜。“=唬%,
an
所以{lg%},{lg0用-1g%}不是等差数列,所以AB不正确.
对于C,因为%+2%+1=片+~:=(%+1%)2,所以是"平方递推数列",所以C正确.
对于D,因为。“+2+。“+1=4+1+4工(。用+。")2>
所以{。用+%}不是"平方递推数列",D不正确.
故选:C
1.(2024・海南•模拟预测)(多选)已知数列{须}满足:①qeZ;②VieN*,三",%+1=甘,左eN*,
则称数列{册}为"类平方数列",若数列{0}满足:①数列{0}不是“类平方数列";②将数列{0}中的项调整
一定的顺序后可使得新数列成为"类平方数列",则称数列{“}为"变换类平方数列”,则()
A.已知数列a,="(lV〃V7,"eN*),则数列{a“}为“类平方数列"
10
B.已知数列{%}为:3,5,6,11,则数列{斯}为"变换类平方数列"
4a1
C.已知数列{an}的前力顶和为;/+=/+;〃,则数列{册}为"类平方数列"
326
WJT
D.已知%=sinT,〃=1,2,3,4.则数列{an}为"变换类平方数列”
【答案】CD
【分析】利用"类平方数列"的定义判断AC;利用"变换类平方数列”的定义判断BD.
【详解】对于A,MN*,K7,a,+i=2i,当月2时,2z•不是正整数的平方,数列{册}不为"类平方数列”,
A错误;
对于B,zGN*,Z<4,当q=ll时,ai+i=\\+ie{12,13,14,15},
即无论11为数列的第几项,11+1都不可能为正整数的平方,数列{册}不为"变换类平方数列〃,B错误;
312
对于C,当时,an=—[n-(H-1)]H—[n-(w-1)]J[n-(n-1]=4n-n,
326
43i
而%=—I---1—=3满足上式,则%=4/—〃,当〃时,ci+z=4z2=(2z)2,
326i
数列{七}为''类平方数列〃,C正确;
对于D,数列{4}的4项依次为-1,0,(M,将此数列调整为0,-1,1,0时,
有0+1=-1+2=匕1+3=0+4=22,因此数列{册}为〃变换类平方数列〃,D正确.
故选:CD
考点四、数列的单调性
典例引领
1.(2024•江西新余•模拟预测)我们规定:若数列优}为递增数列且也为递增数列,则优}为"X-数
列”.
⑴已知:U"心―,数列{叫,也}在}中其中只有一个一列,它是一请从另
外两个数列中任选一个证明其不是X-数列.
(2)已知数列{册}满足:向-%)=4+%,%=1,I为{an}的前〃项和,试求{册}的通项并判断数列
是否为X-数列并证之.
⑶已知数列{霰}、{%}均为X-数列,且4>0,々>0,求证:数列也也为X-数列.
【答案】⑴,“},证明见解析
⑵氏=2〃-1,[2]不是X-数列,证明见解析
⑶证明见解析
11
【分析】(1)利用基函数的单调性可得{c,J与I?1都是递增数列;利用特殊项的大小比较可得{册}与{"J
均不是X-数列;
(2)由已知等式变形裂项可得=工-——,再由累加法可求通项鳗=2-工,进而可得。
n+1nnn+1nn
利用等差数列求和公式可得S„,由2=1可证明[e4不是X-数列;
nInJ
(3)由"X-数列〃的定义可得马当>”>0,组■>%>0,结合不等式的性质与放缩法得:用,
n+\nn+\n(几+1)n
由此分别证明c,<C"+i与99-宝>0即可得证.
n+1n
【详解】(1)空格处填{g}.
3
一371
原因如下:因为则£=后,
n
31.
由幕函数>=/与>=/在r[0,+8)上都是增函数,由“eN*,
故数列{g}与都是递增数列,则{c„}为"X-数列
若选{a“},下面证明{册}不是X-数列.
证明:由%=[T],则%3%一3_9.
一T~2JT~2~8
故?〉今,所以&不是递增数列.
12[〃J
故{%}不是X-数列;
若选国力,下面证明{“}不是X-数列.
,log32log3421og32
证明:由"T°g2",则匕=Jq_=J=J屈
222'442x22
所以,},不是递增数列.
故{%}不是X-数列.
(2)由〃(4+「%)=%+%=%+1可得〃4+1=(〃+1)%+1,
所以_----n__------=-------
n+1n+n〃+1
设‘〃=’,则仇_a=1_;,"一%=;一;,…,bn
n223n-1n
11n-1
累力口得6=1—7+7一彳~1-2--1----7
223n-\nnn
12
又4=?=1,故”=%=2」="
1nnn
所以〃〃二2几一1.由an+x—an=2(W+1)-1-(2H-1)=2,
故{册}是以1为首项,2为公差的等差数列.
所以5=叱”八则
即数列,:,是递增数列,但,*,不是递增数列,故,*,不是X-数列.
