人教版八年级数学下册专项复习：平行四边形（压轴题专练）（解析版）

第十八章平行四边形（压轴题专练）

目录

【考点一矩形中的折叠问题】...............................................................1

【考点二菱形中的折叠问题】...............................................................5

【考点三正方形中的折叠问题】............................................................11

【考点四矩形、菱形、正方形中旋转问题】..................................................15

【考点五矩形、菱形、正方形中求定值问题】................................................22

【考点六矩形、菱形、正方形中求最小值问题】.............................................27

【考点七矩形、菱形、正方形中求最大值问题】.............................................31

【考点八矩形、菱形、正方形中点四边形问题】.............................................36

【考点一矩形中的折叠问题】

例题：（2023秋・湖南衡阳•八年级校考期末）如图，将矩形ABCD沿着对角线8。折叠，使点C落在C'处，BC

交于E,若AB=4,BC=8,AE=.

【答案】3

【分析】由折叠可知，NCBD=NEBD,再由AD〃3C,得至*/CBD=NEDB,即可得到=,

于是得到=设DE=x,则应AE=8-x,在MABE中，由勾股定理求出x的值，即可求解；

【详解】解：由折叠可知，ZCBD=ZEBD,

AD//BC,

:.NCBD=NEDB,

:.ZEBD=ZEDB,

BE=DE,

AD=BC,

:.AE^EC'.

设=则=AE=8-x,

在RtZXABE1中，由勾股定理得：AB2+AE2=BE2BP42+(8-x)2=x2,

解得：尤=5,

DE=5.

AE=3,

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查翻折变换的知识点，解答本题的关键是熟练掌握等腰三角形的判定与勾股定理的知

识，此题难度不大.

【变式训练】

1.(2023秋・福建福州•八年级福建省福州第一中学校考期末)如图,长方形ABCD中,E为8C的中点，将ABE

沿直线AE折叠时点2落在点尸处，连接FC,若/ZMF=16。，则N£>CF=度.

AD

BEC

【答案】37

【分析】由折叠的性质得：FE=BE,ZFAE=ZBAE,ZAEB=ZAEF,求出ZBAE=NE4E=37。，可得到

ZAEF=ZAEB=5T,求出NCEF=74。，求出FE=CE,由等腰三角形的性质求出NECF=53。，即可得出

NOC尸的度数.

【详解】解：•四边形池。是长方形，

:.ZBAD=ZB=NBCD=90。,

由折叠的性质得：FE=BE,ZFAE=ZBAE,ZAEB=ZAEF,

ZDAF=16°,

/BAE=ZFAE=1x（90°-16°）=37°,

ZAEF=ZAEB=90°-37°=53°f

.•.ZCEF=180o-2x53o=74°,

石为BC的中点，

BE-CEf

:.FE=CE,

ZECF=—x(180。-74°)=53°,

2'7

ZDCF=90°-ZECF=37°；

故答案为：37.

【点睛】本题主要考查了折叠变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理；求出/ECF的度数是

解题的关键.

2.（2023春•八年级课时练习）长方形纸片A3CD中，AB=3,BC=4,点£是边上一动点，连接AE,

把沿AE折叠，使点B落在点F处，连接CF,当为直角三角形时，3E的长为.

BEC

【答案】|3■或3

【分析】当△CEF为直角三角形时，有两种情况：①当点尸落在矩形内部时，如答图1所示.连接AC,先

利用勾股定理计算出AC=5,根据折叠的性质得“芯=ZB=90。，而当aa如为直角三角形时，只能得到

ZEFC=90°,所以点A、尸、C共线，即-3沿AE折叠，使点2落在对角线AC上的点尸处，则£B=EF,

AB=AF=3,可计算出CF=2,设3E=x,则跖=汨CE=4-x,然后在RtZ\CEF中运用勾股定理可计

算出x.②当点P落在AD边上时，如答图2所示.此时跖为正方形.

【详解】解：当犷为直角三角形时，有两种情况：

当点尸落在矩形内部时，如答图1所示.连接AC,

BE

答图1

在中，AB=3,BC=4,

•*-AC=yjAB2+BC2=V32+42=5，

沿AE折叠，使点B落在点尸处,

/.ZAFE=ZB=90°,

当△CEF为直角三角形时，只能得到N£FC=90。，

・••点A、F、C共线，即23沿AE折叠，使点3落在对角线AC上的点尸处,

；・EB=EF,AB=AF=3,

：.CF=5-3=2,

设3E=x,则EF=x,CE=4-x,

在Rt/XCEF中，

EF2+CF2=CE2,

：.X2+22=（4-X）2

3

解得：x=；；

②当点厂落在AC边上时，如答图2所示.

A________n

K口

BEC

答图2

此时为正方形，

BE=AB=3.

3

故答案为：5或3；

【点睛】本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等.也考查了矩形的性

质以及勾股定理.注意本题有两种情况，需要分类讨论，避免漏解.

