山西省忻州市2023-2024学年高二年级上册1月期末考试数学试题

高二数学试题

注意事项：

1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号

涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将

答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.

4.本试卷主要考试内容：人教A版选择性必修第一、二册.

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的.

1u3r5c7

3—5H—7—9H

1.已知数列的前4项分别为2,4,8,16,则该数列的一个通项公式可

以为4=()

A.2〃+1+(-1)”^^

2n

7n-l

B.2n+l+(-l)n+1^^

1

C.2n+l+(-l)z,-1^--^

2n

...2fl—1

D.2n+1+(-1)----

2n

【答案】D

【解析】

【分析】观察数列的项的特点，找到各项之间的规律，即可写出一个通项公式，结合选项,

即得答案.

【解析】观察可知，该数列的前面整数部分为奇数2〃+1,后面分数部分正负相间，首项

的分数部分为负，

分母为2",分子为2〃-1,

2n-1

故该数列的一个通项公式可以为an=2〃+1+（-1）",

故选：D

2.己知直线（：5x+（a-3）y+10=0,直线/2：（a+l）x+y+。=0.若，则。=

（）

A.4B.-2C.4或-2D.3

【答案】A

【解析】

【分析】由直线平行的必要条件列出方程求解参数，并注意回代检验是否满足平行而不是重

合.

【解析】因为“〃2,所以（。一3）（。+1）=5*1,即/一2。一8=（。一4）（。+2）=0,得

a=4或a=-2.

当a=4时，4:5x+y+10=0,/2:5x+y+4=0,符合题意;

当a=—2时，4:5x—5y+10=0,l2：—x+y—2—0,,4重合.

故。=4.

故选：A.

3.已知等比数列｛a'｝的前〃项和为S”，若S“=3x2"M+/l,则4=()

A.3B.-3C.6D.-6

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意，求得什2,…，结合等比数列的定义，得到.2,即可求解.

【解析】由S“=3x2"+/L,

,,+1

当时，an=-S,,，!=3x2+2-(3x2"+2)=3-2",可得也=2,“22,

an

当〃=1时，a1=S]=3x2?+2,

因为数列｛4｝为等比数列，可得?=3：；2：.=2,

解得2=—6.

故选：D.

，、1

4.若数列｛。“｝满足出=11，°"+1==—，则为85=（）

1—%

111

A.—B.11C.---

1010

【答案】D

【解析】

【分析】探索数列的周期性，根据数列的周期性求指定项.

1

11

：---\-a

3

【解析】因为i-«„+21L-an+x=——武=an.所以数列｛a“｝周期

1_%

l—a.

为3的数列.

所以。985=0328x3+1=%

110

%=11，所以11=；----=>a.=一,

1-q111

.10

故的85=<31=­•

故选：D

Y—6

5.函数/（%）二一二的极大值为（）

e

-8-9

A.尸B.JC.eD.e

【答案】B

【解析】

【分析】求导，再根据极大值与导数的关;

7-V

【解析】八x）=h，当"7时，小）>。,

当x>7时，f\x)<0.

x—67-61

所以的极大值为〃7）=丁=F

故选：B.

6.过抛物线C:y2=2pxO>0)的焦点的直线与抛物线C相交于A,B两点,若线段AB中

点的坐标为(4,20),则。=()

A.4B.3C.2D.1

【答案】A

【解析】

【分析】利用点差法及中点与焦点坐标分别表示直线A3的斜率，可建立关于。的方程，求

解可得.

【解析】设4和%)，5(4,%)，则］"%'，

』=2px2,

两式作差得，代一货=(%+为)(%-%)=2°(芯一9)，

当当=々时，则A5中点坐标为焦点尸究,0,不满足题意；

一%2P

当V时,得=y

设线段AB中点M,因为M坐标(4,20),且过焦点尸,

所以X+%=4夜>

2P20-0

则AB的斜率=入后=4_£，

一2

解得P=4.

故选：A.

7.在三棱锥尸—ABC中，P4J_平面A5C,NR4C=90。,。瓦尸分别是棱A仇5C,CP的

中点，A3=AC=2,丛=3,则直线CP与平面。跖所成角的正弦值为（）

63V132V13

B.—

131313

【答案】B

【解析】

【分析】建系，求出平面。跖的法向量为沆=（3,0,2）,再代入线面角的公式求解即可.

