人教版八年级数学上册常见几何模型解读与提分训练：三角形中的特殊模型-双角平分线模型（解析版）

专题08.三角形中的特殊模型-双角平分线模型

模型1、双角平分线模型

1）两内角平分线的夹角模型

条件：如图1,在0ABe中，和0AC8的平分线BE,CF交于点G；结论：ZBGC=90°+1ZA.

图1图2图3

2）两外角平分线的夹角模型

条件：如图2,在0ABe中，BO,C。是0ABe的外角平分线；结论：NO=90。—

3）一个内角一个外角平分线的夹角模型

条件:如图3,在团ABC中,BP平分0ABC,CP平分0AC3的外角,两条角平分线相交于点P；结论：ZP=|zA.

图4图5图6

4）凸多边形双内角平分线的夹角模型

条件：如图4,BP、CP平分0ABC、0DCB,两条角平分线相交于点尸；结论：2NF=N4+ND

5）两内角平分线的夹角模型

条件：如图5,BP、。尸平分勖CD、SCDE,两条角平分线相交于点P；结论：2ZP=ZA+ZB+ZE-1800

6）一个内角一个外角平分线的夹角模型（累计平分线）

条件：如图6,ZA=a,NABCNACD的平分线相交于点片，的平分线相交于点外，ZP2BC,

的平分线相交于点鸟……以此类推；结论：/匕的度数是最.

7）旁心模型

旁心：三角形的一条内角平分线与其他两个角的外角平分线交于一点

条件：如图，BD平分/ABC,C£＞平分NACB的外角，两条角平分线相交于点D；结论：平分/CW

例1.（2023•绵阳市八年级课时练习）如图，在AABC中，ZABC=80°,ZACB=50°,3P平分/ABC,CP

平分NACB,贝!|ZBPC=.

【答案】115°

【分析】先根据角平分线的性质求出ZP8C+ZPCB的度数，再利用三角形内角和定理即可求解.

【详解】解：回8尸平分/ABC,CP平分/ACB,

0ZPBC+ZPCB=-（80°+50°）=65°,回ZBPC=180°-65°=115°.

2

【点睛】本题考查了角平分线的性质及三角形内角和定理.熟练掌握三角形内角和定理是解题的关键.

例2.（2023•河南周口•八年级统考期末）如图，在四边形ABCD中，ZA+ZD=6,/ABC的平分线与/BCD

的平分线交于点P,则NP=（）

D.1800--5

2

【答案】C

【分析】根据四边形的内角和求得NABC+NBCD=360。-。，再根据角平分线的定义求得ZPBC+N尸CB,再

根据三角形内角和即可求解.

【详解】解：在四边形ABCD中，ZA+ZD=S,0ZABC+ZBCD=360°-d,

由题意可得：平分NABC,CP平分/BCD,^\ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZBCD,

22

ia1

0NPBC+NPCB=-（ZABC+ZBCD）=180°--,0ZBPC=180°-（ZPBC+NPCB）=d故选：C.

【点睛】此题考查了多边形内角和的性质、三角形内角和的性质以及角平分线的性质，解题的关键是掌握

并灵活运用相关性质进行求解.

例3.（2023秋•山西太原•八年级校考期末）已知：如图，尸是A45c内一点，连接PB,PC.

⑴猜想：NBPC与NABP、ZACP./A存在怎样的等量关系？证明你的猜想.（2）若NA=69。，PB、PC分

别是/ABC、/ACB的三等分线，直接利用（1）中结论，可得NBPC的度数为.

【答案】（1）NBPC=/A+/ABP+/ACP,证明见解析⑵106°

【分析】（1）根据三角形内角和定理得到NA+NABC+NACB=180。，ZBPC+ZCBP+ZBCP=180°,再结合

ZCBP=ZABC-ZABP,ZBCP=ZACB-ZACP即可得到结论；

（2）先根据三角形内角和定理和角三等分线的定义得到ZABC+ZACB=U1。，ZABP=ZABC,

ZACP=|ZACB,再代入（1）中结论求解即可.

【详解】（1）解：猜想：ZBPC=ZA+ZABP+ZACP,

证明：由题意得：ZA+ZABC+ZACB=180°,ZBPC+ZCBP+ZBCP=180°,

ZCBP=ZABC-ZABP,ZBCP=ZACB-ZACP,

SZBPC+ZABC-ZABP+ZACB-ZACP=180P,

0ZBPC+(ZABC+ZACB)-(NABP+ZACP)=180°,

0ZBPC+180°-ZA-(ZABP+ZACP)=180°,

0ZBPC=ZA+ZABP+ZACP；

(2)解：EZA=69°,PB、PC分别是/ABC、—ACB的三等分线,

0ZABC+ZACB=18O°-ZA=111°,ZABP=-ZABC,ZACP=-ZACB,

33

0ZBPC=ZA+!(ZABC+ZACB)=69°+37°=106°.

故答案为：106。.

【点睛】本题主要考查了三角形内角和定理，角三等分线的定义，熟知三角形内角和为180度是解题的关键.

例4.(2023秋•成都市•八年级专题练习)如图，在"RC中，ZB=58°,三角形两外角的角平分线交于点

E,则=.

【答案】61。

【分析】先根据三角形的内角和定理和平角定义求得SDAC+0Ab的度数，再根据角平分线的定义求得

SEAC+团ECA的度数，即可解答.

【详解】解：fflB+EBAC+0BCA=18O°,回8=58°,0EBAC+0BCA=18O°-EIB=180o-58°=122°,

00BAC+0DAC=180°,SBCA+^ACF=180°,

EBD4C+0ACF=36O--(ELBAC+EBCA)=360°-122°=238°,

0AE平分EIZMC,CE平分财CP,a3E4C=；E£)AC,BECA^^SACF,

00EAC+0ECA(EIDAC+EACF)=119°,00EAC+0£CA+E1AEC=180°,

00A£C=18O--(EEAC+0ECA)=180°-119°=61",故答案为：61°.

【点睛】本题考查三角形的内角和定理、角平分线的定义、平角定义，熟练掌握三角形的内角和定理和角

平分线的定义是解答的关键.

例5.(2023•绵阳市•八年级专题练习)如图，已知在AABC中，NB、NC的外角平分线相交于点G,若

ZABC=m°,ZACB=n0,求/3GC的度数.

【分析】运用角平分线的知识列出等式求解即可.解答过程中要注意代入与之有关的等量关系.

【详解】解：回B、回C的外角平分线相交于点G,

在ABCG中，EIBGC=180°-(y0EBC+1-0BCF)=180°-y(EEBC+EIBCF)

=180°-1(18O°-EIABC+18OO-0ACB)=180°-：(180°-m°+180o-n°)；=-(m°+n°\

222V'

【点睛】本题考查的是三角形内角和定理以及角平分线的知识.此类题的关键是找出与之相关的等量关系

简化计算得出.

例6.(2023春•广西•七年级专题练习)如图，在回ABD中，回ABD的平分线与回ACD的外角平分线交于点E,

0A=8O°,求既的度数

【分析】由题意：设团ABE=^EBC=x,回ACE=^ECD=y,利用三角形的外角的性质构建方程组解决问题即可.

【详解】由题意：设I3ABE=EIEBC=X,0ACE=0ECD=y,

,.12y=2尤+NA,1

贝I]有〈"„,①-2x②可得国A=2IBE,00E=-0A=4O°.

[y=x+ZE②2

【点睛】本题考查三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程组

解决问题.

例7.(2023春•山东泰安•七年级校考阶段练习)如图，在AABC中，ZA=«,NABC与—ACD的平分线

交于点4,得NA8C与NA。。的平分线相交于点儿,得&；L；/Aoi/c与/AmgC。的平分线相

父于点4020，得N4020，则N4020=

【分析】结合题意，根据角平分线、三角形外角、三角形内角和的性质，得/A=gzA,同理得

/；再根据数字规律的性质分析，即可得到答案.

【详解】根据题意，NA=c,—ABC与/ACD的平分线交于点4回幺=180。一;乙48。一乙4。8-（乙4。。

I3ZACD=ZA+ZABCEIZA=180°-ZABC-ZACB-1

0+XABC+^ACB—180°回N4=—NA同理,得N4=—/4——x—NA=；

,4I.111."/,I.Illi.0

————x-x-_z!A=~~；/——=­x-x-x-/A=——；...

^2222232222224

1（Vex,a

/4=5/4-=才回/&网=尹故答案为：声・

【点睛】本题考查了三角形和数字规律的知识；解题的关键是熟练掌握三角形内角和、三角形外角、角平

分线、数字规律的性质，从而完成求解.

例8.（2023・河北・九年级专题练习）问题情境：如图1,点。是财BC外的一点，点E在BC边的延长线上，

3。平分0ABC,CD平分0ACE.试探究回。与0A的数量关系.

图1图1图3

⑴特例探究：如图2,若0ABe是等边三角形，其余条件不变，则回。=；

如图3,若EABC是等腰三角形，顶角m=100。，其余条件不变，贝崛。=；这两个图中，与她度数的

比是;（2）猜想证明：如图1,0ABe为一般三角形，在（1）中获得的回。与她的关系是否还成立？

若成立，利用图1证明你的结论；若不成立，说明理由.

【答案】（1）30。；50。；1:2（2）成立，见解析

【分析】（1）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用/A和/£>表示出NACE,再根据

角平分线的定义得到NACE=2NOCE,ZABC=2NDBC,然后整理即可.

（2）根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和用/A和一。表示出-ACE,再根据角平分线

的定义得到NACE=2NDCE,ZABC=2ZDBC,然后整理即可.

【详解】（1）解：如图2,•.,AABC是等边三角形，，ZABC=60。，ZACE=120°,

Q3D平分/ABC,8平分/ACE...NO3c=30。，Z£>CE=60°,

ZDCE=ZD+ZDBC,：.ZD=30°；

如图3,•.■AABC是等腰三角形，ZA=100°,ZABC=ZACB=40°,ZACE=140°,

QBD平分/ABC,CD平分/ACE.:.ZDBC=2Oa,ZDCE=70°,

•;NDCE=ND+NDBC,ZD=50°；故答案为30。，50°,1:2；

(2)解：成立，如图1,在AABC中，ZACE=ZA+ZABC,

在ADBC中，ZDCE=ZD+ZDBC,…(1)

•.♦CD平分/ACE,3。平分/ABC,:.ZACE=2ZDCE,ZABC=2ZDBC,

^-.-ZACE=ZA+ZABC,2ZDCE=ZA+2ZDBC,…(2)

由⑴x2-(2),.•.2ZD+2N£>BC_(ZA+2"8C)=0,;.ZA=2ZD.

【点睛】本题考查了等边三角形的性质、等腰三角形的性质、利用三角形的外角性质和角平分线的定义解

答是关键.

例9.(2023・重庆•七年级专题练习)认真阅读下面关于二角形内外角平分线所夹角的探究片段，完成所提

出的问题.

探究1：如图1,在S48C中，。是E1ABC与0ACB的平分线8。和CO的交点，分析发现乙BOC=9(T+：NA,

理由如下：而。和CO分别是0A8C、0ACB的角平分线

0Z1=-ZABC,Z2=-ZACB

22

团Z1+Z2=1(ZABC+ZACB)=1(180°-NA)=90。-gZA

0ZBOC=18O°-(Z1+Z2)=180°-(90°-1zA)=90°+1zA

(1)探究2：如图2中，。是0ABe与外角0ACZ)的平分线8。和CO的交点，试分析SBOC与0A有怎样的

关系？请说明理由.

(2)探究3：如图3中，。是外角SD8C与外角aea的平分线3。和co的交点，则__50。与一一4有怎

样的关系？(直接写出结论)

(3)拓展：如图4,在四边形A8CD中，。是EABC与回。。2的平分线8。和C。的交点，则I3BOC与&4+回。

有怎样的关系？(直接写出结论)

(4)运用：如图5,五边形ABCDE中,BBC。、I3EOC的外角分别是跖CD、0GDC,CP、OP分别平分跖CZ)

和EIGDC且相交于点P,若0A=140。，132=120。，0£=90°,则EICPZ)=度.

【答案】(1)MOC=；/A；(2)团BOC=90°—g/A；(3)ZBOC=^(ZBAD+ZCDA)；(4)95

【分析】(1)根据角平分线的性质及三角形外角的性质求解即可；

(2)根据角平分线的性质、三角形内角和及三角形外角的性质求解即可；

(3)由角平分线的性质、四边形内角和及三角形内角和定理即可求得两者的关系；

(4)由角平分线的性质、五边形内角和及三角形内角和定理即可求得结果.

【详解】(1)探究2结论：SBOC=；/A

理由如下：SBO和C。分别是0ABe和她。的角平分线

Zl=-ZABC,Z2=-ZACD

22

HMCD是S48c的一个外角ZACD=ZA+ZABC

Z2=-ZACD=-(ZA+ZABC)=-ZA+Z1

222

022是回BOC的一个外角ZBOC=Z2-Z1=-ZA+Z1-Z1=-ZA

22

(2)探究3结论：0BOC=9O°--ZA

2

0BO和CO分别是前BC和EIECB的角平分线

SZOBC=-ZDBC,ZOCB=-ZECB

22

00DBC=2[3OBC=0ABC+0A,^\ECB=2^OCB=^ACB+^A

两式相加得：2EIOBC+21aoe2=EIABC+EACB+21aA

即ZOBC+ZOCB=-(ZABC+ZACB)+ZA01800-NBOC=-(l80°-NA)+NA整理得：0B(9C=9OO--ZA

222

(3)拓展结论：ZBOC-1(ZA+ZD)

WO和CO分别是E1ABC和回BCD的角平分线回NOBC=|ZABC,ZOCB=|ZBCD

00OBC+0OCB=~(ZABC+ZBCD)=(360°-ZA-ZD)=180°-1(ZA+ZD)

在EIBOC中，180°—ZBOC=Z.OBC+ZOCB

01800-NBOC=180°-1(NA+ND)ENBOC=1{ABAD+ZCDA)

(4)运用：回CP和。P分别是团DC尸和回GOC的角平分线回NPCD=L/DCRZPDC=-ZGDC

22

0NPCD=1(180°-NDCB),ZPDC=1(180°一ZEDC)E/PCD+ZPDC=g(360°-ZDCB-NEDC)

0NDCB+NEDC=540°-ZA-Z5-ZE=19O00NPCD+ZPDC=J(360°—190°)=85°

在EICP。中，/。尸£)=180。-(4尸8+/尸£＞。)=180。-85。=95。故答案为：95

【点睛】本题考查了角平分线的性质，多边形内角和定理与三角形外角的性质，难度不大，掌握角平分线

的性质及多边形内角和定理是关键.

课后专项训练

1.（2023•浙江•八年级假期作业）如图，OG平分/MON,点A3是射线CW,QV上的点，连接A2.按

以下步骤作图：

①以点8为圆心，任意长为半径作弧，交AB于点C,交BN于点。；

②分别以点C和点。为圆心，大于《。长为半径作弧，两弧相交于点E；

③作射线BE,交OG于点P.若/ABN=140。，ZMON=50°,则NOP3的度数为（）

A.35°B.45°C.55°D.65°

【答案】B

【分析】根据条件可知8尸平分ZABN,则可求出NPBN,根据OG平分NMON求出/30G,进而利用

APBN=NPOB+Z.OPB即可求出答案.

【详解】由作法得BP平分ZABN,：.NPBN=-ZABN=1x140°=70°,

22

,/OG平分ZMON,：.ZBOP=-ZNOM=-x50°=25°,

22

/PBN=ZPOB+ZOPB,：.ZOPB=ZPBN-ZPOB=70°-25°=45°.故选B.

【点睛】本题主要考查角平分线的定义及作法，三角形的外角的性质，根据题目条件发现角平分线是解题

的关键.

2.（2023・江苏•八年级月考）AA5C中，点O是AA5c内一点，且点。到AA5c三边的距离相等；NA=4O。，

贝30c=（）

【解答】解：到三角形三边距离相等，是内心,

即三条角平分线交点，AO,BO,CO都是角平分线,

NCBO=ZABO=-ZABC,Z.BCO=ZACO=-ZACB,

22

ZABC+ZACB=180。—40。=140°,/.ZOBC+Z.OCB=70°,

ZBOC=180°-70°=110°.故选：A.

3.(2023•成都•八年级月考)如图，AABC的外角/ACD的平分线CP与内角NA6C的平分线3P交于点尸,

若N3PC=40。，贝!JNC4P=()

A.40°B.45°C.50°D.60°

【解答】解：延长54,作PN上BD,PFrBA,PMVAC,设NPCD=x°,

•.♦CP平分ZACD,:.NACP=NPCD=x°,PM=PN,

•.•6尸平分ZABC,:.ZABP=ZPBC,PF=PN,:.PF=PM,

ZBPC=40°,ZABP=NPBC=NPCD-NBPC=(x—40)0,

ABAC=ZACD-ZABC=2x°-(x°-40°)-(x°-40°)=80°,/.ZCAF=100°,

[PA—PA

在RtAPFA和RtAPMA中，\pM_pF'..RtAPFA=RtAPMA(HL),:.ZFAP=ZPAC^50°.故选：C.

4.（2023・重庆•八年级专题练习）已知，如图，AABC中，ZABC=48。，NACB=84。，点。、E分别在明、

BC延长线上，BP平分/ABC,CP平分NACE,连接AP,则/PAC的度数为（)

A.45°B.48°C.60°D.66°

【答案】D

【分析】根据角平分线的性质定理证得PF=PH,PF=PG,进而得出PH=PG,从而判定AP平分ZCAD,

再利用外角的性质求出ZCAD即可.

【详解】解：作尸尸于点尸，PH_LBD于点H,PGLAC于点G,

EI3P平分/ABC,CP平分NACE,QPF=PH,PF=PG,SPH=PG,

^PH±BD,PGLAC,EIAP平分/C4。，

0ZABC=48°,ZACB=84°,0ACAD=ZABC+ZACB=48°+84°=132°,

0ZPAC=-ZCAD=66°.故选：D.

2

【点睛】本题考查了角平分线的判定和性质定理，解题的关键是根据已知添加适当的辅助线.

5.（2023秋•绵阳市•八年级专题练习）如图，在“BC中，ZABC=50°,NACB=60。，点E在8C的延长

线上，/ABC的平分线8。与NACE的平分线C£＞相交于点。，连接A。，下列结论中不正确的是（）

A.ZBAC=70°B.ZDOC=90°C.NBDC=35。D.ADAC=55°

【答案】B

【分析】根据三角形的内角和定理列式计算即可求出N54C,即可判断A选项；根据角平分线的定义求出

ZABO,再利用三角形的内角和定理求出然后利用对顶角，即可判断B选项；根据邻补角的定义

和角平分线的定义求出NOCO,再利用三角形的内角和定理求出NBDC,即可判断C选项；利用角平分线

的性质，推出AD为"1BC的外角平分线，然后列式计算求出/D4C,即可判断D选项.

【详解】解：•.•ZABC=50。，ZACB=60°,

.■.ZBAC=1800-ZABC-ZACB=180°-50°-60°=70°,故A选项正确，不符合题意;

QBD平分/ABC,ZABO=|zABC=ix50°=25°,

在AABO中，ZAOB=180°-ABAC-ZABO=180°-70°-25°=85°,

.-.ZDOC=ZAOB=85°,故B选项错误，符合题意；

•JCD平分/ACE,ZACD=|ZACE=1（1800-ZACB）=1（180°-60°）=60°,

在△（%）£）中，ZBDC=180°-Z.COD-ZACD=180°-85°-60°=35°,故C选项正确，不符合题意；

QBD、8分别是—ASC和，ACE的平分线，.：£）到A3、AC,8c的距离相等，

.•.&£＞是AABC的外角平分线，.•./。4。=；（180。-/84。）=；。80。-70。）=55。,

故D选项正确，不符合题意.故选：B.

【点睛】本题考查角平分线的性质，三角形的内角和定理，角平分线的定义，熟记定理和概念是解题关键.

6.（2022春•重庆黔江•七年级统考期末）如图，己知AB〃CD,点E在两平行线之间，连接BE,CE,/ABE

的平分线与-3EC的平分线的反向延长线交于点/，若NBFE=50°,则/C等于（）.

A.70°B.80°C.85°D.90°

【答案】B

【分析】延长8E交。C的延长线于G,根据三角形内角和定理，可得aE8RaBE/WL30。，根据2BE的平

分线与NBEC的平分线的反向延长线交于点F可得0ABE+EIBEF+l3f'EC=26O。，根据平行线的性质可得

0ECG=1OO°,进而可求解.

【详解】解：延长BE交。C延长线于点G,

00BF£=5O°,0EBF+0F£B+0BFE=180°,00EBF+0B£F=18O°-5O°=13O°,

EEIABE的平分线与EIBEC的平分线的反向延长线交于点F,EEL4BE+0BEF+[3FEC=26OO,

BAB//CD,EBABE=I38GC,^\BGC+^BEF+SFEC=260°,

EB8EF+团FEG=180°,EBBGC+EICEG=80°,回团ECG=100°,fflECZ）=180°-100°=80".故选：B

【点睛】本题主要考查有关角平分线的计算，平行线的性质，三角形内角和定理，熟练掌握平行线的性质

是解题的关键.

7.（2022春・北京海淀•七年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线4B与y轴在正半轴、无轴正半

轴分别交A、8两点，点C在8A的延长线上，平分国C4。，2。平分HAB。，贝幅。的度数是（）

A.30°B.45°C.55°D.60°

【答案】B

【分析】由OA回。3即可得出回O4B+EABO=90。、妫。3=90°,再根据角平分线的定义以及三角形内角和定理

即可求出ao的度数.

【详解】解：EOA0OB,E0OAB+0ABO=9O°,13Ao8=90°.

团/M平分[3C4O,团回。4。=1回OAC=1（18OO-0OAB）.回。8平分EAB。，^EABD=-SABO,

222

^ED=180°-^DAO-SOAB-SABD=180°--（18O0-0OAB）-0OAB--0ABO=9O°--（EIOAB+EIABO）=45°.

222

故选：B.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理，解题的关键是找出aD=90。-；（回。4B+0ABO）.本题属于基础题,

难度不大，解决该题型题目时，熟练运用三角形内角和定理解决问题是关键.

8.（2023•江苏•八年级月考）如图，AABC的外角NACD的平分线CP与内角NABC平分线交于点P,

若ZBPC=40°,则ABAC的度数是.

D

【解答】解：在AABC中，ZACD=ZA+ZABC,在AP5C中，ZPCD=ZP+/PBC,

;PB、尸C分别是NABC和NACD的平分线，ZPCD=-ZACD,ZPBC=-ZABC,

22

:.ZP+ZPCB^-(ZA+ZABC)=-ZA+-ZABC=-ZA+ZPCB,

2222

:.ZPCD=-ZA,:.ZBPC=40°,:.ZA=2x40°=80°,即ZS4c=80。.故答案为：80°.

2

9.(2023春•河北•七年级专题练习)如图，在EIABC中，13ABe和EIACB的角平分线交于点0,延长BO与I3ACB

的外角平分线交于点D,若回BOC=130。，贝崛D=

【答案】40。

【分析】根据角平分线的定义结合三角形外角的性质即可得到结论.

【详解】解：03ABe和EIACB的角平分线交于点O,00ACO=1[3ACB,

[BCD平分EIACE,a3ACD=；ISACE,HBACB+回ACE=180°,

00OCD=0ACO+[3ACD=(0ACB+SACE)=；xl80°=90°,

EHBOC=130°,E0D=0BOC-0OCD=13O°-9O°=4O°,故答案为：40°.

【点睛】本题考查了三角形的外角性质，角平分线的定义，熟练掌握相关性质和概念正确推理计算是解题

的关键.

10.(2022秋•浙江八年级课时练习)(2018育才单元考)如图，在0ABe中，/ABC和NACD的角平分

线交于点A,得/A，NABC和NACD的角平分线交于点&,得N4,......,NA-BC和NATCD的角平分

线交于点4,得

(1)若ZA=80。，贝!|N4=,N4=,N4=

(2)若NA=AH°,贝1」40]5=.

A

0

B一正二D

c

【答案】40。20。10°（鼻

【分析】（1）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证EIAi=：EIA,进而可求ElAi,同理易证国A2=gEIAi,

0A3=y0A2,进而可求13A2和EIA3;

（2）利用角平分线的定义和三角形外角性质，易证回Ai=1l3A,进而可求ElAi,同理易证OA2=TEIAI,EIA3=!EIA2,...,

以此类推可知回A2015即可求得.

【详解】解：（1）00A=0ACD-EABC,EIAi=[3AiCD-0AiBC

EI-ABC和/ACD的角平分线交于点A-ZA=80°00AiCD=y0ACD,0AiBC=y0ABC

00AI=0AICD-0AIBC=|EIACD-1-0ABC=y（0ACD-0ABC）=1-0A=4OO

o

同理可证：IBA2=；E1AI=20°,0A3=y0A2=lO故答案为：40°；20°；10°.

（2）EHA=I3ACD—IBABC,0Ai=0AiCD-EAiBC

回,ABC和—ACD的角平分线交于点A-ZA=m°fflAiCD=^-0ACD,EIAiBC=10ABC

1111（rrT\

酿Ak国AiCD一回AiBC二不回ACD—不回ABC二不（回ACD一团ABC）=-[?]A=­°

同理可证：0A2=^-0Ai=^y,回A3=1■回A2=（萦卜回A2O15=（/y）。故答案为：（尚

【点睛】本题考查了角平分线定义和三角形外角性质，解题的关键是推导出国团A,并依此找出规律.

11.（2023•浙江杭州•八年级期末）如图，在四边形ABC。中，ZA+ZD=m°,/ABC的平分线与NBCD的

平分线交于点P,则NP=.（用含字母机的代数式表示）

B'C

【答案】y。

【分析】根据四边形的内角和是360。，求出团ABC+回BCD的度数，然后根据角平分线的定义及三角形的内角

和定理求出那的度数即可.

【详解】解：H3A+回D=m°,且四边形内角和为360°,HH3ABC+0BCD=36Oo-m°,

EIPB、PC是IBABC、EIBCD的角平分线，00PBC=-ZABC,SBCP=-ZBCD,

22

EIEIPBC+0BCP=1NABC+g(NABC+ZBCD)=1(360°-m。)

fflP=180°-(fflPBC+HBCP)=180°-1(360°-m°)=1m°故答案为：.

【点睛】本题考查了四边形的内角和及三角形的内角和与角平分线相关的角度计算问题，解题的关键是表

达出13PBe+I3BCP的度数.

12.(2023春•河南,七年级专题练习)如图，点〃是0ABe两个内角平分线的交点，点N是0ABe两外角平

分线的交点，如果国CMB：回CNB=3：2,那么回CAB=.

【答案】36。

【分析】由角平分线的定义得EINCM=E]MBN=gxl8(r=90。，再比的关系可求得I3CMB=1O8。，再由内角平分线

及三角形内角和即可求得结果.

【详解】由题意得：^NCM=^MBN=xl80°=90°,EBCMB+[3CN8=180°,

又EICM8：SCNB=3：2,B3CMB=108°,国；(EACB+EABC)=180°-13cM8=72°,

0EACB+EL4BC=144°,EEICAB=180o-(0ACB+0ABC)=36°.

【点睛】本题考查了三角形内角和定理、三角形角平分线的定义等知识，由条件得到四VCW=MBN=90。是关

键.

13.(2023•甘肃陇南•统考一模)在AABC中，AB=AC,NA=100。.点M在BC的延长线上，/A3C的

平分线交AC于点DNMC4的平分线与射线BD交于点E.

A

D

MCB

⑴依题意补全图形；用尺规作图法作NMC4的平分线；⑵求/BEC的度数.

【答案】⑴见解析⑵50°

【分析】（1）根据尺规作图法可作NMC4的平分线；（2）根据角平分线的定义可得加D=NCBD=20。,

ZMCE=NDCE=70。,再根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】（1）解:如图，CE即为所求；

（2）解：=ZA=100°,回NACB=NAfiC=40°,

El30是，ABC的平分线，ZABD=ZCBD=20°,

0ZACM=180°-40°=140°,CE是NMC4的平分线，

0ZMCE=ZDCE=70°,fflZBEC=ZMCE-Z.CBD=70°-20°=50°.

【点睛】本题考查尺规作图-角平分线、角平分线的定义、三角形内角和定理，熟练掌握尺规作图的方法和

相关知识是解题的关键.

14.（2023•山东八年级期中）如图，在AABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点。，过点8作BGLCP

于点G,NOBG=gzBAC成立吗？说明理由.

【答案】NOBG=—BAC成立，见解析.

2

【分析】根据三角形内角平分线的交角的基本图形和结论和三角形外角的性质定理即可得出答案

【详解】解：/OBG=；NBAC成立.

理由如下：团在AABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点。，

由三角形内角平分线的交角的基本图形和结论得，ZBOC=90°+1ZBAC.

2

由三角形的外角性质得，NBOC=ZG+ZOBG=90°+ZOBG,

90°+-ZBAC=90°+ZOBG,ZOBG=-ABAC

22

【点睛】本题考查三角形的内角和定理，及三角形的角平分线的性质，熟练掌握相关的知识点是解题关键.

15.（2023•黑龙江八年级课时练习）（1）如图（1）所示，已知在AABC中，。为E1ABC和0ACB的平分线

BO,C。的交点.试猜想asoc和S4的关系，并说明理由.（2）如图（2）所示，若。为a48c的平分线

8。和0ACE的平分线CO的交点，贝峋BOC与0A的关系又该怎样？为什么？

图(2)

【答案】⑴0BOC=g她+90。；理由见解析；(2)aBOC=；0A；理由见解析

【分析】⑴根据三角形内角和定理得出朋+HABC+a4cB=180。，&B0C+国08C+回。CB=180°,根据角平分线的

性质得出a4BC=2EIOBC,0ACB-2EOCB,然后得出EIBOC+；a4BC+；0ACB=18O。，最后得出结论；(2)根据外

角的性质得出EA+a4BC=fflACE,^OBC+^BOC^OCE,然后根据角平分线的性质得出EABC=2回OBC,

0ACE=20OCE,最后根据MOC=[3OCE-EIOBC得出答案.

【详解】(1)0BOC=^-EIA+9OO.在AABC中，EL4+ElABC+EIACB=180o,

在ABOC中，EBOC+EK9BC+0OCB=18OO,

X0BO,CO分另J是10ABC,I3AC8的平分线，0SABC=2SOBC,a4CB=20OCB.

回EIBOC+；0ABe+ga4CB=：180°.00BOC=18O°-(EL4BC+0ACB)=18Oo-y(18O°-E1A)=90°+y[2A.

(2)0BOC=10A.

0a4+EL4BC=EACE,SOBC+SBOC^OCE,0a4=EL4CE-EABC,SBOC^OCE-SOBC

X0BO,CO分另lj是EABC和0ACE的平分线，0fflABC=20OBC,0ACE=2回OCE.

0EIBOC=0OCE-EI(?BC=y0ACE-0ABC=1(EACE-0ABe)=1a4.

【点睛】本题考查了角平分线的性质和三角形外角的性质，熟练掌握外角性质并能正确计算是解题关键.

16.(2023春•八年级单元测试)如图，0CBF,0ACG是回ABC的外角，0ACG的平分线所在的直线分别与EIABC,

0CBF的平分线BD,BE交于点D,E.

(1)若鼬=70°,求回D的度数；(2)若[3A=a,求既；(3)连接AD,若E1ACB=A,贝I]E1ADB=.

【答案】(1)35°；(2)90°-1a；(3)，

【分析】(1)由角平分线的定义得到回DCG=1■回ACG,团DBC=g回ABC,然后根据三角形外角的性质即可得到

结论；(2))根据角平分线的定义得到EJDBC=3E]ABC,0CBE=1[3CBF,于是得到EIDBE=90。，由(1)知即=：

团A,根据三角形的内角和得至腼E=90jga；

(3)根据角平分线的定义可得，0ABD=10ABC,BDAM=10MAC,再利用三角形外角的性质可求解.