3.（2022秋•江苏苏州•八年级校考阶段练习）如图，长方形纸片A3CD中,AB=8,BC=12,点、E、尸分

别在边AD和边BC上，连接£F,将纸片沿折叠.

二

BF。BFC

图⑴图⑵

(1)如图(1),若点B落在边AZ)的延长线上的点G处，求证：GE=GF；

(2)如图(2),若点8落在边。的中点"处，求防的长.

【答案】(1)见解析

20

⑵可

【分析】(1)由折叠的性质及矩形的性质得出/GEF=/EFG,则可得出结论；

(2)设8/=无，由勾股定理得出(12-xy+42=d,求出x即可得出答案.

【详解】(1)证明：四边形A3CD是矩形，

:.AD//BC,

:.ZGEF=ZBFE,

将纸片沿所折叠，

:.NBFE=/EFG,

Z.GEF=NEFG,

:.GE=GF;

(2)解：四边形ABCD是矩形，

;.AD=BC=n,AB=CD=8,

M是8的中点，

:.CM=4,

由折叠的性质可知：BF=FM,

设W=x,

CF2+CM2=FM2,

.,.(12-x)2+42=%2,

解得犬=三，

.fiF_20

3

【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，等腰三角形的判定、勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌

握折叠的性质.

【考点二菱形中的折叠问题】

例题：(2022秋.九年级课时练习)如图，在菱形ABC。中，ZA=120°,AB=2,点E是边AB上一点，以

为对称轴将△加£折叠得到AOGE,再折叠BE使BE落在直线EG上，点2的对应点为点H,折痕为

且交8c于点?

(1)ZDEF=；

(2)若点E是AB的中点，则。F的长为.

【答案】90°2.8

【分析】(1)由折叠得NDEG+ZHEF=ZAED+NBEF,再根据平角的定义可得结论;

(2)首先证明8、G、。在同一条直线上，再运用勾股定理列方程求解即可.

【详解】解由折叠得，ZAED=ZDEG,NBEF=/HEF

：.ZDEG+ZHEF=ZAED+ZBEF

'：ZAED+ZDEG+ZHEF+ZBEF=180°

ZDEG+ZHEF=-xl80°=90°

2

即/DEF=90°

故答案为：90°；

(2):四边形ABC。是菱形

：.ADIIBC,DCIIAB,AB=BC=CD=DA=2

：.ZB+ZA=180°

,?ZA=120°

ZB=180°-ZA=180°-120°=60°

:点E为AB的中点，且AB=2

AE=BF=—AB=—x2=1.

22

:点A与点G重合，

"GE=NA=120。

:点B与点H重合

ZEHF=ZB=60°

XAE=EG,BE=EH,AE=BE

：.EG=EH

•••点G与点H重合

,?ZDGE+NFHE=ZDGE+ZFGE=100°+80°=l80°

：.B,G,。三点在同一条直线上

过点。作”交BC的延长线于点。，如图，

'CDCIIAB

：.ZDCO=ZB=60°,DC=AB=2

：.ZCDO=30°

：.CO=-DC=-x2=l.

22

在RJDCO中,OD=VOC2-OC2=A/22-12=A/3

由折叠得，BF=FH,AD=DH^2

^BF=x,则PC=2-x

DF=DF+GF=2+x,FO=FC+CO=2-x+l=3-x

在应.Z)FO中，DF2=FO2+DO2

：.(2+x)2=(3-X)2+(>/3)2

解得，x—0.8

OF=2+0.8=2.8

故答案为2.8

【点睛】本题主要考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线构造直角三角形是

解答本题的关键.

【变式训练】

1.(2022•全国•八年级假期作业)如图，在菱形ABCD中，ZABC=120°,将菱形折叠，使点A恰好落在对

角线8。上的点G处(不与8、。重合)，折痕为若。G=2,BG=6,则BE的长为.

D

G(A')

【答案】2.8

【分析】作即，89于H,根据折叠的性质得到EG=E4,根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到

为等边三角形，得到AB=BD,根据勾股定理列出方程，解方程即可.

【详解】解：作EHLBD于H,

由折叠的性质可知，EG=EA,

由题意得，BD=DG+BG=8,

四边形ABCD是菱形，

.-.AD=AB,ZABD=ZCBD=-ZABC=60°,

2

.二A皿为等边三角形，

AB=BD=8,

设班=x,则EG=AE=8—x,

在心EHB中,BH^-x,EH=­x,

22

在Rt_EHG中,EG2=EH2+GH2,即(8-x)?=(**)?+(6-gx)2,

解得，尤=2.8,BPBE=2.8,

故答案为：2.8.

【点睛】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对

称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键.

2.(2022秋•九年级课时练习)如图，在菱形A3CD中，F为BC边上一点、,将dCD尸沿。尸折叠，点C恰好

落在CB延长线上的点E处，连接DE交A3于点G,若BE=3,BF=2,则OR的长为.

