人教版八年级数学常见题型专练：三角形的边（解析版）

第01讲三角形的边

【知识梳理】

三角形

(1)三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角

形.

组成三角形的线段叫做三角形的边.

相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点.

相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角.

(2)按边的相等关系分类：不等边三角形和等腰三角形(底和腰不等的等腰三角形、底和

腰相等的等腰三角形即等边三角形).

二.三角形三边关系

(1)三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边.

(2)在运用三角形三边关系判定三条线段能否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，

只要两条较短的线段长度之和大于第三条线段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角

形.

(3)三角形的两边差小于第三边.

(4)在涉及三角形的边长或周长的计算时，注意最后要用三边关系去检验，这是一个隐藏

的定时炸弹，容易忽略.

W【考点剖析】

一、三角形的识别与有关概念

一、单选题

1.(2020秋•浙江宁波•八年级校考期中)一位同学用三根木棒两两相交拼成如下图形，则

其中符合三角形概念的是()

【答案】D

【详解】解：A、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；

B、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；

C、三条线段没有首尾顺次相接，不合题意；

D、不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接，是三角形，符合题意；

故选：D

【点睛】本题主要考查三角形图形的知识，根据三角形的概念：由不在同一直线上的三条

线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。判断是否三条线段首尾顺次相接是解决本题

的关键。

2.（2022秋・广东惠州•八年级阶段练习）在0ABe中，边的对角是（）

A.0AB.0BC.EICD.0D

【答案】A

【分析】由对角、对边的关系可求得答案.

【详解】解：如图,

A

在AABC中，BC边的对角是，A,

故选：A.

【点睛】本题主要考查三角形的定义，掌握三角形是由不在同一条直线上的首尾顺次相连

的三条线段组成的图形是解题的关键.

二、填空题

3.（2022秋•八年级课时练习）由不在同一条直线上的三条线段所组成的图形

叫做三角形.

【答案】首尾顺次连接

【分析】根据三角形的定义进行求解即可.

【详解】解：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次连接所组成的图形叫做三角形.

故答案为：首尾顺次连接.

【点睛】本题主要考查了三角形的定义，熟知三角形的定义是解题的关键.

4.（2022秋•山西大同•八年级统考期中）一个三角形的两条边长分别为3,5,周长为11,

那么它的第三边长为.

【答案】3

【分析】根据三角形周长的定义求解即可.

【详解】解：回一个三角形的周长为口，两条边长分别为3,5,

团第三边长为：11-3-5=3,

故答案为：3.

【点睛】题目主要考查三角形的周长计算，理解题意是解题关键.

5.（2022秋・河南信阳•八年级校考阶段练习）如图，在AACE中，NCE4的对边是

【答案】CMAC

【分析】根据三角形的定义，找准所在三角形，然后确定答案即可.

【详解】解：在AACE中，NCE4的对边是C4,

故答案为：CA.

【点睛】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形的边、三角形的角的定义.

6.（2022秋•河北沧州•八年级校考阶段练习）一个三角形的周长为81cm,三边长的比为

2:3:4,则最长边是.

【答案】36cm

【分析】设三角形的三边长为2x,3x,4x,找出等量关系：三角形的周长为81cm,列方

程求出尤的值，继而可求出三角形的边长.

【详解】解：设三角形的三边长为2x,3x,4x,

由题意得，2x+3x+4x=81,

解得：x=9,

则三角形的三边长分别为：18cm,27cm,36cm,

所以，最长边长为36cm.

故答案是：36cm.

【点睛】本题考查了一元一次方程在三角形中的应用，解答本题的关键是读懂题目的意

思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解.

7.（2022秋,山东济宁•八年级校考阶段练习）如图，。是0ABe的边上的一点，则在

回ABC中，EIC所对的边是；在EIAC。中，EIC所对的边是.

【答案】ABAD

【分析】根据三角形的边和角有关概念解答即可.

【详解】解：在AABC中，NC所对的边是A3；在AACD中，NC所对的边是AD,

故答案为：AB；AD.

【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的边和角有关概念解答.

三、解答题

8.（2023秋•八年级课时练习）如图，在ABC中，D,E分别是边上的点，连接

BE,AD,相交于点歹.

（1）NBDF的三个顶点是什么?三条边是什么？

（2）AB是哪些三角形的边？

【答案】⑴V即尸的三个顶点是点B,D,F,三条边是BF,BD,DF

⑵AB是..ABE,ZxABF,A.ABD,一ABC的边

【分析】（1）根据三角形的边和顶点解答即可；

（2）根据三角形的边解答即可.

【详解】（1）解：VBZ开的三个顶点是点8,D,F,三条边是BF,BD,DF■,

（2）解：A3是ABE,/\ABF,△ABD,的边.

【点睛】本题考查三角形，解题的关键是掌握三角形的角和边的概念.

4RAC5

9.（2022・全国•八年级专题练习）如图，已知上=令==,0ABe的周长是14cm,求8C

BDCD2

的长.

A

【分析】根据比值和周长解答即可.

ABAC5

【详解】解:回---=----=—，

BDCD2

设AB为5x,BD为2x,AC为5y,CD为2y,

aaABC的周长是14c〃z,

团5x+2x+5y+2y=14,

解得：x+y=2,

所以5C=2（%+y）=4.

