人教版八年级数学上册压轴题专练：全等三角形的六种模型全梳理（原卷版）

专题03全等三角形的六种模型全梳理

几何探究类问题一直属于考试压轴题范围，在三角形这一章，压轴题主要考查是证明三

角形各种模型，或证明线段数量关系等，接来下我们针对其做出详细分析与梳理。

类型一、倍长中线模型

目的:①构造出一组全等三角形;②构造出一组平行线。将分散的条件集中到一个三角形中o

例1.【阅读理解】

课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题:

如图1,AABC中，若AB=8,AC=6,求边上的中线AD的取值范围.

小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图2,延长AD到点£,使=

连接BE.请根据小明的方法思考：

(1)如图2,由已知和作图能得到△ADC沿八EDB的理由是.

A.SSSB.SASC.AASD.ASA

(2)如图2,AO长的取值范围是.

A.6<AD<8B.6<AD<8C.1<AD<7D.1<AD<7

【感悟】

解题时，条件中若出现"中点"、"中线"字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的

已知条件和所求证的结论转化到同一个三角形中.

【问题解决】

(3)如图3,AD是4WC的中线，BE交AC于点E,交AD于尸，且=求证：AC=BF.

例2.(培优)已知AACB和ADCE都是等腰直角三角形，ZACB=ZDCE=90°,连接AD,BE,

点厂为8E中点.

图1图2

(1)如图1,求证：BF=；AD；

⑵将绕C点旋转到如图2所示的位置，连接AE,BD,过C点作，AD于M点.

①探究AE和的关系，并说明理由；

②连接FC,求证：F,C,M三点共线.

【变式训练1】如图，AABC中，BD=DC=AC,E是。C的中点，求证：AB=2AE.

【变式训练2】(1)如图1,已知AABC中，AD是中线，求证：AB+AC>2AD；

(2)如图2,在ABC中，D,E是BC的三等分点，求证：AB+AC>AD+AE；

(3)如图3,在AABC中，D,E在边BC上,且3D=CE.求证：AB+AC>AD+AE.

【变式训练3】（1）阅读理解：

如图①，在AABC中，若AB=8,AC=5,求3C边上的中线AD的取值范围.可以用如下方

法：将△420绕着点。逆时针旋转180。得到△EBD,在△/■中，利用三角形三边的关系

即可判断中线4）的取值范围是；

（2）问题解决：

如图②，在AABC中，。是BC边上的中点，DELDF于点D，DE交AB于点E,DF交AC

于点F,连接EF,求证：BE+CF>EF-

（3）问题拓展：

如图③，在四边形ABCD中，ZB+ZZ）=180o,CB=CD,ZBCZ）=100o,以C为顶点作一

个50。的角，角的两边分别交AB、AD于£、/两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间

的数量关系，并说明理由.

C

CE%D

i:

ABB

AEAEB

图①图②图③

类型二、截长补短模型

截长补短法使用范围：线段和差的证明（往往需证2次全等）

BCE十"

例1.如图，在五边形ABCDE中，AB=AE,C4平分N3CD,ZCAD=-ZBAE.

2

A

CD

（1）求证：CD=BC+DE；

（2）若/B=75。，求/E的度数.

例2.（培优）在AABC中，BE,8为AABC的角平分线，BE,CD交于点F.

(1)求证：ZBFC=90°+^ZA；

(2)已知NA=60。.

①如图1,若BD=4,BC^6.5,求CE的长;

②如图2,若M=AC,求NAEB的大小.

图1图2

【变式训练1】如图，△皿。为等边三角形，若/。3。=/。^=£（0。<1<60。），则々8=

（用含。的式子表示）.

【变式训练2】如图，在四边形中，A3=AO,/B+NAOC=180。，点E、尸分别在直

线BC、CD上，^.ZEAF=^ZBAD.

（1）当点E、尸分别在边BC、CO上时（如图1）,请说明KFuBE+EO的理由.

⑵当点E、尸分别在边8C、8延长线上时（如图2）,（1）中的结论是否仍然成立？若成

立，请说明理由；若不成立，请写出E尸、BE、ED之间的数量关系，并说明理由.

【变式训练3］阅读下面材料：

【原题呈现】如图1,在AABC中，0A=2勖，8平分0AC2,AO=2.2,AC=3.6,求BC

的长.

【思考引导】因为CD平分0AC8,所以可在BC边上取点E,使EC=AC,连接。E.这样

很容易得到ADEO3AD4C,经过推理能使问题得到解决(如图2).

【问题解答】(1)参考提示的方法，解答原题呈现中的问题；

(2)拓展提升：如图3,已知AABC中，AB=AC,EIA=20o,8。平分回ABC,BD=23,BC

=2.求的长.

1

B匕-----c

图1图3

类型三、一线三等角模型

应用：①通过证明全等实现边角关系的转化，便于解决对应的几何问题；

②与函数综合应用中有利于点的坐标的求解。

例1.如图1,ZACB^90,AC^BC,AD1CE,BELCE,垂足分别为。，E.

(1)若AD=2.5cm,DE—1.1cm,求BE的长.

