数列的综合应用、新定义、不等式（四种题型）-2025年高考数学热点、重难点题型专项复习（原卷版）

第09讲数列的综合应用、新定义、不等式（四

种题型）

题型一：分期付款

一、单选题

1.（2023春•云南昆明•高三校考阶段练习）我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款

法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款

金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即

贷款本金与已还本金总额的差乘以利率.自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万

元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个月还一次款，20年还清，贷款月利率为

0.4%,设张华第"个月的还款金额为。“元，则%=（）

A.2192B.3912-8??C.3920-8”D.3928-87?

2.（2022・四川达州・统考一模）某顾客在2020年1月1日采用分期付款的方式购买一辆价

值2万元的家电，在购买一个月后2月1日第一次还款，且以后每个月1日等额还款一

次，如果一年内还清全部贷款（12月1日最后一次还款），月利率为0.5%.按复利计算，则

该顾客每个月应还款多少元？（精确至U1元，参考值1.0051°=1.05,1.005"=1.06）（）

A.1767B.1818C.1923D.1946

3.（2022•全国•高三专题练习）某单位用分期付款方式为职工购买40套住房，总房价1150

万元.约定：2021年7月1日先付款150万元，以后每月1日都交付50万元，并加付此前

欠款利息，月利率1%,当付清全部房款时，各次付款的总和为（）

A.1205万元B.1255万元C.1305万元D.1360万元

二、多选题

4.（2022.全国•高三专题练习）参加工作5年的小郭，因工作需要向银行贷款A万元购买一

台小汽车，与银行约定：这A万元银行贷款分10年还清，贷款的年利率为厂，每年还款数

为X万元，贝I（）

ArX

A.x=-Tio—B.小郭第3年还款的现值为7；―8万元

（1+r）-1U+r）

C.小郭选择的还款方式为“等额本金还款法”D.小郭选择的还款方式为“等额本息还款法”

5.（2022•全国•高三专题练习）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给

小张提供了两种贷款方式.方式①：等额本金，每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款

月开始，每月还款额与上月还款额的差均相同；方式②：等额本息，每个月的还款额均相

同.银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（若2021年7月7日贷款到账，则

2021年8月7日首次还款）.已知小张该笔贷款年限为20年，月利率为0.004,则下列说法

正确的是（）（参考数据：计算结果取整数）

A.选择方式①，若第一个还款月应还4900元，最后一个还款月应还2510元，则小张该

笔贷款的总利息为289200元

B.选择方式②，小张每月还款额为3800元

C.选择方式②，小张总利息为333840元

D.从经济利益的角度来考虑，小张应选择方式①

三、填空题

6.（2022秋・辽宁•高三辽宁实验中学校考阶段练习）沈阳京东MALL于2022年国庆节盛大

开业，商场为了满足广大数码狂热爱好者的需求，开展商品分期付款活动.现计划某商品一

次性付款的金额为。元，以分期付款的形式等额分成，次付清，每期期末所付款是x元，

每期利率为r,则爱好者每期需要付款尤=.

7.（2022・全国•高三专题练习）赵先生准备通过某银行贷款5000元，然后通过分期付款的

方式还款.银行与赵先生约定：每个月还款一次，分12次还清所有欠款，且每个月还款的

钱数都相等，贷款的月利率为0.5%,则赵先生每个月所要还款的钱数为______元.（精确

（1+0.5%产

到0.01元，参考数据-----《一217.213）

（1+0.5%）-1

四、解答题

8.（2022•浙江•高三专题练习）已知某新型水稻产量的年增长率为厂（0＜厂＜1）.某粮食种植

基地计划种植该品种水稻.已知该基地2020年储有该品种水稻的产量为15万吨.现计划

从下一年（2021年）起，每年年初种植，年底从中分出固定的产量用于销售，15年后清空

种植并更换种植品种.设〃年后该品种水稻的剩余产量为。“万吨.

（1）设每年用于销售的产量为加万吨，请用加和厂表示凡;

⑵求机（用厂表示）.

9.（2022・全国•高三专题练习）市民小张计划贷款60万元用于购买一套商品住房，银行给

小张提供了两种贷款方式：

①等额本金：每月的还款额呈递减趋势，且从第二个还款月开始，每月还款额与上月还款

额的差均相同；

②等额本息：每月的还款额均相同.