【答案】2加

【分析】根据折叠的性质得C/=EEDFLBC,代入相关数据可得CF=5,BC=1,由菱形的性质得。C=7,

最后根据勾股定理可得DF的长.

【详解】解：由折叠得，CF=EF,DFLBC,

■:BE=3,BF=2

：.EF=BE+BF=3+2=5

CF=5

：.BC=BF+FC=2+5=1

•..四边形ABC。是菱形

：.DC=BC=1

在Rt^DFC中，DC2DF2+CF2

二DF=slDC2-CF2=分刁=2^/6

故答案为：2加

【点睛】本题主要考查了折叠的性质，菱形的性质以及勾股定理等知识，根据折叠的性质得到CP=ER

DFLBC是解答本题的关键.

3.(2023春•江苏盐城•九年级校考阶段练习)如图，在矩形A8CD中，点E在边CD上，将A8CE沿8E折

叠，使点C落在边上的点F处，过点尸作EG〃C。，交BE于点G,连接CG.

(1)判断四边形CEPG的形状，并说明理由.

⑵若AB=6,AD=IO,求四边形CEFG的面积.

【答案】（1）见解析

【分析】（1）由翻折得/8EC=/BEF,FE=CE,根据FG〃CE,可得NFGE=NBEC,从而/FGE=/BEF,

FG=FE,故FG=EC,四边形CEFG是平行四边形，即可得证；

（2）在RfAABF中，利用勾股定理求得AF的长，可得。F=l,设£7=x,则C£=r,DE=3-x,在RfADEF

中，用勾股定理列方程可解得CE,在RtABCE中,即可求出答案.

【详解】（1）证明：（1）;△BCE沿BE折叠，点C落在边上的点尸处，

LBCE咨△BFE,

：.ZBEC=ZBEF,FE=CE,

'：FG//CE,

：.ZFGE=ZBEC,

：./FGE=/BEF,

：.FG=FE,

：.FG=EC,

：.四边形CEFG是平行四边形，

又：CE=FE,

四边形CE/G是菱形；

（2）解：•.•矩形ABCD中,AD=10,

：.BC=10,

•.•△BCE沿BE折叠，点C落在边上的点尸处，

：.BF=BC=IO,

在Rt^ABF中,AB=6,AF=^BF2-AB2=8，

：.DF=AD-AF=2,

设EF=x,贝ijCE=x,DE=6-x,

在R/AOEF中，DF~+D^=EF2,

22+（6-x）2=x2,解得x=?,

••CE—,

3

四边形CEFG的面积是：CE・DF=yx2=y.

【点睛】本题考查翻折变化、菱形的性质和判定、矩形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问

题需要的条件，利用数形结合的思想解答.

【考点三正方形中的折叠问题】

例题：（2022秋・广东梅州.九年级校考阶段练习）如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落

在对角线AC上的点E处，则NEMC的度数为（）

A.22.5°B.30°C.45°D.67.5°

【答案】C

【分析】根据正方形的性质可得？390?,ZACB=^ZBCD=45°,再由折叠可得=/3=90。，然

后利用三角形的外角进行计算即可解答.

【详解】解：•••四边形A8CD是正方形，

：.?B90?,ZACB=-ZBCD=45°,

2

由折叠得：

ZAEM=ZB=90°,

：.NEMC=ZAEM-ZACB=90°-45°=45°,

故选：C.

【点睛】本题考查了正方形的性质，折叠的性质，三角形外角的性质，熟练掌握正方形的性质是解题的关

键.

【变式训练】

1.（2023•全国•八年级专题练习）如图，将正方形ABCD沿3E对折，使点A落在对角线8。上的A处，连接

AC,则/区4'C=°,

D

【答案】67.5

【分析】根据正方形的性质求出NC3D,再根据折叠的性质得43=3。，进而根据等腰三角形的性质得出

答案.

【详解】：四边形ABCD为正方形，

AAB=BC,ZABC=9Q°,BD平分，ABC,

ZCBD=-ZABC=45°,

2

根据折叠可知，AB=AB,

：.AB=BC,

1800-45°

ZBA'C=ZBCA'=-------------=67.5°.

2

故答案为：67.5.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，等腰三角形的性质等，判定等腰三角形是解题的关

键.

2.(2022秋•福建宁德•八年级校考阶段练习)如图，在正方形A3CD中，AB=4,点£在8边上，将VADE

沿AE对折至△AE2"延长所交BC于点G,G恰好是8C边的中点，则DE的长是.

41

【答案】-##1-

【分析】根据正方形的性质和折叠的性质证明ABG当AAG(HL),进而得到BG=Gb,由G是BC的中点,

得到3G=GF=GC=2,设=则EF=x,EC=4-x,在RtECG中由勾股定理建立方程求解即可.

