锐角三角函数（题型归纳）（解析版）

专题18锐角三角函数

题型一正余弦、正切函数的概念

1.如图：在RtAEFG中，/尸=90°,EG=13,GF=5,贝！Jtan£=()

51212

A.——B.—CD.

125-1113

【答案】A

【分析】先根据勾股定理求出£尸，再根据正切的定义得出答案即可.

【详解】解：勾股定理，得下=J存_/=［俨-52=12.

的E旦二

EF12

故选：A.

2.如图，在。BC中，ZC=90°,AC=3fBC=4,贝！JcosB的值是（）

A

34-34

A.—B.一C.-D.一

4355

【答案】D

【分析】先根据勾股定理求出然后根据三角函数关系即可得解.

【详解】解：在。8C中，ZC=90°,AC=3fBC=4,

AB=y）AC2+BC2=V32+42=5，

nBC4

cosB=----=—,

AB5

故选:D

12

3.如图，在AABC中，AC=2#,tan,tan=y,则。的面积为（）

C

AB

A.7B.575C.7+2V5+V13D.25

【答案】A

【分析】过点C作。48于点。,根据正切函数的定义和勾股定理求出/。=4,5=2,根据正切函数

值求出5。=3,得出“5。的面积即可.

【详解】解：过点。作C0L45于点如图所示:

C

ADB

ZADC=ZBDC=90°,

,1

tanZ=一,

2

CD_1

••一，

AD2

・•・设CZ)=x,则4O=2x,

・・,AD2+CD2=AC2,

.•.（2x）2+12=（2石/，

解得：％=2或%二一2（舍去）,

/.AD=4,CD=2,

CD2

tanB=---二—,

BD3

.，.BD=3,

AB=AD+BD=7,

故正确.

S△/AtoRvC=—2ABxCD=2—x7x2=7,A

故选：A.

4.如图，在网格中，点A,B,C都在格点上，则NC/B的正弦值是（）

rill

\\A\\

4c..

H:M

A.—B.|C.—D.2

525

【答案】A

【分析】取格点。，连接CD,证明A/C。是直角三角形,且乙4。。=90。，进而即可求解.

【详解】解：如图所示，取格点。，连接C。，

r।।।।।

\\A\\\\

■：AC2=I2+32=10,CD?=12+12=2,AD2=2?+2?=8

AD2+CD2=AC2,

.•.△/CD是直角三角形，且NADC=90。

•••CD=V2,AC=A,

・•.sinHU0=里=好

Vio5

故选：A.

5.如图，在Rta/BC中，ZC=90°,AB=5,AC=3,则cosB的值为（）

4

AB.一D

-15-1-i

【答案】B

【分析】先根据勾股定理计算出BC,再根据三角函数的定义，即可得解.

【详解】解：根据勾股定理可得BC=JAB?-Ac：VF万=4，

BC4

则COSB=2^=2

AB5

故选：B.

题型二特殊角的三角函数值

1.tan45°的值是（）

A.V2B.V3C.1D.V5

【答案】C

【分析】直接根据特殊角的三角函数值即可求解.

【详解】解：tan45。的值是1,

故选：C.

7.sin30。的相反数是（）

A.-1B.-2c-4D--T

【答案】C

【分析】先求出30度角的正弦值，再根据相反数的定义进行求解即可.

【详解】vsinSO^I，

；.sin30。的相反数是-g,

故选C.

8.计算tan45。+tan30。cos30。的值为（）

13

A.vB.1C.-D.2

22

【答案】C

【分析】根据特殊角三角函数值的混合计算法则求解即可.

【详解】解：tan45°+tan30°cos30°

,V36

=1+——x——

32

=1+-

2

_3

一5，

故选c.

9.若。8C的内角满足cos/-；+tan3-1=0,则AA8C的形状是()

A.直角三角形B.等边三角形

C.钝角三角形D.三角不全相等的锐角三角形

【答案】A

【分析】根据非负数的性质，求出2/和28的度数，然后可判定的形状.

【详解】解：由题意得：cos/-2=0,tanB-@=0,

23

即cos/=1,tan5=—,

23

ZJ=60°,4=30°,

.-.ZC=90°,

即^ABC的形状是直角三角形.