(2)在其它条件不变的前提下，将CE所在直线变换到JLBC的外部(如图2),请你猜想

AD,DE,BE三者之间的数量关系，并证明你的结论；

⑶如图3,将(1)中的条件改为：在AABC中，AC=BC,D,C,E三点在同一条直线上,

并且有NBEC=NADC=ZBC4=。，其中a为任意钝角，那么(2)中你的猜想是否还成立?

若成立，请证明；若不成立，请说明理由.

例2.在正方形ABCD中，点E在射线CB上（不与点8,C重合），连接D8,DE,过点E

作EF_LZ）E,并截取EF=DE（点D,尸在8C同侧），连接M.

（1）如图1,点E在BC边上.

①依题意补全图1;

②用等式表示线段3。，BE,蛇之间的数量关系，并证明；

（2）如图2,点E在CB边的延长线上，其他条件均不变，直接写出线段8D,BE,BF之

间的数量关系.

图1图2

【变式训练1】通过对数学模型"K字"模型或"一线三等角"模型的研究学习，解决下列问题:

［模型呈现］如图1,ZBAD=90°,=过点8作BC±AC于点C,过点。作。E1AC

于点E.求证：BC=AE.

［模型应用］如图2,且AE=AB,5CLCD且BC=C。，请按照图中所标注的数据,

计算图中实线所围成的图形的面积为.

［深入探究］如图3,ZBAD=ZCAE^90°,AB=AD,AC=AE,连接BC,DE,且8C_LAF

于点凡OE与直线AF交于点G.若BC=21,AF=12,则△ADG的面积为.

【变式训练2]（1）某学习小组在探究三角形全等时，发现了下面这种典型的基本图形.如

图1,已知：在AABC中，ZSAC=90°,AB=AC,直线/经过点A,BD2直线/,CEL直

线/,垂足分别为点。，E.求证：DE^BD+CE.

（2）组员小明想，如果三个角不是直角，那结论是否会成立呢？如图2,将（1）中的条件

改为:在AABC中，AB=AC,DA,E三点都在直线/上,并且有N&M=NAEC=NBAC=a,

其中a为任意锐角或钝角.请问结论上=9+CE是否成立？若成立，请你给出证明；若

不成立，请说明理由.

（3）数学老师赞赏了他们的探索精神，并鼓励他们运用这个知识来解决问题：如图3,过

△ABC的边AB,AC向外作正方形ABDE和正方形ACFG,A8是BC边上的高.延长交

EG于点/.若S4ABG=[,则-

类型四、手拉手模型

例1.【问题发现】（1）如图1,AABC和VADE均为等边三角形，点2,D,£在同一直线

上，连接CE,容易发现：①/3EC的度数为」②线段3D、CE之间的数量关系为一

【类比探究】

（2）如图2,AABC和VADE均为等腰直角三角形，ABAC=ZDAE=90°,点、B,D,E在

同一直线上，连接CE,试判断N3EC的度数以及线段跳、CE、OE之间的数量关系，

并说明理由；

【问题解决】

（3）如图3,ZAOB=ZACB=90°,04=4,03=8,AC=BC,则OC?的值为一.

例2.(培优)如图1,在中，ZA=90°,AB=AC,点D、E分别在边AB,AC上,

AD=AE,连接。C,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

图1

⑴观察猜想：

图中，线段与PN的数量关系是，位置关系是

(2)探究证明:

把VADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置，连接MN,BD,CE,判断APMN的形状,

并说明理由;

⑶拓展延伸:

把VADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10,请直接写出APMN面积的最大值.

【变式训练1】如图，在AABC中，ZC=90°,AC=BC,点。是AB中点，NMON=90。,

将NMON绕点O旋转，NMON的两边分别与射线AC、CB交于点。、E.

(1)当4/ON转动至如图一所示的位置时，连接CO,求证：&COD.BOE；

⑵当/MON转动至如图二所示的位置时，线段C。、CE、AC之间有怎样的数量关系？请

说明理由.

【变式训练2】已知在“SC中，AB^AC,过点2引一条射线8M,。是8M上一点

【问题解决】

⑴如图1,若NABC=60。，射线8M在/ABC内部，9)8=60。，求证：ZBDC=60°,小

明同学展示的做法是：在上取一点E使得AE=AD,通过已知的条件，从而求得NBDC

的度数，请你帮助小明写出证明过程；

【类比探究】

⑵如图2,己知NABC=NAD3=30。.

①当射线8M在/ABC内，求/加C的度数

②当射线在BC下方，如图3所示，请问NMC的度数会变化吗?若不变，请说明理由，

若改变，请求出NBDC的度数；

类型五、半角模型

例1.已知：边长为4的正方形ABC。，SEAF的两边分别与射线C2、OC相交于点E、F,

图1图2图3

思路分析：

⑴如图1,国正方形ABCZ）中，AB=AD,SBAD=S\B=^ADC=90°,

回把绕点A逆时针旋转90。至则凡D、E在一条直线上,

.度，

根据定理，可证：△AEFIBAE'F.

团EF=BE+DF.