【详解】解：连接AG,

由折叠得：AD=AF,ZAFE=ZD=90°,

:在正方形ABCD中，AD=AB,ZB=ZD=90°,

：.AB=AF,ZB=ZAFE=ZAFG=9Q°,

'：AG=AG,

，.ABGqAFG（HL）,

BG=GF,

VAB=BC=CD^DA=4,G是BC的中点，

BG=GF=GC=2,

设DE=x,贝ij£F=尤，EC=4-x,

在RtECG中，由勾股定理得：（X+2）2=22+（4-X）2,

44

解得彳=§,即。E=],

.,4

故答案为：—.

【点睛】本题考查正方形的性质、折叠的性质、三角形全等的判定和性质、勾股定理等知识，理解折叠的

性质、合理的进行转化到一个直角三角形中是解决此类问题常用的方法.

3.（2023春•江苏•八年级专题练习）如图1,在正方形ABCD中，点、E为BC上一点、,连接OE,把.DEC沿

DE折叠得到一DEF,延长EF文AB于G,连接DG.

⑴求证：NEDG=45。.

（2）如图2,E为BC的中点，连接

①求证：BF//DE-,②若正方形边长为6,求线段AG的长.

【答案】(1)证明见解析；

(2)①证明见解析，②线段AG的长为2

【分析】(1)由正方形的性质可得OC=D4.ZA=ZB=ZC=ZADC=90°,由折叠的性质得出/DEE=NC,

DC=DF,Z1=Z2,再求出“尸G=NA,DA=DF,然后由“HL”证明RtADGA三RtADGF,由全等

三角形对应角相等得出，3=/4,得出/2+/3=45。即可；

(2)①由折叠的性质和线段中点的定义可得CE=EF=BE,ZDEF=ZDEC,再由三角形的外角性质得出

Z5=ZDEC,然后利用同位角相等，两直线平行证明即可；

②设AG=x,表示出GT7、8G,根据点E是8C的中点求出BE、EF,从而得到GE的长度，再利用勾股

定理列出方程求解即可；

【详解】(1)证明：如图1：•••四边形A5CD是正方形，

:.DC=DA.ZA=Z5=ZC=ZADC=90°,

AOEC沿DE折叠得到SDEF,

/DFE=NC,DC-DF,N1=N2,

-.ZDFG=ZA=90°fDA=DF,

在RtADGA和RtADGF中,

[DG=DG

[DA=DF'

:.Rt.DGA^RtOG尸(HL),

.*.Z3=Z4,

ZEDG=Z3+Z2=-ZADF+-ZFDC,

22

=1(ZADF+ZFDC),

=-x90°,

2

=45°；

(2)证明：如图2所示:

G

/

BEC

图2

AD£C沿折叠得到ADEF,£为3c的中点，

,\CE=EF=BE,ZDEF=NDEC,

Z5=Z6,

/FEC=N5+N6,

/DEF+ZDEC=N5+N6,

.*.2Z5=2ZDEC,

即N5=ND£C,

..BF^DE；

②解：设AG=x,则G/=无，BG=6-x,

,正方形边长为6,E为5C的中点，

:.CE=EF=BE=-x6=3,

2

:.GE=EF+GF,

在RtZXGBE中，根据勾股定理得：（6-媛+32=（3+江，

解得：x=2,

即线段AG的长为2.

【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、

翻折变换的性质；熟练掌握正方形的性质，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.

【考点四矩形、菱形、正方形中旋转问题】

例题：（2023秋・陕西渭南•九年级统考阶段练习）如图，四边形A5co是矩形，以点8为旋转中心，顺时针

旋转矩形A3CD得到矩形GBEF,点A,D,C的对应点分别为点G,F,E,点。恰好在FG的延长线

上.

G

DC

AB

(1)求证：ABDA冬ABDG：

(2)若AD=2,求。尸的长.

【答案】(1)见解析

(2)4

【分析】(1)由旋转矩形ABCD可得AB=3G,ZA=NBG产=NDGB=90。，再根据斜边为公共边，利用“加”

可证得结论；

(2)由Rtz\BAAgRt/XBDG可知。G=AD,由旋转矩形ABC。可知GP=A£>,即可求得。尸的长度.

【详解】(1)证明：•••旋转矩形ABCD得到矩形GBEF,

AAB=BG,ZA=ZBGF=ZDGB=90°,

在Rt804和RtZXBDG中，

BD=BD,BA=BG.

：.RtABZM^RtABDG(HL).

(2)解：由Rt^BDA丝RtzXBDG可得DG=AZ)=2,

,/旋转矩形A3CD得到矩形GBEF,

GF=AD=2,

：.DF=DG+GF=4.

【点睛】本题主要考查了旋转的性质、矩形的性质、解题关键是证明Rt△血M丝RtABDG,利用矩形和旋

转性质求解.