银行规定，在贷款到账日的次月当天开始首次还款（如2020年7月7日贷款到账，则

2020年8月7日首次还款）.已知该笔贷款年限为20年，月利率为0.4%.

（1）若小张采取等额本金的还款方式，已知第一个还款月应还4900元，最后一个还款月

应还2510元，试计算该笔贷款的总利息.

（2）若小张采取等额本息的还款方式，银行规定，每月还款额不得超过家庭平均月收入的

一半.已知小张家庭平均月收入为1万元，判断小张申请该笔贷款是否能够获批（不考虑

其他因素）.

参考数据：1.00424%2.61.

（3）对比两种还款方式，从经济利益的角度考虑，小张应选择哪种还款方式.

题型二：产值增长

一、单选题

1.（2022・全国•高三专题练习）科技创新离不开科研经费的支撑，在一定程度上，研发投入

被视为衡量“创新力”的重要指标.“十三五”时期我国科技实力和创新能力大幅提升，2020年

我国全社会研发经费投入达到了24426亿元，总量稳居世界第二，其中基础研究经费投入

占研发经费投入的比重是6.16%.“十四五”规划《纲要草案》提出，全社会研发经费投入年

均增长要大于7%,到2025年基础研究经费占比要达到8%以上，请估计2025年我国基础

研究经费为（）

A.1500亿元左右B.1800亿元左右C.2200亿元左右D.2800亿元左右

2.（2022•全国•高三专题练习）《九章算术》第三章“衰分”介绍比例分配问题，“衰分”是按

比例递减分配的意思，通常称递减的比例为“衰分比”.如：已知A,B,C三人分配奖金的

衰分比为20%,若A分得奖金1000元，则B,C所分得奖金分别为800元和640元.某科

研所四位技术人员甲、乙、丙、丁攻关成功，共获得单位奖励68780元，若甲、乙、丙、

丁按照一定的“衰分比”分配奖金，且甲与丙共获得奖金36200元，贝「衰分比”与丁所获得

的奖金分别为

A.20%,14580元B.10%,14580元

C.20%,10800元D.10%,10800元

3.（2023•全国•高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借

了扶贫免息贷款10000元，用于自己开发的农产品、土特产品加工厂的原材料进货，因产

品质优价廉，上市后供不应求，据测算：每月获得的利润是该月初投入资金的20%,每月

底街缴房租800元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续，预计2020

年小王的农产品加工厂的年利润为（）（mi.2n=7.5,1.212=9）

A.25000元B.26000元C.32000元D.36000元

4.（2021秋•江苏淮安・高三江苏省肝胎中学校考期中）2020年底，国务院扶贫办确定的贫

困县全部脱贫摘帽脱贫攻坚取得重大胜利！为进步巩固脱贫攻坚成果，接续实施乡村振兴

战略，某企业响应政府号召，积极参与帮扶活动.该企业2021年初有资金500万元，资金

年平均增长率可达到20%.每年年底扣除下一年必须的消费资金后，剩余资金全部投入再

生产为了实现5年后投入再生产的资金达到800万元的目标，每年应扣除的消费资金至多

为（）（单位：万元，结果精确到万元）（参考数据：1.24=2.07,IT。2.49）

A.83B.60C.50D.44

5.（2022・全国•高三专题练习）为了更好地解决就业问题，国家在2020年提出了“地摊经

济”为响应国家号召，有不少地区出台了相关政策去鼓励“地摊经济”.老王2020年6月1

日向银行借了免息贷款1000。元，用于进货.因质优价廉，供不应求，据测算：每月获得的

利润是该月初投入资金的20%,每月底扣除生活费1000元，余款作为资金全部用于下月再

进货，如此继续，预计到2021年5月底该摊主的年所得收入为（）（取=7.5,

（1.2）12=9）

A.32500元B.40000元C.42500元D.50000元

二、多选题

6.（2022•全国•高三专题练习）在“全面脱贫”行动中，贫困户小王2020年1月初向银行借

了扶贫免息贷款10000元，用于自己开设的农产品土特产品加工厂的原材料进货，因产品

质优价廉，上市后供不应求，据测算每月获得的利润是该月月初投人资金的20%,每月月