【解析】因为上4平面ABC，ABAC都在面ABC内,

所以PALACPALAB,

又NB4C=90°,所以AB1AC,所以A3,AC,AP两两垂直,

以A为坐标原点，N及衣，衣的方向分别为羽％z轴的正方向，建立如图所示的空间直角

坐标系，

则。（0,2,0）,「（0,0,3）,。。,0,0）,£（1,1,0）/[0,1,|

CP=（0,-2,3）,DE=（0,l,0）,DF=l-l,l,|

设平面D跖的法向量为玩=（九,y,z）,

y=0

m-DE=0,

则一所以＜3八取z=2,得庆=（3,0,2）.

m-DF=0,-x+y+—z=0

设直线CP与平面DEF所成的角为。，

।.।ICP-fn\3x26

所以sin8="sCP,同==—j=-.

11|cp||m|屈x屈13

故选：B

8.若函数〃力，g(x)的导函数都存在，/'(x)[g(x)+l]+/(x)g'(x)〉4x3恒成立，且

/⑴=g6=l,则必有()

A.A2)g(2)<16B./⑵[g⑵+1]<17

C.〃2)g(2)>16D.〃2)[g⑵+1]>17

【答案】D

【解析】

【分析】由/'(x)[g(x)+l]+/(x)g'(x)〉4x3,得"(x)g(x)]'+/'(%)〉(n'，设函数

h(x)=f(x)g(x)+f(x)-x4,利用导数证明以无)单调递增，所以人(2)>〃(1),据此即可

求解.

【解析】由八x)[g(x)+l]+/(x)g〈x)〉4x3,得"(X)g(X)r+尸(%)〉14)'，

设函数丸(%)=/(函g(x)+f(x)-x4,则/(%)=7'(x)[g(x)+l]+/(x)gf(x)-4x3>0,

所以/z(x)单调递增，所以丸(2)>丸(1),

即/(2)g(2)+/(2)-24>/(l)g(l)+/(1)-14,

因为/⑴=g⑴=1,所以/(2)g(2)+/(2)-16>1,

即/⑵[g⑵+1]>17.

故选：D.

二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，

有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.

9.等差数列｛4｝的前w项和为3，若%=9,S4=3a4,则()

A.｛4｝的公差为1B.｛4｝的公差为2

C.S4=18D.tz2023=2025

【答案】ACD

【解析】

【分析】列出方程组，求出等差数列的公差和首项，判断A,B；根据等差数列通项公式以

及前W项和公式即可判断c,D.

_a,+6d=9

S.=3a4，得《,

【解析】设｛4｝的公差为d，由%=9,44

[4al+6d=3ai+9d

a,=3

解得,，，故A正确，B错误;

d=1

S4=4。]+6d=18,。2023=6+2022d=2025,C,D正确.

故选：ACD

10.已知函数/(x)的导函数/'(x)的图象如图所示，则()

A.)⑴在(—3,—1)上单调递减

B.〃力在(-1,2)上单调递增

C.Ax)有2个极大值点

D./(尤)只有1个极小值点

【答案】ABD

【解析】

【分析】根据导函数图象与函数单调性以及极值的关系一一分析即可.

【解析】由图可知，当—3<x<—1时，f\x)<0,所以/(x)在(—3,—1)上单调递减,

当—l<x<2时，f\x)>0,所以/a)在(—1,2)上单调递增，A,B均正确.

当*<一3时，f\x)>0,当—3<x<—1时，f\x)<0,当%>—1时，f'(x)>0,

所以/(X)的极大值点为-3,"X)的极小值点为-1,C错误，D正确.

故选：ABD.

11.已知？在同一个坐标系下，曲线如2=根”与直线如+改=加〃的位置

可能是(

【解析】

22

【分析】先根据题意得到曲线为土+工=1,直线为'+'=1,再根据当机=〃>0,

nmnm

加>0,m>〃>0,7?>0>加时，曲线及直线的横截距与纵截距的关系即可逐项判断.