【变式训练】

1.(2022秋・广东广州•九年级广州市第一一三中学校考期中)如图，将矩形A3CD绕点A顺时针旋转90°后，

得到矩形AFC'D,如果CD=2D4=2,那么CC'=.

cB

【答案】回

【分析】连接CC',先根据矩形的性质和勾股定理求出AC,然后根据旋转的性质和勾股定理求出CC'即可.

【详解】解：连接CC',

•.•矩形ABC。，CD=2DA=2,

：.ZCDA^90°,AD=1,

•*-AC=VAD2+CD2=小，

.将矩形ABC。绕点A顺时针旋转90。后，得到矩形AB'C'D,

AC=AC'=4S,ZCAC=90°,

CC'=siAC2+AC'2=y/10■

故答案为：A/10.

【点睛】本题考查了矩形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识，掌握矩形的性质，旋转的性质，勾股定

理是解题的关键.

2.（2022秋・江西宜春•九年级校考期中）如图，将边长为劣的正方形ABCD绕点A顺时针旋转30。到

的位置，则阴影部分的面积是

【答案】6-273

【分析】CO交Eg于点E,连接AE；根据全等三角形性质，通过证明△入耳,得ZEAB,=ZEAD；

结合旋转的性质，得NEA4=NEAD=30。；根据三角函数的性质计算，得EB-结合正方形和三角形面积

关系计算，即可得到答案.

【详解】如图，。交用G于点E,连接AE

根据题意得：NABf=NADE=90。,AB、=AD=6

*.*AE=AE

：.AAB{E^AADE

/EAB、=NEAD

・・・正方形ABCD绕点A顺时针旋转30。到A5C2

AZBAB,=30°,ZBAD=90°

；.ZB.AD=90°-ZBAB,=60°

"AB1=ZEAD=30°

：.^-=tanZEABt=—

1

ABt3

EB、=1

*e,5AAB,E=S/^ADE=~ABlXEBi=gx退xl=乎

...阴影部分的面积=2（A5xBC）-2（%^+5皿）=6-26

故答案为：6-2\/3.

【点睛】本题是面积问题（旋转综合题），考查了正方形、全等三角形、旋转、三角函数的知识；解题的关键

是熟练掌握正方形、全等三角形、旋转、三角函数的性质.

3.（2022秋・安徽铜陵•九年级铜陵市第十五中学校考期中）如图，在菱形ABCD中，AB=2,ZDAB=60°,

把菱形A3CD绕点A顺时针旋转30°得到菱形AB'C-'，则图中阴影部分的面积为.

B

【答案】3-73##-73+3

【分析】连接AC,3。相交于。，BC与C力'相交于E,根据菱形的性质先求出S-根据菱形的性质和旋

转可得AD=AZ7=2,4D。C三点共线，再求出S.〃虹■,最后根据S阴影部分=5.放-S.〃姐，即可得答案.

【详解】解：如下图，连接AC3。相交于O,8c与C力相交于E,

四边形ABCD是菱形，ND钻=60。，

\?CAB30脚CBD,AO=CO,BO=DO,

AB=2,

\DO=l,AO=j3DO=y/3,

AC=2A/3,

菱形ABC。绕点A顺时针旋转30。得到菱形ABCD,

\1D^B307,ADAD=2,

\4旅。三点共线，

\CD^AC-AD=2忖2,

ZDAB=60°,

\?〃姐360?120?120?30?90?,

ZACB=3O。，

\DB=^/3-l,CE=y/3DE=3-^3,

-s阴影部分=s,被；-s〃奶,

际影部分2?1I?(73l)(3-V3j=3-73,

故答案为：3-y/3■

【点睛】本题考查了菱形的性质，旋转的性质，勾股定理，解题的关键是灵活运用这些性质解决问题.

4.(2022秋•山西吕梁.九年级统考期中)综合与实践

【情境呈现】如图1,将两个正方形纸片A8C。和g'G放置在一起.若固定正方形A3CD,将正方形短网?绕

(1)【数学思考】如图1,当点E在A3边上，点G在AD边上时，线段BE与0G的数量关系是—，位置关

系是.

(2)如图2,是将正方形用"G绕着点A逆时针旋转a度得到的，则(1)中的结论是否仍然成立？若成立,

请证明；若不成立，请说明理由.

(3)【拓展探究】如图3,若点。，E,G在同一条直线上，且AB=2AE=2立，求线段BE的长度(直接写

出答案).

【答案】(1)3E=DG,BEJ.DG

(2)(1)中的结论成立，证明见解析;

⑶1+夕

【分析】(1)由正方形性质可以得到BE与。G相等且垂直；

(2)由SAS可证可得BE=DG,ZABE^ZADG,由余角的性质可证BEIDG；

(3)由(2)问结论连接30,表示出aBDE三边即可利用勾股定理列方程解题.