底需缴纳房租600元和水电费400元，余款作为资金全部用于再进货，如此继续•设第"月

月底小王手中有现款为““，则下列论述正确的有（）（参考数据：1.2"=7.5,122=9）

A.4=12000

B.an+l=1.2o„-1000

C.2020年小王的年利润为40000元

D.两年后，小王手中现款达41万

三、解答题

7.（2022・上海金山•统考一模）近两年，直播带货逐渐成为一种新兴的营销模式，带来电商

行业的新增长点.某直播平台第1年初的启动资金为500万元，由于一些知名主播加入，平

台资金的年平均增长率可达40%,每年年底把除运营成本。万元，再将剩余资金继续投入

直播平合.

（1）若4=100,在第3年年底扣除运营成本后，直播平台的资金有多少万元？

（2）每年的运营成本最多控制在多少万元，才能使得直播平台在第6年年底初除运营成本后

资金达到3000万元？（结果精确到0.1万元）

8.（2022秋•山东济宁•高三校考阶段练习）某台商到大陆一创业园投资72万美元建起一座

蔬菜加工厂，第一年各种经费12万美元，以后每年比上一年增加4万美元，每年销售蔬菜

收入50万美元，设〃〃）表示前〃年的纯利润（/•（〃）=前九年的总收入-前"年的总支出-

投资额）.

（1）从第几年开始获得纯利润？

（2）若五年后，该台商为开发新项目，决定出售该厂，现有两种方案：①年平均利润最大

时，以48万美元出售该厂；②纯利润总和最大时，以16万美元出售该厂.问哪种方案较

合算？

9.（2022.全国•高三专题练习）保障性租赁住房，是政府为缓解新市民、青年人住房困难，

作出的重要决策部署.2021年7月，国务院办公厅发布《关于加快发展保障性租赁住房的

意见》后，国内多个城市陆续发布了保障性租赁住房相关政策或征求意见稿.为了响应国

家号召，某地区计划2021年新建住房40万平方米，其中有25万平方米是保障性租赁住

房.预计在今后的若干年内，该市每年新建住房面积平均比上一年增长8%,另外，每年

新建住房中，保障性租赁住房的面积均比上一年增加5万平方米.

（1）到哪一年底，该市历年所建保障性租赁住房的累计面积（以2021年为累计的第一年）将首

次不少于475万平方米？

(2)到哪一年底，当年建造的保障性租赁住房的面积占该年建造住房面积的比例首次大于

85%?

10.(2023•全国•高三专题练习)某企业2015年的纯利润为500万元,因为企业的设备老化

等原因，企业的生产能力将逐年下降.若不进行技术改造，预测从2015年开始，此后每年比上一

年纯利润减少20万元.如果进行技术改造,2016年初该企业需一次性投入资金600万元，在未

扣除技术改造资金的情况下，预计2016年的利润为750万元，此后每年的利润比前一年利润

的一半还多250万元.

(1)设从2016年起的第〃年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的年纯利润为0万

元;进行技术改造后，在未扣除技术改造资金的情况下的年利润为/万元,求。“和2；

(2)设从2016年起的第〃年(以2016年为第一年)，该企业不进行技术改造的累计纯利润为A.

万元，进行技术改造后的累计纯利润为B,,万元，求A„和B“；

(3)依上述预测，从2016年起该企业至少经过多少年，进行技术改造的累计纯利润将超过不进

行技术改造的累计纯利润？

11.(2022・上海•高三专题练习)某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现

状，每月收入为70万元，同时将受到环保部门的处罚，第一个月罚3万元，以后每月增加

2万元.如果从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面

可以改善环境，另一方面也可以大大降低原料成本.据测算，添加回收净化设备并投产后

的前5个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间n个月的二次函数g(〃)=/+初(左是常

数)，且前3个月的累计生产净收入可达309万，从第6个月开始，每个月的生产净收入都

与第5个月相同.同时，该厂不但不受处罚，而且还将得到环保部门的一次性奖励100万

元.