22Y"V

【解析】因为加所以曲线为土+匕=1,直线为一+2=1,

nmnm

当加=〃>0时，曲线表示的是圆，直线的横截距与纵截距相等，则A错误；

当〃〉加>0时，曲线表示焦点在X轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距大，则B正确；

当〃2>〃>o时，曲线表示焦点在y轴上的椭圆，直线的横截距比纵截距小，则C不正

确；

当〃>0>加时，曲线表示焦点在尤轴上的双曲线,直线的横截距为正，纵截距为负，则D

正确.

故选：BD.

12.已知函数/(x)=W，且关于x的方程"(x)丁+时(%)+根=0有3个不等实数根，

e

则下列说法正确的是()

A.当x>0时，/(%)>0

B./(X)在(1,+c。)上单调递减

C.冽的取值范围是1一；,oj

D.m的取值范围是1—

【答案】ABD

【解析】

【分析】对/(九)进行求导，利用导数研究“X)的图象判断AB,令t=j,将问题转化为

e

/(%)=/］和/(%)=/2共有三个不同的实数根，结合“力的图象判断CD.

【解析】由指数函数的图象和性质可知当x>。时，f(x)>0,当x<0时，/(%)<0,A

正确；

因为/''(%)==，令/'(%)>。解得x<l，令/'(x)<0解得光>1，

所以/(x)=金在(-8,1)上单调递增，在(1,+。)上单调递减，B正确；

又当X趋于+8时，/(尤)趋于0,当X趋于一8时，/(尤)趋于-8,当X=1时，

/(x)=；,

C

故可作/(%)的草图如图，

%

令％==，则/+加/+加=0,即方程/+加/+根=0的两根为。,才2，

e

若，二0是方程』+机/+m=0的根，则加=0,显然不符合题意，

因为方程/+机/+机=0有3个不等实数根,

0<%<—

e0<(<—

所以《或Ve

1

/2二一了2<。

e

,11+机1』］+m=0解得机=—V%,所以柩2=根<0，即异号，

当/2=一时,

e

不满足题意;

m<0,

0<A<—1

当e时，即有<1m八解得—9----<加<。,

—H——+m>0,e+e

，2<。lee

一一,0,C错误，D正确;

即m的取值范围为

ere)

故选：ABD

【小结】关键小结：本题的关键是作出函数图象，利用换元法结合二次函数根的分布从而

得到相关不等式，即可求出川的范围.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.物体位移s(单位：m)和时间r(单位：s)满足函数关系s=2/—/(()</<10),

则当f=2时，物体的瞬时速度为m/s.

9

【答案】—##2.25

4

【解析】

【分析】对位移与时间的函数关系求导，代入/=2即可求解.

【解析】/=2+4,则4，=2+，=g.

t3"=2234

9

故答案为：一.

4

2_

14.已知双曲线C：(—丁=1,直线/:y=x+m被C所截得的弦长为4#，则机=

【答案】±372

【解析】

【分析】联立直线与双曲线方程得韦达定理，即可根据弦长公式求解.

【解析】设双曲线C与直线/交于4(%,%),％)两点，

「2

%,2_1

-----V-1,

由<3消去V整理得2%2+6mx+3m2+3=0，则

y=x+m,

A=36m2-8（3m2+3）=12*—24>0,解得根2>2,且为+々=-3m,石々=汽±1,

所以1AB\=^2|xj-x2|=四J（X]+%2J-4中2=V2x,3川—6.

由母x《3病-6=4瓜,解得加2=18，所以抑=±3后-

故答案为：±3及

15.若直线x+3y—1=0是圆/+2奴一8=0的一条对称轴，则点P（2,0）与该圆上

任意一点的距离的最小值为.

【答案】1

【解析】

【分析】利用圆关于直线对称可知该直线过圆心（4，0）,可得。=1,再利用定点到圆上点距

离的最值的求法即可求得结果.

【解析】由题可知，该圆的圆心为（区0）,直线x+3y—1=0过圆心，

则a—1=0,解得a=1,

则该圆的方程转化为（X-1）2+V=9,该圆圆心为（1,0）,半径为3,

易知圆心与「（2,3"）的距离为J（2—=2，

故点P（2,出）与该圆上任意一点的距离的最小值为3—2=1.