类比探究:

（2）如图2,当点E在线段CB的延长线上，探究ERBE、。尸之间存在的数量关系，并写出

证明过程;

拓展应用:

(3)如图3,在AABC中，AB=AC,D、E在BC上，0BAC=20DA£.若SAA8C=14,S^ADE

=6,求线段80、DE、EC围成的三角形的面积.

例2.(培优)如图，CA^CB,CA±CB,NECF=45°,CD=CF,ZACD=ZBCF.

（1）求NACE+N3CF的度数；

（2）以E为圆心，以AE长为半径作弧；以P为圆心，以防长为半径作弧，两弧交于点G,

试探索AEFG的形状？是锐角三形，直角三角形还是钝角三角形？请说明理由.

【变式训练1】已知四边形A8CD中，AB^AD,BCSiCD,AB=BC,0ABe=120。，0MBN=

60°,回MBN绕8点旋转，它的两边分别交AD0c（或它们的延长线）于E、F.

（1）当回MBN绕8点旋转到A£=C尸时（如图1）,试猜想AE,CF,EF之间存在怎样的数

量关系？请将三条线段分别填入后面横线中：—+—=—.（不需证明）

（2）当回绕B点旋转到（如图2）时，上述（1）中结论是否成立？请说明理由.

（3）当回MBN绕B点旋转到A历CB（如图3）时，上述（1）中结论是否成立？若不成立,

线段AE,CF,EF又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想，不需证明.

【变式训练2】（1）如图，在正方形ABC。中，E、E分别是BC,8上的点，且RF=45。.直

接写出BE、DF、E厂之间的数量关系;

(2)如图，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、/分别是BC,8上的点,

S.ZEAF=^ZBAD,求证：EF=BE+DF;

(3)如图，在四边形A3。中，AB=AD,ZB+ZA£>C=180°,延长BC到点E,延长8到

点、F,使得ZE4尸则结论EF=BE+Db是否仍然成立？若成立，请证明；不成

立，请写出它们的数量关系并证明.

类型六、旋转模型

例.如图，在&4BC中，钻=4?,/34?=。(0。＜。＜60。)，点。在“1BC内，BD=BC,

NDBC=60。，点石在AABC外，ZECB=150°,ZABE=60°.

(1)ZADB的度数为;

⑵小华说△厄妹是等腰三角形，小明说m是等边三角形，的说法更准确，

并说明理由；

(3)连接DE,若DELBD,DE=1。,求A£)的长.

例2.(培优)已知点C为线段上一点，分别以AGBC为边在线段AB同侧作AACD和

△BCE,且C4=CD.CB=CE,ZACD=ZBCE,直线AE与BD交于点元

A

(1)如图1,可得△ACE丝；若NACZ)=60。，则NAFB=.

(2)如图2,若ZACD=a,则NA/B=.(用含a的式子表示)

⑶设NACD=a,将图2中的AACD绕点C顺时针旋转任意角度(交点/至少在3D/忘中

的一条线段上)，如图3.试探究WB与a的数量关系，并予以说明.

【变式训练1】在拓0ABe中，EACB=90°,CA=C8,点。是直线A8上的一点，连接CD,

将线段C。绕点C逆时针旋转90。，得到线段CE,连接班.

（1）操作发现

如图1,当点。在线段A8上时，请你直接写出与8E的位置关系为；线段B。、

AB,即的数量关系为；

（2）猜想论证

当点D在直线A8上运动时，如图2,是点。在射线A8上，如图3,是点。在射线上,

请你写出这两种情况下，线段8。、AB,EB的数量关系，并对图2的结论进行证明；

（3）拓展延伸

若AB=5,BD=1,请你直接写出MOE的面积.

DBXBD

图1图2

【变式训练2】如图，等边中,OE//54分别交3C、AC于点。、E.

（1）求证：ACDE是等边三角形;

BDC

（2）将ACDE绕点C顺时针旋转6（。。＜6＜360。），设直线AE与直线相交于点尸.

①如图，当0。＜夕＜180。时，判断/包中的度数是否为定值，若是，求出该定值；若不是,

说明理由；

②若45=7,CD=3,当8,D,E三点共线时，求8。的长.

B

CE

课后训练

1.已知：如图，在AABC中，N3=60。，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、。交于

点、F.若AE、8为44BC的角平分线.

(1)求ZA/C的度数；

(2)若A£)=6,CE=4,求AC的长.

(1)如图1,若点。，B,C在同一直线上，连接A£),CE,则AD与CE的关系为.

(2)如果将图1中的△瓦比绕点2在平面内顺时针旋转到如图2的位置，那么请你判断AZ)与

CE的关系，并说明理由

⑶如图3,若AB=6,应＞=2,连接AE,分别取DE,AE,AC的中点M,P,N,连接MP,

NP,MN,将ABDE绕点B在平面内顺时针旋转一周，请直接写出旋转过程中AMPN的面

积最大值和最小值.

3.问题背景：

如图1,在四边形ABC。中=ZBAD=120°,ZB=ZADC=90°,E、尸分别是BC,

C。上的点，且SEAP=60。，探究图中线段BE,EF,ED之间的数量关系.小王同学探究此

问题的方法是，延