海南省海口市某校2025届高三上学期12月月考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1海南省海口市某校2025届高三上学期12月月考数学试题一、单选题1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，得到，即，又，所以，故选：B.2.若，则（）A.10 B. C.5 D.【答案】C【解析】因为，所以，所以.故选：.3.设是空间中的一个平面，是三条不同的直线，则下列说法对的是（）A.若，，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，，则【答案】D【解析】对于A中，由，，，，只有直线与相交时，可得，所以A不正确；对于B中，由，，，则与平行、相交或异面，所以B错误；对于C中，由，，，则，所以C错误；对于D中，由，，可得，又因为，所以，所以D正确.故选：D.4.函数的图像大致是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】当时，，，则，排除选项B和C；当时，，排除选项A，选项D符合题意.故选：D5.蒙古包是蒙古族牧民居住的一种房子，建造和搬迁都很方便，适于牧业生产和游牧生活，蒙古包下半部分近似一个圆柱，高为2m；上半部分近似一个与下半部分同底的圆锥，其母线长为m，轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是面积为的等腰钝角三角形，则该蒙古包的体积约为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如图所示为该圆锥轴截面，设顶角为，因为其轴截面（过圆锥旋转轴的截面）是腰长为，面积为的等腰三角形，所以，解得，则或（舍去），由得，，则上半部分的体积为，下半部分体积为，故蒙古包的体积为.故选：C.6.若函数，在上单调递增，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】当时，单调递增且值域为，而在上单调递增，则在上单调递增，且，当时，在上单调递增，满足题设；当时，在上单调递增，此时只需，即；综上，.故选：A7.若，则的大小关系是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】，而，且．所以，故．故选：D.8.已知定义在上的函数满足，，当时，，则方程所有根之和为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由，得函数的图象关于点对称，由，得，则函数的图象关于直线对称，且有，则，于是是以为周期的周期函数，又当时，，即函数在上单调递增，则函数在上单调递增，在上单调递增，在上单调递减，，由，得，则方程的根即为函数的图象与直线交点的横坐标，而直线关于点对称，即函数的图象与直线都关于点对称，在同一坐标系内作出函数的图象与直线，如图：当时，方程，即，化为，令，函数在上单调递增，，因此函数在上有唯一零点，即函数的图象与直线在上有一个交点，而当时，，当时，，观察图象得，函数的图象与直线在上有6个交点，由中心对称的性质知，函数的图象与直线在上有6个交点，因此函数的图象与直线的所有交点横坐标和为，所以方程所有根之和为.故选：D二、多选题9.，，则（）A当时，B.当时，C.当时，在上的投影向量为D.当时，，的夹角为钝角【答案】BC【解析】对于A，若，则，则，则，不平行，故A不正确；对于B，若，则，可得，所以，故B正确；对于C，若，则，向量在上的投影向量为，故C正确；对于D，若，即，此时，可知，的夹角为，不是钝角，故D错误.故选：BC．10.如图所示，在棱长为2的正方体中，，分别为棱，的中点，则下列结论正确的是（）A.直线与是平行直线B.直线与所成的角为C.直线与平面所成的角为D.平面截正方体所得的截面面积为【答案】BCD【解析】对于A，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，．∵分别为棱的中点，∴、，则，，∴和不共线，故A错误；对于B，∵，，∴，∴，∴直线与所成的角为，故B正确．对于C，由于平面的一个法向量为，，∴，直线与平面所成的角为，故C正确；对于D，连接，易知，则平面截正方体所得的截面为等腰梯形，∵棱长为2，∴，，，∴等腰梯形的高为，∴，故D正确，故选：BCD．11.记函数在区间的极值点分别为，函数的极值点分别为，则（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】选项A：，，故由题意可知，为方程的两个根，故，故A正确；选项B：，所以，设，因为，则，此时函数可化为，由题意此函数的极值点分别为，当时，函数单调递增，故，，故，，故B正确；选项C：由解得，，，由题意函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，而，故，，故C错误；选项D：由A可知，，，因为，故，即，故，故D正确.故选：.三、填空题12.已知，则_____.【答案】【解析】法一、由，得，即，解得，所以.法二、由，得，即，令，则，解得或.当时，，所以.当时，无解.故.故答案为：13.已知球O是某圆锥内可放入的最大的球，其半径为该圆锥底面半径的一半，则该圆锥的体积与球O的体积之比为______．【答案】【解析】球O是某圆锥内可放入的最大的球，则该球为圆锥的内切球，截面如图所示：设球的半径为，则圆锥底面半径为，可得在中，，，设，由勾股定理得，，即，化简得，即，，则，即，则圆锥体积为，球的体积为，所以圆锥的体积与球O的体积之比为.故答案为：.14.已知曲线在点处的切线方程为，且函数在区间上没有零点，则实数的取值范围是______.【答案】【解析】由题意得，，因为，所以，则，所以，所以，解得，故，.令，解得，解得，因为在区间上没有零点，所以，解得，因为，所以，解得，由，得，所以，因为，所以或，当时，；当时，.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.四、解答题15.设三角形的内角、、的对边分别为、、且．（1）求角的大小；（2）若，边上的高为，求三角形的周长．解：（1）因为，，为的内角，所以，因为，所以可化为：，即，即，因为，解得：，即．（2）由三角形面积公式得，将代入得：，所以，由余弦定理得：，解得：或舍去，即，所以的周长为.16.已知函数．（1）当时，求曲线y=fx在点（2）设，若A≠∅，求实数的取值范围．解：（1）当时，则，可得，即切点坐标为，切线斜率，所以切线方程为，即．（2）显然，若，则，故，则，故满足题意；若的定义域为0,+∞，且，若，令f'x>0，解得；令f'x可知在内单调递减，在内单调递增，则，由可得：，设，则，可知在0,+∞上单调递增，又．故等价于，解得，综上，的取值范围为．17.如图，在四棱锥中，底面是边长为2的正方形，底面，，为的中点，为的中点，解答以下问题：（1）证明：直线平面；（2）求点到平面的距离．（1）证明：因为四棱锥中，底面，底面，且底面是正方形，所以两两垂直，以为原点，分别为轴建立如图所示坐标系，则由题意可得，，，，，所以，，，设平面的法向量m=x则，取可得平面的一个法向量，因为，又平面，所以直线平面.（2）解：由（1）得，平面的一个法向量，所以点到平面的距离.18.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，，，是的中点，作交于点.（1）求证：平面；（2）求的长；（3）求平面与平面夹角余弦值.（1）证明：以D为原点，DA，DC，DP所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示空间直角坐标系.由题意知：，，，则，.又平面，平面.（2）解:由题意知：，.设，则.，，即，展开有：，解得：.故，则有；（3）解:由题意知：，设平面的法向量，有则，令，则，由（1）知，则平面的一个法向量为，设平面与平面所成的角为，则，所以平面与平面夹角的余弦值为.19已知函数．（1）求曲线在处的切线方程．（2）若，有两个极值点．①求的取值范围；②当时，证明：．解:（1）由题可得，则，又，所以曲线y=fx在处的切线方程为即．（2）①由（1）知，因为有两个极值点，所以f'x有两个变号零点，令，则，当时，，所以在上单调递增，当时，，所以在上单调递减，所以．所以．令，则