故答案为：1

16.在数列｛an｝与也｝中，已知%=4=2,an+l+bn+1=2（%+4）,%%=2anbn,则

11

-------------1------------=_____________.

“2023%23

【答案】1

【解析】

1111

【分析】由已知计算——+不一可得｛一+不｝为常数列，进而可得结果.

ab

4+1々+1nn

【解析】由题意知，，+[=%；%=2（%：，）」+],

%+1a+ian+ibn+l2anbnanbn

11111111

所以｛f一+1｝为常数列，即一+厂=—+1=彳+彳=1,

a.bnanbn%"22

11,

所以——+~一=L

“2023”2023

故答案为：1.

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算

步骤.

17.已知函数/(x)=3/—4d.

(1)求曲线y=/(x)在点(―L/(—D)处切线方程;

(2)求f(x)在［-1,2］上的最的

【答案】(1)24x+y+17=0；

(2)最大值为16,最小值为-1.

【解析】

【分析】(1)求出函数/(刈的导数，再利用导数的几何意义求出切线方程.

(2)由(1)中信息，利用导数探讨函数/(x)在［-1,2］上单调性，再求出最值.

【小问1解析】

函数/(》)=3/一4/，求导得尸(x)=12d—12/，则八-1)=-24,而/(一1)=7,

所以曲线y=/(%)在点(-1,/(-1))处的切线方程为y—7=-24(%+1),即

24x+y+17=0.

【小问2解析】

由/'(X)=12/—12/=0,得x=0或1=1,

由r(x)=12/—12/>0,得尤〉1,

显然当x<l时，恒有/'(x)=12d—12f<0,当且仅当x=0时取等号，

因此了⑴在(1,2］上单调递增，在［-1,1)上单调递减，而/•(—1)=7,/(1)=-1,

/(2)=16,

所以/（X）在［-1,2］上的最大值为16,最小值为-1.

18.已知数列｛%｝的前〃项和为S,,,且S“=3”2；9”

（1）求｛4｝的通项公式；

9

（2）设加=——，求数列也｝的前几项和北.

anan+l

【答案】(1)an=3n+3

⑵小心

【解析】

【分析】（1）利用可,S"的关系式即可求得｛%｝的通项公式为4=3〃+3；

||n

（2）由（1）可得a=利-用裂项相消求和可得——

n+1n+22n+4

【小问1解析】

当〃=1时，6=Si=6,

*、。叶cc3n2+9n3(n-l)2+9(n-l).

当时，a-"-----------------------=3n+3.

%=6符合an=3〃+3,

所以｛4｝的通项公式为=3〃+3.

【小问2解析】

,99111

由(1)用得力=-----=---------------=------------=------------

〃anan+x(3〃+3)(3几+6)(〃+1)(几+2)〃+1n+2

11_n

2n+22〃+4

所以数列也｝的前几项和北=/q.

19.已知直四棱柱ABC。-A4GR的底面ABCD是菱形，且

ZABC=6Q°,AB=AAi=2,E,尸分别是侧棱44,,CG的中点•

（1）证明：四边形E5FD］为菱形.

（2）求点C到平面BDF的距离.

【答案】（1）证明见解析

⑵叵

2

【解析】

【分析】（1）取CD的中点G,可证得AGLA5,以A为坐标原点建立空间直角坐标系，

运用空间向量坐标法证明BF=~EDX,BE=可及|而卜|BE\即可.

（2）运用空间向量点到面的距离公式计算即可.

【小问1解析】

取CD的中点G,连接ACAG,

因为底面A3CD是菱形且NABC=60°,所以AACD为等边三角形，

所以AGLDC,

XAB//CD,所以AGLAB,

易知AB,AG,两两垂直.以A为坐标原点，荏，无不，瓯的方向分别为羽％z轴的正方

向，建立如图所示的空间直角坐标系.由A3=A4=2,

可得8(2,0,0),。(1,疯0),。卜1,60),石(0,0,1),川1,百,1),^(-1,73,2).

证明：由上可得而=(—1,、疗,1)=药，诙=(—2,0,1)=两，

所以BF〃EDi，BE〃FD「且而卜题卜

所以四边形防尸2为菱形.

