人教版八年级数学下册专项复习：二次根式（知识归纳+题型突破）（解析版）

第十六章二次根式(知识归纳+题型突破)

课标要求

1.理解并掌握二次根式、最简二次根式、同类二次根式的定义和性质.

2.熟练掌握二次根式的加、减、乘、除运算，会用它们进行有关实数的四则运算.

3.了解代数式的概念，进一步体会代数式在表示数量关系方面的作用.

基础知识归纳

知识点一、二次根式的相关概念和性质

1.二次根式

形如&(a»0)的式子叫做二次根式，如行，而位等式子，都叫做二次根式.

特别说明：二次根式标有意义的条件是。之0,即只有被开方数。之0时，式子后才是二次根式，&

才有意义.

2.二次根式的性质

(1)4a>0(a>0)；(2)(Va)2-a(a>0)；(3)V?=lai=<();

1[-a(a<0)

特别说明：(1)一个非负数。可以写成它的算术平方根的平方的形式，即a=(&r(«>0),如

2=(0)2；；=(A)2；X=(«)2(%>o).

(2)而中。的取值范围可以是任意实数，即不论。取何值，而一定有意义.

(3)化简时，先将它化成时，再根据绝对值的意义来进行化简.

(4)‘屋与(GV的异同

不同点：J户中。可以取任何实数，而(、5)2中的。必须取非负数；=(8)2=a(«>0).

相同点：被开方数都是非负数，当。取非负数时，J/=(&)2.

3.最简二次根式

(1)被开方数是整数或整式；

（2）被开方数中不含能开方的因数或因式.

满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.如叵而,Jo?+济等都是最简二次根式.

特别说明：最简二次根式有两个要求：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中每个因式的指数都小

于根指数2.

4.同类二次根式

几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同，这几个二次根式就叫同类二次根式.

特别说明：判断是否是同类二次根式，一定要化简到最简二次根式后，看被开方数是否相同，再判断.如

也与册,由于际=20,及与*显然是同类二次根式.

知识点二、二次根式的运算

1.乘除法

（1）乘除法法则：

类型法则逆用法则

积的算术平方根化简公式：

二次根式的乘法yfaxV&=s/ab（a>0,£»>0）

Jab=4ax加（a>0,£»>0）

商的算术平方根化简公式:

二次根式的除法^=K>0,b>0）

[a_4a

(a>0,b>0)

特别说明:

（1）当二次根式的前面有系数时，可类比单项式与单项式相乘（或相除）的法则，如a^[b-c4d=acyfbd.

（2）被开方数a、b一定是非负数（在分母上时只能为正数）•如&-4）又（—9）丰口又口.

2.加减法

将二次根式化为最简二次根式后，将同类二次根式的系数相加减，被开方数和根指数不变，即合并同类

二次根式.

特别说明：二次根式相加减时，要先将各个二次根式化成最简二次根式，再找出同类二次根式，最后合

并同类二次根式.如^2+3>/2—5\/2=（1+3—5）A/2=-正

重要题型

【题型一二次根式的定义】

例题：（2023下•浙江丽水•八年级期末）下列式子一定不是二次根式的是（）

A.0B.7Z+1C.7（x-l）2D.口

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式的定义，根据形如右（。20）的式子叫二次根式进行判断.

【详解】解：A.也是二次根式，故本选项不符合题意；

B.77七是二次根式，故本选项不符合题意；

C.J（尤-1）?是二次根式,故本选项不符合题意；

D."中-2<0,不是二次根式，故本选项符合题意；

故选：D.

【变式训练】

1.（2023上•四川宜宾•九年级统考期中）下列式子是二次根式的是（）

A.4B.4C.V02D.7-tz2-l

【答案】C

【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是掌握二次根式的概念.

根据二次根式的定义：形如夜（420）的式子逐项判断即可.

【详解】解：4被开方数-1<0,不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意；

B、归■为三次根式，不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意；

C、血工中，条件0.2>0,是二次根式，故本选项符合题意；

]<0,...序三不符合二次根式的定义，故本选项不符合题意.

故选：C.

2.下列式子是二次根式的有（）个

«；A/5；V—3;yjx2—2xy+y2;J-4x（与7

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数大于等于0,逐一判断.

【详解】当时，«是二次根式；

A是二次根式，

始不是二次根式，

C中-3<0,不是二次根式，

s]x2-2xy+y2=J(x-(x-y)>0»是二次根式，

jTx(-3)=旧,是二次根式，

:.左,yjx2-2xy+y2,J-4x(-3)是二次根式,共3个，

故选：B.

