河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高一上学期期末数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河北省石家庄市辛集市2023-2024学年高一上学期期末数学试题一、单选题（每题5分，共40分.）1.的值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】.故选：D.2集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，，所以.故选：B.3.若是第二象限角，则是（）A.第一象限角 B.第二象限角C.第三象限角 D.第四象限角【答案】D【解析】由题意是第二象限角，所以不妨设，所以，由象限角的定义可知是第四象限角.故选：D.4.下列各组函数是同一函数的是（）①与；②与；③与；④与．A.①② B.①③ C.③④ D.①④【答案】C【解析】①与的定义域是，而，故这两个函数不是同一函数；②与的定义域都是，，这两个函数的定义域相同，对应法则不同，故这两个函数不是同一函数；③与的定义域都是，并且定义域内，对应法则也相同，故这两个函数是同一函数；④与定义域相同，对应法则相同，是同一函数，所以是同一函数的是③④．故选：C．5.函数的定义域是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由题意，在中，，解得：且.故选：D.6.若函数在区间上是减函数，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】的对称轴为，要想函数在区间上是减函数，则，解得.故选：D.7.设，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，又因为，所以，又因为，所以，所以.故选：B.8.若函数的定义域为，值域为，则的图象可能是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】对于A，函数在处有意义，不满足定义域为，A错误；对于B，函数的定义域为，值域为，满足题意，B正确；对于C，函数在处有意义，不满足定义域为，C错误；对于D，函数在处有意义，不满足定义域为，D错误.故选：B.二、多选题（每题5分，共20分.）9.下列选项中，与的值相等的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】由题意有，对于A选项：，故A选项不符合题意；对于B选项：，故B选项符合题意；对于C选项：，故C选项符合题意；对于D选项：，故D选项不符合题意.故选：BC.10.已知函数的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应值表：135724131则一定包含的零点的区间是（）A. B. C. D.【答案】BCD【解析】因为的图象是一条连续不断的曲线，且，所以一定包含的零点的区间是．故选：BCD.11.设正实数满足，则下列说法正确的是（）A.的最小值为4 B.的最大值为C.的最大值为2 D.的最小值为【答案】ABD【解析】对于A，，，，，当且仅当，即时等号成立，故A正确；对于B，，，当且仅当，即，时等号成立，所以的最大值为，故B正确；对于C，因为，所以的最大值为，故C错误；对于D，因为，故D正确.故选：ABD.12.将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，下面四个结论中，错误的是（）A.函数在区间上为增函数B.将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象关于轴对称C.点是函数图象的一个对称中心D.函数在上的最大值为1【答案】AC【解析】将函数的图象向左平移个单位长度，可得的图象；再把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，可得的图象．当时，，此时是不单调，故A错误；将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，此函数是偶函数，满足图象关于轴对称，故B正确；将代入函数的解析式中，得到，故点不是函数图象的一个对称中心，故C错误；当，，所以当，即时，的最大值为1，故D正确．故选：AC.三、填空题（每题5分，共20分.）13.函数的单调递减区间是___________.【答案】【解析】的定义域为，解得，或，求原函数的单调递增区间，即求函数的减区间，，可知单调递减区间为，综上可得，函数单调递增区间为.令，由，得或，函数的定义域为，当时，内层函数为增函数，而外层函数为减函数，函数的单调递减区间是.14.定义在上的函数满足，，则______．【答案】【解析】因为，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以，又因为，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，由，，可得，又因为，所以，所以.15.如图，正六边形的边长为，分别以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点，则围成的阴影部分的面积为________．【答案】【解析】如图，连接.由题意知，线段的长度都等于半径，所以，为正三角形，则，故的面积为，扇形的面积为，由图形的对称性可知，扇形的面积与扇形的面积相等，所以阴影部分的面积.16.筒车是我国古代发明一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到应用.假定在水流稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动.如图，将筒车抽象为一个几何图形（圆），筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，筒车每分钟沿逆时针方向转动3圈.规定：盛水筒对应的点从水中浮现（即时的位置）时开始计算时间，且以水轮的圆心为坐标原点，过点的水平直线为轴建立平面直角坐标系.设盛水筒从点运动到点时所经过的时间为（单位：），且此时点距离水面的高度为（单位：）（在水面下则为负数），则与时间之间的关系为.①；②点第一次到达最高点需要的时间为；③在转动的一个周期内，点在水中的时间是；④若在上的值域为，则的取值范围是.其中所有正确结论的序号是__________.【答案】①④【解析】对于①，因为筒车半径为，筒车转轮的中心到水面的距离为，所以点距离水面的高度的最值为，所以，因为筒车每分钟60s沿逆时针方向转动3圈，所以，，因为，所以，又因为，所以，故①正确；对于②，由已知得，与轴正方向的夹角为，所以点第一次到达最高点需要转动，则所需时间为，故②错误；对于③，在转动的一个周期内，点在水中转动，则所需要的时间是，故③错误；对于④，若在上的值域为，则在上的值域为，因为，所以，所以，则，故④正确.四、解答题（17题10分，18-22题每题12分，共70分.）17.已知函数的最小正周期为.（1）求的值；（2）求函数的单调递增区间.解：（1）由题可知，，又，所以，所以，所以.（2）令，解得，所以函数的单调递增区间为.18.已知为第二象限角，且.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）因为为第二象限角，，所以，所以.（2）原式，分子分母同时除以，则原式.19.已知函数.（1）若关于的不等式的解集为，求的值；（2）已知，当时，恒成立，求实数的取值范围.解：（1）根据题意可得和都是方程的根且，所以，解得或（舍去），所以的值为，的值为.（2）因为，所以，所以即，整理得，令，则上式可化为，即，又因为当时，恒成立，所以当时，恒成立，令，则，因为，所以当，即时，，所以，又因为，所以，所以实数的取值范围为.20.已知集合.（1）若，求；（2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围.解：（1）当时，集合，可得或，因为，所以.（2）若“”是“”的充分不必要条件，所以是Q的真子集，当时，即时，此时，满足是的真子集，当时，则满足且不能同时取等号，解得，综上，实数的取值范围为.21.某乡镇响应“绿水青山就是金山银山”的号召，因地制宜地将该镇打造成“生态水果特色小镇”．经调研发现：某水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：，肥料成本投入为元，其他成本投入（如培育管理､施肥等人工费）元．已知这种水果的市场售价大约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）．（1）求单株利润关于施用肥料的关系式；（2）当施用肥料的成本投入为多少元时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？解：（1）依题意可得，，所以，．（2）当时，，根据二次函数的性质，可知在单调递减，单调递增，且，，所以；当时，.因为，所以，当且仅当，即时等号成立，所以，，.所以，当投入4元时，该水果单株利润最大，最大利润为480元．22.已