【小问2解析】

设平面BDF的法向量为为=(%,y,z),因为BF=(-1,、月,1),5£)=卜3,、月,0),

BF-n=0-x+V3y+z=0

所以《一，即,取x=l,得为=（1,退2）.

BDn=0—3x+sfiy=0

又小卜1,60卜

所以点C到平面BDF的距离d=BCn'=也.

\n\2722

20.己知正项数列｛«„｝满足*i=a『,数列也｝的前几项和为Sn,且也+i=2S”+2,

%="1=2.

(1)求｛4｝,｛勿｝的通项公式；

n卜11

(2)证明：14£,<二.

日生2

⑵〃二L

【答案】(1)4=2〃，bn=\

3n,n>2.

(2)证明见解析

【解析】

【分析】(1)对数列｛4｝两边取对数，再结合“累乘法”求数列的通项公式；对数列｛%｝,

根据前〃项和求通项公式；

(2)利用错位相减求和法求数列的前九项和，然后再证明不等式.

【小问1解析】

因为a：+i=因+i,a„>0,且q=2,所以4〉1,

11g〃+1

所以lga：+i=lga；，即“lga“+i=("+l)lga“n-1------=-------

坨4n

Ig。”1g*1ga31g%_nn—1n—232

当〃22时,所以

Iga,Ilga〃_21ga21gaxn-\n-2n-32

^=n

igq

因为4=2,所以log2%=",所以a"=2".

6=2也符合上式，所以%=2".

当〃=1时，b2—2S]+2=2々+2=6.

因为应优+i=2S“+2,所以当时，("T)b〃=2S,i+2,

bh

所以当时，成%]—(〃—1)么=22，即」七=」，

n+1n

所以当“22时，数列,?’是以g=3为首项的常数歹U，

b

即」=3(〃》2),所以2=3〃(〃22),

n

2,〃=1,

所以｛2｝的通项公式为“=<

3n,n>2.

【小问2解析】

ebibb、b.b693n

因为〉—=—}+—+—+—=

1+—5-2+-7+---+3——,

gq勾a2a3an222"

所以Y找e丁升1一6王93n

+…+——2hr

亦二1口启-曰1白13333n__3n

两式相减得一，一=——।--1——-H-----1-------------=2+3x

2±%22232〃2向

113〃+6113〃+611

，所以"-----<

42n+l2"------2,

因为。〃"勿"所以?j故

2222

21.已知椭圆。1：=+二=1（。〉6〉0）与双曲线。2：.y=1（«>&>0）的焦距之比

aba

为？

（I）求椭圆G和双曲线G的离心率;

（2）设双曲线G的右焦点为尸，过P作EPLx轴交双曲线G于点尸（尸在第一象限）,

A,8分别为椭圆C1的左、右顶点，AP与椭圆交于另一点0,。为坐标原点，证明:

%BP，k0p=k0Q+kop.

【答案】21.椭圆的离心率为巫，双曲线。2的离心率为之叵

55

22.证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据题意结合椭圆、双曲线的方程与性质运算求解;

3）

（2）由（1）可知尸a.-a,联立方程求点。的坐标，结合斜率公式分析证明.

5）

【小问1解析】

椭圆G的焦距2q=2面-及，双曲线G的焦距2c2=2荷+加,

则整理得"T：

从而=〃2一人2=]q2,c；=Q2+人2=1〃2,

故椭圆G的离心率6=幺=巫，双曲线G的离心率e,=2=2叵

a5a5

【小问2解析】

22

《小,椭圆G：++—i

由（1）可知a九2

5

）5

因为A(-a,O),所以直线AP的方程为y=2^J~5(x+a).

-2710-5.,、

y=--—(%+。)

联立方程组,尤22,整理得

T+—1

a九2

I5

(8-2加)£+(13-4师)以+(5-2屈)4=0,

5-292屈-5

贝|J—QXQa2，则xa,

8-2710Q8-2而

,曰2710-5,、3(2A/10-5):,即/巫曰,空埠Q

可得为:―(％+幻=5^^

(8-2屈5(8-2710))

33

一Q

因为上BP二大万|一3kk->-3

2710-5<3班；2回，°°一兀一M

------a-a

5

912+3国,,3312+3国

则总%=40-10而^―，乜+%=1+和=

20