(3)数列{%}、{%}均为X—数列,且%>0,(>0,
由题意可得。“>q>0,bn>bx>Q,
且也>幺>0,二〉%>0,
〃+1n〃+1n
a3•bma-b
由不等式的性质可得,黄卡>ur,又%=。也>°,
〃%0+1
则g<<c”+>所以{%}为递增数歹U,
("+1)2
且有十〃的+1
5+1)2
C
mil„+1g_(〃+l)c,,+iC"、(〃+l)c,,+incn+l
则ur丁司广工‘耳»"^
故也是递增数列,故{,“}为X-数列.
即时检测
|L__________
1.(24-25高三上•河南•开学考试)若数列{。“}的相邻两项或几项之间的关系由函数/'(x)确定,则称/(无)为
{%}的递归函数.设{%}的递归函数为/(x)=-/+x.
(1)若0<%<1,«„+1=/(«„)(“eN*),证明:{4}为递减数列;
(2)若。"+i=/(a“)+5%+片,且%=g,{0}的前"项和记为S..
①求加
②我们称g(x)=[x]为取整函数,亦称高斯函数,它表示不超过x的最大整数,例如[L2]=1,[-1.3]=-2.若
2024
求2g(4).
z=lS-+1Z=1
【答案】⑴证明见解析
(2)①y-1;@10120
13
【分析】⑴根据定义得出(0」),再根据--。“=乜<0即可证明;
ns
(2)根据等比数列的定义及等比数列的求和公式即可求解①;结合①得出,当〃=1时,
cq
7]=六=5,所以*]=5;当”22时,由放缩得出北<5+:=5.6,结合7;27;=5得出g([)=⑵]=5进
2—15
而求解.
【详解】(1)证明:若0〈尤<1,显然/(无)=x(l-x)e(O,l).
又所以的€(0,1),%e(O,l),L,an+l=/(a„)e(O,l),
所以
因为/(x)=-x2+x,g+i=/(%),所以。用=-%+。”,
=-。;<。,所以%>4+1,所以{%}是递减数列.
(2)①由题息得a”+i=-a”+。“+5^“+a*=&“,
又所以。“*0,所以曝=6,
a
3n
所以{%}是以g为首项,6为公比的等比数列,
则4(IT):。——"1.
-:------------:———-
当〃=1时,7]=-^-=5,所以[*=5;
<5+3-+^---+—
所以当“22时,?;=E2.6/-I_1
3
所以当〃N2时,/<5+—=5.6,
又°工,>0,所以=
所以V/eN*,5<Tn<5.6,所以g(7;)=/]=5,
所以2g(Z"024x5=1012。.
2024S6a
【点睛】关键点睛:求解\>(为时,关键是求出7,的取值范围,根据不等式放缩得出:;<9^=1
z=i2-6—12-66
是解题关键.
14
2.(2024・广东深圳•模拟预测)已知{%}是各项均为正整数的无穷递增数列,对于上eN*,定义集合
纥={/eN*|at<k\,设bk为集合Bk中的元素个数,特别规定:若星=0时,4=0.
⑴若5=2",写出白,&及瓦的值;
⑵若数列{b„}是等差数列,求数列{%}的通项公式;
(3)设集合S={s[s=〃+a””eN"},T=\t\f=n+bn,n&N,j,求证:SUT=N*且ScT=0.
【答案】⑴4=0,4=0,狐=3;
(2)。“=〃;
⑶证明见解析.
【分析】(1)根据数列{%}的定义,分别求出4,儿,狐;
(2)假设q="与2,an+l-an>2,均与数列{bn}是等差数列矛盾,进而得到数列{an}是以1为首项,1为公
差的等差数列,进而得到与=〃;
(3)根据定义得到数列{"+“}是递增数列;用反证法证明ScT=0,假设存在正整数peSfK,若
则推出0e7,与假设矛盾,所以ScT=0;SUTqN*,所以要证SU7=N*,只需证N*aSUT,qeN*
且4eS,能推出所以qeSUT,所以N*qSUT,所以结论成立.