故选：A.

10.在。5C中，ZC=90°,tan^=—,贝UcosB=()

3

A.yB.-C.—D.V3

223

【答案】A

A

【分析】根据/C=90。，tan^=—,可得N/=30。，进而得出48=90°-30°=60°,即可求解.

3

【详解】解：在“8C中，

••*ZC=90°,tan^^—,

3

.・.N4=30°,

・•・/5=90。—30。=60。，

cosB=cos60°=—

2

故选：A.

题型三由锐角三角函数值求锐角

I_______________________:

1.关于X的一元二次方程+sina=0有两个相等的实数根，则锐角口的余角等于（）

A.15°B.30°C.45°D.60°

【答案】D

【分析】根据方程的系数结合根的判别式即可得出关于sina的一元一次方程，解之即可得出sina的值，再

根据特殊角的三角函数值即可得出锐角«的度数，继而得出答案.

【详解】解：；关于x的一元二次方程/一J%+sina=0有两个相等的实数根，

A=-4xlxsina=0,

解得:sina=；,

二锐角c等于30。，

,锐角a的余角等于60。，

故选：D.

15

2.在。8C中，乙4,4B都是锐角，cosA=~,sin5­—,则。8C的形状是：（）

22

A.等腰直角三角形B.等边三角形C.钝角三角形D.不能确定

【答案】B

【分析】根据三角函数求出N448的度数，即可判断三角形的形状.

1向

【详解】解：•.,cos/nu，sin5=——，

22

.­,ZA=60°,ZB=60°,

:"C=60°,

・•.A48c是等边三角形，

故选：B.

3.在“8C中，若cos/=W,tan8=",则这个三角形一定是（）

23

A.直角三角形B.等腰三角形C.钝角三角形D.锐角三角形

【答案】B

【分析】根据特殊角的三角函数值求出的度数和N8的值，然后利用三角形内角和定理求出/C的值,

即可判断出三角形的形状.

【详解】•••cos/=",

2

・••/4=30。.

tanB=,

3

Z5=30°.

ZA=ZB,

・•・A/BC为等腰三角形，

故选：B.

4.周末，刘老师读到《行路难》中“闲来垂钓碧溪上，忽复乘舟梦日边.”邀约好友一起去江边垂钓.如

图.钓鱼竿/C的长为4m.露在水面上的鱼线BC的长为2&m,刘老师想看看鱼钩上的情况.把鱼竿NC

逆时针转动15。到/C'的位置，此时露在水面上的鱼线B'C的长度是（）

A.3mB.2V2mC.2&mD.3Gm

【答案】C

【分析】先求出NC/8,在求出NC'/B',最后利用特殊角的三角函数值直接求解.

【详解】解：・・・sin/C43=^^=----,

42

.-.ZCAB=45°,

・・.。35'=45。+15。=60。，

.B'C_•，_V3

••------=sin60no=—,

AC2

:.B'C'=4乂*=26(m),

故选：C.

5.在中，ZA为锐角,满足taiiS—+(2siih4—=0,则/C等于()

A.105°B.75°C.60°D.45°

【答案】A

【分析】根据非负数的性质可得tan5-母=0,2si由-亚=0,再由特殊角锐角三角函数值，可得

48=30。,44=45。，然后三角形内角和定理，即可求解.

［详解】解：・•・tan5_g+（2siib4-也『=o,

tanB———=0,2siib4-V2=0,

••taiW=——,S1IL4=，

32

/5=30。,/4=45。，

.­.ZC=180°-Z5-Z^=105°.

故选：A

题型四锐角三角函数的增减性

I________________________:

1.如果0。<乙4<45。，那么sin4与cosN的差（）

A.大于0B.小于0C.等于0D.不能确定

【答案】B

【分析】cos^=sin（90°-Z^）,再根据正弦函数随着角的增大而增大进行分析即可.

【详解】••・cos/=sin（90。-//）,正弦函数随着角的增大而增大，

.•.当0。<//<45。时，45°<90°-//<90°,

sinN<cosN=sin（90°-N/）,即sinN-cosN<0,

故选B.