【点睛】此题考查三角形的问题，关键是根据三角形的周长解答.

二、三角形个数问题

一、单选题

1.（2022秋・河南信阳•八年级校考阶段练习）图中锐角三角形的个数有（）

A.3个B.4个C.5个D.6个

【答案】A

【分析】先找出以A为顶点的锐角三角形的个数，再找出以E为顶点的锐角三角形的个

数，然后将两种锐角三角形相加即可.

【详解】解：①以A为顶点的锐角三角形AABC、AADC共2个；

②以E为顶点的锐角三角形：AEDC,共1个；

所以图中锐角三角形的个数有2+1=3（个）；

故选：A.

【点睛】本题主要考查了锐角三角形的定义.关键是根据图进行三角形的个数解答.

2.（2023秋・山东滨州•八年级统考期末）在如图所示的图形中，三角形的个数为（）

A

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【分析】不在同一直线上三点可以确定一个三角形，据此即可判断.

【详解】解：图中的三角形有：一ABCiABLUACAdCDEiACE,共5个.

故选：C

【点睛】本题主要考查了三角形的认识，按正确的顺序计算三角形的个数是解决本题的关

键.

二、填空题

3.（2022秋・湖北宜昌•八年级统考期中）如图，点。、E在，ABC的边BC上，则图中共有

BDEC

【答案】6

【分析】根据三角形定义直接数出图中三角形即可得到答案.

【详解】解：图中三角形有：△ABD、AABE、AABC、AADE、AADC、AAEC共6个，

故答案为：6.

【点睛】本题考查三角形定义，数出图中三角形个数时不重不漏是解决问题的关键.

4.（2022秋•湖南湘西•八年级校联考阶段练习）如图中三角形的个数共有个.

【答案】6

【分析】根据三角形的定义进行求解即可.

【详解】解：由题意得，图中的三角形有

AABD,AADE,AAEC,AABE,AADC,ABAC,

团一共有6个三角形，

故答案为；6.

【点睛】本题主要考查了三角形的个数，熟知三角形的定义是解题的关键.

5.（2022秋,湖北恩施,八年级校考阶段练习）如图，一共有个三角形；从大小判

断，图中青蛙可以落在"个三角形内，则"=.

BEDC

【答案】64

【分析】根据三角形的定义，得出所有的三角形，进一步确定可以落在三角形内的个数即

可.

【详解】解：所有三角形为：ABC、ABD、ABE、AED、AEC,ADC共6个.

其中青蛙不能落在.ABE、ACD中，其它均可，即4个.

故答案为：6,4

【点睛】本题考查三角形，在找三角形时，要做到不重不漏.

6.（2022秋,广西百色•八年级统考期中）如图所示的三角形共有个.

【答案】3

【分析】根据三角形的概念：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形

叫做三角形数出个数解答即可.

【详解】解：三角形的个数有一ABC,AABD,/\BCD,共3个，

故答案为：3.

【点睛】此题考查三角形，关键是根据三角形的概念数出个数解答.

7.（2022・全国•八年级专题练习）观察图形规律：

（1）图①中一共有个三角形，图②中共有个三角形，图③中共有

个三角形.

（2）由以上规律进行猜想，第”个图形共有个三角形.

(〃+1)(〃+2)

【答案】

2

【分析】（1）根据图形直接数出三角形个数即可；

（2）根据（1）中所求得出数字变化规律，进而求出即可.

【详解】解：（1）如图所示：图①中一共有3个三角形，图②中共有6个三角形，图③

中共有10个三角形.

故答案为：3,6,10；

（2）1+2=3,1+2+3=6,1+2+3+4=10,

二第〃个图形共有：1+2+3++（〃+1）=（"+1），+2）.

故答案为：伽+1；"+2）

【点睛】此题主要考查了数字变化规律和三角形的个数问题，根据已知得出数字是连续整

数的和是解题关键.

8.（2022秋•全国•八年级专题练习）若有一条公共边的两个三角形称为一对“共边三角

形”，则图中以为公共边的“共边三角形”有对.

【答案】3

【分析】找到以8C为边的三角形，即可得解.

【详解】解：以为公共边的“共边三角形”有一3DC与.3EC、BDC与一BAC、BEC

与；BAC共3对.

故答案为：3.

【点睛】本题考查三角形的定义.理解并掌握"共边三角形"的定义，是解题的关键.

三、解答题

9.（2020秋•八年级课时练习）如图所示，图中共有多少个三角形？请写出这些三角形并指

出所有以E为顶点的角.

【答案】图中共有7个三角形；以E为顶点的角是回AEF,0AED,0DEB,团DEF,0AEB,

0BEF.

【分析】分别找出图中的三角形以及相关的角即可.

【详解】图中共有7个三角形，分别是：

0AEF,0ADE,0DEB,0ABF,0BCF,0ABC,0ABE,

以E为顶点的角是：0AEF,0AED,0DEB,0DEF,0AEB,0BEF.

【点睛】本题主要考查了三角形，关键是要细心、仔细的数出三角形的个数.

10.（2022秋•全国,八年级专题练习）如图所示，

（1）图中有几个三角形？

（2）说出ACDE的边和角.