【详解】(1)：四边形ABCD和A£FG均为正方形，

BE±DG,AB=AD,AG=AE,

AB-AE=AD-AG,

即3E=DG,

BE与DG的数量关系是相等；位置关系是垂直

故答案为：相等；垂直

(2)(1)中结论成立，理由如下：

设BE交AO于O,DG于N,

四边形ABCD和A£FG均为正方形，

AE^AG,AB=AD,ABAD=ZEAG=90°,

NBAE=NDAG,

在,4阳和44)3中，

AB=AD

<NBAE=NDAG,

AE^AG

：.AABE^ADG(SAS),

：.BE=DG,ZABE=ZADG,

'：ZABE+ZAOB=90°,

：.ZADG+ZAOB=ZADG+ZDON=90°,

ZDNO=90°,

：.BE1DG-,

(3)连接8Z),

"­'AB=2AE=2A/2,

,A£=A/2,

EG=6AE=2,BD=&AB=4，

由(2)可得：/BED=90。,BE=DG,

.•.在RtZ\BED中，ED=DG-EG=BE-EG=BE-2,

贝!1£>6+跳；2=3£)2，

A(BE-2/+BE2=42

解方程得：BE=±y/7+l,

BE=y/l+l,

即线段BE的长度为e+l.

【点睛】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质等知识，灵

活运用这些性质进行推理是本题的关键.

【考点五矩形、菱形、正方形中求定值问题】

例题：（2022秋•山东枣庄.九年级校考阶段练习）如图，在矩形ABCD中，AB=3,AD=4,〃是上异

于A和。的任意一点，且ME_LAC于E,MFLBD于F,则ME+MF为

【分析】根据矩形的性质，AB=3,AD=4,可求出矩形的面积，AC,8。的长，由此可知△AOD的面积,

根据S^OD=S^AOM+S^DOM=^OA.ME+^OD.MF,即可求解.

【详解】解：如图所示，设4C与8。相交于点。，连接OM,

,在矩形ABCD中，AB=3,AD=BC=4,

2222

AC=BD=\lAB+BC=73+4=5，S^ABCD=AB.BC=3x4=12,

SAAW,=；S矩形.co=；xl2=3,OA=OD=1AC=|x5=|,

VMELAC,MFLBD,

•••S“8=s-+SADOM=gO4ME+gOD.MF,

：.S”。。=-OA-ME+-OD.MF=-OA.(ME+MF)=-x-x(ME+MF)=3,

.*.ME+MF*,

1?

故答案为：—.

【点睛】本题主要考查矩形的性质，等面积法求高，掌握矩形的性质，三角形的等面积法求高是解题的关

键.

【变式训练】

1.(2022秋•广东梅州•九年级统考期中)如图,在矩形ABCD中,点E是对角线AC上一点，有AE=A3=#)BC

且3C=a,点尸是3E上一动点，则点P到边AB,AC的距离之和PM+PN的值()

A.有最大值aB.有最小值C.是定值D.是定值业”

222

【答案】D

【分析】连接AP,过点8作3/1AC,利用SABE=SAPE+SAPB，即可得解.

【详解】解：连接AP,过点8作3R1AC,交AC于点厂，

:在矩形ABCD中，AE=AB=6BC,BC=a,

•,AB=AC=VAB2+BC2—2a，

•.・sARC=-ABBC=-ACBF

MC22

即：6a•Q=2axBF，

..BF=--

2

•uABE-uAPET°APB，

：.-AEBF=-AEPM+-ABPN=-AE(PM+PNY

2222v7

・•・PM+PN=BF=—；

2

故选D

【点睛】本题考查矩形的性质和勾股定理以及等积法求线段.熟练掌握矩形的性质，以及等积法求线段的

长度是解题的关键.

2.（2023秋•吉林长春•八年级长春外国语学校校考期末）如图，菱形ABCD的周长为20,面积为24,尸是

对角线5□上一点，分别作尸点到直线A3、AZ）的垂线段尸E、PF,则尸E+P尸等于.

24

【答案】y

【分析】首先利用菱形的性质得出4?=皿=5,SABD=n,进而利用三角形面积求法得出答案.

•・•菱形ABC。的周长为20,

AB=AD=5,

••S菱形BAC。=2SvABD,

•*,SVABD=/x24=12,

而SAABD二S4APB+S^APD，PE-LPF-LAD,

：.-PEAB+-PFAD=n,

22

・•・5P£+5尸产=24,

PE+PF=—,

,24

故答案为：—.

【点睛】本题考查了菱形的性质：菱形的对边分别平行，四条边都相等，两条对角线互相垂直平分，并且

分别平分两组内角.也考查了三角形的面积公式.

3.（2022・全国.八年级专题练习）如图，已知四边形A8CD为正方形，AB=5应,点E为对角线AC上一动

点，连接DE,过点石作防，。石交于点E以DE、EF为邻边作矩形DEFG,连接CG.

（1）求证：矩形DEFG是正方形；

（2）探究：CE+CG的值是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由.