2.已知//为锐角，且tan4=3,则的取值范围是（）

A.0°<ZA<30°B.30。〈乙4<45。C.45°<ZA<60°D.60°<ZA<90°

【答案】D

【分析】判断出所给的正切值在最接近的哪两个锐角的正切值之间，即可得到正确选项.

【详解】解：:tan60。=g,g<3，

60°<ZA<90°.

故选：D

3.如果锐角/的度数是25。，那么下列结论中正确的是（）

1、万

A.0<sin^<-B.0<cos^<—

2?

C.<tan^4<1D.1<cot24<A/3

3

【答案】A

【分析】根据“正弦值随着角度的增大而增大”解答即可.

【详解】解：・・・0。<25。<30。

0<sin25°<—

2

/.0八<sm.X，<—1.

2

故选A.

4.若taib4=2,则乙4的度数估计在（）

A.在0。和30。之间B.在30。和45。之间

C.在45。和60。之间D.在60。和90。之间

【答案】D

【分析】由题意直接结合特殊锐角三角函数值进行分析即可得出答案.

【详解】解：:tan60°=V3<tanA-2，

・•・//>60°,

.••60°<Z^<90°.

故选：D.

5.比较sin20。、sin55°>tan70。和cos80。的大小，并由小到大排列：.

【答案】cos80°<sin20°<sin550<tan70°

【分析】把余弦化成正弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律，正弦值随着角度的增大而增大，相同角

的正切值大于正弦值即可解答

【详解】•・•cos80。=sin10。，正弦值随着角度的增大而增大

cos800<sin200<sin55°

vtan70°>sin70°

cos800<sin200<sin550<tan70°

故答案为：cos800<sin200<sin550<tan70°

题型五同角三角函数的关系

I_______________________________-

4

1.在。5C中，ZC=90°,sin5=-,则tanB值为（）

【答案】A

【分析】先利用同角三角恒等式计算出cos8=?然后根据tanB=*求解.

5cos5

【详解】解：・.,NC=90。，

,•sin2B+cos2B=1,

43

故选：A.

2.已知tana=，，。是锐角，贝!Jsina的值是（）

1312512

A.—B.—C.—D.—

513135

【答案】c

【分析】利用锐角三角函数的定义和勾股定理，求出各条边的长，再求出答案.

【详解】解：如图，在上入12。中，ZC=9O°,乙4=a,

Be5

由于tana=-----=一,因此设BC=5左，贝ij4C=12左，

AC12

由勾股定理得，AB=y]AC2+BC2=\（12左）2+（5左）2=131,

,BC5k5

sina=----=---=一,

AB13左13

故选C.

2

3.在RtA45C中，Z.C=90°,若sin4=§,则cos/=（）

叵

【答案】c

【分析】根据sin2/+cos2Z=l,进行计算即可解答.

【详解】解：由题意得：sin2/+cos2/=1,

故选c.

4.若々为锐角，Msin2a+cos226°=1,则"=°.

【答案】26

【分析】根据同一个角的正弦和余弦的平方和等于1,即可解答.

【详解】•/sin2a+cos226°=1,

sin2a-\-cos226°,

/.sin2a=sin226°,

a为锐角，

<7=26,

故答案为：26.

3sinacosa

5.已知tana=5,则

2sina+cosa

【答案】、

【分析】由于tana='吧=5,贝|sina=5cosa,然后把sina=5cosa代入.'："一，中利用分式的性质

cosa2sina+cosa

计算即可.

【详解】解：；tanar=空q=5,

cosa

sina=5cosa,

3sinacosa15cosa15cosa

2sin2cr+cos2a50cos26if+cos2a51cos2a17

故答案是：m

.I■Ml■IIII

题型六解直角三角形及其应用

I.____________________________-

1.常州天宁寺始建于唐贞观年间，是佛教音乐梵呗的发源地之一，也是常州最大的寺庙.某校数学兴趣小

组的同学利用卷尺和自制的测角仪尝试求解天宁寺宝塔的高度.如图所示，平地上一幢建筑物与宝塔

CD相距56m,在建筑物的顶部分别观测宝塔底部的俯角为45。、宝塔顶部的仰角为60。.求天宁寺宝塔的

高度（结果保留根号）.