（3）AO是哪些三角形的边？NC是哪些三角形的角？

【答案】（1）图中有：AABD,AADC,AADE,NEDC,AACB,共5个；

（2）ACDE的边：CD,CE,DE,角：NC,NCDE,/DEC；

（3）AD是AADB,MDE,AADC的边；NC是AABC,AADC,ADEC的角.

【分析】（1）分类找三角形，含AB的，含A。（不含AB）的，含DE（不含A。）的三类即

可；

（2）根据组成三角形的三条线段一一找出，利用三角形两边的夹角即可找出；

（3）观察图形，找出含A。的三角形，先找AD左边的，再找4。右边的即可，根据三角

形内角的定义，角的两边是三角形的边，找到第三边，在配的内部在线段看与角的两边是

否相交即可

【详解】解：（1）图中有：以独为边的三角形有蜘8D,H4BC,

以AD为边的三角形有蜘DE,胡。C,

再以DE为边三角形有配EC,

一共有5个三角形分别为AABZ),AABC,AADC,AADE,AEDC；

(2)ACDE的边：CD,CE,DE,

角：ZC,NCDE,/DEC；

(3)AD是AAD3,AADE,AADC的边；

NC是AABC,\ADC,ADEC的角.

【点睛】本题考查三角形的识别，三角形的基本要素，三角形个数，观察图形找出图中的

三角形，三角形的组成，找以固定线段的三角形，和固定角的三角形，掌握利用分类思想

找出所有的图形，三角形的边与角，共线段三角形以及共角三角形是解题关键.

11.(2020秋•八年级课时练习)如图，在ABC中，44，A，,,4为AC边上不同的”

个点，首先连接BA，图中出现了3个不同的三角形，再连接84,图中便有6个不同的三

角形.…

(1)完成下表:

连接点的个数123456

出现三角形个数

2)若出现了45个三角形，则共连接了多少个点？

⑶若一直连接到A“，则图中共有多少个三角形？

【答案】(1)3,6,10,15,21,28；(2)8；(3)|(n+1)(«+2)

【分析】⑴根据图形，可以分析：数三角形的个数，其实就是数AC上线段的个数.所以

当上面有3个分点时，有6+4=10；4个分点时，有10+5=15；5个分点时，有15+6=21；6

个分点时，有21+7=28；7个分点时，有28+8=36；

⑵若出现45个三角形，根据上述规律，则有8个分点；

(3)若有n个分点，则有n+l+n+n—l+...+l=；("+l)(〃+2).

【详解】⑴

连接点的个数123456

出现三角形个数3610152128

（2）由⑴中表格:7个分点时，有28+8=36；8个分点时,有36+9=45；

团出现了45个三角形，则共连接了8个点；

⑶设连接到AAn时，图中有％个三角形（n为正整数）.

观察图形和（1）中表格，可知：=2+1=3,电=3+2+1=3,a3=4+3+2+1=10,L,

团Q〃=n+l+n+n-l+...+l

=-^n+l+n+n-l+...+l+l+2+3+...+（n+l）］

=；（〃+D（"+2）,

团若一直连接到4,则图中共有g（〃+1）（〃+2）个三角形.

【点睛】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中三角形个数的变化找出变化规

律，注意数三角形的个数实际上就是数线段的条数.

三、三角形的分类

一、单选题

1.（2022秋•全国•八年级专题练习）用集合来表示"按边把三角形分类"，下面集合正确的

是（）

4

腰

等

一

区

金

等

角

k三

至"

【答案】D

【分析】根据三角形的分类，即可求解.

【详解】解：三角形按边可以分为不等边三角形和等腰三角形，等腰三角形可以分为两边

相等的三角形和三边相等的三角形（等边三角形），

团集合正确的是D.

故选：D

【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟练掌握三角形可以分为不等边三角形和等腰三

角形，等腰三角形可以分为两边相等的三角形和三边相等的三角形（等边三角形）是解题

的关键.

2.（2022秋•河北邢台•八年级校考期中）如图表示三角形的分类，则A表示的是（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.三边都不相等的三

角形

【答案】D

【分析】根据三角形按边分类，即可求解.

【详解】解：三角形按边分为三边都不等的三角形，等腰三角形（两边相等的等腰三角

形，三边相等的等边三角形），

故选：D.

【点睛】本题主要考查三角形的分类，掌握三角形按边分类的方法是解题的关键.

3.（2022•全国•八年级专题练习）图中的三角形被木板遮住了一部分，那么这个三角形是

（）

A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.以上都有可能

【答案】D

【分析】根据图中信息即可判定.

【详解】解：图中被木板遮住的三角形有可能是锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形分类，解题关键是要理解三角形分类的依据，图中只能看到三

角形的一个锐角，解题关键是理解另外两个角都可能是锐角，也可能有一个是直角或钝

角.

4.（2022秋•山东德州•八年级校考阶段练习）一个三角形的三边长之比是2:2:1,周长是

10,此三角形按边分是（）

A.等腰三角形B.等边三角形C.不等边三角形D.以上都不对

【答案】A

【分析】根据题意可得三角形的三边长，然后问题可求解.

221

【详解】解：由题意可知该三角形的三边长分别为10xg=4,10x-=4,10x-=2,

团此三角形按边分是等腰三角形;

故选A.

【点睛】本题主要考查三角形的概念，解题的关键是得到三角形的边长及熟记三角形的分

类.

二、填空题

5.（2022秋•八年级课时练习）的三角形叫做直角三角形，记作.

【答案】有一个角是90。RtAABC

【分析】根据直角三角形的定义：有一个角是90。的三角形叫做直角三角形，记作

RtAABC,进行作答即可.

【详解】解：有一个角是90。的三角形叫做直角三角形，记作RtaA3C；

故答案为：有一个角是90。，RtAABC

【点睛】本题考查直角三角形的定义.熟练掌握有一个角是90。的三角形叫做直角三角

形，是解题的关键.

6.（2023秋•重庆忠县•八年级统考期末）在ABC中，若NA::/C=5:6:7,则

ABC的形状是三角形（填钝角、直角和锐角）.

【答案】锐角

【分析】根据三角形的内角和，以及三角形的三个角之间的比例，计算出最大角的度数，

并且判断出三角形的类型即可.

【详解】回三角形内角和为180。，ZA:ZB:ZC=5:6:7,

7

0ZC=----------x180°=70°<90°,

5+6+7

即ABC为锐角，

故答案为锐角.

【点睛】本题考查三角形的内角和，三角形的分类，能够根据三个角之间的比例计算出每

个角的度数是解决本题的关键.

三、解答题

7.（2022秋•全国,八年级专题练习）已知,ABC的三边长分别为a,b,c.若a,b,c满足

（a-Z?）2+0-c）2=O,试判断_ABC的形状.

【答案】ABC的形状是等边三角形.

【分析】利用平方数的非负性，求解a,b,c的关系，进而判断，ABC.

【详解】解:+（6-c）2=0,

回〃一/?=0,b-c-G

^\a=b=c,

团AABC是等边三角形.

【点睛】本题主要是考查了三角形的分类，熟练掌握各类三角形的特点，例如三边相等为

等边三角形，含90。的三角形为直角三角形等，这是解决此类题的关键.

8.（2022秋•广东湛江•八年级统考期末）如图，每个小正方形的边长均为1,点A和点8

在小正方形的格点上.

图①

⑴在图①中画出使一至C为直角三角形（要求点C在小正方形的格点上，画一个

即可）.

（2）求图①中一ABC的面积.

【答案】⑴见解析

(2)6

【分析】（1）根据直角三角形的定义画出三角形即可.（答案不唯一）

（2）根据三角形面积公式求解即可.

（1）

解：如图①，EABC即为所求.

图①

⑵

解：图①中，0A2C的面积为：：ACXBC=1X4X3=6.

【点睛】本题考查作图-应用与设计，直角三角形的性质等知识，解题的关键是学会利用数

形结合的思想解决问题.

9.（2022秋•八年级课时练习）说出图中的锐角三角形，直角三角形和钝角三角形.

c

【答案】锐角三角形有：AAED,直角三角形有：..ACD,钝角三角形有：

△ABC,ABDC

【分析】根据三角形的分类进行求解即可.

【详解】解：由题意得：锐角三角形有：AAED,直角三角形有：ACD,钝角三角形

有：AABGABDC.

【点睛】本题主要考查了三角形的分类，熟知三角形的分类方法是解题的关键.

10.（2022秋・辽宁抚顺・八年级统考期中）图①、图②、图③均是3x3的正方形网格，每

个小正方形的边长为1,每个小正方形的顶点称为格点，线段A3的端点均在格点上，只用

无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求以A2为边画_ABC.

（1）在图①中画一个钝角三角形，在图②中画一个直角三角形，在图③中画一个锐角三

角形；

（2）三个图中所画的三角形的面积均不相等；

（3）点C在格点上.

【答案】见详解（答案不唯一）

【分析】因为点C在格点上，故可将直尺的一角与线段AB点A重合，直尺边长所在直线

经过3x3正方形网格左上角第一个格点，继而以点A为旋转中心，逆时针旋转直尺，当直

尺边长所在直线与正方形格点相交时，确定点C的可能位置，顺次连接A、B、C三点，按

照题目要求排除不符合条件的C点，作图完毕后可根据三角形面积公式判断其面积是否相

等.

【详解】经计算可得下图中：图①面积为;；图②面积为1;图③面积为：，面积不等

/2

符合题目要求（2）,且符合题目要求（1）以及要求（3）.

故本题答案如下：

C

【点睛】本题考查三角形的分类及其作图，难度较低，按照题目要求作图即可.

11.（2022秋•全国,八年级专题练习）满足下列条件的三角形是锐角三角形、直角三角形还

是钝角三角形.

（I）EIABC中，0A=30°,EIC=0B；

（2）三个内角的度数之比为1:2:3.

【答案】⑴锐角三角形；（2）直角三角形.

【分析】根据角的分类对三角形进行分类即可.

【详解】⑴EBA=30°,0C=0B,0A+0C+0B=18O°,EHC=EIB=75°,

团满足条件的三角形是锐角三角形.

（2）团三个内角的度数之比为1回2回3,回可求得每个内角的度数分别为30。，60°,90°,

回满足条件的三角形是直角三角形.