【答案】（1）见解析

（2）是定值，CE+CG=10

【分析】（1）作出辅助线，得到EM=EN,然后再判断ZMEF=ZNED,得到一DEN三FEM，则有OE=EF,

即可判断矩形DEFG为正方形；

（2）由四边形A3CD为正方形，四边形DE厂G是正方形可知AD=CD,OE=OG,故可得wCDG,

得到AE=CG,即可判断CE+CG=10,为定值.

【详解】（1）解：如图所示，过E作ENLBC于M点，过E作EN_LCZ）于N点，

四边形ABCD为正方形,

ZBCD=90°,

EMIBC,EN.LCD,

:./EMF=/ENC=/END=90。,

:.ZMEN=90°,

.四边形DEFG为矩形，

:./FED=90。,

ZMEN-AFEN=ZFED-ZFEN,即ZMEF=NNED,

£是正方形ABC。对角线的点，

:.EN=EM,

在硒和△在M中，

ZEMF=/END

<EM=EN,

ZMEF=/NED

:._DEN±FEM(ASA),

：.ED=EF,

..•矩形DEFG为正方形.

(2)CE+CG的值为定值，

.矩形DEFG为正方形，

:.DE=DG,N£DG=90。，

四边形AfiCD是正方形，

:.AD=DC,ZADC=90°,

ZEDG-ZEDC=ZADC-ZEDC,即NAP£=NCDG,

在VADE■和一COG中，

AD=DC

</ADE=ZCDG,

DE=DG

:-ADEMCDG(SAS),

:.AE=CG,

:.CE+CG=CE+AE=AC=6AB=IO,

.\CE+CG=10.

【点睛】本题考查了正方形的性质与判定，矩形的性质，关键是结合图形得出三角形全等.

【考点六矩形、菱形、正方形中求最小值问题】

例题：（2022秋•重庆沙坪坝•八年级重庆市凤鸣山中学校联考期末）如图，E为正方形ABCD边AZ）上一点,

AE=1,DE=3,尸为对角线3。上一个动点，则上4+PE的最小值为（）

A.5B.40C.2710D.10

【答案】A

【分析】连接EC交8。于尸点，根据“两点之间线段最短”，可知F4+PE的最小值即为线段EC的长，求出EC

的长即可.

【详解】连接EC,交BD于P点

,•,四边形43CD为正方形

点和C点关于3。对称

:.PA=PC

PA+PE=PC+PE=EC

根据“两点之间线段最短”，可知丛+PE的最小值即为线段EC的长.

VAE=1,DE=3

：.AD=4

:.DC=4

:.CE=yjDE2+CD2=732+42=5

上4+PE■的最小值为5

故选：A

【点睛】本题主要考查了正方形的性质和两点之间线段最短，这是一个将军饮马模型.熟练掌握正方形的性

质并且能够识别出将军饮马模型是解题的关键.

【变式训练】

1.（2023秋•陕西宝鸡•九年级统考期末）已知菱形A8C。的两条对角线分别为6和8,M、N分别是边8C、

CD的中点，尸是对角线3。上一点，则PM+PN的最小值是（)

A.5B.5+C.5及D.不能确定

【答案】A

【分析】作M关于BD的对称点Q,连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小,连接AC,

求出CP、BP,根据勾股定理求出长，证出MP+NPuQNnBC,即可得出答案.

【详解】解：作M关于BD的对称点。，连接NQ,交BD于P,连接MP,此时MP+NP的值最小，连接

AC,则P是AC中点，

：.AC±BD,ZQBP=ZMBP,AB=BC,

即。在AB上，

为BC中点，

；.Q为43中点，

'：MQLBD,

：.AC//MQ,

：N为C。中点，四边形ABC。是菱形，

BQ//CD,BQ=CN,

，四边形8QVC是平行四边形，

PQ//BC,

：.PQ//AD,

而点。是A8的中点，

故尸。是△A3。的中位线，即点尸是8。的中点，

同理可得，PM是AA8C的中位线，

故点尸是AC的中点，

即点尸是菱形ABC。对角线的交点，

•••四边形是菱形，

则ABPC为直角三角形，

CP=-AC=3,BP=-BD=4,

22

在MABPC中,由勾股定理得：BC=5,

即NQ=5,

：.MP+NP=QP+NP=QN=5,

故选：A.

【点睛】本题考查了轴对称一最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，

解此题的关键是能根据轴对称找出尸的位置.

2.（2022秋・吉林长春•八年级长春外国语学校校考阶段练习）△ABC中，AC=1,AB=6,BC=2,点、P

为BC边上一动点，PELAB于E,PFIAC^F,在点尸运动的过程中，跖的最小值是（）

【分析】由矩形的性质得出EF,A尸互相平分，且EF=AP,再由垂线段最短的性质得出AP_L8c时，AP

的值最小，即AM的值最小，然后由勾股定理求出BC,最后由面积关系建立等式求出其解即可.

【详解】解：连接AP,

:在△48C中，AB=BAC=1,BC=2,

：-AB2+AC2=BC2,

即/BAC=90°.