（1）求前8个月的累计生产净收入g（8）的值；

（2）问经过多少个月，投资开始见效，即投资改造后的纯收入多于不改造时的纯收入.

题型三：数列新定义

一、单选题

1.（2022・全国•高三专题练习）意大利著名数学家斐波那契在研究兔子繁殖问题时，发现有

这样一列数：1,1,2,3,5,其中从第三项起，每个数等于它前面两个数的和，即

«„+2=4+i+%ReN*）,后来人们把这样的一列数组成的数列｛见｝称为“斐波那契数列”.记

“2022=t，则%+4+“5--------1■〃2021=（）

A.t2B.t-1C.tD.t+1

2.（2022.全国•高三专题练习）在数学和许多分支中都能见到很多以瑞士数学家欧拉命名的

常数、公式和定理，如：欧拉函数夕（〃）3N*）的函数值等于所有不超过正整数〃且与〃

互素的正整数的个数，（互素是指两个整数的公约数只有1）,例如：=奴3）=2

（与3互素有1、2）；姒9）=6（与9互素有1、2、4、5、7、8）.记S“为数列,9（3"）｝的前〃

项和，则Sio=（）

A.史B.卫、3。工C.D,卫⑷+工

22224444

3.（2023・全国•高三专题练习）0-1周期序列在通信技术中有着重要应用.若序列。任«„

满足qw｛0,l｝（i=l,2,）,且存在正整数加，使得q+揖=qC=12）成立，则称其为0-1周期序

列，并称满足心.=。,《=1，2,）的最小正整数机为这个序列的周期.对于周期为小的0-1序列

1m

44an，C（Q=—£44+/4=1,2,,根-1）是描述其性质的重要指标，下列周期为5的0-1

mz=i

序列中，满足以幻〈（6=1,2,3,4）的序列是（）

A.11010B.11011C.10001D.11001

4.（2023・全国•高三专题练习）对于数列｛%｝,若存在正数Af,使得对一切正整数”，恒

有㈤VM,则称数列｛%｝有界；若这样的正数M不存在，则称数列｛七｝无界，已知数列

｛叫满足：4=1,a,!+1=ln（2a„+l）（A>0）,记数列｛叫的前〃项和为S,,,数列｛叫的前

〃项和为4,则下列结论正确的是（）

A.当4=1时，数列｛5｝有界B.当2=1时，数列｛（,｝有界

C.当2=2时，数列由｝有界D.当2=2时，数歹!]｛7；｝有界

5.（2022•浙江.高三专题练习）已知数列｛4｝满足q=g,a.=l+ln%M（nsN*）,记北表示

数列｛%｝的前〃项乘积.则（）

A.TEB.4£C.TED.1£

930,2626?22922?18♦A

二、多选题

6.（2023•全国•高三专题练习）设正整数〃=4・20+4・2+,+其中

4G{0,1}，记=4+4++4.贝U（）

A.(y(2w)=to(n)B.t«(2n+3)=(y(n)+l

C.。（8〃+5）=0（4〃+3）D.0(2"-1)=”

7.（2022・全国•高三专题练习）在数学课堂上，教师引导学生构造新数列：在数列的每相邻

两项之间插入此两项的和，形成新的数列，再把所得数列按照同样的方法不断构造出新的

数列.将数列1,2进行构造，第1次得到数列1,3,2；第2次得到数列1,4,3,5,2；…；第

次得到数列1,%,x2,x3,,xk,2；…I己=1+石+/++/+2,数歹[|

｛4｝的前”项为S,,贝I（)

=T(/+3〃)

A.女+1=2〃B.4+]=3Q〃_3C.

n+1

D.Sn=-(3+2n-3

8.（2022.福建南平.统考三模）如图，在平面直角坐标系中的一系列格点4（4,）,其中

，=1,2,3,・一,〃,-一且%,%€2.记4,=匕+%，如A（L0）记为4=1,记为%=°，

4（0,-1）记为。3=-1，・-，以此类推；设数列｛2｝的前〃项和为S〃.则（）

74…W?…4…/9

45小；小0r

X

…A.，一\A2Mi

《15小4小3:A

....•....“小2

3n(n+l)

A.%022=42B.*^2022=—87C.=2〃D，An2+5n?