【点睛】本题主要考查了三角形的分类问题.

四、构成三角形的条件

一、单选题

1.（2022秋•福建南平•八年级福建省南平第一中学校考期中）以下列长度的三条线段为

边，能组成三角形的是（）

A.1,3,3B.1,2,4C.1,2,3D.2,3,7

【答案】A

【分析】根据三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边进行分析即可.

【详解】解：A.1+3>3,.•.能组成三角形，故此选项符合题意；

B.1+2<4,二不能组成三角形，故此选项不合题意；

C.1+2=3,，不能组成三角形，故此选项不合题意；

D.2+3<7,.•.不能组成三角形，故此选项不合题意.

故选：A.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系定理，在运用三角形三边关系判定三条线段能

否构成三角形时并不一定要列出三个不等式，只要两条较短的线段长度之和大于第三条线

段的长度即可判定这三条线段能构成一个三角形.

2.（2022秋•安徽六安•八年级统考期末）下列长度的三条线段，不熊组成三角形的是

（）

A.5cm,6cm,wcmB.三条线段之比为：4:3:2

C.30cm,8cm,wcmD.a+1,a+2,。+3（。>0）

【答案】C

【分析】根据三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边分别进行计算分析即可.

【详解】解:A、5+6>10,故可以构成三角形.

B、2+3>4,故可以构成三角形；

C、8+10<30,不满足三边关系定理，因而不能构成三角形；

D、（a+l）+（a+2）=2a+3>a+3,故可以构成二角形；

故选：C.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形两边之和大于第三边.

二、填空题

3.（2022秋・安徽合肥•八年级统考期中）有4条线段的长度分别是4cm、7cm、8cm和11cm,

选择其中能组成三角形的三条线段作三角形,则可作个不同的三角形.

【答案】3

【分析】根据三角形三边关系"两边之和大于第三边，两边之差小于第三边"，即可获得答

案.

【详解】解：（1）当取4cm、7cm、8cm三条线段时，04+7=11>8,8-4=4<7,故能构

成三角形；

（2）当取4cm、7cm、11cm三条线段时，04+7=11=11,故不能构成三角形；

（3）当取4cm、8cm、11cm三条线段时，04+8=12>11,11-4=7<8,故能构成三角

形；

（4）当取7cm、8cm、11cm三条线段时，07+8=15>11,11一7=4<8,故能构成三角

形.

综上所述，可作3个不同的三角形.

故答案为：3.

【点睛】本题主要考查了三角形三边关系，理解并掌握三角形三边关系解题的关键.

4.（2022秋•湖北黄冈•八年级统考期中）若等腰三角形的两边的长分别是5cm、7cm,则

它的周长为cm.

【答案】17或19

【分析】根据等腰三角形的性质，分两种情况：①当腰长为5c机时，②当腰长为7cm

时，分别进行求解即可.

【详解】解：①当腰长为5cm时，三角形的三边分别为5cm,5cm,1cm,符合三角形的

三边关系，则三角形的周长=5+5+7=17（即）；

②当腰长为7c加时，三角形的三边分别为5cm，1cm,7cm,符合三角形的三关系，则三

角形的周长=5+7+7=199”）；

故答案为：17或19.

【点睛】本题注意考查对等腰三角形的性质及三角形的三边关系，己知没有明确腰和底边

的题目一定要想到两种情况：分类进行讨论，还应验证各自情况是否能构成三角形.

5.（2021秋,河南许昌•八年级校考阶段练习）乐乐同学有两根长度为4cm,7cm的木棒，

母亲节时他想自己动手给妈妈钉一个三角形相框，现有五根长度分别为3cm,6cm,

10cm,12cm,15cm的木棒供他选择，他有种选择.

【答案】2

【分析】设第三根木棒的长度为xcm,根据三角形的三边关系可得3Vx<11,由此即可

得.

【详解】解：设第三根木棒的长度为xcm,

若要构成三角形，则7-4<x<7+4,即3<x<H,

所以在3cm,6cm,10cm,12cm,15cm这5根木棒中，满足3Vx<11的只有6cm和10cm

这2根，

即他有2种选择，

故答案为：2.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是熟练掌握三角形的三边关系：任意

两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

6.（2022秋•浙江•八年级专题练习）三角形的三边长分别是2,5,加，贝力帆-3|+|加-7|

等于_.

【答案】4

【分析】根据构成三角形的条件可得出机的取值范围，再根据根的取值范围化简绝对值即

可求解.

【详解】解：国2、5、%是某三角形三边的长，

05-2c机<5+2,

故3<m<7,

0|m-3|+|m-71

m-3+7-m

=4.

故答案为:4.

【点睛】本题考查了构成三角形的条件及化简绝对值，熟练掌握构成三角形的条件是解题

的关键.

三、解答题

7.（2022秋•山东聊城•八年级统考期中）已知a,b,。为三角形的三边，满足==g=

654

且a+b-2c=6,求三角形周长.

【答案】30

一cibC

【分析】设一二—=—二%,可得〃=6左，b=5k,c=4k,再由—2c=6,可得左=2,

654

从而得至!J〃=6左=12,b=5k=10,,。=4左=8,即可求角军.

【详解】解：设==9=：=左，

654

团〃=6攵，b=5k,c=4k,

^\a+b-2c=6,

团6左+5左-8左=6,

团左=2,

回〃=6左=12,b=5k=10,,。=4左=8,

团a+Z?+c=30,

即三角形的周长为30.

【点睛】本题主要考查了求三角形的周长，根据题意得到。，4c的长值是解题的关键.

8.（2022秋•八年级课时练习）四根木棒的长度分别为12cm,8cm,5cm,6cm.从中取

三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形.一共有多少种取法？把它们都列出来.

【答案】一共有3种取法：取12cm,8cm,5cm这三根木棒，取12cm,8cm,6cm这三

根木棒，取8cm,6cm,5cm这三根木棒

【分析】根据构成三角形的条件进行求解即可.

【详解】解：当取12cm,8cm,5cm时，

012-5<8<12+5,

012cm,8cm,5cm这三根木棒可以组成三角形；

当取12cm,8cm,6cm时，

团12—6V8Vl2+6,

[El2cm,8cm,6cm这三根木棒可以组成三角形；

当取12cm,6cm,5cm时，

团5+6<12,

町2cm,6cm,5cm这三根木棒不可以组成三角形；

当取8cm,6cm,5cm时,

回8—5<6<8+5,

08cm,6cm,5cm这三根木棒可以组成三角形；

综上所述，一共有3种取法：取12cm,8cm,5cm这三根木棒，取12cm,8cm,6cm这三根木

棒，取8cm,6cm,5cm这三根木棒.

【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件，熟知三角形任意两边之和大于第三边，任意

两边之差小于第三边是解题的关键.

9.(2022秋•八年级课时练习)判断下列各组线段中，哪些首尾相接能组成三角形，哪些不

能组成三角形，并说明理由.

(l)a=2.5cm,b=3cm,c=5cm；

(2)e=6.3cm,/=6.3cm,g=12.6cm.

【答案】⑴能,理由见解析

⑵不能，理由见解析

【分析】根据三角形的任意两边的和大于第三边，任意两边之差小于第三边，只要把较小

的两边代入看是否小于第三边即可.

【详解】(1)解：回2.5+3>5,这三条线段首尾相接能组成三角形；

(2)06.3+6.3=12.6,这三条线段首尾相接不能组成三角形.

【点睛】考查了三角形的三边关系，掌握判断能否组成三角形的方法是解题的关键.判断

能否组成三角形的简便方法是看较小的两个数的和是否大于第三个数.

五、确定三边的取值范围

一、解答题

1.(2022秋,八年级课时练习)两根木棒的长分别是5cm和7cm.要选择第三根木棒，将它

们首尾相接钉成一个三角形.若第三根木棒的长为偶数，则第三根木棒长的取值情况有几

种？

【答案】第三根木棒长的取值情况有4种.

【分析】设第三根木棒长度为xcm,根据三角形的三边关系可得7-5<x<7+5,可得到

x的取值范围，即可求解.

【详解】解：设第三根木棒长度为"m,根据题意得：

7—5<无<7+5,即2Vx<12,

回第三根木棒的长为偶数，

团》可取4,6,8,10,有4种情况.

答：第三根木棒长的取值情况有4种.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟练掌握三角形的两边之和大于第三边，两

边之差小于第三边是解题的关键.

2.（2022秋•云南昭通•八年级统考期中）某市木材市场上的木棒规格与价格如下表：

规格1m2m3m4m5m6m7m8m

价格/（元/根）1015202530354045

小明的爷爷要做一个三角形的支架用来养兔子，在木材市场上已经购买了两根长度分别为

2m和7m的木棒，还需要购买一根.

（1）有几根规格的木棒可供小明的爷爷选择？

（2）在能做成三角形支架的情况下，要求做成的三角形支架的周长为偶数，则小明的爷爷做

三角形支架，买木棒一共花了多少元？

【答案】⑴3种

⑵95元

【分析】（1）做一个三角形的支架，根据三角形三边的关系，两边之和大于第三边，两边

之差小于第三边，由此即可求解；

（2）做成的三角形支架的周长为偶数，根据（1）中可选的结果，即可求解.

【详解】（1）解：设第三根木棒的长度为初，根据三角形的三边关系可得

7—2<x<7+2,解得5Vx<9,

团》是整数，

回尤=6,7,8,共3种，

团有3种规格木棒可供选择.

（2）解：.•三角形支架的周长为偶数，5<x<9,

回x=7,三角形支架的第三根木棒长为7m,

040x2+15=95（元）.

国买木棒一共花了95元.

【点睛】本题主要考查三角形的实际运用，理解和掌握三角形三边关系，结合实际情况选

择方案是解题的关键.

3.（2022秋•河南三门峡・八年级统考期中）如果一个三角形的一边长为9cm、另一边长为

1cm,求：

（1）这个三角形的第三边的范围；

⑵当第三边长为奇数时，求三角形的周长.

【答案】（l）8<x<10；

(2)19cm.

【分析】（1）根据三角形的三边关系得到有关第三边的取值范围即可；

（2）根据（1）得到的取值范围确定第三边的值，从而确定三角形的周长.