又；于E,PFLAC^F,

.,•四边形AEP尸是矩形，

：.EF=AP.

根据垂线段最短可知，AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高,

此时SaMcn/BC-APn/AC-AB

BP-x2xAP--xlx>/3,

22

解得：”=走

2

.♦.防的最小值为在，

2

故选：C.

【点睛】此题主要考查了勾股定理、矩形的判定与性质、垂线段最短、三角形面积等知识；由直角三角形

的面积求出AP是解决问题的关键，属于中考常考题型.

3.（2022春•江苏淮安.九年级校考阶段练习）如图，在正方形A3CD中，边长AB=2,点。是边C。的中点，

点尸是线段AC上的动点，则Z/+PQ的最小值为.

【答案】75

【分析】先连接BQ,连接PB、PD,再根据正方形的对称性得BP=DP,进而得出。尸+PQ的最小值，然后

根据勾股定理求出解即可.

【详解】解：连接8。，交AC于点尸，连接PB、PD.

.四边形ABC。是正方形，

，点8与点。关于AC对称，

BP=DP,

：.DP+PQ=BP+PQ>BQ.

VAB=2,点。是边CD的中点，

CQ=\,BC=2,

在Rt..CBQ中,BQ=4BC2+CQ1=也+G=后,

QP+PQ的最小值为君.

故答案为：75.

【点睛】本题主要考查了正方形的性质，勾股定理等，得出点P的位置是解题的关键.

【考点七矩形、菱形、正方形中求最大值问题】

例题：（2022秋•贵州贵阳•九年级统考阶段练习）矩形45co中，AB=S,AD=4,点A是y轴正半轴上任

意一点，点B在无轴正半轴上.连接。D.则的最大值是.

【答案】4四+4##4+4&

【分析】取A3的中点连接MD,当OM、成一条直线时，有最大值，利用勾股定理及直

角三角形斜边中线的性质可得答案.

【详解】解：取AB的中点M,连接。河、MD,当。河、成一条直线时，有最大值，

在^tAADM中,DM=y/AD2+AM2=A/42+42=40，

在RtA4O3中，0M=13=4,

2

*e•OD的最大值是40+4,

故答案为：4A/2+4.

【点睛】本题考查了勾股定理、三角形三边关系、直角三角形斜边上中线的性质，读懂题意，得出当。加、MD

成一条直线时，0。有最大值是解本题的关键.

【变式训练】

1.（2022秋•福建漳州•九年级校考期中）如图，平面内三点A、B、C,AB=6,AC=5,以8C为对角线作

正方形9CE,连接A£>,则AO的最大值是（）

A.6B.11C.11,72

【答案】D

【分析】如图将绕点。顺时针旋转90。得到VCDM.由旋转不变性可知：AB=CM=6,

DA=DM.ZADM=9Q°,得出八位2根是等腰直角三角形，推出=当AM的值最大时，AD

2

的值最大，根据三角形的三边关系求出AM的最大值即可解决问题.

【详解】解：如图,

将ABDA绕点D顺时针旋转90。得到YCDM,

由旋转不变性可知：AB=CM=6,DA=DM,乙31=90。,

.二ADM是等腰直角三角形，

AD=—AM,

2

当AM的值最大时，AD的值最大，

AM,,AC+CM,

.〔AM的最大值为11,

.:9的最大值为谑.

2

故选：D.

【点睛】本题考查正方形的性质，动点问题，三角形的三边关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助

线，学会用转化的思想思考问题.

2.（2022秋・全国•九年级专题练习）如图，在菱形A3。中，AB=6,ZABC=60°,AC与BD交于点O,

点N在AC上且AN=2,点M在8C上且尸为对角线8。上一点，则PM-PN的最大值为.

【分析】作点N关于的对称点N',连接MN；PN,仄而可得PM—PN=PM-PN'MMN',再根据菱形

的性质、等边三角形的判定证出是等边三角形，然后根据等边三角形的性质可得MN'=2,由此即

可得.

【详解】解：四边形ABCD是菱形，AB=6,

.-.AB=BC=6,OA=OC,AC1BD,

ZABC=60°,

ABC是等边三角形，

AC=AB=6,ZACB=60°,

/.OA=OC=3,

AN=2,

:.ON=\,

如图，作点N关于5。的对称点N',连接MN；PN',

则ON'=ON=1,PNf=PN,

:.CN'=OC—ON'=2,PM—PN=PM—PN'SMN',当且仅当尸,N',M共线时，等号成立，

BM=-BC,BC=6,

3

:.CM=-BC=2,

3

:._CW是等边三角形，

:.MN'=CM=2,

即PM-PN的最大值为2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、轴对称的性质等知识点，熟练掌握菱形的性

质是解题关键.

3.（2022秋・湖北黄石•九年级校考阶段练习）如图所示，在菱形ABCD中，A