【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，二次根式的定义(一般形如夜(。20)的代数式叫做二次根

式)会判断被开方数的正负是解答关键.

3.给出下列各式：①取；②6；③Qi；®V^(m<0)；⑤々+1；⑥游.其中二次根式的个数是

()

A.2B.3C.4D.5

【答案】B

【分析】根据二次根式的定义即可作出判断.

【详解】解:①：32>0,.•.宿是二次根式；

②6不是二次根式；

②：-12<0,不是二次根式；

④；加40,是二次根式；

⑤；.JH+1是二次根式;

⑥玲是三次根式，不是二次根式.

所以二次根式有3个.

故选：B.

【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如&(a20)的式子叫做二次

根式.

【题型二二次根式有意义的条件】

例题：（2023上•安徽宿州•八年级校考阶段练习）二次根式中。的取值范围是（）

A.a>2B.aw2C.a>2D.a>0

【答案】c

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数大于等于零可得“-220,求解即可,

熟练掌握二次根式的被开方数大于等于零是解此题的关键.

【详解】解:由题意得：a-2>0,

解得：a>2,

故选：C.

【变式训练】

1.（2023上•河北石家庄•八年级校考期中）要使二次根式万I有意义，贝心的值可以取（）

A.5B.4C.3D.2

【答案】D

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开负数为非负数，即可作答.

【详解】解：依题意：2-x>0,

贝"2,

A、B、C、。四个选项，满足尤42这个条件的只有D,

故选：D.

2.（2023上•四川成都・八年级校联考期中）如果二次根式、」有意义，那么x的取值范围是（）

\3-x

A.x>-3B.x>3C.x<—3D.x<3

【答案】D

—>0

【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据被开方数大于等于零及分母不为零得到3-无一，进而

3-xw0

求解即可，熟练掌握分式有意义的条件是解题的关键.

—>0

【详解】由题意得3-苫一,

3-xw0

解得x<3,

故选：D.

3.（2023•广东云浮•统考二模）若式子正二有意义，则无的取值范围是（）

x—2

A.x>lB.%>1且C.且%。2D.%w2

【答案】c

【分析】本题考查分式和二次根式有意义的条件，根据分母不为0,被开方数大于或等于0,解不等式即可.

【详解】解：依题意得：x-120且为一2/0,

解得x21且xw2.

故选C.

【题型三求二次根式的值】

例题：（2023下•浙江丽水•八年级校联考期中）当x=-6时，乒上的值为.

【答案】4

【分析】直接把x的值代入化简即可.

【详解】解：当尤=-6时，

14-2x=^/4-2x（-6）=74+12=4.

故答案为：4.

【点睛】本题主要考查了二次根式的求值，熟记二次根式的性质是解决此题的关键.

【变式训练】

1.当x=2时，二次根式j2+7x的值是.

【答案】4

【分析】把x=2代入二次根式计算可得答案.

【详解】解：

••J2+7十-,2+7X2

=4.

故答案为：4.

【点睛】此题考查了二次根式的计算求值，解题的关键是正确代入数值计算.

2.（2023下•浙江温州•八年级校考期中）当x=l时，二次根式^/74的值是

【答案】2

【分析】将x=l代入原式即可求出答案.

【详解】解：当x=l时，

j7-3x

=^7-3x1

=A/4

=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查求二次根式的值，二次根式的性质.解题的关键是掌握二次根式的性质.

3.已矢口孙=3,贝（+=.

【答案】±273

【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论

【详解】求解.

解：xy=3,

x与y同号，

①当x>0,y>0时，

原式一恒+x•近

y%

=y/3+5/3

=2y/3;

②当xvo,yvo时，

原式一叵+尤•互

-y—x

=一^/^-

故答案为：±2S'.

【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件.

【题型四求二次根式中的参数】

例题：如果国是一个整数，那么最小正整数。=.

【答案】2

【分析】根据二次根式的定义，可得答案.

【详解】解：由二次根式同是一个整数，那么正整数。最小值是2,

故答案为：2.

【点睛】本题考查了二次根式的定义，利用二次根式的性质是解题关键.

【变式训练】

1.已知有理数满足5-岛=2b+2若-〃，则的值是.

【答案】J

【分析】将已知等式整理得-岛+("2》)=20-5,由°,。为有理数，得到-6。=2百，。-2b=-5,求出a,

b的值，代入计算即可.