【详解】（1）设第三边的长为xcm,

回三角形的一边长为9cm,另一边长为lcm,

09-1<X<9+1,

即8cxe10；

（2）回第三边的长为奇数，

团第三边的长为9cm,

回三角形的周长为19cm.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是能够根据三角形的三边关系列出有

关x的取值范围.

4.（2022秋•广东惠州•八年级期中）三角形的两边分别为2cm和4cm,且周长为偶数，求

第三边长.

【答案】4cm

【分析】根据三角形的三边关系确定第三边的取值范围，根据周长为偶数，确定第三边的

长即可求解.

【详解】解：设第三边为acm,根据三角形的三边关系知，4-2<a<4+2.

即2<。<6,

由周长为偶数，

则。可以为4cm.

三角形的周长是：2+4+4=10cm.

团第三边长为4cm.

【点睛】本题考查了三角形三边关系，求得三角形第三边长的范围是解题的关键.

5.（2022秋•安徽蚌埠•八年级统考期中）已知：..ABC中，AB=5,BC=2a+l,

AC=12,求。的范围.

【答案】3<a<8

【分析】根据三角形的三边关系列不等式求解即可.

【详解】解：回AB、BC、AC是ABC的三边，

^AC-AB<BC<AC+AB,

即：12-5<2fl+l<12+5,

解得：3<。<8,

故答案为：3<“<8.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系、解不等式组；熟练掌握三角形的三边关系以及解

不等式组的方法是解题的关键.

6.(2022秋•河北邢台•八年级校考阶段练习)己知AABC的三边长分别为1,4,a,化简：

|6?-2|-16?-1|-6|.

【答案】5-a

【分析】直接利用三角形三边关系进而得出。的取值范围，进而利用绝对值的性质化简得

出答案.

【详解】解:因为AABC的三边长分别为1,4,a.

所以4-l<(i<4+l.

解得3<a<5.

回a—2>0,a—1>0,a—6<0,

回一一|tz一1|+|tz—6|

=a—2—(q—l)+6—a

=5—ci.

【点睛】此题主要考查了三角形三边关系以及绝对值的性质，正确得出。的取值范围是解

题关键.

7.(2022秋•四川自贡•八年级校考阶段练习)已知一个三角形的三边长分别为5,2°-1,10,

化间：-8)~——2|.

【答案】10-2a

【分析】先根据三角形的三边关系判断a的取值范围，再化简求值.

【详解】解：由题意得：10-5<2a-l<10+5,

解得：3<a<8,

回"(°_8)2-|"2|

=8-ci—(a—2)

=8—。一a+2

=10-2o

【点睛】本题考查了算术平方根的非负性质、化简绝对值及三角形三边关系，掌握三角形

的三边关系是解题的关键.

8.(2022•全国•八年级专题练习)若一个三角形的三边长分别是a,b,c,其中。和b满足

[2a-3b=5

方程,。，若这个三角形的周长为整数，求这个三角形的周长.

[b-a=-3

【答案】9

【分析】利用加减消元法解出方程组，求出。、6,根据三角形的三边关系求出c,根据三

角形的周长公式计算，得到答案.

2a-3b=5

【详解】解：解方程组

b—a=—3

4=4

得

b=l

团〃，b,c是三角形的三条边,

团4一1＜。＜4+1,

回3<c<5,

团周长为整数，

团c=4,

团三角形的周长=4+4+l=9.

【点睛】本题考查的是三角形的三边关系、二元一次方程组的解法，熟记三角形两边之和

大于第三边、三角形的两边差小于第三边是解题的关键.

9.（2023春・广东佛山•八年级校考阶段练习）若三角形的三边长分别是2,羽10,且x是

不等式的正整数解，求该三角形的周长.

45

【答案】21或22

【分析】根据三角形三边之间的关系可得8<x<12,再解不等式得x<ll,最后根据尤为正

整数，得出x=9或10,即可求解.

【详解】解：回2,x,10分别为三角形的三边长，

010-2<%<10+2,即8〈尤<12,

整理不等式---<1--------得：5x+5<20—4+4x,

45

解得：尤<11,

综上：8cxe11,

Ex为正整数，

回x=9或10,

回该三角形的周长为：2+9+10=21或2+10+10=22.

【点睛】考查三角形三边关系，一元一次不等式的整数解，掌握三角形两边之和大于第三

边，两边之差小于第三边，以及一元一次不等式的解法是解题的关键.

六、三角形三边关系应用

一、单选题

1.（2023秋•重庆丰都,八年级统考期末）从长度为2、4、6、8的四条线段中，任意取出三

条线段，能围成三角形的是（）

A.2,4,6B.2,4,8C.2,6,8D.4,6,8

【答案】D

【分析】根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，

即可得出结论.

【详解】解：A.2+4=6,不能构成三角形，故A选项不符合题意；

B.2+4=6<8,不能构成三角形，故B选项不符合题意；

C.2+6=8,不能构成三角形，故C选项不符合题意；

D.4+6=10>8,8-4=4<6,能构成三角形，故D选项符合题意；

故选：D.

【点睛】本题考查了三角形的三边关系，熟练掌握知识点是解题的关键.

