专题20-三角函数综合练习(文)(解析版)

专题20三角函数综合练习一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）1．下列命题错误的是()。A、锐角都是第一象限角B、顺时针旋转所形成的角为负角C、始边与终边重合的角一定是零角D、终边相同的角的三角函数值一定相等【答案】C【解析】∵锐角的范围是，∴锐角都是第一象限角正确；∵规定顺时针旋转所形成的角为负角，∴顺时针旋转所形成的角为负角正确；∵始边与终边重合的角为，，∴始边与终边重合的角一定是零角错误；由任意角的三角函数的定义知，终边相同的角的三角函数值相等正确，故选C。2．已知集合，集合，集合，那么集合、、关系是()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，，，∴，选B。3．若，则的值是()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由得：，显然，∴，，故选A。4．有小于的正角，这个角的倍角的终边与该角的终边重合，这个角的大小是()。A、B、C、D、，或【答案】D【解析】设这个角为，则，，，又∵，∴、或，故选D。5．若函数在上的值域为，则实数的取值()。A、B、C、D、【答案】C【解析】且在值域为，∴，∴，故选C。6．设且，则()。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，∴，∴，即，∵，∴，∴，即，故选A。7．若，，且、是锐角，则等于()。A、B、C、D、【答案】D【解析】由题意知，、是锐角，则，又、，∴，，∴，又是锐角，则，故选D。8．已知函数()，，且在区间单调递减，则的值为()。A、B、C、D、()【答案】B【解析】由得，，又在区间单调递减，，∴()且，∴，∴，故选B。9．扇形圆心角为，半径长为，则扇形内切圆的面积与扇形面积之比为()。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵扇形的圆心角是，半径为，∴，∵扇形的内切圆的圆心在圆心角的角平分线上，∴几何知识知，∴内切圆的半径为，∴，∴扇形的内切圆面积与扇形的面积之比为，故选B。10．已知函数在上单调递增，其中，则的取值范围为()。A、B、C、D、【答案】A【解析】由，，解得，，当时，，此时不满足条件，当时，，即，∵，且函数在上单调递增，∴且，即，即，故选A。11．若函数，则下列命题：①是偶函数；②的值域是；③当时，单调递增；④当且仅当()时，；其中正确命题的序号是()。A、①②B、①②④C、①③④D、②③④【答案】B【解析】对于①，由于，故正确，对于②，由题意函数，∴当()时，当()时，故正确，对于③，当时，，可得，由题意函数，由余弦函数的性质可得：，当时，单调递减，故错误，对于④，当()时，可得，可得：，反之，当时，函数图像位于最低点，()，故正确；故答案为：①②④，故选B。12．设函数定义域为，值域为，则：①；②；③不可能等于()；④不可能等于()；四个结论正确的是()。A、①②③B、①②③④C、①④D、②③④【答案】A【解析】作一个周期内的图像：∵值域为，且，，①，对，②，对，③当时函数最大值是，对，④当，时函数的值域不变，不对，故选A。二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分。把答案填在题中横线上）13．如图，动点、从点出发沿圆周运动，点按逆时针方向每秒钟转弧度，点按顺时针方向每秒钟转弧度，则、第一次相遇时点走过的弧长为。【答案】【解析】设、第一次相遇时所用的时间是，则，∴，则点走过的弧长为。14．已知扇形的周长为，面积为，则扇形的半径为。【答案】【解析】设扇形的半径为，弧长为，圆心角为，∵，∴。∵，即，∴，解得或，当时，，则，不符合，舍去，当时，，则，可取，故填。15．若、，且，，则。【答案】【解析】∵，∴，∵、，，∴，∴，∴。16．函数的图像与函数()的图像所有交点的横坐标之和为。【答案】【解析】作的图像，则函数关于点对称，同时点也是函数()的对称点，由图像可知，两个函数在上共有个交点，两两关于点对称，设对称的两个点的横坐标分别为、，则+，∴个交点的横坐标之和为。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）将函数(，)的图像上的每一点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的一半，再将图像向右平移个单位长度得到函数的图像。(1)直接写出的表达式，并求出在上的值域；(2)求出在上的单调区间。【解析】(1)把函数的图像向左平移个单位长度得到的图像，1分再把横坐标缩短为原来的倍，可得的图像，2分∴，3分∵，∴，∴，4分∴，当时，，当时，；5分(2)令，，解得，，6分∴单调递增区间为，，7分同理单调递减区间为，，8分∵，∴的单调递增区间为，单调递减区间为。10分18．（12分）函数(，，)的一段图像过点，如图所示。(1)求函数的表达式；(2)将函数向右平移个单位，得函数的图像，求的最大值，并求出此时自变量的集合。【解析】(1)由图知，，于是，2分将的图像向左平移个单位，得的图像，于是，5分将代入，得，故；7分(2)依题意，，8分当，即()时，，10分∴的取值集合为。12分19．（12分）已知函数，且当时的最小值为。(1)求的值；(2)先将函数的图像上点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将所得的图像向右平移个单位，得到函数的图像，求方程在区间上所有根之和。【解析】(1)，∵，∴，2分∴，∴；4分(2)依题意得，由得，6分∴()或()，8分∴或，解得或，11分∴所有根的和为。12分20．（12分）如右图所示，函数(，)的图像与轴交于点，且该函数的最小正周期为。(1)求和的值；(2)点，点是该函数图像上一点，点是的中点，当，时，求的值。【解析】(1)将，代入函数中，得，2分∵，∴，由已知，且，得，4分(2)∵点，是的中点，，∴点的坐标为，6分又∵点在的图像上，且，∴，且，9分从而得或，即或。12分21．（12分）已知函数(，，)在内取得一个最大值和一个最小值，且当时，有最大值，当时，有最小值。(1)求函数的解析式；(2)是否存在实数满足？若存在，求出实数的取值范围；若不存在，说明理由。【解析】(1)由题意可知：，，∴，则，∴，2分∵点在此函数图像上，∴，，，，，∵，∴，∴；5分(2)∵，，∴，6分，7分而在上是增函数，∴，8分∴，∴，∴，解得：，11分∴的取值范围是。12分22．（12分）已知函数。(1)若且时，求的最大值和最小值；(2)若且时，方程有两个不相等的实数根、，求的取值范围及的值。【解析】(1)若，则，∵，∴，1分∴当时，的取得最大值为，此时在的最大值为，3分当时，的取得最小值为，此时在的最小值为；5分(2)若，，∵，∴，∴，∴，7分当有两不等的根，结合函数的图