【详解】解：：5-耳=28+2省一a,

—y/3d+(a—2b)=2.\/3-5,

'：a,。为有理数，

二-sj3a=2j3,a-2b=-5,

3

解得。=-2/=》

a+b=—2+—=――,

22

故答案为：

【点睛】此题考查了求二次根式中的参数，将已知等式整理后得到对应关系，由此求出a,6的值是解题的

关键.

2.已知”是无擎藜，底方是擎藜，则满足条件的所有w的值为.

【答案】9或7或1

【分析】先利用算数平方根有意义的条件求得正整数”的取值范围，然后令18-2〃等于所有可能的平方数即

可求解.

【详解】解:由题意得18-2〃之0,

解得“49,

...”是正整数，

n>l

・・・1W〃W9,

A2<2n<18,

A0<18-2n<16,

：J18-2〃是整数,

18-2”=0或18—2〃=1或18—2"=4或18—2〃=9或18-2"=16,

179

解得〃=9或"=——或〃=7或〃=—或〃=1,

22

•.%是正整数，

”=9或〃=7或〃=1,

故答案为：9或7或1

【点睛】本题考查了算术平方根的性质，理解掌握被开方数是平方数时算术平方根才是整数是解题的关键.

【题型五利用二次根式的性质化简】

例题：计算：J（1一同=.

【答案】V3-l##-l+73

【分析】根据二次根式的性质直接求解即可得到答案.

【详解】解：由题意可得，

7（1-A/3）2=|1-^|=A/3-1,

故答案为：V3-1.

【点睛】本题考查二次根式的性质：值=同，熟练掌握知识点是解题的关键.

【变式训练】

1.化简：Vj_8=，《5Qa~b(a<Q)=.

【答案】3A/2-5a技

【分析】根据二次根式的性质化简求解即可.

【详解】解：炳=30,

d50a2b(a<0)

=*2x2x(-a)"

=-5aJ2b，

故答案为：3VL-5ay/2b.

【点睛】本题考查二次根式的性质，会利用二次根式的性质正确化简是解答的关键.

2.化简：

【答案】⑴;3

⑵逅

2

⑶叵

4

【分析】(1)先将被开方数的分子分母分别写成平方的形式，再利用二次根式的性质化简即可;

(2)先将被开方数化成假分数，再将分母有理化即可；

(3)直接将分母有理化即可.

【点睛】本题考查了二次根式的性质和化简，熟练分母有理化的方法是解题的关键.

【题型六二次根式的乘除运算】

例题：(2023上•四川乐山•九年级乐山市实验中学校考期中)计算：3X

【答案】-g

【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可求解.

【详解】解：［-:厉）=-%10=-T

【变式训练】

1.（2023上•上海浦东新•八年级统考期中）计算：3旧—%^

【答案】巫

7

【分析】直接利用二次根式的乘除运算法则化简即可.

【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除混合运算，正确化简二次根式是解题关键.

2.（2023上•上海闵行•八年级统考期中）计算：3VT25--j2-x2Vi8

4V2

【答案】24

【分析】根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可.

【详解】解：3^/^25-^|^21x2^/^8=3^|4-1^|X2A/T8=3^|X1^|X2A/18=3X|X2XJ|X|X18=24.

【点睛】本题考查二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键.

3.（2023上•陕西西安•八年级西安市第二十六中学校考阶段练习）计算：曰&+卜［昌

【答案】3指

【分析】先根据二次根式的乘除法法则计算，然后合并即可；

【详解】解：原式=2指+"x3=36.

3

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法和除法法则是解决

问题的关键.

4.（2023上•上海闵行•八年级校联考期中）计算：3户xgg+2^y>0）

【答案】武

【分析】本题考查二次根式的乘除法.根据二次根式的乘除法法则进行计算即可.

1[~__1[x~y/x

【详解】解:2

5.（2023上•全国•八年级专题练习）计算:

【答案】⑴-450

（2）-|

【分析】（1）根据二次根式的乘法运算法则进行计算即可.

（2）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可.

3后1一27月=gx半、卜27指卜平x/27灼=-45相;

【详解】（1）原式=

2

（2）原式=

3

【点睛】本题主要考查二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的运算法则是解决本题的关键.

【题型七最简二次根式的判断】

例题：下面是最简二次根式的是（）

A.厄B.出C.卡D.75

【答案】D

【分析】根据最简二次根式的定义逐个判断即可.

【详解】解：A.V12=2A/3,巫的被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，故此选项不符

合题意；

B.4=乎，£的被开方数含有分母,不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

C.专分母中含有二次根号，不是最简二次根式，故此选项不符合题意；

D.君是最简二次根式，故此选项符合题意.

故选：D.

【点睛】本题考查最简二次根式的定义.理解和掌握最简二次根式的定义是解题的关键，注意：满足下列

两个条件的二次根式，叫最简二次根式：①被开方数不能含有分母；②被开方数不含有能开得尽方的因数

或因式.

【变式训练】

1.下列二次根式中，属于最简二次根式的是（）

A.V05B.C.7121D.V17

【答案】D

【分析】判定一个二次根式是不是最简二次根式的方法，就是逐个检查最简二次根式的两个条件：（1）

被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.是否同时满足，同时满足的就是最简

二次根式，否则就不是.

【详解】解：4代=也，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；

2

B、后=驾，不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；

C、脑=11,不属于最简二次根式，故本选项不符合题意；

D、后属于最简二次根式，故本选项符合题意.

故选：D

【点睛】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的概念是解答本题的关键.

2.在二次根式回、疔、而、与、后中，最简二次根式的个数是（）个

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】根据最简二次根式的概念：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因

式，解答即可.

【详解】解：•••庄=36,必=x岳,手，

，最简二次根式有：而、好共两个.

2

故选：A.

【点睛】本题考查二次根式，熟练掌握最简二次根的性质是解题关键.

【题型八同类二次根式】

例题：下列二次根式中与0是同类二次根式的是（）.

A.〃B.75C.V8D.M

【答案】c

【分析】先化简，再根据同类二次根式的定义解答.

【详解】解：44=2,与夜不是同类二次根式，不符合题意;

B、石与血不是同类二次根式，不符合题意；

C、*=20与0是同类二次根式，符合题意；

D、M与拒不是同类二次根式，不符合题意；

故选：C

【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同，这样的二次根

式叫做同类二次根式，解题的关键是掌握同类二次根式的定义.

【变式训练】

1.下列二次根式中，能与百合并的是（）

A.B.C.^6D.^/18

【答案】B

【分析】先化简选项中各二次根式，然后找出被开方数为3的二次根式即可.

【详解】解：A、J=孝，故与6不能合并，故A不符合题意；

B、同=今,故居与否能合并，故B符合题意；

V/D1DV/。

C、而与百不能合并，故C不符合题意；

D、/=3后，故炳与g不能合并，故。不符合题意.

故选:B.

【点睛】本题主要考查的是同类二次根式的定义和二次根式的性质，掌握同类二次根式的定义是解题的关

键.

2.下列各组的两个根式，是同类二次根式的是（）

A.B.J8a[3和C.和-Jo.2D.-jayjab

\xy\2xy

【答案】C

【分析】根据同类二次根式的概念逐个判断即可.

B：而凉=2同缶故的蕨和2疝，故3选项不符合题意；

C：回=2非,-^/5万=-半故而和-4正是同类二次根式，故C选项符合题意;

D-.夜和族不是同类二次根式，故。选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查同类二次根式，正确理解同类二次根式的概念是解题的关键.

【题型九已知同类二次根式求参数】

例题：最简二次根式向T能与百进行合并，则机=.

【答案】2

【分析】根据题意可判断最简二次根式标1和6是同类二次根式，即得出心+1=3,解出机即可.

【详解】根据题意可知m+1=3,

解得：机=2.

故答案为：2.

【点睛】本题考查最简二次根式的定义，同类二次根式的判断.由题意判断出而I和百是同类二次根式

是解题关键.

【变式训练】

1.若最简二次根式7§工万与3是同类二次根式，贝心的值为.

【答案】1

【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可列出关于a的等式，解出a即可.

【详解】由题意可知3°-1=2,

解得：a=\.

故答案为：L

【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义.掌握化成最简二次根式后，如果被开方数相同，

这几个二次根式叫做同类二次根式是解题关键.

2.若最简二次根式2,4加-1与J2+3根是同类二次根式,则优=.

【答案】3

【分析】根据最简二次根式和同类二次根式的定义可得4〃—1=2+3〃2,再解出机即可.

【详解】由题意得：4/M-1=2+3/7?,

解得：〃7=3.

故答案为：3.

【点睛】本题考查最简二次根式和同类二次根式的定义.掌握几个最简二次根式的被开方数相同，这几个

最简二次根式就叫做同类二次根式是解题关键.