2.(2022秋・浙江绍兴•八年级校考期中)已知A3=1.5,AC=4.5,若长为整数，则

BC长为()

A.3B.6C.3或6D.3或4或5或6

【答案】D

【分析】分三种情况：①A,B,C三点在同一条直线上，点8在线段AC上，

BC=AC-AB=3；②A,B,C三点在同一条直线上，点8在C4的延长线上，

BC=AB+AC=6；③A,B,C三点不在同一条直线上时，根据三角形的三边关系即可得

到结论.

【详解】解：当A,B,C三点在同一条直线上，点8在线段AC上时，

BC=AC-AB=4.5-1.5=3；

当A,B,C三点在同一条直线上，点8在C4的延长线上时，

BC=AB+AC=L5+4.5=6；

A,B,C三点不在同一条直线上时，

AC-AB<BC<AC+AB,BP4.5-1.5<BC<4.5+1.5,

3<BC<6,

8C长为整数，

8c=4或8c=5,

综上可知，8c长为3或4或5或6.

故选D.

【点睛】本题考查线段的和差关系、三角形的三边关系，解题的关键是注意分情况讨论.

3.(2022秋,浙江嘉兴•八年级统考期末)四根木棒的长度分别为4cm,5cm,8cm,

11cm.现从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形.则这样的取法共有

()

A.1种B.2种C.3种D.4种

【答案】C

【分析】从四根木棒中任意抽取三根，共有4种取法，根据三角形三边关系分别判断即

可.

【详解】解：从四根木棒中任意抽取三根，共有4种取法，

抽取木棒的长度分别为4cm,5cm,8cm时，满足两边之和大于第三边，两边之差小于第

三边，能组成一个三角形；

抽取木棒的长度分别为4cm,5cm,11cm时，4+5<11,不满足两边之和大于第三边，两

边之差小于第三边，不能组成一个三角形；

抽取木棒的长度分别为4cm,8cm,11cm时，满足两边之和大于第三边，两边之差小于第

三边，能组成一个三角形；

抽取木棒的长度分别为5cm,8cm,11cm时，满足两边之和大于第三边，两边之差小于第

三边，能组成一个三角形；

综上可知，这样的取法共有3种.

故选C.

【点睛】本题考查三角形三边关系的应用，解题的关键是掌握三角形中两边之和大于第三

边，两边之差小于第三边.

4.（2023秋•福建泉州•八年级统考期末）已知a、b、c为三角形的三条边长，设

m=（a-&）2-c2,则机的值（）

A.;?7<0B.m>QC.m=0D.〃z>0或机<0

【答案】A

【分析】根据三角形三边关系可得。-6<。，即从而可判别.

【详解】解：a、氏c为三角形的三条边长，

:.a-b<c,

（a-b），

:.（a-b]—c~<0,

m<0,

故选：A.

【点睛】本题考查了三角形三边之间的关系；熟练掌握三角形两边之差小于第三边是解题

的关键.

5.（2023秋•云南昆明•八年级统考期末）如图，为估计池塘岸边A、B的距离，小杰在池塘

的一侧选取一点。，测得。4=10米，03=6米，A、8间的距离可能是（）

A.4米B.12米C.16米D.22米

【答案】B

【分析】根据三角形的三边关系得到4<AB<16,根据A3的范围判断即可.

【详解】解：如图：连接A3,

0

根据三角形的三边关系得：

10-6<AB<10+6,

即：4cAs<16,

故选：B.

【点睛】此题主要考查了三角形的三边关系，能正确运用三角形的三边关系是解此题的关

键.

6.（2023秋•重庆南川,八年级统考期末）袁老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍

的长度有8cm,7cm,13cm和15cm四种规格，小朦同学已经取了8cm和7cm两根木棍，那么

第三根木棍不可能取（）

A.15cmB.13cmC.8cmD.7cm

【答案】A

【分析】根据三角形三边关系确定第三边取值范围即可求解.

【详解】设三角形第三边长为x,即8-7<x<8+7,

01<x<15,

回选项B,C,D,不符合题意，A符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了三角形的三边关系，熟记三角形三边关系建立不等式是解题的关

键.

二、解答题

7.（2023秋•八年级课时练习）如图，在,ABC中，点。在A3上，连接C。，点。在8

上，连接30,求证：AB+AC>OB+OC.

【答案】见解析.

【分析】在38中，根据三边之间的关系易得。0+3。则

DO+BD+OC>OB+OC^CD+BD>OB+OC,同理在ACD中，AC+AD>CD,则

AC+AD+BD>CD+BD^AB+AC>CD+BD,从而得证.

【详解】证明：•••在，300中，

DO+BD>OB,

DO+BD+OC〉OB+OC,

:.CD+BD>OB+OC,

在一ACD中，AC+AD>CD,

AC+AD+BD>CD+BD,

AB+AC>CD+BD,

:.AB+AC>OB+OC.

【点睛】本题考查了三角形两边之和大于第三边；熟练掌握该性质是解题的关键.

8.(2022秋•江西赣州•八年级统考期末)己知a,b,c是三角形的三边长.

(1)化简卜+6_。|+,_/_<?|；

(2)若。=5,6=4,c=2,求(1)中式子的值.

【答案】⑴26

(2)8

【分析】(1