【详解】(1)因为。“=2"22,所以4=0,b2=0,
由2"<3得,"=1,所以4=1,
由2"<10得,"=1,2,3,所以g=3;
(2)由题可知生之1,所以4=0,即4=0,
若q=〃?>2,则52=0,纥+i={1},
所以“=0,耙+1=1,与仍“}是等差数列矛盾,所以%=1,
设力=%+「%(〃©N*),因为{册}是各项均为正整数的递增数列,所以d,eN*,
假设存在左eN*使得M云2,设。*=t,由。“+1-a”N2得4届言,+2,
由9=,V,+L<f+2WaM得b,<k,bM=bk+2=k,与也}是等差数列矛盾,
所以对任意〃eN*都有4,=1,
所以数列{%}是等差数列,%=1+(〃-1)=〃;
(3)因为对于〃eN*,BnG3„+1,所以“M"+1,所以〃+dW〃+6,+i<〃+l+b“+i,即数列{〃+,}是递增数列,
先证明ScT=0,
假设ScT片0,设正整数pesnr,
由于peS,故存在正整数使得尸=,+q,所以q=p-i,
因为{册}是各项均为正整数的递增数列,所以—+
所以4T=,T,bp_M=i,
所以(P")+%=(p_,)+(I)=pT,(p_'+l)+%+i=(0-i+l)+i=p+l,
15
又因为数列{〃+,}是递增数列,所以PET,与假设矛盾,
所以ScT=0;
再证明SUT=N*,
由题可知SUr=N*,所以要证SUT=N*,只需证N*=SU7,设qeN*且qeS,
因为数列{〃+%}是各项均为正整数的递增数列,所以存在正整数九使得+
令J=min[/k<j+盯},
若4=1则4<1+%,即所以所以4=0,所以q+%=q+0=qeT,
1
若4>1,贝JOoT)+«7o-i<4<Jo+”,所以<4-4+1W%所以(4-J。+1)+b2=(4-J。+1)+0。-1)=4,
因为伍_,0+1)+4底+茂7,所以"7,所以qeSUT,
所以N*qSU7;
综上所述,SUT=N*且ScT=0.
【点睛】方法点睛:新定义问题解题策略
首先,明确新定义的特点;其次,根据定义中的步骤对具体题目进行运算;最后得到结论.
考点五、数列的凹凸性
典例引领
1.(2024•安徽池州•模拟预测)定义:若对V左€z,左22,%_+。川《2%,恒成立,则称数列{%}为"上凸数列
(1)若%=77=I,判断{%}是否为"上凸数列",如果是,给出证明;如果不是,请说明理由.
(2)若{%}为"上凸数列",则当〃zN"+2®,〃eN")时,%+a“4%__1+0“+1.
(i)若数列S,为{%}的前〃项和,证明:S„>1(^+^,,);
(ii)对于任意正整数序列网产2户3,…,x”…,X,(〃为常数且“22,〃eN*),若gj3-l丘j/x厂,-1恒
成立,求彳的最小值.
【答案】(1)是,证明见解析
(2)(i)证明见解析;(ii)«-1
【分析】(1)构造函数〃x)=J(x+l)2-1-GT,XZ1,利用导数研究其单调性结合"上凸数列"定义判定
即可;
(2)(i)利用"上凸数列"定义及倒序相加法证明即可;令册;后二I,利用条件及数列求和适当放缩计
算即可.
【详解】(1){%}是"上凸数列",理由如下:
16
222
因为。〃=n—1,a研]—an=y1{n+1)—1-Vz?—1,
令/(X)=J(X+1)-1—J幺-1,X>1,
f
川If(x\=X+1___X_J(x+l)3(j―]卜#3(X+2)
、J(x+1)2-1Vx2-1^/(x+1)2-1-A/X2-1
当时,(x+1)3(x-1)-/(%+2)=-2x-1<0,
所以J(x+1)3(X_])<Jx,(x+2),
所以/'(x)<0J(x)在区间[l,+8)上单调递减,
所以/(几)>/(〃+1),4n+\~an>an+2~an+\>
所以a,铉+a,M2%,
所以{%}是"上凸数列
(2)(i)证明:因为{%}是"上凸数列",由题意可得对任意l<7Y〃(ieN*),
%+an_M>%+an_i+2>%+a„_;+3-->a2+an_x>ax+a„
所以2s,=(%+a“)+(%+a,i)+—+(a„_i+%)%+a),
所以
(ii)解:令a“=J/-1,
由(1)可得当a〃=J71I时,{%}是"上凸数列",
由题意可知,当机2〃+2(加,〃eN*)时,am+an<am_x+an+i.
因为£J尤;-1=Jx;_1+yjx;_]+展_]+--F店-1,
i=l
即-1={X;-1+Jx;]+《X;-]H--
当且仅当网=%=…=X"T时等号成立,
所以X21.
综上所述,4的最小值为〃-L
17
即0唧(
1.(24-25高三上•安徽亳州•开学考试)已知数列{%},对于任意的“eN*,都有见+。用>2。用,则称数列
{见}为“凹数列”.
(1)判断数列。“=2”是否为"凹数列",请说明理由;
⑵已知等差数列{2},首项为4,公差为d,且为"凹数列",求d的取值范围;
⑶证明:数列死,}为"凹数歹!J"的充要条件是"对于任意的无,加,”©N*,当人<能<”时,有上?<仁人”.
m-kn—m
【答案】(1)数列{2"}是"凹数列",理由见解析
(2)(-®,4)
⑶证明见解析
【分析】⑴计算出。"+。”+2>2。用,故满足"凹数列"的定义;
(2)利用等差数列通项公式得到6,=4+("-1)d,由题意得上+&>2x%对任意”22,〃eN*恒成立,
n-\n+1n
化简得到d<4,得到答案;
(3)先证明出必要性,放缩得到上%故上?<乙+「匕<^^』,再证明充分性,取
n-m
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