【题型十二次根式混合运算】

例题：计算：

(l)^/48-A/27+；(2)^3A/12-2^-+A/48^^^.

【答案】(1)生8；

3

(2)y.

【分析】(1)先化简，再算二次根式的加减法即可；

(2)先化简，再算括号里的加减法，最后算除法即可.

【详解】(1)解：原式=4括-36+3=拽；

33

(2)解：原式=(6/一挛+4目十力="叵+百二型.

I3J33

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是掌握二次根式的运算法则和性质.

【变式训练】

1.(2023上•河南焦作•八年级统考期中)计算

(1)-j_2d⑵(1-26)2_(2-百)(2+代)

【答案】(1)8夜

⑵12-46

【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，熟记二次根式的混合运算法则是解题关键.

(1)先进行二次根式的乘法运算以及化简二次根式，再合并同类二次根式即可；

(2)先根据平方差公式，完全平方公式去括号，最后进行加减运算即可.

【详解】(1)解：避丁匣-[9-21)=50x2-9及-夜)=io&-2拒=8&;

(2)(1-2A/3)2-(2-^](2+A/3)=1-473+12-(4-3)=1-473+12-1=12-4^.

2.(2023下•北京海淀•八年级首都师范大学附属中学校考阶段练习)计算下列各题:

⑴+卜句2-舟卜闽;^A/12+V27r-叵

(2)---------1=-----V5x--；

V3V20

(3)3而-10』+A；(4)3^+1V50-4j1UV32.

【答案】⑴-应

W

(3)7A/5

(4)2

【分析】根据二次根式的性质以及混合运算法则化简计算即可

【详解】(1)解：原式=一3+3-2夜+夜=一百；

2肉34(9=5_37

(2)解：原式=

422

(3)解：原式=66-2斯+3斯=7君;

解：原式=9A/2+|X5^-4X

(4)+4应=(9底+应-20)+4收=80+40=2

【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键

3.(2023上•山东青岛•八年级校考阶段练习)计算题:

(1)J|-47216+42j1；⑵卜质-2后,班

6

-1+2/

⑶花A/5-1)(4)^27-|l-2V2|+

I2

⑸2一丁A/12xV6

(6)

【答案】⑴*

⑵6；

（3）272:

（4）一0+1；

⑸-3；

⑹这

3

【分析】（1）分别将各部分化简，再合并即可；

（2）先将除法转化成乘法，然后进行乘法运算，再合并即可；

（3）分别化简二次根式、负指数幕、利用平方差公式化简二次根式，再合并即可；

（4）分别求出立方根、化简绝对值、负指数幕、计算二次根式乘法，再合并即可；

（5）分别化简二次根式再进行处罚运算，再合并即可；

（6）分别把各部分化简，再合并即可；

【详解】（1）解：A-4A/^+42J=4-24#+7"=-^^；

（2）2A卜石=・2^7+宕=12-6=6；

（3）掂+（；］-（石+1）（«-1）=2^/5+4-（5-1）=2^/5+4-4=2后；

（4）0^一卜一2四++2x#=-3一仅/-1）+3+及=_3一20+1+3+0=一行+1;

【点睛】本题考查了负指数幕、二次根式的混合运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则.

【题型十一已知字母的值，化简求值】

例题：（2023上•福建泉州•八年级校考阶段练习）已知“=而+4,6=而-4,求下列代数式的值.

⑴/-无；

（2）a2+b2+ab.

【答案】（1）16而

(2)49

【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算.

（1）根据平方差公式将原式整理成（。+与（。-6）,再根据二次根式的运算法则计算即可求解;

（2）根据完全平方公式将原式整理成（4+6）2-必，再根据二次根式的运算法则计算即可求解.

【详解】⑴解：♦a=-\/lT+4,Z?=&7-4，

J〃+人=而+4+41-4=2而，〃+/?=而+4-&1+4=8，

贝IJ/一/=（々+勾g一勾=2而x8=16亚.

（2）解：•「〃=^/1T+4，b=A/TT—4，

a+b=y/ll+4+s/ll-4=2y/ll,岫=（而+4）（而-4）=-5,

贝!I/+〃+ab=（a+b）~-ab=（2A/TT）+5=49.

【变式训练】

1.（2023上•辽宁朝阳•七年级校考期中）已知了=避二5,不+曲,求/+'2一.-2苫+2丫的值.

2-2

【答案】2+2如

【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键.先

求出x-儿孙的值，然后把炉+产一孙一2x+2y变形后整体代入求解即可.

【详解】解：'=一'厂”