三、双空题

9.（2023・山西大同•校联考模拟预测）数学家祖冲之曾给出圆周率乃的两个近似值：“约

率，，三22与“密率，，落355.它们可用“调日法，，得到：称小于3.1415926的近似值为弱率，大于

343+47

3.1415927的近似值为强率.由不＜死＜丁，取3为弱率，4为强率，得力=】十］=万,故。i

为强率，与上一次的弱率3计算得的=*=#,故出为强率，继续计算，…….若某次

得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为

弱率，与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依此类推，已知4=亍，则

m=;/=•

四、解答题

10.（2021秋・上海徐汇・高三上海市南洋模范中学校考阶段练习）设"为实数.若无穷数列

｛4｝满足如下三个性质，则称｛%｝为况。数列：

①q+pXO,且%+p=0；

②%“t=…）；

③q“+.e｛。,“+%++%+P+1｝,（办〃=1,2,…）.

（1）如果数列｛%｝的前4项为2,-2,-2,-1,那么｛4｝是否可能为况2数列？说明理由；

（2）若数列｛%｝是况。数列，求生；

（3）设数列｛4｝的前〃项和为S,.是否存在次。数列｛%｝,使得S“2d。恒成立？如果存

在，求出所有的°;如果不存在，说明理由.

11.（2022.全国•高三专题练习）已知｛4｝是无穷数列.给出两个性质:

①对于｛4,｝中任意两项%为(，>/),在｛4｝中都存在一项,使勿=%;

aj

②对于｛%｝中任意项氏(九.3),在｛%｝中都存在两项处,0(%>/).使得。“=，.

(1)若4=〃(〃=1,2,),判断数列｛q｝是否满足性质①，说明理由；

(II)若4=2片(〃=1,2,•),判断数列｛%｝是否同时满足性质①和性质②，说明理由;

(III)若｛%｝是递增数列，且同时满足性质①和性质②，证明：｛4｝为等比数列.

12.(2022•全国•高三专题练习)已知。：%,电，-，4为有穷整数数列.给定正整数相，若对

任意的"e｛l,2,,m],在。中存在4,ai+\，ai+2，j。20),使得

a,+aM+ai+2++ai+j=n,则称。为，〃-连续可表数列.

(1)判断。：2,1,4是否为5-连续可表数列？是否为6-连续可表数列？说明理由；

(2)若Q：%,%…，以为8-连续可表数列,求证:%的最小值为4；

⑶若Q：4,%，…S为20-连续可表数列，且％+出++4<20,求证：k>l.

13.(2023•全国•高三专题练习)设机为正整数，若无穷数列｛4｝满足

%+/=除+，|(，=L2,,加次=1,2,),则称｛%｝为2数列.

⑴数歹£"｝是否为《数列？说明理由；

[s,n=2k+l,k.GZ(、

⑵已知%]='其中SJ为常数.若数列｛%｝为8数列，求SJ；

11,—2化?，k)£Z-i

(3)已知鸟数列｛a“｝满足4<。，4=2,%1t<*6(左=1,2,),求

14.(2023・北京海淀•高三101中学校考阶段练习)如果无穷数列｛见｝是等差数列，且满

足：①V，、JeN,,退eN*,使得4勺=4;②MceN*,于、/eN*,使得。臼=。",则称数

列｛%｝是““数列”.

(1)下列无穷等差数列中，是数列”的为;(直接写出结论)

｛。"｝：1、3、5、

｛包｝：。、2、4、

｛c“｝：。、0、0、

｛""｝：-1、0、1、

(2)证明：若数列｛%｝是““数列"，则为eZ且公差deN；

(3)若数列｛«„)是“H数列”且其公差deN*为常数，求｛«„)的所有通项公式.

15.(2023•全国•高三专题练习)已知数列A：%,电，…，为“，其中m是给定的正整

数，且一22.令1=1，…，m，XQ4)=max｛4也，-4｝,

G=max｛%T，%｝,i=l,…,〃7,y(A)=min｛q,C2,•”,"｝・这里，max｛｝表示括号中各数的

最大值，min｛｝表示括号中各数的最小值.