【详解】解：(1)EICD平分I3ACG,BD平分团ABC,

00DCG=^-0ACG,0DBC=1-0ABC,

00ACG=0A+0ABC,02EDCG=0ACG=0A+0ABC=[2IA+20DBC,

EIEDCG=ED+EDBC,02EIDCG=20D+20DBC,

00A+20DBC=20D+20DBC,EHD=1E1A=35°；

(2)EIBD平分13ABC,BE平分E1CBF,EBDBC=；I3ABC,0CBE=1-0CBF,

fflDBC+0CBE=^-(0ABC+ECBF)=90°,00DBE=9O",

团团D二g团A,回A=a,回RID=ga,团团DBE=90°,团团E=90°-ga；

(3)如图,

OBD平分I3ABC,CD平分回ACG,[3AD平分13MAC,0ABD=y0ABC,E0DAM=1-0MAC,

EHDAM=I3ABD+E]ADB,EMAC=0ABC+0ACB,HACB=P，

00ADB=1-0ACB=1p.故答案为：yp.

【点睛】本题主要考查三角形的角平分线，三角形外角的性质，灵活运用三角形外角的性质是解题的关键.

71.（2023,福建泉州•七年级阶段练习）在AABC中，已知NA=c.

（1）如图1,ZABC、NACB的平分线相交于点D.①当々=80。时，N3DC度数=_度（直接写出结果）；

②/aJC的度数为一（用含a的代数式表示）；

（2）如图2,若/ABC的平分线与/ACE角平分线交于点尸，求NBFC的度数（用含。的代数式表示）.

（3）在（2）的条件下，将AF3C以直线BC为对称轴翻折得到AG8C,NGBC的角平分线与NGCB的角平

分线交于点M（如图3）,求一加纥的度数（用含a的代数式表示）.

【答案】(1)①130。；@90°+1a:(2)ZBFC=1a(3)ZBMC=90°+^a

【详解】：(1)①130。；②900+；&；

(2)回砥和CP分别平分ZABC和NACE团NFBC=-NABC/FCE=-ZACE

22

0ZBFC=ZFCE-ZFBC=|(ZACE-ZABC)=^ZAgpZBFC=^a

(3)由轴对称性质知：ABGC=ABFC=-a

2

由(1)②可得=90。+；ZBGCSZBMC=90°+^a.

18.（2023,江苏盐城•七年级阶段练习）如图，EIABC的角平分线相交于P,0A=mo,（1）若鼬=40。,求EIBPC的

度数；（2）设回ABC的外角IBCBD、回BCE的平分线相交于Q,且EIA=m。，求EIBQC的度数

(3)设EIABC的外角E1CBD、EIBCE的n等分线相交于R,且OA=m°,13CBR=/l3CBD,EIBCR^EIBCE,求回BRC的

度数

iH—1m

【答案】（1）110。（2）9（r+3m°（3）—X18O0--（此结果形式可以不同,只要正确皆可）

2nn

【详解】试题分析：（1）根据三角形内角和定理和角平分线的性质解答即可;

（2）（3）根据三角形内角和定理和三角形外角的性质解答即可.

试题解析:解:(1)014=40°,aiL4BC+[3ACB=180J40°=140°.I3BP、CP是角平分线，EEL4BC=2EPBC,SACB^PCB,

00PBC+EIPCB=y(0ABC+0ACB)==yxl40°=70°,酿尸=180°—70°=110°.

(2)aaQBC=EIA+a4CB,EBCE=EA+EL4BC,fflr)BC+EBCD=2EA+a4BC+ElACB=EA+180o=/7H180°.SBQ,C。是

角平分线，^BDBC^QBC,SBCE^ISBCQ,^QBC+BBCQ^^-(0DBC+EIECB)+180°)=90°+1〃2.在

EIBC。中，02=180°-(回Q2C+EIBC0)=180°-(90°+；W)=90°-^m.

(3)由(2)得：SDBC+SBCD=m+180°,SRBC+S\BCR=-(0DBC+EIECB)=-(m+180°).在EIBCR中，07?=180°

nn

Itt—1m

-(0KBC+0BC7?)=180°—(利+180°)=——xl80.

nnn

点睛：本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义以及三角形外角性质的运用，解题时注意：三

角形内角和等于180。.根据角的和差关系进行计算是解决问题的关键.

19.(2023•江西上饶•八年级校考阶段练习)⑴探究1:如图1,P是EIABC的内角I3ABC与EIACB的平分线BP和

CP的交点，若回A=70。，则回BPC=度；

（2）探究2:如图2,P是EIABC的外角I3DBC与外角I3ECB的平分线B