【答案】天宁寺宝塔的高度为56+56百米

【分析】过点A作/ELCD于点E,进而得出N£=56,解RtA/CD,根据CD=Z）£+£C,即可求解.

【详解】解：如图所示，过点A作“E1CD于点E,则四边形/即8是矩形，

依题意8。=56,NEAD=45。,NCAE=60。,

・•・V/DE是等腰直角三角形，

AE=ED，

则四边形是正方形，

/.AE=BD=56,

在RtA/CE中，CE=AExtanZCAE=5673,

■■CD=DE+CE=56+5643,

答：天宁寺宝塔的高度为56+56如米.

2.小明同学想利用刚学的三角函数知识测量一栋教学楼的高度，如图，他在/处测得教学楼顶2点的仰角

为45。，走7m到C处测得2的仰角为55。，己知。、/、C在同一条直线上.求教学楼08的高度.（参考

数据：sin55°~0.82,cos55°~0.57,tan55°~1.43,结果精确到0.1m）

□B

□

□

OCA

【答案】23.3m

从而得至—在RtZXCOB中，根据tanZ8co=等

【分析】在RtZ\/03中，可得04=08,

即可求解.

【详解】解：在RtA40B中，N/=45。，

/.OA=OB,

vAC=7m,

OC=OB-1,

在RtZXCOB中，NBCO=55。,

=1.43,

OCOB—7

解得：03B23.3m,

答：教学楼08的高度约为23.3m.

3.我国海域辽阔，渔业资源丰富.如图,现有渔船在海岛C附近捕鱼作业，正以30海里/时的速度向正北

方向航行，渔船在/处时，测得海岛C在该船的北偏东30。方向上，航行半小时后，该船到达点5处，发

现此时海岛C与该船距离最短.求海岛C到2处的距离.（结果保留根号）

【答案】海岛。到2处距离为海里

【分析】过C作C8L/3于2,根据题意，利用正切函数的定义求解即可.

【详解】解：过C作于8,

由题意，^=30x0.5=15（海里），

在放A/BC中，tan30。=---=---,

AB15

BC=15x—=5y/3（海里）.

3

答：海岛C到8处距离为5月海里.

4.南安北站设计理念的核心源自南安当地古厝民居，体现了南安古厝“红砖白石双坡曲，出砖入石燕尾脊,

雕梁画栋皇宫式”的精美与韵味.如图，数学兴趣小组为测量南安北站屋顶BE的高度，在离底部3点26.6

米的点A处，用高1.50米的测角仪/。测得顶端E的仰角a=40。.求南安北站屋顶BE的高度（精确到0.1

米）.[参考数据：sin40°»0.643,cos40°~0.766,tan40°»0.839]

【答案】南安北站屋顶BE的高度约为23.8米.

EC

【分析】根据示意图得出2C=/Z）=1.50,DC=AB=26.6,在Rtz\DEC中，根据tana=而，得出EC,

进而根据8E=BC+CE,即可求解.

【详解】解：依题意，2C=/D=1.50,DC=AB=26.6,

EC

在RtdDEC中，tana------,

DC

/.EC=DC-tana=26.6xtan40°«26.6x0.839«22.3,

.'.BE=BC+CE=1.5+223=23.8（米），

答：南安北站屋顶BE的高度约为23.8米.

5.如图，为楼梯的倾斜角，楼梯底部到墙根垂直距离5。为4m,为了改善楼梯的安全性能，准

备重新建造楼梯，使其倾斜角为//CQ,已知tan/45O=百，sin/ACD上,求调整后的楼梯力。的

2

长.

A

【答案】4&m

【分析】先解RtA45O求出4D=46m,再解RS/CD求出/C的长即可.

【详解】解：・•・在RtAABD中，tanNABD=6,BD=4m,

AD=BD-tanZABD=46m.

•.•在Rt^/CD中，smZACD=—

2

AC=———=4V6m.

sinZACD

6.为做好疫情防控工作，确保师生生命安全，学校门口安装一款红外线体温检测仪，该设备通过探测人体

红外辐射的能量对