⑴若数列A：2,0,2,1,-4,2,求X(A),F(A)的值;

(2)若数列A是首项为1,公比为q的等比数列，且X(A)=y(A),求q的值；

(3)若数列A是公差d=l的等差数列，数列8是数列A中所有项的一个排列，求

X(8)-y(3)的所有可能值(用加表示).

16.(2022•北京•校考三模)对于数列A：q,a2,a„(n>3),定义变换T,T将数列A

变换成数列7(A)：的，色，…，3,%,记7(A)=T(A),r"0)=T(T"i(A)),

m>2.对于数列A:q,a2,a“与B:R,bn,定义

AB=a]bl+a2b2+•■■+anbn.若数列A:q,a2,13）满足qe=1,2,…㈤,

则称数列A为凡数列.

⑴若—1,1,写出7(A),并求AT2(A)；

(2)对于任意给定的正整数〃("23),是否存在况“数列A,使得A，(A)=〃-3?若存在，写

出一个数列A,若不存在，说明理由：

⑶若况“数列A满足T“A)•TM(A)=〃-4(k=1,2,-2),求数列A的个数.

题型四：数列不等式

一、单选题

1.(2022・全国•高三专题练习)己知数列｛%｝满足q=l,aa+i=a“eN*),则()

5577

A.2<IO。％1U。U。<—iBUU.—<100。］00<31WC.3<100600<—1Duu.—<lOO6Z.oo<4

二、多选题

2.(2022・河北.模拟预测)十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础，著名的

“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭

区间［0,1］均分为三段，去掉中间的区间段记为第1次操作：再将剩下的两个区

12

间。,§,-,1分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第2次操作：L.每次

操作都在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的

区间段；操作过程不断地进行下去，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若第〃次操作去掉

的区间长度记为9(〃)，则()

05+1)=3

,0(.一5B.+1<0

C.0(〃)+0(3〃)>2°(2〃)D.r^(p(n)<64^(8)

3.(2023春・广东揭阳•高三校考开学考试)在数列｛%｝中，对于任意的〃eN*都有

且=。“，则下列结论正确的是(

A.对于任意的〃22,都有。“>1

B.对于任意的4>0,数列｛q｝不可能为常数列

C.若o<q<2,则数列｛%｝为递增数列

D.若4>2,则当〃22时，2<册<%

31

4.（2022秋•福建泉州•高三校联考期中）数列｛4｝满足2%+%=2"也=甲可］，数列

抄“｝的前”项和记为5“，则下列说法正确的是（）

2Q

A.任意B.任意"eN",a“<。用

C.任意〃eN*，3y<d<！D.任意〃eN*,S“<a"

5.（2022・浙江绍兴・统考模拟预测）已知正项数列｛%｝,对任意的正整数优、"都有

2金+“Ma2m+a2n,则下列结论可能成立的是（）

A.—+—=B.na+rna=a

mnmnm+n

c.am+an+2=amnD.2am-an=am+n

三、双空题

6.（2022秋・北京昌平.高三昌平一中校考阶段练习）已知数列｛%｝对任意的〃cN*,都有

3%+1,4为奇数

£N*,且凡口=</7.

［墨巴为偶数

①当。=8时,〃2022=________________•

②若存在7〃eN*,当加且。“为奇数时，。"恒为常数尸，则尸=.

四、解答题

7.（2022•全国•高三专题练习）已知数列｛%｝的前w项和为满足a“+S"=2〃.

⑴求证：数列｛%-2｝是等比数列，并求数列｛为｝的通项公式；

⑵若不等式2彳-储>（2〃-3）（2-«„）对任意的正整数n恒成立，求实数2的取值范围.

8.（2023・全国•高三专题练习）已知｛%｝为等差数列，｛2｝是公比为2的等比数列，且

a2-b2=a3-b3=b4-a4,

（1）证明：q=4；

（2）求集合｛K4=%+q,14机V500｝中元素个数.

9.(2023•全国•高三专题练习)已知等差数列｛%｝的首项生=-1,公差d>l.记｛%｝的前

〃项和为Sa(zieN*).

⑴若S4-2ag3+6=0,求S“；

(2)若对于每个〃wN*,存在实数g,使4+gM〃+1+乜,4+2+15%成等比数列，求d的取

值范围.

10.