广西2025届高三上学期期末调研考试数学试题 （解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广西2025届高三上学期期末调研考试数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由，则.故选：C2.复数的实部为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】，故实部为故选：C3.若非零向量，满足，且，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】，，即，又，.故选：D.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，，.故选：A.5.如图，一个圆台形状的杯子的杯底厚度为1cm，杯内的底部半径为3cm，当杯子盛满水时，杯子上端的水面直径为12cm，且杯子的容积为，则该杯子的高度为（）A.12cm B.13cm C.14cm D.15cm【答案】B【解析】当杯子盛满水时，该杯子中水的高度为cm，则杯子的容积为，可得，所以该杯子的高度为cm.故选：B6.已知函数，，，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由，则，而，所以，又，显然上，即在上递减，所以.故选：D7.将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若曲线关于直线对称，则的最小正周期的最大值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】函数的图象向右平移个单位长度得到函数，函数的图象关于直线对称，所以，得所以的最小值是4，则的最小正周期的最大值为.故选：A8.已知函数，若函数零点的个数为3或4，则的取值范围是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】函数零点的个数，即为的交点个数，画出与的大致图像，结合图像可知：当的交点个数为3或4时，的取值范围是，故选：D.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知点，若点在圆：上，则（）A.点在直线上 B.点可能在圆上C.的最小值为1 D.圆上至少有2个点与点的距离为1【答案】AC【解析】对于选项A：点，代入直线得，故点在直线上，A正确对于选项B：圆心到直线的距离为，故直线与圆相离，结合选项A可知，点不可能在圆上，故B错误.对于选项C：结合选项B可知，，故C正确对于选项D：由选项C可知圆上只有1个点与点的距离为1，故D错误.故选：AC10.下列命题是真命题的是（）A.若随机变量，则B.若随机变量，则C.数据，，，，与数据，，，，的中位数可能相等D.数据，，，，与数据，，，，的极差不可能相等【答案】ABC【解析】A：由二项分布的方差公式有，真命题；B：由题设，随机变量的分布曲线关于，根据对称性知，真命题；若，，，，依次为，则，，，，依次为，显然两组数据的中位数都是3，极差都是4，C为真，D为假.故选：ABC11.已知函数，则（）A.为偶函数B.曲线在点处的切线斜率为C.，D.不等式对恒成立【答案】ABD【解析】对于A，函数定义域为关于原点对称，又，故为偶函数，A正确，对于B，，故，故在点处的切线斜率为，B正确，对于C，，当时，，则，故C错误，对于D，令，则，令，得；令，得；所以在上单调递减，在上单调递增，则，又，当且仅当时，等号成立，所以，故D正确，故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若双曲线：与双曲线：的焦距相等，则的离心率为______.【答案】2【解析】由题设，可得，则，所以，即离心率为2.故答案为：213.在中，角，，的对边分别为，，，，则______.【答案】【解析】由正弦边角关系，可得，又，，所以.故答案为：14.数学中有时会采用十进制以外的进制进行计数，比如二进制，五进制.五进制是“逢五进一”的进制，由数字0，1，2，3，4来表示数值，例如五进制数324转化成十进制数为.若由数字1，2，3，4组成的五位五进制数，要求1，2，3，4每个数字都要出现，例如12334，则不同的五位五进制数共有______个.若从由数字2，3，4（可重复）组成的三位五进制数中随机取1个，则该数对应的十进制数能被3整除的概率为______.【答案】①.240②.【解析】由数字组成的五位五进制数，要求每个数字都要出现，则需要先从中选取一个数字作为重复出现的数字，再将不重复出现的3个数字从五个位置中选3个进行排列，最后剩余两个位置排重复数字，故所求不同的五位五进制数共有个，数字组成的三位五进制数总共有个，设这个三位五进制数从左到右的数字分别为，转化成十进制数后此数为，此数能被3整除等价于能被3整除，因为，所以能被3整除的只有三种情况，若，则的取值有、两种，若，则的取值有、、、、五种，若，则的取值有、两种，故能被3整除的数共有个，则所求概率为.故答案为：240，四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.某企业有甲，乙两条生产线，每条生产线都有，，三个流程，为了比较这两条生产线的优劣，经过长期调查，可知甲生产线的，，三个流程的优秀率分别为0.9，0.9，0.8，乙生产线的，，三个流程的优秀率分别为0.8，0.85，0.92.已知每个流程是否优秀相互独立.（1）求甲生产线的三个流程中至少有一个优秀的概率.（2）为了评估这两条生产线哪个更优秀，该企业对，，三个流程进行赋分.当流程优秀时，赋30分，当流程不优秀时，赋0分；当流程优秀时，赋40分，当流程不优秀时，赋0分；当流程优秀时，赋50分，当流程不优秀时，赋0分.记甲生产线的，，流程的赋分分别为，，，乙生产线的，，流程的赋分分别为，，，计算与，并据此判断甲、乙哪条生产线更优秀.解：（1）设甲生产线的流程优秀分别记为事件，甲生产线的三个流程中至少有一个优秀为事件，则，所以.（2）由题设，易知；；由，即乙生产线更优秀16.已知抛物线：的焦点为椭圆：的一个焦点，且的短轴长为4.（1）求的方程；（2）过点且倾斜角为的直线与交于，两点，线段AB的中垂线与轴交于点，求的面积.解：（1）由抛物线：的焦点，所以，即，又的短轴长为，所以，则，故；（2）依题意有，联立，整理得，设，，显然，则，，所以，设线段的中点为，则，，故线段的中垂线为，令有，故，所以到直线的距离为，所以的面积.17.如图，在四棱锥中，底面ABCD是菱形，，PD，BC的中点分别为，，，，且平面平面ABCD.（1）证明：平面PAF.（2）若直线PB与平面PAF所成角的正弦值为，求棱PB的长.（1）证明：取的中点，连接，则且，由底面为菱形，为的中点，则且，所以且，即四边形为平行四边形，所以，由面，面，故平面PAF.（2）解：取的中点，连接，又，所以，因为面面ABCD，面面ABCD，面，所以面ABCD，由底面为菱形，，则为正三角形，所以，以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，设，则，所以，，，令面的一个法向量为，则，令，则，设直线与平面的夹角为，则，可得或，故或.18.设函数.（1）证明：曲线关于点对称.（2）已知为增函数.①求的取值范围.②证明：函数存在唯一的极值点.③若不等式对恒成立，求的取值范围.（1）证明：因为，所以曲线关于点对称.（2）①解：因为增函数，所以恒成立，即恒成立，因为，当且仅当，即时，等号成立，则的最大值为，所以，即的取值范围是.②证明：因为，所以为增函数，又，，而，，，所以在上存在唯一的零点，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以函数存在唯一的极值点.③解：由（1）知，曲线关于点对称，所以为奇函数，由，，得，则，即，因为为增函数，所以为增函数，则，即，，设函数，则，当时，，单调递减，当时，，单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，故，所以的取值范围为.19.定义：若存在，，使得数列（，均为常数）是公差为的等差数列，则称是和比等差数列，也称是和比等差数列，且称为该和比等差数列的系数.（1）若数列是和比等差数列，且，求的通项公式.（2）设数列的前项和为，且.①试问是否为和比等差数列？若是，求该和比等差数列的系数；若不是，请说明理由.②证明：.（1）解: